SRT (Spezielle Relativitätstheorie)
Gebräuchliche Abkürzungen
Geschwindigkeit v relativ zur Lichtgeschwindigkeit c:
Lorentzfaktor:
mit .
Addition von Lorentzfaktoren:
Rapidität:
Beachte auch:
Galilei-Transformation
Die Galileitransformation unterstellt eine unbegrenzte Lichtgeschwindigkeit und ist daher nur für Relativgeschwindigkeiten |v| < 0,1 c eine gute Näherung. Da v' = -v:
Galilei-Tranformation in -Richtung
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Inverse Galilei-Transformation
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Lorentz-Transformation
Lorentz-Transformation in -Richtung
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Inverse Lorentz-Transformation
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Zeitdilatation
Für die Zeitdilatation eines bewegten Körpers ergibt sich die Eigenzeit als Ablesung zwischen zwei Ortszeiten im gemessenen Zeitabstand :
Längenkontraktion
Die Längenkontraktion wirkt sich ausschließlich in Richtung der radialen Relativbewegung zum Beobachter aus.
Für die Längenkontraktion (Eigenlänge) eines bewegten Körpers ergibt sich:
Rot-/Blauverschiebung
Die Frequenzänderung setzt sich aus Zeitdilatation und Dopplerfaktor zusammen. Der Effekt des Dopplerfaktors überwiegt dabei.
- mit f beobachtete Frequenz und f' Originalfrequenz
Die Zeitdilatation bewirkt immer eine leichte Rotverschiebung und ist von der Richtung der Bewegung unabhängig.
Der Dopplereffekt ist allein von der radialen Relativbewegung abhängig und richtungsabhängig (vorzeichenbehaftet):
Bei Annäherung zum Beobachter (v < 0) ergibt der Dopplereffekt eine Blauverschiebung:
- insgeamt also
Bei Entfernung vom Beobachter (v > 0) ergibt der Dopplereffekt eine Rotverschiebung:
- insgeamt also
Der z-Faktor ergibt sich aus
Kinematik
Geschwindigkeit
Definition. Vierergeschwindigkeit:
Es gilt:
Die Minkowski-Norm der Vierergeschwindigkeit ist konstant:
Beschleunigung
Definition. Viererbeschleunigung:
Ableitung des Lorentzfaktors:
Es gilt:
Klassische Addition der Geschwindigkeiten
Für die klassische Addition zweier Relativgeschwindigkeiten ergibt sich:
Relativistische Addition der Geschwindigkeiten
Für die relativistische Addition zweier Relativgeschwindigkeiten ergibt sich:
Dynamik
Impuls
Für den relativistischen Impuls ergibt sich:
Definition. Viererimpuls:
Es gilt:
und:
Energie-Impuls-Beziehung:
Formulierung als „relativistischer Pythagoras“:
Kraft
Definition. Viererkraft:
Es gilt:
Mit
gilt:
Relativistische Masse
Relativistische Masse (veralteter Begriff und sollte grundsätzlich nicht verwendet werden):
-
- Lorentzfaktor in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit,
- Ruhemasse.
Energie
Einsteins Energieformel:
- Gesamtenergie (Ruheenergie+kinetische Energie),
- relativistische Masse in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit,
- Ruhemasse.
Ruheenergie:
Kinetische Energie:
Vierer-Formalismus
In der Literatur gibt es zwei unterschiedliche Konventionen bei der Signatur (- + + +) und (+ - - -). Beide Konventionen sind gleichwertig. Hier wird die zweite Variante dargestellt:
Vierervektor
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Kontravariante Koordinaten
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Kovariante Koordinaten
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Darstellungsmatrix des (pseudo)-metrischen (Minkowski)-Tensors:
Es gilt bzw. .
Minkowski-Skalarprodukt:
In der Einsteinkonvention wird das Summenzeichen nicht geschrieben und immer über gleiche Indexvariablen summiert.
Das Minkowski-Skalarprodukt ist nicht positiv definit und daher kein echtes Skalarprodukt.
Quadratische Form:
Ein Viererort (auch Ereignis genannt) heißt
- zeitartig, wenn
- raumartig, wenn
- lichtartig, wenn
Minkowski-Norm:
Die Minkowski-Norm ist keine echte Norm im Sinne eines normierten Raumes.
Minkowski-Metrik:
mit .
Die Minkowski-Metrik ist keine echte Metrik im Sinne eines metrischen Raumes.
Linienelement:
Man kann die beiden Signaturen auch gezielt zur unterschiedlichen Darstellung raumartiger und zeitartiger Abstände verwenden:
Isometriegruppen
Definition. Eine Raumzeit-Isometrie ist eine Funktion , die einem
Ereignis der Raumzeit ein anderes Ereignis
zuordnet, so dass gilt:
wobei die quadratische Form ist.
Gruppe der Translationen
Gruppe der Translationen:
Gruppe der Rotationen
Rotationsmatrizen:
Die Gruppe aller Rotationsmatrizen ist trivial isomorph zur und wird zur Unterscheidung als notiert.
Die ist eine Untergruppe der Lorentz-Gruppe.
Lorentz-Gruppe
Lorentz-Gruppe:
- Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle O(1,3) : = \ {\Lambda\in\mathbb R^{4 \times 4}\mid \forall x,y\in\mathbb R^4\colon \langle\Lambda x,\Lambda y\rangle = \langle x,y\rangle\}. }
Die Lorentz-Gruppe ist die Gruppe aller Lorentz-Transformationen.
Die Lorentz-Transformationen sind Isometrien:
- .
Aus der Definition folgt mit . Ausgeschrieben:
bzw.
bzw. (unter Verwendung der imaginären Einheit)
Poincaré-Gruppe
Affine Abbildungen:
Poincaré-Gruppe:
Die Lorentz-Gruppe ist eine Untergruppe der Poincaré-Gruppe, genauer: der Stabilisator bei .
Das sind alle Poincaré-Transformationen mit . Die Gruppe der Translationen ist eine Untergruppe der Poincaré-Gruppe und besteht aus allen Poincaré-Transformationen mit .
ART (Allgemeine Relativitätstheorie)
Die folgenden Formeln gelten gegenüber dem Beobachter im Unendlichen, ohne eigene gravitative Raumkrümmung. Während die relativistischen Wirkungen bei der SRT relativ sind, also für jeden Beobachter aus seiner Sicht zu berechnen sind, sind sich die Beobachter über die relativen Wirkungen der ART einig.
Dem Lorentzfaktor der SRT vergleichbar erscheint in der ART der Faktor:
-
- mit SI-Einheit kg
- mit SI-Einheit m/s
- mit SI-Einheit m³/s²kg
- mit SI-Einheit m
- mit SI-Einheit m
- mit SI-Einheit m²/s²
- mit SI-Einheit m/s²
- mit SI-Einheit m/s
- mit SI-Einheit m/s
Gravitations-Zeitdilatation (Näherung)
Für die Gravitations-Zeitdilatation ergibt sich folgende Näherung:
-
Gravitations-Längenkontraktion (Näherung)
Die Längenkontraktion wirkt sich ausschließlich in radialer Richtung zum Gravitationsfeld aus.
Für die Gravitations-Längenkontaktion ergibt sich folgende Näherung:
Gravitations-Blauverschiebung (Näherung)
Für die Gravitations-Blauverschiebung (einfallende Wellen) ergibt sich folgende Näherung für die Verkleinerung der Wellenlänge:
und Frequenz:
Gravitations-Rotverschiebung (Näherung)
Für die Gravitations-Rotverschiebung (abgestrahlte Wellen) ergibt sich folgende Näherung für die Vergrößerung der Wellenlänge:
und für die Frequenz:
Gravitationslinsen und Lichtablenkung im Schwerefeld
Der Ablenkwinkel (Einsteinwinkel) des Lichtes im Schwerefeld berechnet sich:
Schwarzschildradius
Für den Schwarzschildradius (Ereignishorizont von nicht rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Schwarzschild) ergibt sich:
Gravitationsradius
Für den Gravitationsradius (Ereignishorizont von maximal rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Kerr) ergibt sich:
Gravitationsgesetz der Allgemeinen Relativitätstheorie
Das Gravitationsgesetz der Allgemeinen Relativitätstheorie lautet:
mit:
- mit SI-Einheit 1/m²
- mit SI-Einheit J/m³
- mit SI-Einheit 1/m²
- mit SI-Einheit 1
- mit SI-Einheit 1/m²
- mit SI-Einheit 1/N
- mit SI-Einheit m³/s²kg
- mit SI-Einheit m/s
Anhang
Weblinks
Quelle