Kirchenjahr und Formelsammlung Relativitätstheorie: Unterschied zwischen den Seiten

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Als '''Kirchenjahr''' ({{laS|''annus ecclesiasticus''}} oder {{lang|la|''annus liturgicus''}}; auch '''liturgisches Jahr''' oder '''Herrenjahr''') bezeichnet man im [[Christentum]] eine jährlich wiederkehrende festgelegte Abfolge von christlichen Festen und Festzeiten, nach der sich vor allem die [[Gottesdienst]]praxis und [[Liturgie]] richten. Das Kirchenjahr beginnt nach katholischer wie evangelischer Tradition mit der [[Vesper (Liturgie)|Vesper]] am Vorabend des [[1. Sonntag im Advent|ersten Adventssonntags]]<ref>{{Internetquelle |autor=Julia Martin |url=https://www.katholisch.de/aktuelles/aktuelle-artikel/das-bedeuten-die-vier-advenssonntage |titel=Das bedeuten die vier Adventssonntage |werk=[[katholisch.de]] |datum=2018-12-01 |zugriff=2019-01-05}}</ref>, die orthodoxen Kirchen beginnen es am 1. September, in Vorbereitung auf das Fest [[Mariä Geburt]] am 8. September.
= SRT (Spezielle Relativitätstheorie) =


Das Kirchenjahr besteht vor allem aus den zuerst um [[Ostern]], dann auch um [[Weihnachten]] herum gebildeten Festkreisen, die in der [[Christentumsgeschichte]] allmählich zu einem [[Jahr]]eszyklus vervollständigt wurden. Ihre Abfolge und ihr Umfang stimmen in [[Ostkirche|Ost-]] und Westkirchen in etwa überein, die wichtigsten Festdaten der [[Orthodoxes Christentum|orthodoxen]] Tradition unterscheiden sich aber von denen der [[Westkirche|katholischen]] und [[Protestantismus|evangelischen]] Tradition. Den Festzeiten sind bestimmte [[liturgische Farben]] zugeordnet.
== Gebräuchliche Abkürzungen ==


== Begriff ==
Geschwindigkeit ''v'' relativ zur Lichtgeschwindigkeit ''c'':
Der deutsche Begriff „Kirchenjahr“ ist erstmals 1589 bei [[Johannes Pomarius]], einem [[Luthertum|lutherischen]] Pastor, belegt. Er markiert die nach der [[Reformation]] beginnende Trennung von christlich-sakraler und profaner Zeitgliederung und Kalenderordnung. Zudem gab es seit Bildung des Begriffs immer verschiedene konfessionelle Varianten des Kirchenjahres.


Auf Französisch hieß dieses im 17. Jahrhundert ''année chrétienne'', im späten 18. Jahrhundert ''année spirituelle'', im 19. Jahrhundert ''année liturgique;'' auf Englisch hieß es seit etwa 1790 ''Christian year'', heute wird meist vom ''liturgical year'' gesprochen. Verschiedene deutsche Theologen bevorzugten im 19. Jahrhundert die Begriffe ''Jahr des Heils'' oder ''Herrenjahr''.<ref name=jorns1998>{{TRE|18|575|599|Kirchenjahr|Klaus-Peter Jörns, Karl Heinrich Bieritz}}</ref>
; Lorentzfaktor <math>\beta</math>:


== Entstehung ==
:<math>\beta := \frac {v} {c} </math>
=== Vorgaben ===
Das fixe [[Tropisches Jahr|Sonnenjahr]], die beweglichen [[Mondphase]]n und die von beiden Zeitmetren abhängigen vegetativen Jahreszyklen führten im [[Alter Orient|Alten Orient]] zu verschiedenen [[Kalender]]einteilungen. Diese wurden im [[Judentum]] teils überlagert, teils durchbrochen von [[Liste jüdischer Feste|Kultfesten]], die sowohl an in der Natur wiederkehrende als auch an besondere innerzeitliche Ereignisse erinnerten. So beginnt das jüdische Hauptfest [[Pessach]] am [[Frühlingsvollmond]], feiert aber nicht primär den [[Frühlingsanfang]], sondern den [[Auszug aus Ägypten|Auszug]] der [[Hebräer]] aus der [[Sklaverei]] [[Ägypten]]s in das [[Gelobtes Land|Gelobte Land]] als Gottes auserwähltes Volk [[Israeliten|Israel]].


Die strukturierenden Grunddaten des Kirchenjahres – Sonntage, Ostern und Weihnachten – orientieren sich an der [[Woche|Siebentagewoche]], am [[Jüdischer Kalender|jüdischen Festkalender]] und einigen solaren Fixdaten im Zusammenhang der [[Tagundnachtgleiche]]. Sie erhalten als Stationen einer offenbarten Heilsgeschichte einen neuen Sinn.
; Lorentzfaktor <math>\alpha</math> oder Zeitdehnungsfaktor:


=== Der Sonntag ===
:<math>\alpha := \sqrt{1-\beta^2} = \sqrt{1- v^2 / c^2 }.</math>
{{Siehe auch|Sonntag}}


Die [[Alte Kirche|frühe Kirche]] feierte das [[Eucharistie|Herrenmahl]] wöchentlich. Zentraler Bezugspunkt für die [[Christ]]en in [[Urchristentum|frühchristlicher]] Zeit war dabei das Gedächtnis des [[Pascha-Mysterium]]s, des Erlösungswerks [[Jesus Christus|Christi]], d.&nbsp;h. seines Leidens und Sterbens für das [[Heil]] der Welt und seiner [[Auferstehung Jesu Christi|Auferstehung]] am dritten Tag, das in der Erwartung seiner [[Parusie|Wiederkunft]] als „[[Brotbrechen]]“ (Abendmahl/Eucharistie) gefeiert wurde. Daher wird der Sonntag – in Anlehnung an die neutestamentliche Anrede „[[Jesus Christus#Kyrios|Herr]]“ für Jesus Christus – „Tag des Herrn“ oder „Herrentag“ genannt. Liturgisch kann er als „Wochen-Ostern“ gedeutet werden.<ref>[[Hansjörg Auf der Maur]]: ''Feiern im Rhythmus der Zeit I. Herrenfeste in Woche und Jahr.'' Regensburg 1983, S. 129.</ref>
;Lorentzfaktor <math>\gamma</math>:


Als Folgetag des jüdischen [[Sabbat]]s war der Sonntag der erste, nicht der letzte Wochentag. So wie der Sabbat als arbeitsfreier Tag das Ziel der [[Schöpfung]] Gottes symbolisierte, so markierte der Sonntag für die Christen den Beginn der neuen Schöpfung, des [[Reich Gottes|Reiches Gottes]]. Die [[Liturgie]]erklärungen der [[Kirchenväter]] nehmen daher besonders Bezug auf den [[Gottesdienst|Sonntagsgottesdienst]]. Kaiser [[Konstantin der Große]] legte den Sonntag 321 gesetzlich als wöchentlichen Ruhetag fest, auch um das [[Christentum]] zur bevorzugten Religion zu erheben. Damit verdrängte der Sonntag den Sabbat und wurde zusammen mit dem Samstag im Alltagsbewusstsein zum „[[Wochenende]]“.<ref name=jorns1998/>
:<math> \gamma := \frac {1}{\sqrt{1-\beta^2}} = \frac {1}{\sqrt{1- v^2 / c^2 }}</math>.


Das [[Zweites Vatikanisches Konzil|Zweite Vatikanische Konzil]] bezeichnete den Sonntag als „Ur-Feiertag“: „Der Herrentag ist Fundament und Kern des ganzen liturgischen Jahres.“<ref>Konstitution über die heilige Liturgie [[Sacrosanctum Concilium]], Nr. 106.</ref>
== Galilei-Transformation ==


=== Osterfestkreis ===
Die Galileitransformation unterstellt eine unbegrenzte Lichtgeschwindigkeit und ist daher nur für Relativgeschwindigkeiten ''|v|'' < 0,1 ''c'' eine gute Näherung. Da ''v''' = -''v'':
{{Siehe auch|Fastensonntag|Sonntage der Osterzeit|Liste von Gedenk- und Aktionstagen#Vom Ostertermin abhängige Feste und Gedenktage|titel3=Vom Ostertermin abhängige Feste und Gedenktage}}


Der [[Ostersonntag]] war die christliche Variante des letzten Pessachtages: Dem Auszug aus Ägypten entsprach die in der [[Osternacht]] gefeierte Rettung Jesu und mit ihm aller Menschen aus dem Tod. In dieser Form wurde der Ostersonntag zum Ausgangs- und Mittelpunkt des Kirchenjahres. Er blieb lange Zeit das einzige christliche Jahresfest, bei dem auch die [[Taufe]] der [[Katechumenat|Katechumenen]] stattfand und der [[Märtyrer]] des vergangenen Jahres gedacht wurde.
{| class="wikitable"
! Galilei-Tranformation in <math>x</math>-Richtung
! Inverse Galilei-Transformation
|-
|


Das [[Osterdatum]] wurde in der westlichen Tradition im Jahre 325 auf den Sonntag nach dem ersten Vollmond des Frühlings gelegt. Es fügte sich damit in die Sonntagsreihe ein und bildete einen zum Pessach analogen Festkreis aus. Dabei bereiteten viele christliche Gemeinden die Osterfeier seit dem 2. Jahrhundert mit zwei bis sechs Fastentagen vor. Im 4. Jahrhundert entstand im Westen das im Osten unbekannte [[Triduum Sacrum]], das den Abend des [[Gründonnerstag]]s, den [[Karfreitag]], [[Karsamstag]] und Ostersonntag umfasste. Es wurde analog zum sieben- oder achttägigen Pessach zur [[Heilige Woche|heiligen Woche]] erweitert, die vom Tag des Einzugs Jesu in [[Jerusalem]] ([[Palmarum]]) an den Verlauf der letzten Lebenstage Jesu bis zu seiner Auferstehung sinngemäß abbildete.
:<math> t' = t </math>


Dem Osterfest folgte ebenfalls seit dem 4. Jahrhundert eine Woche, bei der die zu Ostern Neugetauften täglich die Eucharistie feierten und in der [[Apostel|apostolischen]] Lehre unterwiesen wurden. Sie endete mit dem [[Weißer Sonntag|Weißen Sonntag]], der seinen Namen vermutlich von den weißen Taufgewändern ableitet, die in der frühen Kirche von den in der [[Osternacht]] Getauften bis zu diesem Tag getragen wurden. Dieser „kleinen [[Oktav (Liturgie)|Oktav]]“ (Festwoche) wurde eine „große Oktav“ von sieben Wochen für die österliche Freudenzeit zur Seite gestellt.<ref>{{TRE|18|583||Kirchenjahr|Klaus-Peter Jörns, Karl Heinrich Bieritz}}</ref> Diese lief auf den [[Pfingstsonntag]] zu und umfasste mit ihm 50 Tage, analog zur Frist zwischen Pessach und [[Schawuot]] im jüdischen Kalender. Damit erhielt die Gabe des [[Heiliger Geist|Heiligen Geistes]], die nach {{B|Joh|20|22|EU}} zur Offenbarung des Auferstandenen gehört, gemäß dem zweiten Kapitel der [[Apostelgeschichte]] eine eigene liturgische Begehung. Zehn Tage vorher etablierte sich gemäß der 40-Tages-Angabe {{Bibel|Apg|1|3}} das [[Himmelfahrt]]sfest.
:<math> x' = x - v \cdot t </math>


Diese 40-Tage-Frist (''Quadragesima'') wurde dann auch auf die [[Fastenzeit]] vor Ostern übertragen, in der mit [[Gebet]], [[Buße (Religion)|Buße]] und [[Fasten]] der Passion Jesu gedacht wurde. Die Sonntage der Fastenzeit waren jedoch vom Fasten ausgenommen, da ihre Liturgie auf den Ostersonntag bezogen war. Darin erhielt sich die Erinnerung, dass das Kirchenjahr Abbild eines über-, nicht innerzeitlichen Geschehens ist, das auf Jesu Auferstehung zurück- und seine [[Parusie]] vorausblickt.<ref name=jorns1998/>
:<math> y' = y </math>


=== Weihnachtsfestkreis ===
:<math> z' = z </math>
Das Weihnachtsfest wurde in Rom seit etwa 330, in Konstantinopel seit etwa 380 am 25. Dezember gefeiert. Dieses Datum lag nahe der [[Sonnenwende|Wintersonnenwende]] und durchbrach den Sonntagsrhythmus. Grundgedanke war dabei, dass die [[Inkarnation]] des [[Sohn Gottes|Sohnes Gottes]] die Wende vom Tod zum Leben, von der Finsternis zum Licht eingeleitet habe. Dies sollte auch konkurrierende inner- und außerchristliche Vorstellungen abwehren: Christus sei kein unsterbliches Geistwesen (so sah ihn der [[Gnostizismus]]), sondern als Mensch sterblich und einmalig. Er und nicht die unbesiegbare Sonne ''([[Sol invictus]]'') sei der wahre Gott.


Wie das Osterdatum war auch das Weihnachtsdatum anhaltend umstritten. Jesu Geburt wurde von großen Teilen der Christenheit anfangs am selben Tag wie Pessach (15. Nisan), am 25. März (Frühlingsäquinoktium) oder am 6. Januar&nbsp;– dem heutigen Fest der [[Erscheinung des Herrn]]&nbsp;– gefeiert. Letzterer war im [[Römisches Reich|Römischen Reich]] auch der Beginn einer Äonenwende, die von der Geburt eines neuen Herrschers erwartet wurde. Darum verband sich mit Weihnachten das Bewusstsein einer neuen [[Ära]] analog zum heidnischen [[Goldenes Zeitalter|goldenen Zeitalter]], sodass das angenommene Geburtsjahr Jesu 525 mit dem Beginn einer neuen [[Christliche Zeitrechnung|Zeitrechnung]] identifiziert wurde.
|


[[Ambrosius von Mailand]] und [[Gregor der Große]] verknüpften das in der Geburtsnacht Jesu erschienene Licht mit dem Licht der [[Osternacht]]; die Niedrigkeit seiner Geburt in [[Praesepe (Krippe)|Krippe]] und Stall deutete in der Liturgie bereits auf seinen [[Kreuzigung|Tod am Kreuz]] hin. Daher trat die Weihnachtszeit nicht in Konkurrenz zur Osterzeit, sondern wurde ihr als ihr Vorläufer zeitlich vorangestellt, sodass sie das Kirchenjahr eröffnete.
:<math> t = t' </math>


Im 5. Jahrhundert entwickelte sich die [[Advent]]szeit, zunächst als 40-tägige Fastenzeit vor dem Epiphaniasfest, beginnend am 11. November, der zugleich der [[Gedenktag]] des [[Martin von Tours|heiligen Martin]] war. Die vier Adventssonntage gingen dem Weihnachtsfest voran, wobei der 4. Advent mit dem 24. Dezember zusammenfallen konnte. So wurde die Weihnachtszeit mit dem lunar-beweglichen Osterfestkreis von 14 Wochen in die Sonntagsreihe eingefügt. Deshalb variiert der zeitliche Abstand zwischen den beiden höchsten Festen.
:<math> x = x' + v \cdot t' </math>


=== Weitere Bestandteile ===
:<math> y = y' </math>
{{Siehe auch|Sonntage im Jahreskreis}}


Gedenktage der [[Märtyrer]] wurden seit dem 2. Jahrhundert als Festtage neben dem Auferstehungsfest Jesu Christi in das Kirchenjahr aufgenommen. Dabei wurde der Todestag zum „Geburtstag“ (''dies natalis'') des jeweiligen [[Heilige]]n, mit dem er in das ewige Leben eintrat.<ref name=jorns1998/>
:<math> z = z' </math>


Seit dem 5. Jahrhundert wurde das Kirchenjahr vor allem in Rom durch neue Elemente und Festdaten ergänzt und ausgestaltet:
|}
* der Sonntag nach Ostern wurde zum [[Weißer Sonntag|Weißen Sonntag]] (''Dominica in albis'');
* das Fest [[Christi Himmelfahrt]] erhielt eine eigene [[Vigil (Liturgie)|Vigil]], seit dem 10. Jahrhundert auch eine eigene [[Oktav (Liturgie)|Oktav]]
* [[Pfingsten]] wurde ebenfalls mit einer eigenen Oktav ausgezeichnet
* die Weihnachtszeit wurde durch Hinzufügung des [[Advent]]s zu einem eigenen Festkreis


Seit der [[Spätantike]] bürgerte sich das Gedenken für die Verstorbenen des Vorjahres ein. Es wurde im 10. Jahrhundert auf den 2. November gelegt ([[Allerseelen]]), der auf das Hochfest [[Allerheiligen]] folgt. Ferner kam es zur Zunahme von [[Fest (Liturgie)|Festen]], die einzelne Lebensstationen Christi zum Inhalt haben, wie beispielsweise die [[Beschneidung des Herrn|Beschneidung]] und [[Namen-Jesu-Fest|Namengebung des Herrn]] am 1. bzw. 3. Januar, oder der [[Verklärung des Herrn]] am 6. August.
== Lorentz-Transformation ==


Zum Gedenken an die Auffindung und Erhöhung des heiligen Kreuzes wurden seit dem [[Frühmittelalter]] zwei Kreuzfeste in der Westkirche gefeiert: ([[Kreuzauffindung]]) am 6. März bzw. 3. oder 7. Mai, ([[Kreuzerhöhung]]) am 14. September.
{| class="wikitable"
! Lorentz-Transformation in <math>x</math>-Richtung
! Inverse Lorentz-Transformation
|-
|
:<math> t' = \left( t - \frac {v} {c^2} \cdot x \right) \cdot \sqrt{1-(v/c)^2}</math>
:<math> x' = \left(x - v \cdot t\right) \cdot \sqrt{1-(v/c)^2}</math>
:<math> y' = y </math>
:<math> z' = z </math>
|
:<math> t = \left( t' + \frac {v} {c^2} \cdot x' \right) / \sqrt{1-(v/c)^2}</math>
:<math> x = \left(x' + v \cdot t'\right) / \sqrt{1-(v/c)^2}</math>
:<math> y = y' </math>
:<math> z = z' </math>
|}


Ab dem [[Hochmittelalter]] fanden Feste, die bestimmte Glaubensgeheimnisse in den Mittelpunkt einer eigenen liturgischen Feier rücken, Aufnahme in das Kirchenjahr:
== Zeitdilatation ==
* [[Fronleichnam]]sfest (seit 1264)
{{Hauptartikel|Zeitdilatation}}
* Dreifaltigkeitssonntag ([[Trinitatis]], allgemein verpflichtend seit 1334)
* [[Herz-Jesu-Fest]] (seit dem 15. Jahrhundert regional, seit 1856 in der ganzen Kirche)
* [[Christkönigsfest]] (seit 1926)


Weitere Fest- und Gedenktage des Kirchenjahres gelten kirchengeschichtlichen Ereignissen, die für einzelne [[Konfession]]en, [[Ordensgemeinschaft]]en oder Gemeinden&nbsp;– etwa [[Kirchweihe]]feste&nbsp;– prägend wurden.
Für die Zeitdilatation eines bewegten Körpers ergibt sich:


Seit Anfang des 20. Jahrhunderts wurden zunehmend Sonntage im Jahreskreis zusätzlich als [[Zwecksonntag]]e unter ein bestimmtes Motto gestellt oder einem bestimmten Anliegen gewidmet, etwa der [[Sonntag der Weltmission]] oder der [[Welttag der sozialen Kommunikationsmittel]]. Die Ursprünge des [[Erntedank]]festes liegen in den [[Quatember]]n, die Fast- und Abstinenztage waren, an denen aber nach alter Sitte auch Gott für die Gaben der Schöpfung gedankt wird. In Deutschland wurde das Erntedankfest oft an [[Erzengel Michael|Michaelis]] (29. September) begangen, während es seit dem 18. Jahrhundert „traditionell am Sonntag nach Michaelis oder am ersten Sonntag im Oktober begangen“ wurde.<ref>Karl-Heinrich Beiritz: ''Der Gottesdienst im Kirchenjahr''. In: [[Evangelisches Gottesdienstbuch]], Ergänzungsband, S. 182.</ref> Seit die beiden Zusammenschlüsse [[Vereinigte Evangelisch-Lutherische Kirche Deutschlands|VELKD]] und [[Union Evangelischer Kirchen|UEK]] in der EKD 2006 ein ''Liturgisches Kalendarium'' beschlossen, wird in allen Westkirchen das Erntedankfest in der Regel am ersten Sonntag im Oktober begangen.
:<math>T' = T_0 \cdot \sqrt{1-v^2/c^2}</math>.


== Zu vielen weiteren Themen siehe auch ==
:<math>T_0 = T' / \sqrt{1-v^2/c^2}</math>.
* {{WikipediaDE|Kirchenjahr}}


== Siehe auch ==
Es gilt die [[Äquivalenzumformung]].
* {{WikipediaDE|Kategorie:Kirchenjahr}}
* {{WikipediaDE|Kirchenjahr}}
* {{WikipediaDE|Feiertage der Ostkirchen}}
* {{WikipediaDE|Liste der Kalendersysteme}}


== Literatur ==
; In alter Schreibweise:
* Eckhard Bieger: ''Das Kirchenjahr entdecken & erleben. Entstehung, Bedeutung und Brauchtum der Festtage.'' St. Benno-Verlag, Leipzig o. J. (2006), ISBN 3-7462-2125-0.
* Karl-Heinrich Bieritz: ''Das Kirchenjahr. Feste, Gedenk- und Feiertage in Geschichte und Gegenwart.'' Beck, München 1998, ISBN 3-406-43947-0.
* Heinzgerd Brakmann: ''Jahr (kultisches) B. Christlich.'' In: ''Reallexikon für Antike und Christentum.'' Band 16. (1994), S. 1106–1118.
* Mathias Christiansen (Hrsg.): ''Almanach der frohen Botschaft. Ein Begleiter durch das Kirchenjahr.'' Verlagshaus Monsenstein und Vannerdat, Münster 2006, ISBN 3-86582-219-3.
* ''Evangelisches Gottesdienstbuch.'' Taschenausgabe. Evangelische Haupt-Bibelgesellschaft, Berlin 2005, ISBN 3-7461-0141-7.
* {{TRE|18|575|599|Kirchenjahr|Klaus-Peter Jörns, Karl Heinrich Bieritz}}
* Dietz-Rüdiger Moser: ''Bräuche und Feste im christlichen Jahreslauf. Brauchformen der Gegenwart in kulturgeschichtlichen Zusammenhängen.'' Edition Kaleidoskop im Verlag Styria, Graz 1993, ISBN 3-222-12069-2.
* Martin Senftleben: ''Mit dem Kirchenjahr leben. Eine Handreichung für unsere Gottesdienste. Einführungen – Themen – Texte – Lieder.'' Sonnenweg-Verlag, Konstanz 1986, ISBN 3-7975-0342-3.
* Albert Ehrhard: ''Das griechische Kirchenjahr und der byzantinische Festkalender''. In: ders.: ''Überlieferung und Bestand der hagiographischen Literatur der griechischen Kirche'', Bd. 1. Hinrichs, Leipzig 1937, {{DNB|365573612}}, S. 25–53.
* Harald Buchinger: ''Zu Ursprung und Entwicklung des Liturgischen Jahres. Tendenzen, Ergebnisse und Desiderate heortologischer Forschung''. In: Liturgisches Jahrbuch 61 (2011), S. 207–240.
* Liborius Olaf Lumma: ''Feiern im Rhythmus des Jahres. Eine kurze Einführung in christliche Zeitrechnung und Feste.'' Pustet-Verlag, Regensburg, 2016, ISBN 978-3-7917-2771-4.
* [[Joachim Stiller]]: [http://joachimstiller.de/download/philosophie_religion_jahreskreis.pdf Der Jahreskries des Kirchenjahres] PDF


== Weblinks ==
Eine etwas andere, lange Zeit gebräuchliche Schriebweise ist dies:
{{Commonscat|Liturgical year|Kirchenjahr}}
 
{{Wiktionary}}
:<math> \Delta{t'} = \Delta{t} \cdot \sqrt {1 - v^2 /c^2}</math>.
 
:<math> \Delta{t} = \Delta{t'} / \sqrt{1 - v^2 /c^2}</math>.
 
Es gilt wieder die [[Äquivalenzumformung]].
 
== Herleitung der Längenkontraktion aus der Lorentz-Transformation ==
 
x1 und x2 seien die Koordinaten eines in dem sich entfernden Inertialsystems <math>S'</math> ruhenden Stabes:
 
:<math>l = x_2 - x_1</math> (Eignelänge).
 
Ein Beobachter im ruenden Bezugssystem <math>S</math>: Länge des mit vo sich bewegenden Stabes
 
:<math>l' = x'_2 - x'_1</math>,
 
wenn von <math>S</math> aus beurteilt die Endpunktkoordinaten <math>x'_1</math>x und <math>x'2</math> "gleichzeitig" (<math>t_1 = t_2</math>) abgelesen werden.
 
Es gilt:
 
:<math> l = x_2 - x_1 </math> = <math> \frac {x'_2 - x'_1}{\sqrt{1- v^2 / c^2 }}</math> + <math> \frac {v \left( t'_2 - t'_1 \right)}{\sqrt{1- v^2 / c^2 }</math> = <math> \frac {x'_2 - x'_1}{\sqrt{1- v^2 / c^2 }}</math>,
 
also:
 
:<math>l' = l \cdot \sqrt{1 - v^2 / c^2}</math>.
 
== Längenkontraktion ==
{{Hauptartikel|Längenkontraktion}}
Die Längenkontraktion wirkt sich ausschließlich in Richtung der radialen Relativbewegung zum Beobachter aus.
Für die Längenkontraktion (Eigenlänge) eines bewegten Körpers ergibt sich:
 
:<math>L' = L_0 \cdot \sqrt{1 - v^2 / c^2}</math>.
 
:<math>L_0 = L' / \sqrt{1 - v^2 / c^2}</math>.
 
Es gilt wieder die [[Äquivalenzumformung]].
 
; In alter Schreibweise:
 
Eine etwas andere, lange Zeit gebräuchliche Schriebweise ist dies:
 
:<math>l' = l \cdot \sqrt{1 - v^2 / c^2}</math>.
 
:<math>l = l' / \sqrt{1 - v^2 / c^2} </math>.
 
Es gilt wieder die [[Äquivalenzumformung]].
 
== Rot-/Blauverschiebung ==
 
Die Frequenzänderung setzt sich aus Zeitdilatation und Dopplerfaktor zusammen. Der Effekt des Dopplerfaktors überwiegt dabei.
 
:<math>k = f / f' = k_\gamma \cdot k_{dop} </math>
:mit ''f'' beobachtete Frequenz und ''f''' Originalfrequenz
 
Die Zeitdilatation bewirkt immer eine leichte Rotverschiebung und ist von der Richtung der Bewegung unabhängig.
 
:<math>k_\gamma := 1 / \gamma = \sqrt{1-\beta^2} </math>
 
Der Dopplereffekt ist allein von der radialen Relativbewegung abhängig und richtungsabhängig (vorzeichenbehaftet):
 
:<math> k_{dop} := 1/(1+\beta_{rad})</math>
 
Bei Annäherung zum Beobachter (''v < 0'') ergibt der Dopplereffekt eine Blauverschiebung:
 
:<math> k_{blue} = 1/(1-|\beta_{rad}|) = 1/(1-|v_{rad}|/c) </math> insgeamt also <math> k = \frac {\sqrt{1-\beta^2}} {1-|\beta_{rad}|} </math>
 
Bei Entfernung vom Beobachter (''v > 0'') ergibt der Dopplereffekt eine Rotverschiebung:
 
:<math> k_{red} = 1/(1+\beta_{rad}) = 1 / (1+v_{rad}/c) </math> insgeamt also <math> k = \frac {\sqrt{1-\beta^2}} {1+\beta_{rad}} </math>
 
Der z-Faktor ergibt sich aus
 
:<math>z := k-1</math>
 
== Kinematik ==
=== Geschwindigkeit ===
'''Definition.''' Vierergeschwindigkeit:
:<math>u^\mu := \frac{\mathrm dx^\mu}{\mathrm d\tau} = \gamma \frac{\mathrm dx^\mu}{\mathrm dt}.</math>
Es gilt:
:<math>(u^\mu) = \gamma\cdot\begin{pmatrix} c\\ \vec v\end{pmatrix}.</math>
Die Minkowski-Norm der Vierergeschwindigkeit ist konstant:
:<math>c^2 = \|(u^\mu)\|^2 = \sum_{\mu} u^\mu u_\mu.</math>
 
=== Beschleunigung ===
'''Definition.''' Viererbeschleunigung:
:<math>a^\mu := \frac{\mathrm du^\mu}{\mathrm d\tau} = \gamma \frac{\mathrm du^\mu}{\mathrm dt}.</math>
Ableitung des Lorentzfaktors:
:<math>\frac{\mathrm d\gamma}{\mathrm dt} = \frac{\gamma^3}{c^2}\langle \vec v,\vec a\rangle.</math>
Es gilt:
 
:<math>(a^\mu) = \frac{\gamma^4}{c^2}\langle\vec v,\vec a\rangle\begin{pmatrix}c\\ \vec v\end{pmatrix} + \gamma^2\begin{pmatrix}0\\ \vec a\end{pmatrix}.</math>
 
=== Klassische Addition der Geschwindigkeiten ===
 
Für die klassische Addition zweier Relativgeschwindigkeiten ergibt sich:
 
:<math> v_{ges} = v_1 + v_2 </math>
 
=== Relativistische Addition der Geschwindigkeiten ===
 
Für die relativistische Addition zweier Relativgeschwindigkeiten ergibt sich:
 
:<math> v_{ges} = \dfrac { v_1 + v_2}{1 + \dfrac {v_1 \cdot v_2}{c^2 }} = c \cdot \tanh (\theta_1 + \theta_2 \dots ) = c \cdot \tanh (\operatorname{artanh} (v_1/c) + \operatorname{artanh} (v_2/c) \dots )</math>
 
== Dynamik ==
=== Impuls ===
 
Für den relativistischen Impuls ergibt sich:
 
:<math>\vec p = \gamma m_0 \vec v.</math>
 
'''Definition.''' Viererimpuls:
 
:<math>p^\mu := m_0u^\mu.</math>
 
Es gilt:
 
:<math>(p^\mu) = \begin{pmatrix} E/c\\ \vec p\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \gamma m_0 c\\ \gamma m_0 \vec v\end{pmatrix} </math>
 
und:
 
:<math>\|(p^\mu)\|^2 = m_0^2 c^2.</math>
 
'''Energie-Impuls-Beziehung:'''
 
:<math>(E/c)^2 - |\vec p|^2 = m_0^2 c^2.</math>
 
Formulierung als „relativistischer Pythagoras“:
 
:<math>E^2 = (m_0 c^2)^2 + (c|\vec p|)^2.</math>
 
=== Kraft ===
'''Definition.''' Viererkraft:
 
:<math>K^\mu := \frac{\mathrm dp^\mu}{\mathrm d\tau} = \gamma\frac{\mathrm dp^\mu}{\mathrm dt}.</math>
 
Es gilt:
 
:<math>K^\mu = m_0a^\mu.</math>
 
Mit
 
:<math>\vec F:=\frac{\mathrm d\vec p}{\mathrm dt} = \gamma^3 m_0\frac{\vec v}{c^2}\langle\vec v,\vec a\rangle + \gamma m_0\vec a</math>
 
gilt:
 
:<math>(K^\mu) = \begin{pmatrix} K^0\\ \gamma \vec F \end{pmatrix}.</math>
 
=== Relativistische Masse ===
 
Relativistische Masse (veralteter Begriff und sollte grundsätzlich nicht verwendet werden):
:<math>M(v) = \gamma(v)\cdot m_0.</math>
::<math>\gamma(v)\colon</math> Lorentzfaktor in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit,
::<math>m_0\colon</math> Ruhemasse.
 
=== Energie ===
 
Einsteins Energieformel:
 
:<math>E = M(v)\cdot c^2 = \gamma(v)\cdot m_0\cdot c^2.</math>
 
::<math>E\colon</math> Gesamtenergie (Ruheenergie+kinetische Energie),
 
::<math>M(v)\colon</math> relativistische Masse in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit,
 
::<math>m_0\colon</math> Ruhemasse.
 
Ruheenergie:
 
:<math>E_0 := m_0c^2.</math>
 
Kinetische Energie:
 
:<math>E_\mathrm{kin} = E-E_0 = \gamma m_0c^2-m_0c^2 = (\gamma-1) m_0c^2.</math>
 
== Vierer-Formalismus ==
 
In der Literatur gibt es zwei unterschiedliche Konventionen bei der Signatur (- + + +) und (+ - - -). Beide Konventionen sind gleichwertig. Hier wird die zweite Variante dargestellt:
 
{| class="wikitable"
! colspan="3" | Vierervektor
|-
| colspan="3" |
 
:<math>x=\sum_{\mu=0}^3 x^{\mu}e_\mu = \sum_{\mu=0}^3 x_{\mu}e^{\mu}</math>
 
|-
|
 
<math>\eta_{\mu\nu} = \langle e_{\mu},e_{\nu}\rangle</math>
 
|
 
<math>\eta^{\mu\nu} = \langle e^{\mu},e^{\nu}\rangle</math>
 
|
 
<math>\langle e^{\mu},e_{\nu}\rangle = \delta_{\mu\nu}</math>
 
|-
|
 
<math>x_{\mu} = \sum_{\mu,\nu}\eta_{\mu\nu} x^{\nu}</math>
 
|
 
<math>x^{\mu} = \sum_{\mu,\nu}\eta^{\mu\nu} x_{\nu}</math>
 
|
|}
 
{| class="wikitable"
! Kontravariante Koordinaten
! Kovariante Koordinaten
|-
|
 
:<math>(x^\mu):=\begin{pmatrix}ct\\ x\\ y\\ z\end{pmatrix}</math>
|
 
:<math>(x_\mu):=(ct, -x, -y, -z)</math>
 
|}
 
Darstellungsmatrix des (pseudo)-metrischen (Minkowski)-Tensors:
 
:<math>\eta = (\eta_{\mu\nu}) =\begin{pmatrix} 1 &  0 &  0 &  0\\ 0 & -1 &  0 &  0\\ 0 &  0 & -1 &  0\\ 0 &  0 &  0 & -1 \end{pmatrix}.</math>
 
Es gilt <math>\eta^{-1}=\eta</math> bzw. <math>\eta^{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}</math>.
 
Minkowski-Skalarprodukt:
 
:<math>\begin{align} &\langle x,y\rangle := \eta(x,y) = x^T\eta\,y = \sum_{\mu,\nu}\eta_{\mu\nu} x^\mu y^\nu\\ &= \sum_{\mu} \eta_{\mu\mu}x^{\mu}y^{\mu} = x^0 y^0 - x^1 y^1 - x^2 y^2 - x^3 y^3\\ &= \sum_{\mu} x^{\mu}y_{\mu} = x^0 y_0 + x^1 y_1 + x^2 y_2 + x^3 y_3\\ &= \sum_{\mu} x_{\mu}y^{\mu} = x_0 y^0 + x_1 y^1 + x_2 y^2 + x_3 y^3. \end{align}</math>
 
In der Einsteinkonvention wird das Summenzeichen nicht geschrieben und immer über gleiche Indexvariablen summiert.
 
Das Minkowski-Skalarprodukt ist nicht positiv definit und daher kein echtes Skalarprodukt.
 
Quadratische Form:
 
:<math>q(x) := \langle x,x\rangle = (ct)^2-x^2-y^2-z^2.</math>
 
Ein Viererort <math>x</math> (auch Ereignis genannt) heißt
 
* zeitartig, wenn <math>q(x)>0</math>
 
* raumartig, wenn <math>q(x)<0</math>
 
* lichtartig, wenn <math>q(x)=0</math>
 
Minkowski-Norm:
 
:<math>\|x\| := \sqrt{|q(x)|} = \sqrt{|(ct)^2-x^2-y^2-z^2|}</math>
 
Die Minkowski-Norm ist keine echte Norm im Sinne eines normierten Raumes.
 
Minkowski-Metrik:
 
:<math>d(x_1,x_2) := \|x_1-x_2\| = \sqrt{|q(x_1-x_2)|}</math>
 
mit <math>q(x_1-x_2)=(ct_1-ct_2)^2-(x_1-x_2)^2-(y_1-y_2)^2-(z_1-z_2)^2</math>.
 
Die Minkowski-Metrik ist keine echte Metrik im Sinne eines metrischen Raumes.
 
Linienelement:
:<math>c^2\mathrm d\tau^2 = \mathrm ds^2 = c^2\mathrm dt^2-\mathrm dx^2-\mathrm dy^2-\mathrm dz^2</math>
Man kann die beiden Signaturen auch gezielt zur unterschiedlichen Darstellung raumartiger und zeitartiger Abstände verwenden:
 
:<math>\mathrm ds^2 = -c^2\mathrm dt^2 +\mathrm dx^2 +\mathrm dy^2 +\mathrm dz^2</math>
:<math>\mathrm d\tau^2 = \mathrm dt^2-\mathrm dx^2/c^2-\mathrm dy^2/c^2-\mathrm dz^2/c^2</math>
 
== Isometriegruppen ==
'''Definition.''' Eine Raumzeit-Isometrie ist eine Funktion <math>f</math>, die einem
Ereignis <math>x=(ct,x,y,z)^T</math> der Raumzeit ein anderes Ereignis <math>f(x)=(ct',x',y',z')^T</math>
zuordnet, so dass gilt:
:<math>\forall x,y\in\R^4\colon\, q(f(x)-f(y)) = q(x-y),</math>
wobei <math>q(x):=(ct)^2-x^2-y^2-z^2</math> die quadratische Form ist.
 
=== Gruppe der Translationen ===
Gruppe der Translationen:
:<math>T:=\{T\mid T(x)=x+a,\, T\colon\mathbb R^4\to\mathbb R^4,\, a\in\mathbb R^4\}.</math>
 
=== Gruppe der Rotationen ===
Rotationsmatrizen:
 
:<math>R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & r_{11} & r_{12} & r_{13}\\ 0 & r_{21} & r_{22} & r_{23}\\ 0 & r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{pmatrix},\quad (r_{ij})\in\mathrm{SO}(3).</math>
 
Die Gruppe aller Rotationsmatrizen <math>R</math> ist trivial isomorph zur <math>\mathrm{SO}(3)</math> und wird zur Unterscheidung als <math>\mathrm{SO}(3)(4\times 4)</math> notiert.
 
Die <math>\mathrm{SO}(3)(4\times 4)</math> ist eine Untergruppe der Lorentz-Gruppe.
 
=== Lorentz-Gruppe ===
 
Lorentz-Gruppe:
 
:<math> O(1,3) : = \ {\Lambda\in\mathbb R^{4 \times 4} \mid \forall x,y\in\mathbb R^4\colon \langle\Lambda x,\Lambda y \rangle = \langle x,y\rangle\}. </math>
 
Die Lorentz-Gruppe ist die Gruppe aller Lorentz-Transformationen.
 
Die Lorentz-Transformationen sind Isometrien:
:<math>\forall \Lambda\in O(1,3)\colon\;q(\Lambda x-\Lambda y)=q(x-y)</math>.
 
Aus der Definition folgt <math>q(x')=q(x)</math> mit <math>x':=\Lambda x</math>. Ausgeschrieben:
:<math>c^2 \cdot t'^2 - x'^2 - y'^2 - z'^2 =  c^2 \cdot t^2 - x^2 - y^2 - z^2</math>
bzw.
:<math>x'^2 + y'^2 + z'^2 - c^2 \cdot t'^2 = x^2 + y^2 + z^2 - c^2 \cdot t^2</math>
bzw. (unter Verwendung der imaginären Einheit)
:<math>x'^2 + y'^2 + z'^2 + \mathrm i^2 \cdot c^2 \cdot t'^2 = x^2 + y^2 + z^2 + \mathrm i^2 \cdot c^2 \cdot t^2.</math>
 
=== Poincaré-Gruppe ===
Affine Abbildungen:
 
:<math> T(x) = \Lambda x+a,\ ; T\colon \mathbb R^4\to\mathbb R^4,\;a\in\mathbb R^4,\; \Lambda\in\mathbb R^{4\times 4}. </math>
 
Poincaré-Gruppe:
 
:<math> E(1,3):=\{T\mid T\;\text{ist affin und}\; \forall x,y\in\mathbb R^4\colon\; q(T(x)-T(y))=q(x-y)\}.</math>
 
Die Lorentz-Gruppe ist eine Untergruppe der Poincaré-Gruppe, genauer: der Stabilisator bei <math>x=0</math>.
Das sind alle Poincaré-Transformationen mit <math>a=0</math>. Die Gruppe der Translationen ist eine Untergruppe der Poincaré-Gruppe und besteht aus allen Poincaré-Transformationen mit <math>\Lambda=0</math>.
 
= ART (Allgemeine Relativitätstheorie) =
 
Die folgenden Formeln gelten gegenüber dem Beobachter im Unendlichen, ohne eigene gravitative Raumkrümmung. Während die relativistischen Wirkungen bei der SRT relativ sind, also für jeden Beobachter aus seiner Sicht zu berechnen sind, sind sich die Beobachter über die relativen Wirkungen der ART einig.
 
Dem Lorentzfaktor der SRT vergleichbar erscheint in der ART der Faktor:
 
:<math>\gamma_G = \frac {1} {\sqrt {1 - \dfrac {2 \cdot G \cdot M} {r \cdot c^2} }} = \frac {1} {\sqrt {1 - \dfrac {r_S} {r} } }  = \frac {1} {\sqrt {1 - \dfrac {v_f^2} {c^2} } }  = \frac {1} {\sqrt {1 - \dfrac {2 \cdot v_o^2} {c^2} } }
</math>
 
:*<math>M = \text{Zentralmasse} </math> mit SI-Einheit '''kg'''
:*<math> c = \text {Lichtgeschwindigkeit im flachen Vakuum}</math> mit SI-Einheit <math>2,99792458 \cdot 10^{8}</math> '''m/s'''
:*<math>G = \text{Gravitationskonstante} </math> mit SI-Einheit <math>6,67408 \cdot 10^{-11}</math> '''m³/s²kg'''
:*<math>r = \text{Abstand vom Gravizentrum} </math> mit SI-Einheit '''m'''
:*<math>r_S = 2 \cdot G \cdot M/c^2 = \text{Schwarzschildradius} </math> mit SI-Einheit '''m'''
:*<math>v_f = c\sqrt{r_S/r} = \text{Fluchtgeschwindigkeit (klassisch)} </math> mit SI-Einheit '''m/s'''
:*<math>v_o = c\sqrt{r_S/2r} = \text{Orbitalgeschwindigkeit (klassisch)} </math> mit SI-Einheit '''m/s'''
 
== Gravitations-Zeitdilatation (Näherung) ==
 
Für die Gravitations-Zeitdilatation ergibt sich folgende Näherung:
 
:<math> \Delta \tau_o =  {\Delta t_\infty} \cdot {\sqrt {1 - \dfrac {2 \cdot G \cdot M} {r \cdot c^2} }} = {\Delta t_\infty} \cdot {\sqrt {1 - \dfrac {r_S} {r} }}</math>
 
:<math> \Delta t_\infty = \frac {\Delta \tau_0} {\sqrt {1 - \dfrac {2 \cdot G \cdot M} {r \cdot c^2} }} = \frac {\Delta \tau_0} {\sqrt {1 - \dfrac {r_S} {r} }}</math>
:*<math> t_\infty = \text{Koordinatenzeit} </math>
:*<math> \tau_o = \text{Ortszeit beim Radius} \, r</math>
 
== Gravitations-Längenkontraktion (Näherung)==
 
Die Längenkontraktion wirkt sich ausschließlich in radialer Richtung zum Gravitationsfeld aus.
Für die Gravitations-Längenkontaktion ergibt sich folgende Näherung:
 
:<math> L_0 =  {L_\infty} \cdot {\sqrt {1 - \dfrac {2 \cdot G \cdot M} {r \cdot c^2} }} =  {L_\infty} \cdot {\sqrt {1 - \dfrac {r_S} {r} }}</math>
 
:<math> L_\infty = \frac {L_0} {\sqrt {1 - \dfrac {2 \cdot G \cdot M} {r \cdot c^2} }} = \frac {L_0} {\sqrt {1 - \dfrac {r_S} {r} }}</math>
 
:*<math> t_\infty = \text{Koordinatenzeit} </math>
:*<math> \tau_o = \text{Ortszeit beim Radius} \, r</math>
 
== Gravitations-Blauverschiebung (Näherung)==
 
Für die Gravitations-Blauverschiebung (einfallende Wellen) ergibt sich folgende Näherung für die Verkleinerung der Wellenlänge:
 
:<math> \lambda' = \lambda_\infty \cdot \sqrt {1 - \dfrac {2 \cdot G \cdot M} {r \cdot c^2} } = \lambda_\infty \cdot \sqrt {1 - \dfrac {r_S} {r} }</math>
 
und Frequenz:
 
:<math> f' = f_\infty \cdot \frac {1} {\sqrt {1 - \dfrac {2 \cdot G \cdot M} {r \cdot c^2} } } = f_\infty \cdot \frac {1} {\sqrt {1 - \dfrac {r_S} {r} } }</math>
 
== Gravitations-Rotverschiebung (Näherung)==
 
Für die Gravitations-Rotverschiebung (abgestrahlte Wellen) ergibt sich folgende Näherung für die Vergrößerung der Wellenlänge:
 
:<math> \lambda_\infty = \lambda_0 \cdot \dfrac {1} {\sqrt {1 - \dfrac {2 \cdot G \cdot M} {r \cdot c^2} } } = \lambda_0 \cdot \dfrac {1}{\sqrt {1 - \dfrac {r_S} {r} } }</math>
 
und für die Frequenz:
 
:<math>f_\infty = f_0 \cdot {\sqrt {1 - \dfrac {2 \cdot G \cdot M} {r \cdot c^2} } } = f_0 \cdot {\sqrt {1 - \dfrac {r_S} {r} } }</math>
 
== Gravitationslinsen und Lichtablenkung im Schwerefeld ==
 
Der Ablenkwinkel (Einsteinwinkel) des Lichtes im Schwerefeld berechnet sich:
 
:<math> \alpha \approx \frac {4 \cdot G \cdot M}{r \cdot c^2} = 2 \cdot \frac {r_S}{r} </math>
 
== Schwarzschildradius ==
 
Für den Schwarzschildradius (Ereignishorizont von nicht rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Schwarzschild) ergibt sich:
 
:<math> r_S = \frac { 2 \cdot G \cdot M}{c^2} </math>
 
== Gravitationsradius ==
 
Für den Gravitationsradius (Ereignishorizont von maximal rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Kerr) ergibt sich:
 
:<math> r_G = \frac {r_S}{2} = \frac {G \cdot M}{c^2} </math>
 
== Gravitationsgesetz der Allgemeinen Relativitätstheorie ==
 
Das Gravitationsgesetz der Allgemeinen Relativitätstheorie lautet:
 
:<math> G_{\mu \nu} = \kappa \cdot T_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - g_{\mu \nu} \cdot \frac {R}{2} </math>
 
mit:
 
:*<math> G_{\mu \nu} = \text {Einsteinscher Tensor} </math> mit SI-Einheit '''1/m²'''
:*<math> T_{\mu \nu} = \text {Energie-Impuls-Tensor} </math> mit SI-Einheit '''J/m³'''
:*<math> R_{\mu \nu} = \text {Ricci-Tensor} </math> mit SI-Einheit '''1/m²'''
:*<math> g_{\mu \nu} = \text {(allgemeiner) metrischer Tensor} </math> mit SI-Einheit '''1'''
:*<math> R = g^{\mu \nu} R_{\mu \nu} = \text {Ricci-Skalar} </math> mit SI-Einheit '''1/m²'''
:*<math> \mu , \nu = \text {Indizes (0, 1, 2, 3)}</math>
:*<math>\kappa := \frac{8 \pi G}{c^4} = \text {Einsteinkonstante} </math> mit SI-Einheit <math>2,07650 \cdot 10^{-43}</math> '''1/N'''
:*<math> G = \text {Gravitationskonstante} </math> mit SI-Einheit <math>6,67408 \cdot 10^{-11}</math> '''m³/s²kg'''
:*<math> c = \text {Lichtgeschwindigkeit im flachen Vakuum}</math> mit SI-Einheit <math>2,99792458 \cdot 10^{8}</math> '''m/s'''
:*<math> \pi = \text {Kreiszahl}</math>
 
Es ergibt sich:
 
:<math> G_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} \cdot T_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - g_{\mu \nu} \cdot \frac {R}{2} </math>


* [http://www.amen-online.de/kalender.html Ökumenischer Kalender] mit evangelischen, katholischen und orthodoxen Feiertagen
= Anhang =
* [http://www.kath.de/Kirchenjahr katholischer Festkreis mit Informationen, ausführlich]
* [https://www.kirchenjahr-evangelisch.de/kirchenjahr.php Festkreis der Vereinigten Evangelisch-Lutherischen Kirche in Deutschland]
* [http://www.daskirchenjahr.de/ Umfangreiche Infos zu allen Sonn- und Festtagen; evangelisch]
* [http://www.festjahr.de/ Umfangreiche Infos zu allen Sonn- und Festtagen; katholisch]
* [https://www.theology.de/kirche/kirchenjahr/index.php Umfangreiche Infos zu allen Sonn- und Festtagen; überkonfessionell]
* [http://www.eucharistiefeier.de/lk/ Unendlicher liturgischer Kalender, katholisch] Abrufung des lit. Kalenders in verschiedenen Formaten
* [http://erzabtei-beuron.de/schott/index.php Schott-Messbuch, katholisch] Gebets- und Lesungstexte
* [http://www.inforel.ch/i10e12 Christentum: Kalender] auf der Seite von [http://www.inforel.ch INFOREL, Information Religion]
* [https://www.die-bibel.de/konkordanz/zentrale-texte/kirchliche-feste/ Bibeltexte zu den Festen im Kirchenjahr]
* [http://www.kirchenjahr.net/ Mitmachausstellung zum Kirchenjahr] für Kinder
* [https://kirchliche-feiertage-als-kultureller-reichtum.de/ Auf dem Weg durch das Kirchenjahr] (mit einer Grafik, die das Kirchenjahr linear darstellt: [https://www.kirchliche-feiertage-als-kultureller-reichtum.de/sites/default/files/Kirchenjahr_A5_01_0.pdf Stationen im Kirchenjahr])
* [https://www.kirche-im-wdr.de/nix/de/nc/startseite/makepdf/programuid/guten-rutsch-1/ "Guten Rutsch"]


== Einzelnachweise ==
== Weblinks ==
<references />


{{Normdaten|TYP=s|GND=4030726-8}}
* [http://www.formel-sammlung.de/formel-Grundlagen-3-34-196.html Formelsammlung Relativitätstheorie auf Formel-Sammlung.de]


[[Kategorie:Jahreskreis und Jahresfeste]]
== Quelle ==
[[Kategorie:Liturgie]]
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[[Kategorie:Relativitätstheorie|*]]

Version vom 27. Dezember 2020, 22:18 Uhr

SRT (Spezielle Relativitätstheorie)

Gebräuchliche Abkürzungen

Geschwindigkeit v relativ zur Lichtgeschwindigkeit c:

Lorentzfaktor
Lorentzfaktor oder Zeitdehnungsfaktor
Lorentzfaktor
.

Galilei-Transformation

Die Galileitransformation unterstellt eine unbegrenzte Lichtgeschwindigkeit und ist daher nur für Relativgeschwindigkeiten |v| < 0,1 c eine gute Näherung. Da v' = -v:

Galilei-Tranformation in -Richtung Inverse Galilei-Transformation

Lorentz-Transformation

Lorentz-Transformation in -Richtung Inverse Lorentz-Transformation

Zeitdilatation

Für die Zeitdilatation eines bewegten Körpers ergibt sich:

.
.

Es gilt die Äquivalenzumformung.

In alter Schreibweise

Eine etwas andere, lange Zeit gebräuchliche Schriebweise ist dies:

.
.

Es gilt wieder die Äquivalenzumformung.

Herleitung der Längenkontraktion aus der Lorentz-Transformation

x1 und x2 seien die Koordinaten eines in dem sich entfernden Inertialsystems ruhenden Stabes:

(Eignelänge).

Ein Beobachter im ruenden Bezugssystem : Länge des mit vo sich bewegenden Stabes

,

wenn von aus beurteilt die Endpunktkoordinaten x und "gleichzeitig" () abgelesen werden.

Es gilt:

= + Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \frac {v \left( t'_2 - t'_1 \right)}{\sqrt{1- v^2 / c^2 }} = ,

also:

.

Längenkontraktion

Hauptartikel: Längenkontraktion

Die Längenkontraktion wirkt sich ausschließlich in Richtung der radialen Relativbewegung zum Beobachter aus. Für die Längenkontraktion (Eigenlänge) eines bewegten Körpers ergibt sich:

.
.

Es gilt wieder die Äquivalenzumformung.

In alter Schreibweise

Eine etwas andere, lange Zeit gebräuchliche Schriebweise ist dies:

.
.

Es gilt wieder die Äquivalenzumformung.

Rot-/Blauverschiebung

Die Frequenzänderung setzt sich aus Zeitdilatation und Dopplerfaktor zusammen. Der Effekt des Dopplerfaktors überwiegt dabei.

mit f beobachtete Frequenz und f' Originalfrequenz

Die Zeitdilatation bewirkt immer eine leichte Rotverschiebung und ist von der Richtung der Bewegung unabhängig.

Der Dopplereffekt ist allein von der radialen Relativbewegung abhängig und richtungsabhängig (vorzeichenbehaftet):

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_{dop} := 1/(1+\beta_{rad})}

Bei Annäherung zum Beobachter (v < 0) ergibt der Dopplereffekt eine Blauverschiebung:

insgeamt also

Bei Entfernung vom Beobachter (v > 0) ergibt der Dopplereffekt eine Rotverschiebung:

insgeamt also

Der z-Faktor ergibt sich aus

Kinematik

Geschwindigkeit

Definition. Vierergeschwindigkeit:

Es gilt:

Die Minkowski-Norm der Vierergeschwindigkeit ist konstant:

Beschleunigung

Definition. Viererbeschleunigung:

Ableitung des Lorentzfaktors:

Es gilt:

Klassische Addition der Geschwindigkeiten

Für die klassische Addition zweier Relativgeschwindigkeiten ergibt sich:

Relativistische Addition der Geschwindigkeiten

Für die relativistische Addition zweier Relativgeschwindigkeiten ergibt sich:

Dynamik

Impuls

Für den relativistischen Impuls ergibt sich:

Definition. Viererimpuls:

Es gilt:

und:

Energie-Impuls-Beziehung:

Formulierung als „relativistischer Pythagoras“:

Kraft

Definition. Viererkraft:

Es gilt:

Mit

gilt:

Relativistische Masse

Relativistische Masse (veralteter Begriff und sollte grundsätzlich nicht verwendet werden):

Lorentzfaktor in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit,
Ruhemasse.

Energie

Einsteins Energieformel:

Gesamtenergie (Ruheenergie+kinetische Energie),
relativistische Masse in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit,
Ruhemasse.

Ruheenergie:

Kinetische Energie:

Vierer-Formalismus

In der Literatur gibt es zwei unterschiedliche Konventionen bei der Signatur (- + + +) und (+ - - -). Beide Konventionen sind gleichwertig. Hier wird die zweite Variante dargestellt:

Vierervektor

Kontravariante Koordinaten Kovariante Koordinaten

Darstellungsmatrix des (pseudo)-metrischen (Minkowski)-Tensors:

Es gilt bzw. .

Minkowski-Skalarprodukt:

In der Einsteinkonvention wird das Summenzeichen nicht geschrieben und immer über gleiche Indexvariablen summiert.

Das Minkowski-Skalarprodukt ist nicht positiv definit und daher kein echtes Skalarprodukt.

Quadratische Form:

Ein Viererort (auch Ereignis genannt) heißt

  • zeitartig, wenn
  • raumartig, wenn
  • lichtartig, wenn

Minkowski-Norm:

Die Minkowski-Norm ist keine echte Norm im Sinne eines normierten Raumes.

Minkowski-Metrik:

mit .

Die Minkowski-Metrik ist keine echte Metrik im Sinne eines metrischen Raumes.

Linienelement:

Man kann die beiden Signaturen auch gezielt zur unterschiedlichen Darstellung raumartiger und zeitartiger Abstände verwenden:

Isometriegruppen

Definition. Eine Raumzeit-Isometrie ist eine Funktion , die einem Ereignis der Raumzeit ein anderes Ereignis zuordnet, so dass gilt:

wobei die quadratische Form ist.

Gruppe der Translationen

Gruppe der Translationen:

Gruppe der Rotationen

Rotationsmatrizen:

Die Gruppe aller Rotationsmatrizen ist trivial isomorph zur und wird zur Unterscheidung als notiert.

Die ist eine Untergruppe der Lorentz-Gruppe.

Lorentz-Gruppe

Lorentz-Gruppe:

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle O(1,3) : = \ {\Lambda\in\mathbb R^{4 \times 4} \mid \forall x,y\in\mathbb R^4\colon \langle\Lambda x,\Lambda y \rangle = \langle x,y\rangle\}. }

Die Lorentz-Gruppe ist die Gruppe aller Lorentz-Transformationen.

Die Lorentz-Transformationen sind Isometrien:

.

Aus der Definition folgt mit . Ausgeschrieben:

bzw.

bzw. (unter Verwendung der imaginären Einheit)

Poincaré-Gruppe

Affine Abbildungen:

Poincaré-Gruppe:

Die Lorentz-Gruppe ist eine Untergruppe der Poincaré-Gruppe, genauer: der Stabilisator bei . Das sind alle Poincaré-Transformationen mit . Die Gruppe der Translationen ist eine Untergruppe der Poincaré-Gruppe und besteht aus allen Poincaré-Transformationen mit .

ART (Allgemeine Relativitätstheorie)

Die folgenden Formeln gelten gegenüber dem Beobachter im Unendlichen, ohne eigene gravitative Raumkrümmung. Während die relativistischen Wirkungen bei der SRT relativ sind, also für jeden Beobachter aus seiner Sicht zu berechnen sind, sind sich die Beobachter über die relativen Wirkungen der ART einig.

Dem Lorentzfaktor der SRT vergleichbar erscheint in der ART der Faktor:

  • mit SI-Einheit kg
  • mit SI-Einheit m/s
  • mit SI-Einheit m³/s²kg
  • mit SI-Einheit m
  • mit SI-Einheit m
  • mit SI-Einheit m/s
  • mit SI-Einheit m/s

Gravitations-Zeitdilatation (Näherung)

Für die Gravitations-Zeitdilatation ergibt sich folgende Näherung:

Gravitations-Längenkontraktion (Näherung)

Die Längenkontraktion wirkt sich ausschließlich in radialer Richtung zum Gravitationsfeld aus. Für die Gravitations-Längenkontaktion ergibt sich folgende Näherung:

Gravitations-Blauverschiebung (Näherung)

Für die Gravitations-Blauverschiebung (einfallende Wellen) ergibt sich folgende Näherung für die Verkleinerung der Wellenlänge:

und Frequenz:

Gravitations-Rotverschiebung (Näherung)

Für die Gravitations-Rotverschiebung (abgestrahlte Wellen) ergibt sich folgende Näherung für die Vergrößerung der Wellenlänge:

und für die Frequenz:

Gravitationslinsen und Lichtablenkung im Schwerefeld

Der Ablenkwinkel (Einsteinwinkel) des Lichtes im Schwerefeld berechnet sich:

Schwarzschildradius

Für den Schwarzschildradius (Ereignishorizont von nicht rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Schwarzschild) ergibt sich:

Gravitationsradius

Für den Gravitationsradius (Ereignishorizont von maximal rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Kerr) ergibt sich:

Gravitationsgesetz der Allgemeinen Relativitätstheorie

Das Gravitationsgesetz der Allgemeinen Relativitätstheorie lautet:

mit:

  • mit SI-Einheit 1/m²
  • mit SI-Einheit J/m³
  • mit SI-Einheit 1/m²
  • mit SI-Einheit 1
  • mit SI-Einheit 1/m²
  • mit SI-Einheit 1/N
  • mit SI-Einheit m³/s²kg
  • mit SI-Einheit m/s

Es ergibt sich:

Anhang

Weblinks

Quelle