imported>Joachim Stiller |
imported>Joachim Stiller |
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| [[Datei:Rubik's cube.svg|mini|Auch die Drehungen eines [[Wikipedia:Zauberwürfel|Zauberwürfel]]s ({{EnS|Rubik’s Cube}}) bilden eine Gruppe.]]
| | {{Vorlage:Seitenkategorien}} |
| | | [[Kategorie:Philosoph als Thema]] |
| Als '''Gruppe''' wird in der [[Mathematik]] eine [[Menge (Mathematik)|Menge]] von [[Element (Mathematik)|Elementen]] zusammen mit einer zweistelligen [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] (z.B. Addition, Multiplikation), durch die jeweils zwei Elementen ein drittes Element derart zugeodnet wird, dass dabei folgende drei '''Gruppenaxiome''' erfüllt sind:
| | [[Kategorie:Wiener Kreis]] |
| | | [[Kategorie:Logischer Positivist]] |
| # Es gilt das [[Assoziativgesetz]], d.h. <math> a \star \left( b \star c \right) = \left( a \star b \right) \star c </math>
| | [[Kategorie:Logischer Empirist]] |
| # Es existiert ein '''neutrales Element''' <math>e</math>, sodass <math>e \star a = a</math> (linksneutral) oder <math>a \star e = a</math> (rechtsneutral). Wird auch das [[Kommutativgesetz]] erfüllt, ist <math>e \star a = a \star e = a</math>.
| | [[Kategorie:Vertreter der Philosophie der Mathematik]] |
| # Es gibt '''inverse Elemente''' <math>a^{-1}</math>, sodass <math>a^{-1} \star a = e</math> und/oder <math>a \star a^{-1} = e</math>
| | [[Kategorie:Mathematiker als Thema]] |
| | | [[Kategorie:Logiker]] |
| | | [[Kategorie:Hempel|!]] |
| == Abelsche Gruppe ==
| | [[Kategorie:Wissenschaftler als Thema]] |
| Für eine '''abelsche Gruppe''' ist zusätzlich auch das [[Kommutativgesetz]] erfüllt, d.h. <math>a \star b = b \star a</math>. Die wichtigste und bekannteste abelsche Gruppe ist <math> (\mathbb Z,+,0) </math>, die aus der Menge der [[Ganze Zahlen|ganzen Zahlen]] <math>\{\ldots, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, \ldots\}</math> und der gewöhnlichen Addition <math> + </math> besteht.
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| == Halbgruppe ==
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| Eine '''Halbgruppe''' erfüllt nur die beiden ersten Bedingungen. So bildet etwa die Menge der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] <math>\mathbb N_0 = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}</math> zusammen mit der gewöhnlichen Addition die kommutative (abelsche) Halbgruppe <math>(\mathbb N_0,+,0)</math>. Im Gegensatz zur der abelschen Gruppe <math>(\mathbb Z,+,0)</math> der [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] <math>\mathbb Z = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}</math> fehlt hier die ganze „Hälfte“ der ''negativen Zahlen'' und damit die inversen Elemente.
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| == Gruppentheorie ==
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| {{WikipediaDE|Gruppentheorie}}
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| Die mathematische Disziplin, die sich mit den Gruppen beschäftigt, heißt '''Gruppentheorie'''.
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| == Siehe auch ==
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| * {{WikipediaDE|Gruppentheorie}}
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| * {{WikipediaDE|Gruppe (Mathematik)}}
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| * {{WikipediaDE|Abelsche Gruppe}}
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| * {{WikipediaDE|Halbgruppe}}
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| * [[Ring (Algebra)]]
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| * [[Körper (Algebra)]]
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| [[Kategorie:Mathematik]] [[Kategorie:Gruppentheorie]] | |
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