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Die '''Analysis''' [{{IPA|aˈnalyzɪs}}] ({{elS|ανάλυσις|análysis|de=Auflösung}}, {{grcS|ἀναλύειν}} ''analýein'' ‚auflösen‘) ist ein [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet]] der [[Mathematik]], dessen Grundlagen von [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] und [[Isaac Newton]] als '''Infinitesimalrechnung''' unabhängig voneinander entwickelt wurden. Als eigenständiges Teilgebiet der Mathematik neben den klassischen Teilgebieten der [[Geometrie]] und der [[Algebra]] existiert die Analysis seit [[Wikipedia:Leonhard Euler|Leonhard Euler]].
 
Grundlegend für die gesamte Analysis sind die beiden [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>\R</math> (Körper der [[Reelle Zahlen|reellen Zahlen]]) und <math>\C</math> (Körper der [[Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]]) mitsamt deren geometrischen, [[arithmetisch]]en, algebraischen und [[Topologie (Mathematik)|topologischen]] Eigenschaften. Zentrale Begriffe der Analysis sind die des [[Grenzwert (Folge)|Grenzwerts]], der [[Folge (Mathematik)|Folge]], der [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] sowie in besonderem Maße der Begriff der [[Funktion (Mathematik)|Funktion]]. Die Untersuchung von reellen und komplexen Funktionen hinsichtlich [[Stetigkeit]], [[Differentialrechnung|Differenzierbarkeit]] und [[Integrierbarkeit]] zählt zu den Hauptgegenständen der Analysis. Die hierzu entwickelten Methoden sind in allen [[Naturwissenschaft|Natur-]] und [[Ingenieurwissenschaften]] von großer Bedeutung.
 
== Teilgebiete der Analysis ==
 
Die Analysis hat sich zu einem sehr allgemeinen, nicht klar abgrenzbaren Oberbegriff für vielfältige Gebiete entwickelt. Neben der Differential- und Integralrechnung umfasst die Analysis weitere Gebiete, welche darauf aufbauen. Dazu gehören die Theorie der gewöhnlichen und partiellen [[Differentialgleichung]]en, die [[Variationsrechnung]], die [[Vektoranalysis]], die [[Maßtheorie|Maß-]] und Integrationstheorie und die [[Funktionalanalysis]].<ref name="LexMathe">{{Literatur |Autor=D. Hoffmann |Hrsg=Guido Walz |Titel=Analysis |Sammelwerk=Lexikon der Mathematik |Auflage=1. |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Mannheim/Heidelberg |Datum=2000 |ISBN=3-8274-0439-8}}</ref>
 
Eine ihrer Wurzeln hat auch die [[Funktionentheorie]] in der Analysis. So kann die Fragestellung, welche Funktionen die [[Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen|Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen]] erfüllen, als Fragestellung der Theorie partieller Differentialgleichungen verstanden werden.
 
Je nach Auffassung können auch die Gebiete der [[Harmonische Analyse|harmonischen Analysis]], der [[Differentialgeometrie]] mit den Teilgebieten [[Differentialtopologie]] und [[Globale Analysis]], der [[Analytische Zahlentheorie|analytischen Zahlentheorie]], der [[Nichtstandardanalysis]], der [[Distributionentheorie]] und der [[Mikrolokale Analysis|mikrolokalen Analysis]] ganz oder in Teilen dazu gezählt werden.
 
=== Eindimensionale reelle Analysis ===
==== Differentialrechnung ====
{{Hauptartikel|Differentialrechnung}}
 
Bei einer linearen Funktion bzw. einer [[Gerade]]n
 
:<math>g(x) = mx + c</math>
 
heißt ''m'' die Steigung und ''c'' der y-Achsen-Abschnitt oder [[Ordinate]]nabschnitt der Geraden. Hat man nur 2 Punkte <math>(x_0, y_0)</math> und <math>(x_1, y_1)</math> auf einer Geraden, so kann die Steigung berechnet werden durch
 
:<math>m = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}.</math>
[[Datei:Tangent to a curve.svg|mini|[[Funktionsgraph|Graph]] einer Funktion (schwarz) und einer '''Tangente''' an den Graph (rot). Die '''Steigung''' der Tangente ist die Ableitung der Funktion an dem markierten Punkt.]]
Bei nicht linearen Funktionen wie z.&nbsp;B. <math>f(x) = x^2</math> kann die Steigung so nicht mehr berechnet werden, da diese Kurven beschreiben und somit keine Geraden sind. Jedoch kann man an einen Punkt <math>(x_0, f(x_0))</math> eine [[Tangente]] legen, die wieder eine Gerade darstellt. Die Frage ist nun, wie man die Steigung einer solchen Tangente an einer Stelle <math>x_0</math> berechnen kann. Wählt man eine Stelle <math>x_1</math> ganz nahe bei <math>x_0</math> und legt eine Gerade durch die Punkte <math>(x_0, f(x_0))</math> und <math>(x_1, f(x_1))</math>, so ist die Steigung dieser [[Sekante]] nahezu die Steigung der Tangente. Die Steigung der Sekante ist (s. o.)
 
:<math>m = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}.</math>
 
Diesen Quotienten nennt man den '''Differenzenquotienten''' oder mittlere Änderungsrate. Wenn wir nun die Stelle <math>x_1</math> immer weiter an <math>x_0</math> annähern, so erhalten wir per Differenzenquotient die Steigung der Tangente. Wir schreiben
 
:<math>f'(x_0) = \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}</math>
 
und nennen dies die '''Ableitung''' bzw. die [[Ableitungsfunktion]] von ''f'' in <math>x_0</math>.
Der Ausdruck <math>\lim_{x\rightarrow x_0}</math> bedeutet, dass ''x'' immer weiter an <math>x_0</math> angenähert wird, bzw. dass der Abstand zwischen ''x'' und <math>x_0</math> beliebig klein wird. Wir sagen auch: „''x'' geht gegen <math>x_0</math>“. Die Bezeichnung <math>\lim</math> steht für [[Grenzwert (Folge)|Limes]].
:<math>f^\prime (x_0)</math> ist der Grenzwert des Differenzenquotienten.
 
Es gibt auch Fälle, in denen dieser Grenzwert nicht existiert. Deswegen hat man den Begriff Differenzierbarkeit eingeführt. Eine Funktion ''f'' heißt differenzierbar an der Stelle <math>x_0</math>, wenn der Grenzwert <math>\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}</math> existiert. Für eine differenzierbare Funktion <math>y = f(x)</math> gilt dann folgender Zusammenhang zwischen dem Differential <math>\mathrm dy</math> der abhängigen Variablen und dem Differential <math>\mathrm dx</math> der unabhängigen Variablen:
 
:<math>\mathrm dy = f'(x) \mathrm dx</math>
 
Der Differentialquotient lässt sich demnach formal anschreiben als:
 
:<math>f'(x) = \frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}</math>
 
Das lässt sich für Funktionen <math>f(x_0, x_1, \cdots x_i)</math> mit mehreren Variablen <math>x_i</math> verallgemeinern, wobei man es hier nun mit '''partiellen Differentialen''' zu tun hat:
 
:<math>f'(x_i) = \frac{\partial f}{\partial x_i}</math>
 
Daraus ergibt sich das '''totale Differential''' (auch: '''vollständiges Differential''') über alle <math>x_i</math>:
 
:<math>{\rm d}f=\sum\limits_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}\, {\rm d}x_i\,\,.</math>
 
==== Integralrechnung ====
{{Hauptartikel|Integralrechnung}}
 
Die Integralrechnung befasst sich anschaulich mit der Berechnung von Flächen unter Funktionsgraphen. Diese Fläche kann durch eine [[Summe]] von Teilflächen approximiert werden und geht im Grenzwert in das Integral über.
 
:<math>\int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm{d}x :=  \lim_{n \to \infty} \frac{b-a}{n} \sum_{i=0}^{n-1} f\left(a+i \frac{b-a}{n}\right).</math>
 
Die obige [[Folge (Mathematik)|Folge]] [[Grenzwert (Folge)|konvergiert]], falls ''f'' gewisse Bedingungen (wie z.&nbsp;B. [[Stetigkeit]]) erfüllt. Diese anschauliche Darstellung (Approximation mittels Ober- und Untersummen) entspricht dem sogenannten [[Riemann-Integral]], das in der Schule gelehrt wird.
 
In der sogenannten ''Höheren Analysis'' werden darüber hinaus weitere Integralbegriffe, wie z.&nbsp;B. das [[Lebesgue-Integral]] betrachtet.
 
Eine Verallgemeinerung des Integralbegriffs auf ebene oder gekrümmte [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] ist das '''Oberflächenintegral''' oder '''Flächenintegral'''.
 
==== Fundamentalsatz der Analysis ====
{{Hauptartikel|Fundamentalsatz der Analysis}}
 
Differentialrechnung und Integralrechnung verhalten sich nach dem '''Fundamentalsatz der Analysis''' in folgender Weise „invers“ zueinander.
 
Wenn f eine auf einem kompakten Intervall <math>[a,b]</math> stetige reelle Funktion ist, so gilt für <math>x\in(a,b)</math>:
 
:<math>{\mathrm d \over \mathrm dx} \left(\int_a^x f(\bar x) \mathrm d\bar x\right)= f(x)</math>
 
und, falls f zusätzlich auf <math>(a,b)</math> gleichmäßig stetig differenzierbar ist,
 
:<math>\int_a^x\left({\mathrm{d}\over \mathrm{d}\bar x}f(\bar x)\right)\mathrm{d}\bar x = f(x) - f(a).</math>
 
Deshalb wird die Menge aller [[Stammfunktion]]en <math>F</math> einer Funktion <math>f</math> auch als '''unbestimmtes Integral''' bezeichnet und durch
<math>\textstyle \int f(x) \mathrm dx </math> symbolisiert, d.h.:
 
:<math>F(x) = \int f(x) \mathrm dx </math> bzw.
 
:<math>F'(x)=f(x)</math>
 
=== Mehrdimensionale reelle Analysis ===
[[Datei:3d-function-9.svg|mini|Beispiel für eine mehrdimensionale Funktion: <math>f(x,y)=y\cdot\sin(x^2)</math>]]
 
Viele Lehrbücher unterscheiden zwischen Analysis in einer und Analysis in mehreren Dimensionen. Diese Differenzierung berührt die grundlegenden Konzepte nicht, allerdings gibt es in mehreren Dimensionen eine größere mathematische Vielfalt. Die mehrdimensionale Analysis betrachtet [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] <math>\textstyle f\colon D \subseteq \R^m \to \R^n</math> mehrerer reeller Variablen, die oft als ein [[Vektor]] beziehungsweise <var>n</var>-Tupel dargestellt werden.
 
Die Begriffe der [[Norm (Mathematik)|Norm]] (als Verallgemeinerung des Betrags), der [[Grenzwert (Folge)|Konvergenz]], der Stetigkeit und der [[Grenzwert (Folge)|Grenzwerte]] lassen sich einfach von einer in mehrere Dimensionen verallgemeinern.
 
Die Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen unterscheidet sich von der eindimensionalen Differentiation.
Wichtige Konzepte sind die [[Richtungsableitung|Richtungs-]] und die [[partielle Ableitung]], die Ableitungen in einer Richtung beziehungsweise in einer Variable sind. Der [[Satz von Schwarz]] stellt fest, wann partielle beziehungsweise Richtungsableitungen unterschiedlicher Richtungen vertauscht werden dürfen. Außerdem ist der Begriff der [[Totales Differential|totalen Differentiation]] von Bedeutung. Dieser kann interpretiert werden als die lokale Anpassung einer [[Lineare Abbildung|linearen Abbildung]] an den Verlauf der mehrdimensionalen Funktion und ist das mehrdimensionale Analogon der (ein-dimensionalen) Ableitung. Der [[Satz von der impliziten Funktion]] über die lokale, eindeutige Auflösung impliziter Gleichungen ist eine wichtige Aussage der mehrdimensionalen Analysis und kann als eine Grundlage der Differentialgeometrie verstanden werden.
 
In der mehrdimensionalen Analysis gibt es unterschiedliche Integralbegriffe wie das [[Kurvenintegral]], das [[Oberflächenintegral]] und das [[Integralrechnung#Integration über mehrdimensionale Bereiche|Raumintegral]]. Jedoch von einem abstrakteren Standpunkt aus der Vektoranalysis unterscheiden sich diese Begriffe nicht. Zum Lösen dieser Integrale sind der [[Transformationssatz]] als Verallgemeinerung der Substitutionsregel und der [[Satz von Fubini]], welcher es erlaubt, Integrale über <var>n</var>-dimensionale Mengen in iterierte Integrale umzuwandeln, von besonderer Bedeutung. Auch die [[Integralsatz|Integralsätze]] aus der [[Vektoranalysis]] von [[Gaußscher Integralsatz|Gauß]], [[Satz von Green|Green]] und [[Satz von Stokes|Stokes]] sind in der mehrdimensionalen Analysis von Bedeutung. Sie können als Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Integral- und Differentialrechnung verstanden werden.
 
=== Funktionalanalysis ===
{{Hauptartikel|Funktionalanalysis}}
 
Die Funktionalanalysis ist eines der wichtigsten Teilgebiete der Analysis. Die entscheidende Idee in der Entwicklung der Funktionalanalysis war die Entwicklung einer koordinaten- und dimensionsfreien Theorie. Dies brachte nicht nur einen formalen Gewinn, sondern ermöglichte auch die Untersuchung von Funktionen auf unendlichdimensionalen [[Topologischer Vektorraum|topologischen Vektorräumen]].<ref name="LexMathe" /> Hierbei werden nicht nur die reelle Analysis und die [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] miteinander verknüpft, sondern auch Methoden der [[Algebra]] spielen eine wichtige Rolle.
Aus wichtigen Resultaten der [[Funktionalanalysis]] wie es beispielsweise der [[Satz von Fréchet-Riesz]] ist, lassen sich zentrale Methoden für die Theorie partieller Differentialgleichungen ableiten. Zudem ist die Funktionalanalysis, insbesondere mit der [[Spektraltheorie]], der geeignete Rahmen zur [[Mathematische Struktur der Quantenmechanik|mathematischen Formulierung der Quantenmechanik]] und auf ihr aufbauender Theorien.
 
=== Theorie der Differentialgleichungen ===
{{Hauptartikel|Differentialgleichung}}
 
Eine Differentialgleichung ist eine [[Gleichung]], die eine unbekannte Funktion und Ableitungen von dieser enthält. Treten in der Gleichung nur gewöhnliche Ableitungen auf, so heißt die Differentialgleichung gewöhnlich. Ein Beispiel ist die Differentialgleichung
:<math>y''(t) + \omega^2_0 y(t) = 0</math>
des [[Harmonischer Oszillator|harmonischen Oszillators]]. Von einer partiellen Differentialgleichung spricht man, wenn in der Differentialgleichung [[Partielle Ableitung|partielle Ableitungen]] auftreten. Ein Beispiel dieser Klasse ist die [[Laplace-Gleichung]]
:<math>\Delta u(x) = 0</math>.
Ziel der Theorie der Differentialgleichungen ist es, Lösungen, Lösungsmethoden und andere Eigenschaften solcher Gleichungen zu finden. Für gewöhnliche Differentialgleichungen wurde eine umfassende Theorie entwickelt, mit der es möglich ist, zu gegebenen Gleichungen Lösungen anzugeben, insofern diese existieren. Da partielle Differentialgleichungen in ihrer Struktur komplizierter sind, gibt es wenige Theorien, die auf eine große Klasse von partiellen Differentialgleichungen angewandt werden kann. Daher untersucht man im Bereich der partiellen Differentialgleichungen meist nur einzelne oder kleinere Klassen von Gleichungen. Um Lösungen und Eigenschaften solcher Gleichungen zu finden werden vor allem Methoden aus der Funktionalanalysis und auch aus der [[Distributionentheorie]] und der [[Mikrolokale Analysis|mikrolokalen Analysis]] eingesetzt. Allerdings gibt es viele partielle Differentialgleichungen, bei denen mit Hilfe dieser analytischen Methoden erst wenige Informationen über die Lösungsstruktur in Erfahrung gebracht werden konnten. Ein in der Physik wichtiges Beispiel einer solch komplexen partiellen Differentialgleichung ist das System der [[Navier-Stokes-Gleichungen]]. Für diese und für andere partielle Differentialgleichungen versucht man in der [[Numerische Mathematik|numerischen Mathematik]] näherungsweise Lösungen zu finden.
 
=== Funktionentheorie ===
{{Hauptartikel|Funktionentheorie}}
 
Im Gegensatz zur reellen Analysis, die sich nur mit Funktionen reeller Variablen befasst, werden in der Funktionentheorie (auch komplexe Analysis genannt) Funktionen komplexer Variablen untersucht. Die Funktionentheorie hat sich von der reellen Analysis mit eigenständigen Methoden und andersartigen Fragestellungen abgesetzt. Jedoch werden einige Phänomene der reellen Analysis erst mit Hilfe der Funktionentheorie richtig verständlich. Das Übertragen von Fragestellungen der reellen Analysis in die Funktionentheorie kann daher zu Vereinfachungen führen.<ref name="LexMathe" />
 
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Kategorie:Analysis}}
* {{WikipediaDE|Analysis}}
 
== Literatur ==
* Herbert Amann, Joachim Escher: ''Analysis I''. Birkhäuser, Basel 2006, ISBN 3-7643-7755-0.
* Richard Courant: ''Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung''. 2 Bände. Springer 1928, ISBN 3-540-02956-7.
* Jean Dieudonné: ''Foundations of Modern Analysis''. Academic Press, U.S. 1968, ISBN 0-12-215530-0.
* {{Literatur
  |Autor=Leonhard Euler
  |Titel=Einleitung in die Analysis des Unendlichen
  |TitelErg=Erster Teil der Introductio in Analysin Infinitorum
  |Verlag=Springer Verlag
  |Ort=Berlin / Heidelberg / New York
  |Datum=1983
  |ISBN=3-540-12218-4
  |Kommentar=Reprint der Ausgabe Berlin 1885}}
* Otto Forster: ''Analysis 1''. Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-67224-2.
* Harro Heuser: ''Lehrbuch der Analysis''. Teubner, Wiesbaden 2003, ISBN 3-519-62233-5.
* Stefan Hildebrandt: ''Analysis''. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-42838-0.
* Konrad Königsberger: ''Analysis''. Band 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4.
* Wladimir Smirnow: ''Lehrgang der höheren Mathematik''. Harri Deutsch Verlag, ISBN 3-8171-1419-2.
* {{Literatur
  |Autor=Walter Rudin
  |Titel=Reelle und komplexe Analysis
  |Auflage=2. verbesserte
  |Verlag=Oldenbourg Wissenschaftsverlag
  |Ort=München
  |Datum=2009
  |ISBN=978-3-486-59186-6}}
* Thomas Sonar: ''3000 Jahre Analysis. Geschichte - Kulturen - Menschen''. 2. Auflage. Springer, Berlin 2016. ISBN 978-3-662-48917-8.
* Wolfgang Walter: ''Analysis''. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20388-5.
 
== Weblinks ==
{{Commonscat}}
{{Wikiversity|Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil I}}
{{Wikiversity|Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II}}
{{Wikiversity|Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III}}
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Analysis 1}}
{{Wikibooks|Mathematik: Analysis|Mathematik in mehreren Bänden, Band 4, Analysis}}
{{Wikibooks}}
{{Wiktionary}}
* [http://www.calculus.org/ The Calculus page] Calculus.org, bei University of California, Davis – Ressourcen und enthält Links zu anderen Websites
 
== Einzelnachweise ==
<references />
 
[[Kategorie:Analysis|!]]
[[Kategorie:Leibniz]]
[[Kategorie:Riemann]]
[[Kategorie:Newton]]
[[Kategorie:Euler]]
 
{{Wikipedia}}

Version vom 11. August 2022, 11:02 Uhr

Abbildung aus GA 233a, S 38.