imported>Odyssee |
imported>Joachim Stiller |
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| Als '''Matrix''' ([[Wikipedia:Plural|pl.]] ''Matrizen''; von [[lat.]] ''matrix'' „Gebärmutter“, eigentlich „Muttertier“) wird in der [[Mathematik]] eine tabellarische, aus Zeilen und Spalten bestehende Anordnung von Elementen (z.B. [[Zahl]]en, [[Variable]]n usw.) bezeichnet, die namentlich in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] zur einfachen Beschreibung [[Lineare Abbildung|linearer Abbildungen]] und in Form der '''Koeffizientenmatrix''' zur Lösung [[Lineares Gleichungssystem|linearer Gleichungssysteme]] verwendet wird. Die Anzahl der Zeilen <math>m</math> und der Spalten <math>n</math> bezeichnet dabei den '''Typ''' (<math>m \times n</math>) der Matrix. Eine '''quadratische Matrix''' hat die gleich Anzahl an Spalten und Zeilen, d.h. <math>m = n</math>. Die Bezeichnung „Matrix“ wurde erstmals [[1850]] von dem englichen Mathematiker [[w:James Joseph Sylvester|James Joseph Sylvester]] (1814-1897) verwendet. | | Als '''Kuratorien''' wurden von den Nachfolgern [[Rudolf Steiner]]s jene Institutionen bezeichnet, die im Freien Geistesleben [[Schenkungsgeld]]er sowie die Aufgaben im Freien Geistesleben organisieren und verteilen. Darüber hinaus sollen die Kuratorien des Freien Geisteslebens anstelle der Nachfolge durch Erbe den Übergang vom jeweiligen vorherigen Unternehmensleiter zu seinem geeignetsten und fähigsten Nachfolger bewerkstelligen. |
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| == Schreibweise ==
| | Innerhalb der heutigen Rechtsformen käme zuvorderst, trotz aller damit verbundenen Hindernisse, die Rechtsform eines "wirtschaftlichen Vereins" in Betracht. |
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| Die <math>m \times n</math> Elemente der Matrix werden in runden oder eckigen Klammern wie folgt aufgelistet:
| | "In meinen «Kernpunkten der sozialen Frage» habe ich versucht, |
| | | zu zeigen, dass eine wahrhaft soziale Denkungsart nicht |
| <math>\boldsymbol A= (a_{ij}) =\begin{pmatrix}
| | anstreben kann die Überführung der Kapitalverwaltung durch |
| a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
| | den einzelnen oder durch die Menschengruppe in diejenige |
| a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
| | durch die Gemeinschaft; sondern dass, im Gegenteil, der |
| \vdots & \vdots & & \vdots \\
| | einzelne die Möglichkeit haben müsse, ungehemmt seine |
| a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
| | Fähigkeiten durch Kapitalverwertung in den Dienst der |
| \end{pmatrix} =\begin{bmatrix}
| | Gemeinschaft zu stellen, und dass, wenn dieser einzelne seine |
| a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
| | Fähigkeiten nicht mehr auf die Kapitalverwertung wenden will |
| a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
| | oder kann, diese übertragen werden müsse auf einen andern, |
| \vdots & \vdots & & \vdots \\
| | der gleiche Fähigkeiten hat. Diese Übertragung soll nicht durch |
| a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
| | staatliche Bevorrechtung oder wirtschaftliche Macht bewirkt |
| \end{bmatrix}</math>
| | werden, sondern durch das auf Grund der Erziehung im freien |
| | | Geistesleben erworbene Herausfinden desjenigen als |
| == Einheitsmatrix ==
| | Nachfolger, der vom sozialen Gesichtspunkte der geeigneteste |
| | | ist." (Rudolf Steiner, GEISTESPFLEGE UND WIRTSCHAFTSLEBEN, |
| Die '''Eiheitsmatrix''' oder '''Identitätsmatrix''' ist eine quadratische Matrix (gleiche Spalten- und Zeilenzahl), deren Hauptdiagonalelemente gleich [[eins]] und alle anderen Elemente gleich [[null]] sind:
| | Erstveröffentlichung in: Die Dreigliederung des sozialen Organismus, |
| | | I. Jg. 1919/20, Heft 13, Oktober 1919 ([[GA 24]], S. 70-74) hier S. 73) |
| : <math>I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}</math>.
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| == Transponierte Matrix ==
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| [[Datei:Matrix transpose.gif|mini|Animation zur Transponierung einer Matrix]]
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| Aus einer Matrix <math>A</math>
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| :<math>A = (a_{ij}) = \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}</math>
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| ergibt sich die '''transponierte Matrix''' <math>A^\mathrm{T}</math> durch Vertauschung der Zeilen und Spalten (was ihrer Spiegelung an der Hauptdiagonalen entspricht):
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| :<math>A^\mathrm{T} = (a_{ji}) = \begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{m1} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{1n} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}</math>
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| == Determinante ==
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| [[Datei:Sarrusovo_pravidlo.png|mini|Regel von Sarrus]]
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| Die '''Determinante''' (von [[lat.]] ''determinare'' „bestimmen“) ist ein [[Skalar]], d.h. eine [[Zahl]], die aus den Elementen einer quadratischen Matrix errechnet werden kann und hilfreich bei der Lösung [[Lineares Gleichungssystem|linearer Gleichungssysteme]] ist. Diese sind lösbar, wenn die Determinante der '''Koeffizientenmatrix''' ungleich [[null]] ist. Die Determinante einer 2 x 2-Matrix errechnet sich wie folgt:
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| <math>\det A=\det \begin{pmatrix}
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| a_{11} & a_{12} \\
| |
| a_{21} & a_{22} \\
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| \end{pmatrix} = \begin{vmatrix}
| |
| a_{11} & a_{12} \\
| |
| a_{21} & a_{22} \\
| |
| \end{vmatrix} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}</math>
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| Für 3 x 3-Matrizen ist die '''Regel von Sarrus''' hilfreich (siehe nebenstehendes Schema):
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| <math>
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| \det A &= \det
| |
| \begin{pmatrix}
| |
| a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
| |
| a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
| |
| a_{31} & a_{32} & a_{33}
| |
| \end{pmatrix} = \\
| |
| \\&= a_{11} a_{22} a_{33} +a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32}</math>
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| == Matrizenaddition ==
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| [[Datei:Matrix addition qtl1.svg|miniatur|Bei der Matrizenaddition müssen alle beteiligten Matrizen die gleiche Spalten- und Zeilenzahl haben. Die Elemente der Summenmatrix entstehen durch Addition der entsprechenden Elemente der Summandenmatrizen: <math>c_{ij) = a_{ij} + b_{ij}</math>]]
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| Die '''Matrizenaddition''' ist die [[Addition|additive]] [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] von Matrizen gleicher größer, d.h. gleicher Spalten- und Zeilenanzahl. Die '''Summenmatrix''' (auch '''Matrixsumme''' oder '''Matrizensumme''') wird durch die komponentenweise [[Addition]] der einander entsprechenden Matrixelemente gebildet, d.h.:
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| :<math>\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & \cdots & b_{mn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & \cdots & a_{mn} + b_{mn} \end{pmatrix}</math>
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| Die '''Matrixaddition''' gehorcht dem [[Assoziativgesetz]], dem [[Kommutativgesetz]] und bezüglich der Matrizenmultiplikation dem [[Distributivgesetz]]. Zusammen mit der Matrizenaddition bilden die Matrizen eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]], deren [[neutrales Element]] die '''Nullmatrix''' ist, deren Elemente alle gleich [[Null]] sind:
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| :<math>0_{mn} = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}</math> | |
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| == Matrizenmultiplikation ==
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| [[Datei:Matrix multiplication qtl1.svg|mini|Bei der Matrizenmultiplikation werden die Zeilenelemente der ersten Matrix mit den Spaltenelementen der zweiten Matrix multipliziert und die Ergebnisse summiert. Die Ergebnismatrix hat die Zeilenzahl der ersten und die Spaltenzahl der zweiten Matrix.]]
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| Die [[Multiplikation|multiplikative]] [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] von Matrizen wird als '''Matrizenmultiplikation''' oder '''Matrixmultiplikation''' bezeichnet. Sie ist nur dann ausführbar, wenn die Spaltenanzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix übereinstimmt. Das '''Matrizenprodukt''' bzw. '''Matrixprodukt''' ist wiederum eine Matrix, welche die Zeilenzahl der ersten und die Spaltenzahl der zweiten Matrix hat. Die Elemente der '''Produktmatrix''' <math>C</math> werden errechnet, indem die Zeilenelemente der ersten Matrix <math>A</math> komponentenweise mit den entsprechenden Spaltenelemente der zweiten Matrix <math>B</math> [[Multiplikation|multipliziert]] und die Ergebnisse [[Summe|summiert]] werden, d.h.:
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| :<math>c_{ik} = \sum_{j=1}^m a_{ij} \cdot b_{jk}</math>
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| Die Matrizenmultiplikation gehorcht dem [[Assoziativgesetz]], aber - von speziellen Fällen abgesehen - nicht dem [[Kommutativgesetz]], d.h. <math>\mathbf A \cdot \mathbf B \not= \mathbf B \cdot \mathbf A</math>. Bezüglich der Matrizenaddition ist die Matrizenmultiplikation [[Distributivgesetz|distributiv]].
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| Das [[Neutrales Element|neutrale Element]] bezüglich der Multiplikation [[Quadratische Matrix|quadratischer Matrizen]] ist die [[Einheitsmatrix]].
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| == Siehe auch ==
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| * {{WikipediaDE|Kategorie:Matrix}}
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| * {{WikipediaDE|Matrix (Mathematik)}}
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| * {{WikipediaDE|Determinante}}
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| == Literatur == | | == Literatur == |
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| * Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel: ''Mathematik'', 4. Auflage, Springer Spektrum 2018, ISBN 978-3662567401, eBook ISBN 978-3-662-56741-8 | | * [[Benediktus Hardorp]]: ''Kapitalverwaltung - eine Aufgabe des Geisteslebens. Zeitbedeutung und Gestaltungsansätze''. In: Dietz/Schmid-Brabant/Biesantz/Kracht/Basgeld/Hardorp/Smit: Geisteswissenschaft und Gesellschaftsgestaltung, Vlg. am Goetheanum, Dornach 1987, S. 73 - 84 |
| | * [[Benediktus Hardorp]]: ''Elemente einer sozialen Baukunst - ein Beitrag zum Unternehmensverständnis''. In: Ekkehard Kappler/Thomas Knoblauch: Innovationen - Wie kommt das Neue in die Unternehmung?, Vlg. Bertelsmann Stiftung, Gütersloh 1996, S. 153 - 182 (hier: S. 169) |
| | * [[Wilhelm Schmundt]]: ''Zeitgemäße Wirtschaftsgesetze'', Achberger Vlg., Achberg 1975, S. 22 - 25 |
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| [[Kategorie:Mathematik]] | | [[Kategorie:Soziale Dreigliederung]] |
| [[Kategorie:Lineare Algebra]] | | [[Kategorie:Assoziative Wirtschaft]] |
| | [[Kategorie:Geistesleben]] |
Als Kuratorien wurden von den Nachfolgern Rudolf Steiners jene Institutionen bezeichnet, die im Freien Geistesleben Schenkungsgelder sowie die Aufgaben im Freien Geistesleben organisieren und verteilen. Darüber hinaus sollen die Kuratorien des Freien Geisteslebens anstelle der Nachfolge durch Erbe den Übergang vom jeweiligen vorherigen Unternehmensleiter zu seinem geeignetsten und fähigsten Nachfolger bewerkstelligen.
Innerhalb der heutigen Rechtsformen käme zuvorderst, trotz aller damit verbundenen Hindernisse, die Rechtsform eines "wirtschaftlichen Vereins" in Betracht.
"In meinen «Kernpunkten der sozialen Frage» habe ich versucht,
zu zeigen, dass eine wahrhaft soziale Denkungsart nicht
anstreben kann die Überführung der Kapitalverwaltung durch
den einzelnen oder durch die Menschengruppe in diejenige
durch die Gemeinschaft; sondern dass, im Gegenteil, der
einzelne die Möglichkeit haben müsse, ungehemmt seine
Fähigkeiten durch Kapitalverwertung in den Dienst der
Gemeinschaft zu stellen, und dass, wenn dieser einzelne seine
Fähigkeiten nicht mehr auf die Kapitalverwertung wenden will
oder kann, diese übertragen werden müsse auf einen andern,
der gleiche Fähigkeiten hat. Diese Übertragung soll nicht durch
staatliche Bevorrechtung oder wirtschaftliche Macht bewirkt
werden, sondern durch das auf Grund der Erziehung im freien
Geistesleben erworbene Herausfinden desjenigen als
Nachfolger, der vom sozialen Gesichtspunkte der geeigneteste
ist." (Rudolf Steiner, GEISTESPFLEGE UND WIRTSCHAFTSLEBEN,
Erstveröffentlichung in: Die Dreigliederung des sozialen Organismus,
I. Jg. 1919/20, Heft 13, Oktober 1919 (GA 24, S. 70-74) hier S. 73)
Literatur
- Benediktus Hardorp: Kapitalverwaltung - eine Aufgabe des Geisteslebens. Zeitbedeutung und Gestaltungsansätze. In: Dietz/Schmid-Brabant/Biesantz/Kracht/Basgeld/Hardorp/Smit: Geisteswissenschaft und Gesellschaftsgestaltung, Vlg. am Goetheanum, Dornach 1987, S. 73 - 84
- Benediktus Hardorp: Elemente einer sozialen Baukunst - ein Beitrag zum Unternehmensverständnis. In: Ekkehard Kappler/Thomas Knoblauch: Innovationen - Wie kommt das Neue in die Unternehmung?, Vlg. Bertelsmann Stiftung, Gütersloh 1996, S. 153 - 182 (hier: S. 169)
- Wilhelm Schmundt: Zeitgemäße Wirtschaftsgesetze, Achberger Vlg., Achberg 1975, S. 22 - 25
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