Geschichte der Mathematik und Qualitätsmanagement: Unterschied zwischen den Seiten

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Die '''Geschichte der Mathematik''' reicht zurück bis ins [[Altertum]] und den Anfängen des [[Zählen]]s in der [[Jungsteinzeit]]. Nachweise erster Anfänge von Zählverfahren reichen ca. 50.000 Jahre zurück.<ref>Howard Eves: ''An Introduction to the History of Mathematics''. 6th Edition, 1990 S.&nbsp;9.</ref> Der [[Pyramide (Bauwerk)|Pyramidenbau]] im [[Altes Ägypten|Alten Ägypten]] vor über 4500 Jahren mit seinen exakt berechneten Formen ist ein deutliches Anzeichen für das Vorhandensein von bereits weitreichenden [[Mathematik|mathematischen]] Kenntnissen. Im Gegensatz zur Mathematik der Ägypter, von der wegen der empfindlichen [[Wikipedia:Papyrus|Papyri]] nur wenige Quellen existieren, liegen von der babylonischen Mathematik in [[Mesopotamien]] etwa 400 Tontafeln vor. Die beiden Kulturräume hatten zwar unterschiedliche [[Wikipedia:Zahlensystem|Zahlensysteme]], kannten aber beide die vier [[Grundrechenart]]en sowie Annäherungen für die [[Kreiszahl|Kreiszahl <math>\pi</math>]]. Mathematische Belege aus China sind deutlich jüngeren Datums, da Dokumente durch Brände vernichtet wurden, ähnlich schlecht lässt sich die frühe indische Mathematik datieren. Im [[antike]]n Europa wurde die Mathematik von den Griechen als [[Wissenschaft]] im Rahmen der [[Philosophie]] betrieben. Aus dieser Zeit datiert die Orientierung an der Aufgabenstellung des „rein logischen Beweisens“ und der erste Ansatz einer [[Axiomatisierung]], nämlich die [[euklidische Geometrie]]. Persische und arabische Mathematiker griffen die von den Römern eher vernachlässigten griechischen, aber auch indische Erkenntnisse auf und begründeten die [[Algebra]]. Von Spanien und Italien aus verbreitete sich dieses Wissen in die europäischen [[Klosterschule]]n und Universitäten. Die Entwicklung der modernen Mathematik (höhere Algebra, [[analytische Geometrie]], [[Wahrscheinlichkeitstheorie]], [[Analysis]] u. a.) erfolgte in Europa ab der [[Renaissance]]. Europa blieb bis ins 19. Jahrhundert das Zentrum der Entwicklung der Mathematik, das 20. Jahrhundert sah eine „explosionsartige“ Entwicklung und eine Internationalisierung der Mathematik mit einem deutlichen Schwerpunkt in den USA, die besonders nach dem Zweiten Weltkrieg Mathematiker aus aller Welt anzogen mit einem großen Bedarf aufgrund der expansiven technologischen Entwicklung.
'''Qualitätsmanagement''' (''QM'') bezeichnet in der [[Wirtschaft]] eine [[Funktion (Organisation)|Funktion]] ([[Management]]) und alle organisatorischen Maßnahmen, die der Verbesserung der [[Prozessqualität]], der [[Arbeitsqualität]] und damit der [[Produktqualität|Produkt-]] und [[Dienstleistungsqualität]] dienen.  


== Mathematik der alten Ägypter ==
== Allgemeines ==  
{{WikipediaDE|Mathematik im Alten Ägypten}}
Der Begriff ''Leistungen'' umfasst im QM die [[Dienstleistung]]en, geht aber über den üblichen Begriff hinaus und betrifft vor allem die innerorganisatorischen [[Leistung (Rechnungswesen)|Leistungen]]. Qualitätsmanagement ist eine Kernaufgabe des [[Management]]s. In [[Wirtschaftszweig]]en wie der [[Luftfahrt|Luft]]- und [[Raumfahrt]], [[Automobilindustrie]], [[Medizintechnik]], Teilen der [[Gesundheitsversorgung]], der [[Medizinische Rehabilitation|medizinischen Rehabilitation]] oder der [[Pharmazie|Arznei]]- und [[Lebensmittel]]herstellung ist ein [[Qualitätsmanagementsystem]] vorgeschrieben.


Die wichtigsten der wenigen erhaltenen Quellen, die uns Auskunft über die mathematischen Fähigkeiten der Ägypter geben, sind der [[Papyrus Rhind]], der [[Papyrus Moskau 4676|Papyrus Moskau]] und die sogenannte „Lederrolle“.
Bereits seit etwa 1900 wurden verschiedene [[#Modelle und Standards|Modelle]] zur [[Standardisierung]] des Qualitätsmanagements entwickelt.


Die Ägypter verwendeten die Mathematik meist nur für praktische Aufgaben wie die Lohnberechnung, die Berechnung von Getreidemengen zum Brotbacken oder [[Planimetrie|Flächenberechnungen]]. Sie kannten die vier [[Grundrechenarten]], so die [[Subtraktion]] als Umkehrung der [[Addition]], die [[Multiplikation]] führte man auf das fortgesetzte Verdoppeln zurück und die [[Division (Mathematik)|Division]] auf das wiederholte Halbieren. Um die Division vollständig durchführen zu können, verwendeten die Ägypter [[Bruchrechnung|allgemeine Brüche]] natürlicher Zahlen, die sie durch Summen von [[Stammbruch|Stammbrüchen]] und dem Bruch 2/3 darstellten. Sie konnten auch [[Gleichung]]en mit einer abstrakten [[Variable (Mathematik)|Unbekannten]] lösen. In der [[Geometrie]] waren ihnen die Berechnung der [[Flächeninhalt|Flächen]] von [[Dreieck]]en, [[Rechteck]]en und [[Trapez (Mathematik)|Trapezen]], <math>\!^{{\left(\frac{16}{9}\right)}^2}</math> als Näherung der [[Kreiszahl]] π (pi) und die Berechnung des [[Volumen]]s eines quadratischen [[Pyramidenstumpf]]s<ref>[http://www.math.tamu.edu/~don.allen/history/egypt/node4.html Moscow Papyrus]</ref> bekannt. Archäologische Funde von Aufzeichnungen einer mathematischen [[Beweis (Mathematik)|Beweisführung]] fehlen bis heute. Sie hatten für Zahlen eigene [[Hieroglyphen]], ab dem Jahr 1800&nbsp;v.&nbsp;Chr. benutzten sie die [[hieratische Schrift]], die mit abgerundeten und vereinfachten hieroglyphischen Schriftzeichen geschrieben wurde.
== Einsatz ==
Die [[Wirtschaftswissenschaft]]en sehen Qualitätsmanagement als Teilbereich des funktionalen [[Managementprozess|Managements]], mit dem Ziel, die Effektivität und Effizienz einer [[Arbeit (Betriebswirtschaftslehre)|Arbeit]] ([[Arbeitsqualität]]) oder von [[Geschäftsprozess]]en zu erhöhen. Dabei sind materielle und zeitliche Vorgaben zu berücksichtigen sowie die Qualität von [[Produkt (Wirtschaft)|Produkt]] oder [[Dienstleistung]] zu erhalten oder weiterzuentwickeln.


== Mathematik der Babylonier ==
Inhalte sind etwa die Optimierung von [[Kommunikation]]sstrukturen, professionelle Lösungsstrategien, die Erhaltung oder Steigerung der Zufriedenheit von [[Kunde]]n oder [[Klientel|Klienten]] sowie der Motivation der Belegschaft, die [[Standardisierung]]en bestimmter Handlungs- und Arbeitsprozesse, [[Normung|Normen]] für Produkte oder Leistungen, [[Dokumentation]]en, [[Berufliche Weiterbildung]], Ausstattung und Gestaltung von Arbeitsräumen.
[[Datei:Ybc7289-bw.jpg|mini|Babylonische Keilschrifttafel YBC 7289 mit einer sexagesimalen Näherung für die Quadratwurzel von 2 (auf der Diagonalen)]]
{{WikipediaDE|Babylonische Mathematik}}


Die [[Babylon]]ier verwendeten ein [[Sexagesimalsystem|Sexagesimal]]-[[Stellenwertsystem]] für die Darstellung von beliebigen Zahlen sowie die Rechenarten der [[Addition]], [[Subtraktion]], [[Multiplikation]] und [[Division (Mathematik)|Division]] (Multiplikation mit dem [[Kehrwert]]). Neben dem [[Algorithmus]] für die Berechnung von [[Quadratwurzel]]n legten sie Zahlen[[tabelle]]n (z.&nbsp;B. für Kehrwerte, [[Quadrat (Geometrie)|Quadrate]], Kuben, Quadratwurzeln, [[Kubikwurzel]]n und [[Logarithmus|Logarithmen]]) an. Die Babylonier berechneten Zwischenwerte durch [[lineare Interpolation]] und konnten [[quadratische Gleichung]]en lösen. Sie kannten den [[Satz des Pythagoras]] und als Näherung für die [[Kreiszahl]] π benutzten sie 3 oder 3+1/8. Eine [[Mathematische Strenge|strenge Beweisführung]] strebten die Babylonier offenbar nicht an.
Bei der Gestaltung von [[Arbeitsablauf|Arbeitsabläufen]] in [[Organisation]]en soll Qualitätsmanagement sicherstellen, dass Qualitätsbelange den zugewiesenen Platz einnehmen. Qualität bezieht sich dabei sowohl auf die vermarkteten Produkte und Dienstleistungen, als auch auf die internen Prozesse der Organisation und ist definiert als das Maß, in dem das betrachtete Produkt oder der betrachtete Prozess den Anforderungen genügt. Diese Anforderungen können explizit definiert sein, sie können aber auch implizit vorausgesetzt werden (Erwartungen).


== Mathematik in Griechenland ==
Qualitätsmanagement führt somit nicht zwangsläufig zu einem höherwertigen Ergebnis, sondern zielt auf die Sicherstellung der ''vorgegebenen'' Qualität. Auch der Herstellungsprozess eines [[Billigprodukt]]s kann einem vollständigen Qualitätsmanagement unterliegen. Qualitätszertifizierungen etwa nach ISO sagen somit nichts über die Produktqualität aus, wie teilweise durch Werbung suggeriert, sondern nur über das Qualitätsmanagement im Herstellungsprozess.
Die Mathematik der [[Klassische Antike|griechischen Antike]] teilt sich in vier große Perioden:<ref>Heinz-Wilhelm Alten et&nbsp;al.: ''4000&nbsp;Jahre Algebra''. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2003, ISBN 3-540-43554-9, S.&nbsp;49.</ref>
* Ionische Periode (Ionische Philosophie/[[Vorsokratiker]]: [[Thales]], [[Pythagoras von Samos|Pythagoras]], [[Anaxagoras]], [[Demokrit]], [[Hippokrates von Chios|Hippokrates]], [[Theodoros]]) von 600 bis 400&nbsp;v.&nbsp;Chr.
* Athenische Periode ([[Sophistik|Sophisten]], [[Platon]], [[Aristoteles]], [[Theaitetos (Mathematiker)|Theaitetos]], [[Eudoxos von Knidos]], [[Menaichmos (Mathematiker)|Menaichmos]], [[Deinostratos]], [[Autolykos von Pitane]]) von 400 bis 300&nbsp;v.&nbsp;Chr.
* [[Alexandrinische Periode]] ([[Euklid]]es, [[Aristarchos von Samos|Aristarchos]], [[Archimedes]], [[Eratosthenes]], [[Nikomedes (Mathematiker)|Nikomedes]], [[Apollonios von Perge|Apollonios]]) von 300 bis 200&nbsp;v.&nbsp;Chr.
* Spätzeit ([[Hipparchos (Astronom)|Hipparchos]], [[Menelaos (Mathematiker)|Menelaos]], [[Heron von Alexandria]], [[Ptolemäus]], [[Diophant von Alexandrien]], [[Pappos]]) von 200&nbsp;v.&nbsp;Chr. bis 300&nbsp;n.&nbsp;Chr.


Nach einer aus der Antike stammenden, aber unter Wissenschaftshistorikern umstrittenen Überlieferung beginnt die Geschichte der Mathematik als Wissenschaft mit [[Pythagoras von Samos]]. Ihm wird – allerdings wohl zu Unrecht – der Grundsatz „alles ist Zahl“ zugeschrieben. Er begründete die Schule der [[Pythagoreer]], aus der später Mathematiker wie [[Hippasos von Metapont]] und [[Archytas von Tarent]] hervorgingen. Im Unterschied zu den Babyloniern und Ägyptern hatten die Griechen ein [[Philosophie|philosophisches]] Interesse an der Mathematik. Zu den Erkenntnissen der Pythagoreer zählt die [[Irrationale Zahl|Irrationalität]] geometrischer Streckenverhältnisse, die von Hippasos entdeckt worden sein soll. Die früher verbreitete Ansicht, dass die Entdeckung der Irrationalität bei den Pythagoreern eine philosophische „Grundlagenkrise“ auslöste, da sie ihre früheren Überzeugungen erschütterte, wird jedoch von der heutigen Forschung verworfen. Die antike Legende, wonach Hippasos Geheimnisverrat beging, indem er seine Entdeckung veröffentlichte, soll aus einem Missverständnis entstanden sein.
== Historische Entwicklung ==
{| class="wikitable"
|-
! width="75" align="left"|Zeit
! width="300" align="left"|Schlagwort
! width="250" align="left"|Beschreibung
! align="left"|Vorreiter
|-
|um 1900 || [[Qualitätskontrolle]] || Aussortieren von fehlerhaften Produkten
|[[Henry Ford|Ford]], [[Frederick Winslow Taylor|Taylor]]
|-
|um 1930 || [[Qualitätsprüfung]] || Steuerung basierend auf [[Statistik]]en
|[[Walter A. Shewhart]] z. B. Regelkarten
|-
|um 1960 || Qualitätsmaßnahmen im ganzen Unternehmen || Vorbeugende Maßnahmen
|[[Genichi Taguchi]], [[William Edwards Deming|W.E. Deming]]
|-
|um 1964 || Null-Fehler-Programm des US-Verteidigungsministeriums || Ziel der Perfektion
|[[Philip B. Crosby]]
|-
|um 1985 || Null-Fehlerstrategie || [[Six Sigma]]
|[[General Electric]], [[Motorola]]
|-
|  1988 || [[EFQM-Modell]] || [[EFQM-Modell#Kriterien|neun ganzheitliche Kriterien]]
|[[European Foundation for Quality Management|EFQM]]
|-
|um 1990 || umfassendes Qualitätskonzept || Integration von Teilkonzepten
|[[Ishikawa Kaoru|Ishikawa]] 5-Why Six-Sigma
|-
|1995 || [[Total-Quality-Management]] || Qualität als Systemziel
|[[William Edwards Deming|W.E. Deming]], [[Malcolm Baldrige]] KVP kontinuierlicher Verbesserungs-Prozess
|-
|}


In der [[Platonische Akademie|Platonischen Akademie]] in Athen stand die Mathematik hoch im Kurs. [[Platon]] schätzte sie sehr, da sie dazu diente, wahres Wissen erlangen zu können. Die griechische Mathematik entwickelte sich danach zu einer [[Beweis (Mathematik)|beweisenden]] [[Wissenschaft]]. [[Aristoteles]] formulierte die Grundlagen der [[Aussagenlogik]]. [[Eudoxos von Knidos]] schuf mit der [[Exhaustionsmethode]] zum ersten Mal eine rudimentäre Form der [[Infinitesimalrechnung]]. Wegen des Fehlens von reellen Zahlen und Grenzwerten war diese Methode allerdings recht unhandlich. [[Archimedes]] erweiterte diese und berechnete damit unter anderem eine Näherung für die [[Kreiszahl]] π.
== Modelle und Standards ==
Es gibt eine Reihe von [[Qualitätsmanagementnorm]]en, welche als Rahmen oder auch als verpflichtende Vorgabe für die Etablierung eines Qualitätsmanagementsystems herangezogen werden. Die Nutzung der verschiedenen Qualitätsstandards zeigt starke regionale und branchenspezifische Unterschiede. Vor allem asiatische und angelsächsische Hersteller, insbesondere in der [[Industrie]], haben Qualitätsmanagementmethoden eingeführt.


[[Euklid]] fasste in seinem Lehrbuch ''[[Elemente (Euklid)|Elemente]]'' einen Großteil der damals bekannten Mathematik (Geometrie und Zahlentheorie) zusammen. Unter anderem wird darin bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Dieses Werk gilt als Musterbeispiel für mathematisches Beweisen: aus wenigen Vorgaben werden alle Ergebnisse in einer Strenge hergeleitet, die es zuvor nicht gegeben haben soll. Euklids „Elemente“ wird auch noch heute nach über 2000 Jahren als Lehrbuch verwendet.
=== EFQM und ISO 9001 ===
Die bekanntesten Qualitätsmanagementmodelle sind das [[EFQM-Modell]] (''[[European Foundation for Quality Management]]''-Modell) sowie die [[ISO 9001]], die beide Schnittmengen in der Prozessorientierung haben.


Im Gegensatz zu den Griechen befassten sich die antiken [[Römisches Reich|Römer]] kaum mit höherer Mathematik, sie waren mehr an praktischen Anwendungen etwa im Vermessungs- und Ingenieurswesen interessiert. Bis zur Spätantike blieb die Mathematik weitgehend eine Domäne der griechischsprachigen Bewohner des Reichs, der Schwerpunkt mathematischer Forschung lag in römischer Zeit auf Sizilien und in Nordafrika, dort vor allem in [[Alexandria]]. Pappos lieferte neue Beiträge zur Geometrie (auch mit ersten Resultaten zur Projektiven Geometrie), Apollonios zu [[Kegelschnitt]]en und Diophant lieferte Beiträge zu einer geometrisch verkleideten Algebra und zur Zahlentheorie (Lösung ganzzahliger Gleichung, nach ihm später Diophantische Probleme genannt). Die letzte, namentlich bekannte Mathematikerin in Alexandria war [[Hypatia]], die 415 von einem christlichen Mob getötet wurde.
Das EFQM-Modell ist europäisch ausgerichtet und ermöglicht ebenso ein Zertifikat durch einen Auditor – wie das der EN ISO 9001. Es ist im Gegensatz zur ISO 9001:2015 ein Wettbewerbsmodell, welches nicht auf die Erfüllung von Vorgaben, sondern auf die Selbstverantwortung in der Bewertung abzielt. Zentrales Anliegen des EFQM-Modells ist die stetige Verbesserung mittels Innovation und Lernen in allen Unternehmensteilen und in Zusammenarbeit mit anderen EFQM-Anwendern. Es orientiert sich laufend an weltbesten Umsetzungen, so dass es für ein Unternehmen nie möglich ist, die Maximalpunktzahl zu erreichen. Es besteht somit im Vergleich zur ISO 9001:2008 eine größere Motivation für weitere Verbesserungen. EFQM lässt sich nicht nur auf Wirtschaftsunternehmen, sondern auch auf Dienstleistungs- und soziale Einrichtungen anwenden. Die Revision ISO 9001:2015 folgt dem Ansatz des EFQM-Modells in Bezug auf ständige Verbesserung sowie Risikomanagement sowohl auf operativer als auch strategischer Ebene.


== Chinesische Mathematik ==
=== Spezielle Modelle ===
Das erste noch erhaltene Lehrbuch chinesischer Mathematik ist das ''[[Zhoubi suanjing]]''. Es wurde während der [[Han-Dynastie]], zwischen 206&nbsp;v.&nbsp;Chr. bis 220&nbsp;n.&nbsp;Chr., von [[Liu Hui]] ergänzt, da infolge der Bücher- und Urkundenverbrennungen während der [[Qin-Dynastie]] die meisten mathematischen Aufzeichnungen zerstört waren und aus dem Gedächtnis heraus wieder aufgeschrieben wurden. Die mathematischen Erkenntnisse werden bis in das 18.&nbsp;Jahrhundert v.&nbsp;Chr. datiert. Es folgten später bis 1270&nbsp;n.&nbsp;Chr. weitere Ergänzungen. Es enthält außerdem einen Dialog über den [[Kalender]] zwischen Zhou Gong Dan, dem Herzog von Zhou, und dem Minister Shang Gao. Fast genauso alt ist ''[[Jiu Zhang Suanshu]]'' („Neun Kapitel über mathematische Kunst“), welches 246&nbsp;Aufgaben über verschiedene Bereiche enthält; unter anderem ist darin auch der Satz des Pythagoras zu finden, jedoch ohne jegliche Beweisführung. Die Chinesen verwandten ein dezimales Stellenwertsystem aus waagerechten und senkrechten Strichen (Suan&nbsp;Zi, „Rechnen mit Pfählen“ genannt)<ref>Ifrah ''Universalgeschichte der Zahlen''. Zweitausendeins, Kapitel&nbsp;29.</ref> geschrieben; um 300&nbsp;n.&nbsp;Chr. errechnete Liu Hui über ein [[Vieleck|3072-Eck]] die Zahl 3,14159 als Näherung für π.
* Neuere Qualitätsstandards wie [[ISO/TS 16949|IATF 16949]]:2016 orientieren sich stärker an den schon lange bekannten und fundierten Methoden der Begründer des industriellen Qualitätsgedankens ([[William Edwards Deming|W. Edwards Deming]], [[Walter A. Shewhart]]).
*Für den öffentlichen Sektor wurde in Europa das auf EFQM aufbauende CAF ([[Common Assessment Framework]])-Modell entwickelt.
*Für Organisationen mit Entwicklungsaufgaben (interne IT-Abteilungen, Auto-Entwicklung, Maschinen-Entwicklung) gibt es das [[Capability Maturity Model Integration]] (CMMI) als ein spezialisiertes Prozessmodell. Durch die spezifische Ausrichtung auf Entwicklungsorganisationen kann CMMI detaillierter auf einzelne Prozessaspekte eingehen.
*In der Produktion werden statistische Mittel verwendet, um den Herstellungsprozess zu überwachen. Zu den darauf aufbauenden Qualitätsstrategien gehört auch [[Six Sigma]].
*Im [[Projektmanagement]] werden ebenfalls eigene Qualitätsmanagementverfahren eingesetzt, siehe [[Qualitätsmanagement im Projektmanagement]].
*Speziell für Architektur- und Ingenieurbüros wurde in Zusammenarbeit mit dem TÜV Rheinland 2007 das QualitätsZertifikat Planer am Bau („QZ Planer am Bau“ ist eingetragene Wortmarke beim Deutschen Patent- und Markenamt) entwickelt.
*Die strengsten Zertifizierungen sind jene der Automobilindustrie, wie die IATF16949:2016 oder deren Vorgänger QS-9000 und [[Verband der Automobilindustrie|VDA]] 6.1.
*Eigene Standards sind vorgesehen in der Medizin und der Medizintechnik, wie unter [[Qualitätsmanagement in der Medizin]] beschrieben, sowie
**im Weiterbildungsbereich,
**in der Luft- und Raumfahrt und
**in Kernkraftwerken.


Den Höhepunkt erreichte die chinesische Mathematik im 13.&nbsp;Jahrhundert. Der bedeutendste Mathematiker dieser Zeit war [[Zhu&nbsp;Shijie]] mit seinem Lehrbuch ''[[Siyuan Yujian]]'' („kostbarer Spiegel der vier Elemente“), das [[algebraische Gleichung]]ssysteme und algebraische Gleichungen vierzehnten Grades behandelte und diese durch eine Art [[Hornerverfahren]] löste. Nach dieser Periode kam es zu einem jähen Abbruch der Mathematik in China. Um 1600 griffen [[Japan]]er die Kenntnisse in der [[Wasan]] (Japanische Mathematik) auf. Ihr bedeutendster Mathematiker war [[Seki Takakazu]] (um 1700). Mathematik wurde als geheime Tempelwissenschaft betrieben.
== Bewertung ==
{{WikipediaDE|Bewertung (Qualitätsmanagement)}}


== Indidische Mathematik ==
Viele Qualitätsmanagementmodelle unternehmen den Versuch, die Prozesse objektiv bewertbar zu machen. Dabei sind zwei grundlegend verschiedene Ansätze zu unterscheiden:
[[Datei:Aryabhata.jpeg|mini|hochkant|Aryabhata]]
{{WikipediaDE|Indische Mathematik}}


Datierungen sind, einem Bonmot des Indologen [[William Dwight Whitney|W.&nbsp;D.&nbsp;Whitney]] zufolge, in der gesamten indischen Geschichte außerordentlich problematisch.<ref>„Alle in der indischen Literaturgeschichte gegebenen Daten sind gleichsam wieder zum Umwerfen aufgesetzte Kegel“ aus: Alois Payer: ''Einführung in die Exegese von Sanskrittexten. Skript''. Kap.&nbsp;8: ''Die eigentliche Exegese.'' Teil&nbsp;II: ''Zu einzelnen Fragestellungen synchronen Verstehens'' ([http://www.payer.de/exegese/exeg08.htm online]).</ref>
a) Zertifizierbare Normen mit definierten Mindestanforderungen an ein wirksames [[Qualitätsmanagementsystem]], beispielsweise die EN ISO 9001, die durch [[Audit]]s bewertet werden.


Die ältesten Andeutungen über geometrische Regeln zum Opferaltarbau finden sich bereits im [[Rig Veda]]. Doch erst mehrere Jahrhunderte später entstanden (d.&nbsp;h. wurden kanonisiert) die [[Sulbasutra]]s („Seilregeln“, geometrische Methoden zur Konstruktion von Opferaltären) und weitere Lehrtexte wie beispielsweise die Silpa Sastras (Regeln zum Tempelbau) usw. Möglicherweise halbwegs verlässlich datiert auf etwa um 500&nbsp;n.&nbsp;Chr. das [[Aryabhata|Aryabhatiya]] und verschiedene weitere „[[Siddhantas]](„Systeme“, hauptsächlich astronomische Aufgaben). Die Inder entwickelten das uns vertraute [[Dezimalsystem|dezimale]] [[Positionssystem]], das heißt die Polynomschreibweise zur Basis&nbsp;10 sowie dazugehörende Rechenregeln. Schriftliches Multiplizieren in babylonischer, ägyptischer oder römischer Zahlnotation war außerordentlich kompliziert und arbeitete mittels Substitution; d.&nbsp;h. mit vielen auf die Notation bezogenen Zerlegungs- und Zusammenfassungsregeln, während sich in indischen Texten viele „elegante“ und einfache Verfahren beispielsweise auch schon zum schriftlichen Wurzelziehen finden.
b) Selbstbewertung des eigenen Qualitätsmanagementsystems und [[Benchmarking]] zwischen Wettbewerbern um einen Qualitätspreis, beispielsweise den [[EFQM-Modell|EFQM Excellence Award]] der [[European Foundation for Quality Management]] (Wirtschaft), den [[Speyerer Qualitätswettbewerb]] (für den öffentlichen Sektor) oder den [[Ludwig-Erhard-Preis (ILEP)|Ludwig-Erhard-Preis]], der deutsche Preis nach den Regeln des EFQM mit hohem politischen Ansehen, innerhalb dessen die Wirksamkeit der im Wettbewerb stehenden Qualitätsmanagementsysteme miteinander verglichen werden.


Unsere Zahlzeichen ([[indische Ziffer]]n) für die Dezimalziffern leiten sich direkt aus der indischen [[Devanagari]] ab. Die früheste Verwendung der [[Null|Ziffer&nbsp;0]] wird auf etwa 400&nbsp;n.&nbsp;Chr. datiert; [[Aryabhata]] um 500 und [[Bhaskara I.|Bhaskara]] um 600 verwendeten sie jedenfalls bereits ohne Scheu, sein Zeitgenosse [[Brahmagupta]] rechnete sogar mit ihr als Zahl und kannte negative Zahlen. Die Benennung der Zahlzeichen in verschiedenen Kulturen ist uneinheitlich: Die Araber nennen diese (adoptierten Devanagari-) Ziffern „indische Zahlen“, die Europäer auf Grundlage der mittelalterlichen Rezeptionsgeschichte „arabische Zahlen“ und die Japaner aus analogem Grund ''Romaji'', das heißt lateinische oder römische Zeichen (zusammen mit dem lateinischen Alphabet). Unter „[[Römische Zahlschrift|römischen Zahlen]]“ verstehen Europäer wiederum etwas anderes.
=== Kritik ===
Kritisch wird häufig kommentiert, dass nur extern auditierte und zertifizierte Qualitätsmanagementmodelle objektiven Kriterien standhalten, da bei einer Selbstbewertung oftmals zugunsten der eigenen Situation bewertet wird. Von Auditoren ausgestellte Zertifikate, beispielsweise die drei möglichen Zertifikate der EFQM, legen daher einen Schwerpunkt auf externe [[Audit]]s anstelle von Selbstbewertungen.
{{Siehe auch|Evaluation#Qualitätsmanagement|titel1=Evaluation und Qualitätsmanagement}}Die Sozialwissenschaftlerin Bettina Warzecha vertritt den Standpunkt, dass sich komplexe Arbeitsabläufe nicht durch Kennzahlen abbilden lassen: Es sei ein Mythos, dass industrielle Prozesse mittels Qualitätsmanagement beherrschbar seien.<ref name="Bergmann">http://www.brandeins.de/archiv/2010/qualitaet/ungesunde-ordnung/ Interview mit der Sozialwissenschaftlerin Bettina Warzecha: ''Ungesunde Ordnung'', brand eins (Wirtschaftsmagazin) ''12''. Jahrgang, Heft 10 vom Oktober 2010, S. 120–124.</ref><ref name="Warzecha">Bettina Warzecha: ''Problem Qualitätsmanagement – Prozessorientierung, Beherrschbarkeit und Null-Fehler-Abläufe als moderne Mythen'', Verlag für Planung und Organisation, 2009, 163 Seiten, ISBN 978-3-00-028012-2.</ref>


Mit der [[Islamische Expansion|Ausbreitung des Islams]] nach Osten übernahm um etwa 1000 bis spätestens 1200 die muslimische Welt viele der indischen Erkenntnisse, islamische Wissenschaftler übersetzten indische Werke ins Arabische, die über diesen Weg auch nach Europa gelangten. Ein Buch des persischen Mathematikers [[Al-Chwarizmi|Muhammad ibn Musa Chwarizmi]] wurde im 12.&nbsp;Jahrhundert in Spanien ins [[Latein]] übersetzt. Die indischen Ziffern ''(figurae Indorum)'' wurden zuerst von italienischen Kaufleuten verwendet. Um 1500 waren sie auf dem Gebiet des heutigen Deutschland bekannt.
Der Sozial- und Wirtschaftswissenschaftler [[Paul Reinbacher]] qualifiziert Qualitätsmanagement als [[Kitsch]], da es Komfortzonen schaffe, in denen Erwartungen erfüllt, aber keine neuen Impulse generiert werden. In diesem Sinne sei Qualitätsmanagement tendenziell konservativ statt innovativ.<ref>Paul Reinbacher: ''Qualitätsmanagement? Kitsch!'' In: [http://www.theeuropean.de/paul-reinbacher/10501-komfortzone-qualitaetsmanagement/ ''The European. Das Debatten-Magazin.''] 12. Oktober 2015.</ref>
Auch ein funktionierendes QM-System gibt keinen Aufschluss darüber ob die Produkte oder Dienstleistungen dem allgemeinen Qualitätsverständnis entsprechen und somit von hoher Qualität sind.


Andere bedeutende Mathematiker waren [[Brahmagupta]] (598–668) und [[Bhaskara II.|Bhaskara II]] (1114–1185).
== Struktur ==
Qualitätsmanagement ist ein [[Selbstreferenzialität|selbstreferenzieller]] Prozess, das heißt, die Verfahren zur Verbesserung des jeweiligen Gegenstands lassen sich auch auf den Qualitätsmanagementprozess selbst anwenden.


== Mathematik in der Blütezeit des Islam ==
=== Management ===
{{WikipediaDE|Mathematik in der Blütezeit des Islam}}
Im QM als Managementaufgabe werden festgelegt:
* Qualitätspolitik
* Ziele
* Verantwortungen


In der islamischen Welt bildete für die Mathematik die Hauptstadt [[Bagdad]] das Zentrum der Wissenschaft. Die muslimischen Mathematiker übernahmen die [[Indien|indische]] [[Dezimalsystem|Positionsarithmetik]] und den [[Sinus]] und entwickelten die griechische und indische [[Trigonometrie]] weiter, ergänzten die griechische Geometrie und übersetzten und kommentierten die mathematischen Werke der Griechen. Die bedeutendste mathematische Leistung der Muslime ist die Begründung der heutigen Algebra. Diese Kenntnisse gelangten über Spanien, die [[Kreuzzug|Kreuzzüge]] und den italienischen Seehandel nach Europa. In der [[Übersetzerschule von Toledo]] etwa wurden viele der arabischen Schriften ins Lateinische übertragen.
Dabei liegt es im Interesse des Managements, eindeutige Beschreibungen niederzulegen, andernfalls kann es persönlich für die durch das Produkt eingetretenen Schäden zur Verantwortung gezogen werden.


Folgende Phasen können unterschieden werden:
Die DIN EN [[ISO 9001]]:2015 sieht eine in regelmäßigen Abständen durchzuführende Bewertung des [[Qualitätsmanagementsystem]]s Norm durch die oberste Leitung, also die Geschäftsführung vor. Es werden keine einzelnen Personen bewertet, sondern nur das System. Ferner wird davon abgeraten, die Bewertung des QMS durch den eigenen [[Qualitätsbeauftragter|Qualitätsmanagementbeauftragten]] (QMB) durchzuführen, denn eine Selbst-Bewertung macht wenig Sinn.
* Frühzeit: [[Al-Chwarizmi]] (um 820&nbsp;n.&nbsp;Chr.), Name steckt im Wort „[[Algorithmus]]“ (Rechnen nach Art des Algorismi), schrieb ''[[De numero indorum]]'', in dem das indische [[Positionssystem]] beschrieben ist, und ''[[Hisab al-dschabr wa-l-muqabala|Al-dschabr wa'l muqabalah]]'' (Aufgabensammlung für Kaufleute und Beamte, steckt im Wort „[[Algebra]]“); andere Mathematiker: [[Thabit ibn Qurra]], [[al-Battani]] (''Albategnius''), [[al-Abbas ibn Said al-Dschauhari|al-Dschawhari]], [[Abu l-Wafa]].
* Hochblüte: um 1000&nbsp;n.&nbsp;Chr.; [[Muhammad al-Karadschi|al-Karadschi]] erweiterte die Algebra; der persische Mediziner, Philosoph und Mathematiker [[Avicenna]] (Ibn Sina) betonte die Bedeutung der Mathematik; [[al-Biruni]]; [[Alhazen|Ibn al-Haitham]] (Alhazen).
* Spätzeit: Der persische Dichter und Mathematiker [[Omar Chayyām]] (um 1100) verfasste ein Lehrbuch für Algebra; weitere wichtige Mathematiker dieser Zeit waren [[Nasīr ad-Dīn at-Tūsī|Nasir al-Din al-Tusi]] (um 1250) und [[Dschamschid Masʿud al-Kaschi|al-Kaschi]] (um 1400).


== Mathematik der Maya ==
In den Vorgaben der Norm wird gefordert, dass die Bewertung in „regelmäßigen Abständen“ stattfinden soll, in der Praxis wird die Bewertung im Jahresrhythmus vorgenommen. In der Bewertung des Qualitätsmanagementsystems wird der Frage nachgegangen, ob das QMS in Leistung und Wirksamkeit den aktuellen Ansprüchen gerecht wird oder eine Anpassung nach Kapitel 9.3.2 der ISO-Norm empfehlenswert ist. Inhaltlich gilt es, Rückschlüsse auf die Kundenzufriedenheit zu ziehen, oder ob es Veränderungen der internen und externen Anspruchsgruppen für das Unternehmen bedarf, sowie ein Resümee über Leistungen externer Anbieter und Ergebnisse von Überwachungen und Messungen.
Die Informationen zur Mathematik und Astronomie (Kalenderrechnung) der Maya stammt überwiegend aus dem [[Codex Dresdensis|Dresdner Kodex]]. Die [[Maya-Zahlschrift]] beruht auf der Basis&nbsp;20. Als Grund dafür wird vermutet, dass die Vorfahren der Maya mit Fingern und Zehen zählten. Die Maya kannten die Zahl&nbsp;0, aber verwendeten keine Brüche. Für die Darstellung von Zahlen verwendeten sie Punkte, Striche und Kreise, die für die Ziffern 1, 5 und 0 standen. Die Mathematik der Maya war hochentwickelt, vergleichbar mit den Hochkulturen im Orient. Sie verwendeten sie zur Kalenderberechnung und für die Astronomie. Der [[Maya-Kalender]] war der genaueste seiner Zeit.
Die Ergebnisse der Bewertung fließen in die aktuellen und die folgenden Auditberichte ein.<ref>{{Internetquelle |autor= |url=https://concept-pro.de/die-managementbewertung-im-qualitaetsmanagement/ |titel=Die Managementbewertung im Qualitätsmanagement |werk= |hrsg=concept-pro.de |datum= |zugriff=2018-11-15}}</ref>


== Mathematik in Europa ==
=== Regelkreis des Qualitätsmanagements ===
=== Mathematik im Mittelalter ===
Großer Wert wird auf die kontinuierliche Verbesserung der Prozesse gelegt. Erfahrungen daraus fließen wieder zurück in die Planung, so dass ein Regelkreis ([[Demingkreis]]) entsteht:<ref>{{Literatur |Autor=Schmitt, Robert; Pfeifer, Tilo; Reißiger, Wolf |Hrsg=Schmitt, Robert; Pfeifer, Tilo |Titel=Qualitätsgerechte Organisationsstrukturen |Sammelwerk=Masing Handbuch Qualitätsmanagement |Auflage=5 |Verlag=Hanser |Ort=München |Datum=2007 |ISBN=978-3-446-40752-7 |Seiten=54}}</ref>
Das [[Mittelalter]] als Epoche der europäischen Geschichte begann etwa mit dem [[Untergang des römischen Reiches|Ende des römischen Reiches]] und dauerte bis zur [[Renaissance]]. Die Geschichte dieser Zeit war bestimmt durch die [[Völkerwanderung]] und den Aufstieg des Christentums in Westeuropa. Der Niedergang des römischen Reiches führte zu einem Vakuum, das in Westeuropa erst durch den Aufstieg des [[Fränkisches Reich|Frankenreiches]] kompensiert wurde. Im Zuge der Gestaltung einer neuen politischen Ordnung durch die Franken kam es zu der sogenannten [[Karolingische Renaissance|karolingischen Renaissance]]. Das Wissen des Altertums wurde zunächst in Klöstern bewahrt. Klosterschulen wurden im späteren Mittelalter von Universitäten als Zentren der Gelehrsamkeit abgelöst. Eine wichtige Bereicherung der westeuropäischen Wissenschaft erfolgte, indem die arabische Überlieferung und Weiterentwicklung griechischer Mathematik, Medizin und Philosophie sowie die arabische Adaption indischer Mathematik und Ziffernschreibung auf dem Weg von Übersetzungen ins Lateinische im Westen bekannt wurden. Die Kontakte zu arabischen Gelehrten und deren Schriften ergaben sich einerseits als Folge der Kreuzzüge in den Vorderen Orient und andererseits durch die Kontakte mit den Arabern in Spanien und Sizilien, hinzu kamen Handelskontakte besonders der Italiener im Mittelmeerraum, denen zum Beispiel auch [[Leonardo da Pisa]] („Fibonacci“) einige seiner mathematischen Kenntnisse verdankte.
*[[Qualitätsplanung]] es wird ein Ist-Zustand ermittelt und die Rahmenbedingungen für das Qualitätsmanagement festgelegt. Danach werden Konzepte und Abläufe erarbeitet.
 
*[[Qualitätslenkung]] die in der Planphase gewonnenen Ergebnisse werden umgesetzt ([[Quality Function Deployment|QFD]], [[FMEA]]).
==== Aufstieg der Klosterschulen ====
*[[Qualitätssicherung]] – Auswerten qualitativer und quantitativer Qualitätsinformationen (Kosten-Nutzen-Betrachtungen, Überprüfen von gemachten Annahmen).
[[Datei:Boethius.jpeg|mini|hochkant|Boëthius (mittelalterliche Illustration)]]
*[[Qualität]]sgewinn aus vorheriger Phase gewonnene Informationen werden für Strukturverbesserungsmaßnahmen und [[Prozessoptimierung]] eingesetzt. Erfolge und Ergebnisse werden kommuniziert.
An der Grenze zwischen dem römischen Reich und dem beginnenden Neuen steht [[Boëthius]] (ca.&nbsp;480–524). Seine Einführung in die Arithmetik bildete die Grundlage für den Unterricht dieses Faches bis zum Ausgang des Mittelalters; ebenfalls einflussreich, wenn auch in geringerem Maße, war seine Einführung in die Geometrie. Im Jahre 781 berief [[Karl der Große]] den Gelehrten [[Alkuin]] von York (735–804) zum Leiter seiner Hofschule, der das Bildungswesen des Frankenreiches aufbauen sollte. Man nannte ihn auch den „Lehrer der Westfranken“. Im östlichen Frankenreich begründete ein Schüler Alkuins das Schulwesen, der aus Mainz stammende [[Rabanus Maurus]]. Mathematische Lehrinhalte wurden gemäß der Einteilung der [[Sieben Freie Künste|sieben freien Künste]] in den vier Fächern des [[Quadrivium]]s gelehrt:
* Arithmetik: Die Eigenschaften und Arten der Zahlen (z.&nbsp;B. gerade, ungerade, Primzahlen, Flächen- und Körperzahlen) sowie Proportionen und Zahlenverhältnisse, jeweils nach Boëthius, außerdem Grundkenntnisse über griechische und lateinische [[Zahlschrift]], Grundrechenarten, Fingerrechnen und im 11.–12.&nbsp;Jahrhundert [[Abakus (Rechenhilfsmittel)|Abakusrechnen]], seit dem 13.&nbsp;Jahrhundert auch schriftliches Rechnen mit arabischen Ziffern
* Geometrie: Elemente [[euklid]]ischer Geometrie, Mess- und Vermessungswesen, Geographie und z.&nbsp;T. auch Geschichte
* Astronomie: Grundkenntnisse der Ptolemäischen Astronomie und z.&nbsp;T. auch [[Astrologie]], seit dem 10.&nbsp;Jahrhundert Benutzung des [[Astrolabium|Astrolabs]], außerdem [[Komputistik]] zur Berechnung des Ostertermins und der beweglichen Feste des Kirchenjahres
* Musik: Harmonielehre nach den Zahlenverhältnissen der antiken [[Kirchentonarten]]
Bekannt sind folgende in Klöstern entstandenen Rechenbücher: Aufgaben zur Schärfung des Geistes Jugendlicher (um&nbsp;800) (früher [[Alkuin]] von York zugeschrieben), die Aufgaben aus den ''Annales Stadenses'' (Kloster Stade) (um&nbsp;1180) und die Practica des ''Algorismus Ratisbonensis'' (Kloster Emmeran Regensburg) (um&nbsp;1450).
 
==== Berechnung des Ostertermins ====
Die Berechnung des Termins für das [[Osterfest]], des wichtigsten Festes des [[Christentum]]s, spielte im Mittelalter eine große Rolle für die Weiterentwicklung der Mathematik. Karl der Große verfügte, dass sich in jedem Kloster ein Mönch mit der [[Komputistik]] zu befassen hatte. Dadurch sollte das Wissen um die Berechnung des [[Osterdatum]]s sichergestellt werden. Die genaue Berechnung des Termines und die Entwicklung des modernen [[Kalender]]s wurde durch diese Mönche weiterentwickelt, die Grundlagen übernahm das Mittelalter von [[Dionysius Exiguus]] (ca.&nbsp;470 bis ca.&nbsp;540) und [[Beda Venerabilis|Beda dem Ehrwürdigen]] (ca.&nbsp;673–735). Im Jahre&nbsp;1171 publizierte [[Reinher von Paderborn]] eine verbesserte Methode zur Berechnung des Osterdatums.
 
==== Universitäten ====
Die frühmittelalterlichen [[Klosterschule]]n wurden erst im weiteren Verlauf des Mittelalters ergänzt durch die [[Domschule|Kathedralschulen]], die Schulen der
[[Bettelorden]] und die Universitäten. Sie waren deshalb zunächst die einzigen Träger des antiken Kulturerbes, indem sie für die Abschrift und Verbreitung der antiken Werke sorgten. Die Abschrift, Kommentierung und kompilierende Aufbereitung des Lehrguts blieb lange Zeit die einzige Form der Auseinandersetzung mit den Themen der Mathematik. Erst im [[Hochmittelalter]] entwickelte sich die in Ansätzen kritischere Methode der [[Scholastik]], mit der Lehrmeinungen in ihrem pro und contra auf Widersprüche überprüft und diese nach Möglichkeit in Übereinstimmung mit den als grundlegend erachteten Standpunkten der kirchlichen und antiken Autoritäten aufgelöst wurden.
 
Diese Methode wurde ab dem 12.&nbsp;Jahrhundert auf die Darstellungen der antiken Wissenschaft angewendet, insbesondere die des Aristoteles. Im 12.&nbsp;Jahrhundert wurden die Universitäten in [[Sorbonne|Paris]] und [[University of Oxford|Oxford]] zum europäischen Zentrum der wissenschaftlichen Aktivitäten. [[Robert Grosseteste]] (1168–1253) und sein Schüler [[Roger Bacon]] (1214–1292) entwarfen ein neues Wissenschaftsparadigma. Nicht die Berufung auf kirchliche oder antike Autoritäten, sondern das Experiment sollte die Bewertung der Korrektheit maßgeblich bestimmen. Papst [[Clemens&nbsp;IV.]] forderte Roger Bacon im Jahre&nbsp;1266 auf, ihm seine Ansichten und Vorschläge zur Behebung der Missstände in der Wissenschaft mitzuteilen. Bacon verfasste als Antwort mehrere Bücher, darunter sein ''Opus Maius''. Bacon wies auf die Bedeutung der Mathematik als Schlüssel zur Wissenschaft hin; er befasste sich insbesondere mit der Geometrie angewendet auf die Optik. Unglücklicherweise starb der Papst, bevor ihn das Buch erreichte. Ein weiterer wichtiger Beitrag Bacons betrifft die Kalenderreform, die er einforderte, die allerdings dann erst im Jahre&nbsp;1582 als [[Gregorianischer Kalender#Gregorianische Kalenderreform|Gregorianische Kalenderreform]] durchgeführt wurde.
 
Eine wichtige methodische Entwicklung in der Wissenschaft war die Quantifizierung von Qualitäten als Schlüssel für die quantitative Beschreibung von Vorgängen. [[Nikolaus von Oresme]] (1323–1382) war einer der ersten, die sich weitergehend auch mit der Veränderung der Intensitäten beschäftigten. Oresme untersuchte verschiedene Formen der Bewegung. Er entwickelte eine Art funktionale Beschreibung, indem er Geschwindigkeit gegen Zeit auftrug. Er klassifizierte die unterschiedlichen Formen der Bewegungen und suchte nach funktionalen Zusammenhängen.
 
[[Datei:Nikolaus von Kues.jpg|mini|hochkant|Nikolaus von Kues (Nikolaus Cusanus)]]
Oresme, aber auch [[Thomas Bradwardine]] (1295–1349), [[Wilhelm von Ockham]] (1288–1348), [[Johannes Buridan]] (ca.&nbsp;1300 bis ca.&nbsp;1361) und andere Gelehrte des [[Merton College]] untersuchten die funktionale Beschreibung der Zusammenhänge von Geschwindigkeit, Kraft, Ort, kurzum: sie beschäftigten sich mit [[Kinetik (Technische Mechanik)|Kinetik]]. Es wurden auch methodisch wichtige Fortschritte erzielt. Grosseteste formulierte das Prinzip der Uniformität der Natur, demzufolge Körper gleicher Beschaffenheit sich unter gleichen Bedingungen auf gleiche Weise verhalten. Hier wird deutlich, dass schon damals den Gelehrten bewusst war, dass die Umstände, unter denen bestimmtes Verhalten betrachtet wird, zu kontrollieren sind, wenn Vergleiche angestellt werden sollen. Weiterhin formulierte er das Prinzip der Ökonomie der Beschreibung, nach dem unter gleichen Umständen diejenige Argumentation vorzuziehen ist, die zum vollständigen Beweis weniger Fragen zu beantworten oder weniger Annahmen erfordert. William Ockham war einer der größten Logiker der damaligen Zeit, berühmt ist [[Ockhams Rasiermesser]], ein Grundsatz, der besagt, dass eine Theorie immer so wenig Annahmen und Begrifflichkeiten wie möglich enthalten soll.
 
Die Gelehrten der damaligen Zeit waren oft auch Theologen. Die Beschäftigung mit geistlichen Fragen wie z.&nbsp;B. der Allmacht Gottes führte sie zu Fragen in Bezug auf das Unendliche. In diesem Zusammenhang ist [[Nikolaus von Kues]] (Nikolaus Cusanus) (1401–1464) zu nennen, der als einer der ersten, noch vor [[Galileo Galilei|Galilei]] oder [[Giordano Bruno]], die Unendlichkeit der Welt beschrieb. Sein Prinzip der ''[[coincidentia oppositorum]]'' zeugt von einer tiefgehenden philosophischen Beschäftigung mit dem Thema Unendlichkeit.
 
==== Praktische Mathematik ====
Gegen Ende des Mittelalters entstanden die Kathedralen Europas, deren Bau ganz neue Anforderungen an die Beherrschung der Statik stellte und zu technologischen Höchstleistungen auf diesem Gebiet herausforderte. In diesem Zusammenhang wurden auch immer wieder geometrische Probleme behandelt. Ein wichtiges Lehrbuch, das die Architektur behandelt, ist das [[Bauhütte]]n&shy;buch von [[Villard de Honnecourt]].
 
Im Bereich der Vermessungsgeometrie wurden während des gesamten Mittelalters stetige Fortschritte erzielt, besonders zu nennen sind hier im 11.&nbsp;Jahrhundert die Geometrie der [[Geodät]]en zurückgehend auf ein Buch des [[Boëthius]], im 12.&nbsp;Jahrhundert die eher konventionelle ''Geometria practica'' von [[Hugo von St.&nbsp;Victor]] (1096–1141). Im 13.&nbsp;Jahrhundert wurde von [[Levi ben Gershon]] (1288–1344) ein neues Vermessungsgerät beschrieben, der sogenannte [[Jakobsstab]].
 
==== Beginn der Geldwirtschaft ====
[[Datei:Fibonacci.jpeg|mini|hochkant=0.6|links|Leonardo da Pisa (Fibonacci), Fantasieporträt]]
Mit dem Beginn einer Wirtschaft, die nicht auf Warentausch, sondern auf Geld basiert, entstanden neue Anwendungsgebiete der Mathematik.
Dies gilt insbesondere für Italien, das zur damaligen Zeit ein Umschlagplatz für Waren von und nach Europa war, und dessen damals führende Rolle im Finanz- und Bankwesen sich noch heute in der Verwendung von Wörtern wie „Konto“, „brutto“ und „netto“ auswirkt. In diesem Zusammenhang ist besonders Leonardo da Pisa, genannt [[Fibonacci]], und sein ''[[Leonardo Fibonacci#Der Inhalt des Liber abbaci|Liber abbaci]]'' zu nennen, der nichts mit dem [[Abakus (Rechenhilfsmittel)|Abacus]] als Rechenbrett zu tun hat, sondern gemäß einem zu dieser Zeit in Italien aufkommenden Sprachgebrauch das Wort abacus oder „abbacco“ als Synonym für Mathematik und Rechnen verwendet. In der Mathematik Fibonaccis vollzog sich eine für das Mittelalter singuläre Synthese aus kaufmännischem Rechnen, traditioneller griechisch-lateinischer Mathematik und neuen Methoden der arabischen und (arabisch vermittelten) indischen Mathematik. Mathematisch weniger anspruchsvoll, dafür mehr an den praktischen Erfordernissen von Bank- und Kaufleuten ausgerichtet, waren die zahlreichen Rechenbücher, die als Lehrbücher zur praktischen und merkantilen Arithmetik seit dem 14.&nbsp;Jahrhundert in italienischer Sprache verfasst wurden.
 
=== Mathematik der frühen Neuzeit ===
Arabische Mathematik kam über Spanien, wo im Zuge der [[Reconquista]] die [[Mauren]] aus Europa vertrieben wurden, und über Handelsbeziehungen nach Europa und ihre Mathematik beeinflusste in der Folge die europäische grundlegend. Begriffe wie [[Algebra]], [[Algorithmus]] sowie die arabischen Ziffern gehen darauf zurück. In der Renaissance wurden die antiken Klassiker und andere Werke durch weite Verbreitung über den Buchdruck allgemein zugänglich. Die Kunst der [[Renaissance]] führte zur Entwicklung der [[Perspektive]] (u. a. [[Albrecht Dürer]], [[Filippo Brunelleschi]], [[Leon Battista Alberti]], [[Piero della Francesca]]) und [[Darstellende Geometrie|Darstellenden Geometrie]] und die damit zusammenhängende projektive Geometrie ([[Gérard Desargues]]) hatte ebenfalls im Architekturwesen ihren Ursprung. Die Entdeckungsreisen führten zu Entwicklungen in [[Kartographie]] und Navigation (das lange akute [[Längengradproblem]]) und die Landvermessung ([[Geodäsie]]) war für die Entwicklung der Territorialstaaten von Bedeutung. Praktische Erfordernisse von Ingenieuren (nicht zuletzt militärischer Art) wie [[Simon Stevin]] (Dezimalbrüche) und Astronomen führten zu Verbesserungen der Rechentechnik, insbesondere durch Erfindung der [[Logarithmus|Logarithmen]] ([[John Napier]], [[Jost Bürgi]]).
 
In Deutschland erklärte der sprichwörtliche [[Adam Ries|Adam Ries(e)]] seinen Landsleuten in der Landessprache das Rechnen, und die Verwendung der indischen Ziffern statt der unpraktischen römischen wurde populär. In Frankreich entdeckte [[René Descartes]], dass man Geometrie, die bis dahin nach [[Euklid]] gelehrt wurde, auch algebraisch beschreiben kann und umgekehrt algebraische Gleichungen geometrisch deuten kann ([[Analytische Geometrie]]) nach Einführung eines [[Koordinatensystem]]s. Ein Briefwechsel zwischen [[Blaise Pascal]] und [[Pierre de Fermat]] im Jahr&nbsp;1654 über Probleme von Glücksspielen gilt als Geburt der klassischen [[Wahrscheinlichkeitsrechnung]].
 
Blaise Pascal war auch einer der Begründer der [[Kombinatorik]] ([[Binomialkoeffizient]]en, [[Pascalsches Dreieck]]) und baute eine der ersten Rechenmaschinen. [[François Viète]] verwendete systematisch [[Parameter (Mathematik)|Variablen]] (Unbekannte) in Gleichungen. Damit wurde die Algebra weiter formalisiert. Pierre de Fermat, der hauptberuflich Richter war, lieferte wichtige Resultate zur [[Variationsrechnung]] und in der Zahlentheorie (Lösung von algebraischen Gleichungen in der ganzen Zahlen, sogenannte [[Diophantische Gleichung|Diophantische Probleme]]), insbesondere den „[[Kleiner fermatscher Satz|kleinen Fermatschen Satz]]“ und formulierte den „[[Großer Fermatscher Satz|großen Fermatschen Satz]]“. Er behauptete, dass die Gleichung <math> x^n + y^n = z^n </math> keine positiven ganzzahligen Lösungen hat, falls <math> n \geq 3</math>. Am Rand seiner Ausgabe der ''Arithmetica'' von Diophant von Alexandrien schrieb er dazu den Satz: „Ich habe einen wunderbaren Beweis gefunden, doch leider ist dafür der Rand zu schmal“. 400&nbsp;Jahre suchten Mathematiker vergeblich nach diesem angeblichen Beweis, dessen Beweis erst Jahrhunderte später (1995) mit Fermat nicht zugänglichen Methoden gelang (siehe unten). In Italien fanden [[Gerolamo Cardano|Cardano]] und [[Nicolo Tartaglia|Tartaglia]] die algebraische Formel für die Lösungen der [[Kubische Gleichung|kubischen Gleichung]] und die Suche nach weiteren Lösungsformeln höherer Gleichungen fand erst durch die [[Galoistheorie]] im 19. Jahrhundert ein Ende.
 
=== Entwicklung der Infinitesimalrechnung ===
[[Datei:Sir Isaac Newton by Sir Godfrey Kneller, Bt.jpg|mini|hochkant=0.6|[[Isaac Newton]]]]
[[Datei:Gottfried Wilhelm von Leibniz.jpg|mini|hochkant=0.6|links|[[Gottfried Wilhelm Leibniz]]]]
 
Das Problem, Tangenten an Kurven ([[Differentialrechnung]]) und Flächen unter Kurven ([[Integralrechnung]]) zu bestimmen, beschäftigte viele Mathematiker des 17. Jahrhunderts, mit wichtigen Beiträgen zum Beispiel von [[Bonaventura Cavalieri]], [[Johannes Kepler]], [[Gilles de Roberval]], [[Pierre de Fermat]], [[Evangelista Torricelli]], René Descartes, [[Isaac Barrow]] (mit Einfluss auf Newton) und [[Christian Huygens]] (der besonders Leibniz beeinflusste).<ref>[http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/The_rise_of_calculus.html Calculus History, McTutor]</ref>
 
Unabhängig voneinander entwickelten [[Isaac Newton]] und [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] eine der weitreichendsten Entdeckungen der Mathematik, die [[Infinitesimalrechnung]] und damit den Begriff der [[Differentialrechnung|Ableitung]] und des Zusammenhangs von Differential- und Integralrechnung über den [[Fundamentalsatz der Analysis]]. Um der Problematik der unendlich kleinen Größen beizukommen, argumentierte Newton hauptsächlich über Geschwindigkeiten ''(Fluxionen)''. Leibniz gab eine elegantere Formulierung des [[Infinitesimalrechnung|Infinitesimalkalkül]]s und begründete die Bezeichnung <math>\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}</math> sowie das [[Integralzeichen]] <math>\textstyle \int</math>. Zwischen den beiden Mathematikern und ihren Schülern kam es später zu einem langwierigen Prioritätsstreit,<ref>Moritz Cantor: ''Vorlesungen über die Geschichte der Mathematik.'' Band 3, 1901, S. 285–328 ([http://www.ub.uni-heidelberg.de/archiv/19848 Digitale Ausgabe] Univ. Heidelberg, 2014).</ref><ref>Thomas Sonar: ''Die Geschichte des Prioritätsstreits zwischen Leibniz und Newton''. Springer Verlag, Berlin 2016.</ref> der sich auch zu einem Gegensatz kontinentaleuropäischer und englischer Mathematik zuspitzte. Der vielseitig, aber eher philosophisch interessierte Leibniz kam zwar in Hinsicht auf mathematische Fähigkeiten nicht an den in persönlicher Hinsicht sehr schwierigen und streitbaren Newton heran (Leibniz hatte zuvor in Briefwechsel mit Newton gestanden, der das so sah, dass er ihm auf diese Weise wesentliche eigene Ergebnisse zukommen liess, die Newton nicht veröffentlicht hatte, aber unter ausgewählten Mathematikern zirkulieren liess), erhielt aber Unterstützung durch kontinentaleuropäische Mathematiker, besonders den begabten Mathematikern der Familie [[Bernoulli]] aus der Schweiz.
 
Gleichzeitig legte [[Isaac Newton]] die Grundlagen der [[Theoretische Mechanik|theoretischen Mechanik]] und [[Physik#Theoretische Physik|theoretischen Physik]] in seinem berühmten Hauptwerk ''[[Philosophiae Naturalis Principia Mathematica]]''. Er verwendete darin zwar nicht die Sprache der Analysis, sondern formulierte seine Sätze im klassischen geometrischen Stil, den Zeitgenossen war aber klar, dass er sie mit Hilfe der Analysis gewonnen hatte und in dieser Sprache wurden die theoretische Physik und Mechanik dann auch im 18. Jahrhundert ausgebaut.
 
Von Leibniz wiederum stammen auch Ideen zu einer universalen Algebra, [[Determinante]]n, [[Dualsystem|Binärzahlen]] und eine [[Rechenmaschine]].
 
=== Mathematik im 18. Jahrhundert ===
Die Methoden der Infinitesimalrechnung wurden weiter entwickelt, auch wenn die Anforderungen an mathematische Strenge damals noch sehr gering waren, was einige Philosophen wie zum Beispiel [[George Berkeley]] scharf kritisieren. Einer der produktivsten Mathematiker jener Zeit war der Schweizer [[Leonhard Euler]]. Ein Großteil der heute verwendeten „modernen“ Symbolik geht auf Euler zurück. Neben seinen Beiträgen zur Analysis führte er, neben vielen anderen Verbesserungen in der Notation, als erster das Symbol&nbsp;'''i''' als eine Lösung der Gleichung x<sup>2</sup> = −1 ein. Die Vorgeschichte der [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] ging bis auf Cardano und andere Renaissance-Mathematiker zurück, diese Erweiterung des Zahlbereichs bereitete aber noch lange der Vorstellungskraft der meisten Mathematiker Schwierigkeiten und ihren wirklichen Durchbruch in der Mathematik erzielten sie erst im 19. Jahrhundert, nachdem auch eine geometrische Interpretation als zweidimensionale Vektoren entdeckt wurde ([[Caspar Wessel]] 1799, [[Jean-Robert Argand]], Gauß). Von Euler stammen auch zahlreiche Anwendungen der Mathematik in der Physik und Mechanik.
 
Außerdem spekulierte Euler darüber, wie eine ''Analysis situs'' aussehen könne, der Beschreibung von Lagebeziehungen von Objekten ohne Verwendung einer Metrik (Längen- und Winkelmessung). Diese Idee wurde später zum Theoriegebäude der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] ausgebaut. Eulers erster Beitrag dazu war die Lösung des [[Königsberger Brückenproblem]]s und sein [[Polyedersatz]]. Ein weiterer fundamentaler Zusammenhang zwischen zwei entfernten Gebieten der Mathematik, der Analysis und der [[Zahlentheorie]], geht ebenfalls auf ihn zurück. Die Verbindung von [[Zeta-Funktion]] und [[Primzahl]]en, die [[Bernhard Riemann]] im 19. Jahrhundert zu einer Grundlage der analytischen Zahlentheorie machte,  entdeckte Euler als erster. Weitere Beiträge zur Analysis der Zeit und ihrer Anwendung stammten von den [[Bernoulli]]s (insbesondere [[Johann Bernoulli]], [[Daniel Bernoulli]]), [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]] und [[Jean-Baptiste le Rond d’Alembert|D’Alembert]], insbesondere dem  Ausbau und der  Anwendung der Variationsrechnung auf die Lösung vieler Probleme der Mechanik. Ein Zentrum der Entwicklung war Frankreich und Paris, wo nach der Französischen Revolution und unter Napoleon die Mathematik in neu gegründeten Ingenieursschulen (besonders der [[Ecole Polytechnique]]) einen großen Aufschwung nahm. Mathematiker wie [[Jakob I. Bernoulli]] am Anfang des Jahrhunderts, [[Abraham de Moivre]], Laplace und [[Thomas Bayes]] in England bauten die [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] aus.
 
Lagrange leistete wichtige Beiträge zur Algebra (quadratische Formen, Gleichungstheorie) und Zahlentheorie, [[Adrien-Marie Legendre]] zu Analysis (Elliptische Funktionen u. a.) und zur Zahlentheorie und [[Gaspard Monge]] zur Darstellenden Geometrie.
 
=== Mathematik im 19.&nbsp;Jahrhundert ===
[[Datei:Cauchy Augustin Louis dibner coll SIL14-C2-03a.jpg|mini|hochkant|[[Augustin-Louis Cauchy]]]]
Ab dem 19.&nbsp;Jahrhundert wurden die Grundlagen der mathematischen Begriffe hinterfragt und fundiert. [[Augustin-Louis Cauchy]] begründete die <math>\epsilon</math>-Definition des [[Grenzwert (Folge)|Grenzwertes]]. Außerdem legte er die Grundlagen der [[Funktionentheorie]]. Der enge Zusammenhang von Entwicklung von Physik und Mechanik und der der Analysis aus dem 18. Jahrhundert blieb bestehen und viele Mathematiker waren gleichzeitig theoretische Physiker, was man damals noch nicht trennte. Ein Beispiel für den Zusammenhang ist die Entwicklung der [[Fourieranalyse]] durch [[Joseph Fourier]]. Eines der zentralen Themen des 19. Jahrhunderts war die Untersuchung spezieller Funktionen, besonders [[Elliptische Funktion|Elliptischer Funktionen]] und deren Verallgemeinerungen (eine wichtige Rolle spielten hier [[Niels Henrik Abel]] und [[Carl Gustav Jacobi]]) und algebraische Geometrie von Kurven und Flächen mit Verbindungen zur Funktionentheorie (u. a. [[Bernhard Riemann]] mit seiner Idee der [[Riemannsche Fläche|Riemannschen Fläche]], [[Alfred Clebsch]], [[Felix Klein]] und die italienische Schule bei algebraischen Flächen). Es wurden eine Fülle von Einzelresultaten auf den verschiedensten Gebieten entdeckt, deren Ordnung und strenge Begründung aber häufig erst im 20. Jahrhundert erfolgen konnte. Ein großes Beschäftigungsfeld von Mathematikern und Quelle für Entwicklungen in der Mathematik blieb wie im 18. Jahrhundert die [[Himmelsmechanik]].
 
Der jung in der Folge eines Duells getötete Franzose [[Évariste Galois]] verwendete in seiner [[Galoistheorie]] Methoden der [[Gruppentheorie]], um die Lösbarkeit algebraischer Gleichungen zu untersuchen, was zum Beweis der allgemeinen Nichtauflösbarkeit von polynomialen Gleichungen (Grad 5 und höher) durch ''Radikale'' (Wurzeloperationen) führte. Dies wurde unabhängig von Niels Henrik Abel gezeigt. Auch mit Hilfe der Galoistheorie wurden einige der [[Klassische Probleme der antiken Mathematik|klassischen Probleme der Antike]] als nicht lösbar erkannt, nämlich die Dreiteilung des Winkels und die Verdoppelung des Würfels (das gelang allerdings auch [[Pierre Wantzel]] ohne Galoistheorie). Die Quadratur des Kreises wurde erst durch Beweis der Transzendenz von <math>\pi</math> durch [[Ferdinand Lindemann]] erledigt. Es entstanden neue Geometrien, insbesondere die [[Projektive Geometrie]] ([[Jean-Victor Poncelet]], [[Jakob Steiner]], [[Karl von Staudt]]) wurde stark ausgebaut und [[Felix Klein]] ordnete diese und andere Geometrien mit Hilfe des Konzepts der Transformationsgruppe ([[Erlanger Programm]]).
 
Die Algebraiker erkannten, dass man nicht nur mit Zahlen rechnen kann; alles, was man braucht, sind Verknüpfungen. Diese Idee wurde in [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]] (zum Beispiel Galois, [[Arthur Cayley]], [[Camille Jordan]], [[Ferdinand Georg Frobenius]]), [[Ring (Algebra)|Ringen]], [[Ideal (Mathematik)|Idealen]] und [[Körper (Algebra)|Körpern]] (unter anderem Galois, endliche Körper werden nach Galois Galois-Körper genannt) formalisiert, wobei Algebraiker in Deutschland wie [[Richard Dedekind]], [[Leopold Kronecker]] eine wichtige Rolle spielten. Der Norweger [[Sophus Lie]] untersuchte die Eigenschaften von [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrien]]. Durch seine Theorie wurden algebraische Ideen in die Analysis und Physik eingeführt. Die modernen [[Quantenfeldtheorie]]n beruhen im Wesentlichen auf Symmetriegruppen. Das Vektorkonzept entstand (unter anderem durch [[Hermann Grassmann]]) und das dazu konkurrierende Konzept der [[Quaternion]]en (durch [[William Rowan Hamilton]]), einem Beispiel der vielen neu entdeckten algebraischen Strukturen, sowie die moderne Theorie der [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] (Lineare Algebra).
 
[[Datei:Carl Friedrich Gauss.jpg|mini|links|hochkant|[[Carl Friedrich Gauß]]]]
[[Datei:Georg Friedrich Bernhard Riemann.jpeg|miniatur|hochkant|[[Bernhard Riemann]]]]
In [[Göttingen]] wirkten zwei der einflussreichsten Mathematiker der Zeit, [[Carl Friedrich Gauß]] und [[Bernhard Riemann]]. Neben fundamentalen Erkenntnissen in der Analysis, Zahlentheorie, Funktionentheorie schufen sie und andere die [[Differentialgeometrie]] mit dem Begriff der Krümmung und der weitgehenden Verallgemeinerung in höhere Dimensionen durch Riemann ([[Riemannsche Geometrie]]). Die [[Nichteuklidische Geometrie]] machte die Begrenztheit des jahrhundertelang gelehrten Euklidischen Axiomensystems deutlich und wurde durch [[Nikolai Iwanowitsch Lobatschewski]] und [[János Bolyai]] begründet (ihre Existenz war auch Gauß bekannt, der aber nichts darüber veröffentlichte). Gauß legte mit seinen [[Disquisitiones Arithmeticae]] die Grundlagen der [[Algebraische Zahlentheorie|Algebraischen Zahlentheorie]] und bewies den [[Fundamentalsatz der Algebra]].
 
In Berlin begründete insbesondere [[Karl Weierstraß]] eine mathematische Schule der strengen Grundlegung der Analysis und der Begründung der Funktionentheorie auf Potenzreihen, während Riemann die geometrische Funktionentheorie begründete und dabei die Rolle der Topologie herausstellte. Die Schülerin von Weierstraß [[Sofja Wassiljewna Kowalewskaja]] war eine der ersten Frauen, die eine prominente Rolle in der Mathematik einnahmen, und die erste Professorin in Mathematik.
 
[[Georg Cantor]] überraschte mit der Erkenntnis, dass es mehr als eine „Unendlichkeit“ geben kann. Er definierte zum ersten Mal, was eine Menge ist, und wurde somit der Gründer der [[Mengenlehre]]. Gegen Ende des 19. Jahrhunderts nahm [[Henri Poincaré]] eine führende Rolle in der Mathematik ein, unter anderem gelangen ihm wesentliche Fortschritte in der [[Algebraische Topologie|algebraischen Topologie]] und der qualitativen Theorie der Differentialgleichungen, was ihn später zu einem Vorläufer der [[Chaostheorie]] machte.
 
Die neu gestiegenen Forderungen an die Strenge von Beweisen und Bemühungen um Axiomatisierung von Teilgebieten der Mathematik vertraten etwa [[Richard Dedekind]] bei den reellen Zahlen, [[Giuseppe Peano]] bei den natürlichen Zahlen und [[David Hilbert]] in der Geometrie. Nach Tausenden von Jahren erfuhr die [[Logik]] eine Runderneuerung. [[Gottlob Frege]] erfand die [[Prädikatenlogik]], die erste Neuerung auf diesem Gebiet seit [[Aristoteles]]. Zugleich bedeuteten seine Arbeiten den Anfang der [[Grundlagenkrise der Mathematik]].
 
Frankreich hatte nach der Französischen Revolution einen großen Aufschwung in der Mathematik erlebt, Deutschland zog Anfang des Jahrhunderts mit der dominierenden  Forschungspersönlichkeit von Gauß nach, der allerdings keine Schule bildete und wie Newton die Angewohnheit hatte, selbst wesentliche neue Entdeckungen nicht zu veröffentlichen. Das deutsche System der Forschungsseminare an den Universitäten bildete sich zuerst in Königsberg und war dann zentraler Bestandteil der Lehre in den mathematischen Zentren in Göttingen und Berlin und wirkte dann auch darüber hinaus zum Beispiel in die USA, für die Deutschland in der Mathematik prägend war. Auch in Italien nahm die Mathematik nach der Unabhängigkeit des Landes einen großen Aufschwung, besonders in der algebraischen Geometrie (italienische Schule von [[Francesco Severi (Mathematiker)|Francesco Severi]], [[Guido Castelnuovo]] und [[Federigo Enriques]]) und den Grundlagen der Mathematik (Peano). Großbritannien hatte insbesondere einen Wirkungsschwerpunkt in der theoretischen Physik, ihre mathematischen Schulen neigten aber immer wieder zu Sonderwegen, die sie von Kontinentaleuropa isolierten, so im hartnäckigen Festhalten am Newtonschen Stil der Analysis im 18. Jahrhundert und in der Betonung der Rolle der Quaternionen Ende des 19. Jahrhunderts. Der zuletzt in Göttingen neben Hilbert wirkende, gut vernetzte Felix Klein nahm gegen Ende des Jahrhunderts in Deutschland eine in vieler Hinsicht führende Stellung ein und organisierte ein [[Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften|Enzyklopädieprojekt]] der Mathematik und ihrer Anwendungen, das auch französische Mathematiker einschloss. Die Niederlage im Deutsch-Französischen Krieg von 1870/71 wirkte auf viele französische Mathematiker als Ansporn wie auf anderen Gebieten auch einen vermeintlichen Rückstand zum aufstrebenden deutschen Reich aufzuholen, der zu einer neuen Blüte der französischen Mathematik führte. Der Erste Weltkrieg führte zu einem Bruch der Beziehungen auch in der Mathematik.
 
== Moderne Mathematik ==
Das 20. Jahrhundert erlebte einen beispiellosen, die vorangehenden Jahrhunderte in den Schatten stellenden Ausbau der Mathematik sowohl in der Breite als auch in der Tiefe. Die Zahl der Mathematiker und Anwender der Mathematik nahm stark zu, auch was die Zahl der Herkunftsländer und Frauen betraf. Amerika und die Sowjetunion übernahmen vor allem nach dem Zweiten Weltkrieg zusätzlich zu den traditionellen mitteleuropäischen Nationen eine Führungsrolle, aber auch Länder wie Japan und China nach Öffnung zum Westen. Die Mathematik wurde durch die großen technologischen Fortschritte im 20. Jahrhundert und insbesondere die Digitalisierung zu einer Schlüssel-Disziplin.
 
Hilbert formulierte 1900 eine Reihe von berühmten Problemen ([[Hilbertsche Probleme]]), die vielfach als Richtschnur für den weiteren Fortschritt dienten und von denen die meisten im Lauf des 20. Jahrhunderts gelöst oder einer Lösung nähergebracht wurden. Ein Anliegen der modernen Mathematik war das Bedürfnis, die Grundlagen dieser Wissenschaft ein für alle Mal zu festigen. Allerdings begann dies mit einer Krise Anfang des 20.&nbsp;Jahrhunderts: [[Bertrand Russell]] erkannte die Bedeutung von Freges Arbeiten. Gleichzeitig entdeckte er allerdings auch unlösbare Widersprüche darin, die mit Paradoxien des Unendlichen zusammenhingen ([[Russellsche Antinomie]]). Diese Erkenntnis erschütterte die gesamte Mathematik. Mehrere Versuche zur Rettung wurden unternommen: Russell und [[Alfred North Whitehead]] versuchten in ihrem mehrtausendseitigen Werk ''[[Principia Mathematica]]'' mit Hilfe der [[Typentheorie]] ein Fundament aufzubauen. Alternativ dazu begründeten [[Ernst Zermelo]] und [[Abraham Adolf Fraenkel|Abraham Fraenkel]] die Mengenlehre axiomatisch ([[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]]). Letztere setzte sich durch, weil ihre wenigen Axiome wesentlich handlicher sind als die schwierige Darstellung der ''Principia Mathematica''.
 
[[Datei:David Hilbert 1886.jpg|mini|hochkant|[[David Hilbert]], Foto aus dem Jahr 1886]]
[[Datei:1925 kurt gödel.png|mini|hochkant|Kurt Gödel (1925)]]
Der Zweifel an den Grundlagen blieb aber bestehen. [[David Hilbert]], der eine berühmte Schule in Göttingen begründet hatte und die unterschiedlichsten mathematischen Disziplinen revolutioniert hatte (von der Geometrie, der algebraischen Zahlentheorie, der Funktionalanalysis mit Beiträgen zur Physik bis zu den Grundlagen der Mathematik), sich allerdings in einzelnen Schaffensperioden im Wesentlichen einem Gebiet widmete und frühere Forschungsgebiete völlig aufgab, wandte sich in seiner letzten Schaffensphase den Grundlagen der Mathematik und der Formalisierung mathematischer Beweise zu. Beweise waren für Hilbert und seine formalistische Schule nur eine Folge von Ableitungen aus Axiomen, eine Folge von Symbolen, und einem berühmten Ausspruch von Hilbert zufolge, der sich auf die Axiomatisierung der Geometrie bezog, sollte man ''Punkte, Geraden und Ebenen'' in der Formelsprache jederzeit durch ''Tische, Stühle und Bierseidel'' ersetzen können, wichtig waren nur die Axiome und Ableitungsregeln. [[Kurt Gödel]]s [[Gödelscher Unvollständigkeitssatz|Unvollständigkeitssatz]] zeigte jedoch, dass es in jedem formalen System, das umfangreich genug ist, um die Arithmetik der natürlichen Zahlen aufzubauen, Sätze gibt, die weder bewiesen noch widerlegt werden können. Mathematiker und Logiker wie [[Gerhard Gentzen]] bewiesen die Widerspruchsfreiheit von Teilgebieten der Mathematik (jeweils unter Rückgriff auf diese Teilgebiete überschreitende Prinzipien). Eine andere Richtung, die mit dem [[Intuitionismus (Logik und Mathematik)|Intuitionismus]] [[Luitzen Egbertus Jan Brouwer|Brouwers]], der zuvor auch einer der Begründer der mengentheoretischen Topologie war, Anfang des Jahrhunderts einsetzte, versuchte eine von endlichen Schritten ausgehende [[konstruktive Mathematik]] aufzubauen, bei der man allerdings auf wichtige Sätze der Mathematik verzichten muss.  
 
Neben der Logik wurden andere Bereiche der Mathematik zunehmend abstrahiert und auf axiomatische Grundlagen gestellt, worin besonders David Hilbert mit seiner Schule eine führende Rolle hatte. Französische Mathematiker wie [[Henri Lebesgue]] ([[Lebesgue-Integral]]), [[Jacques Hadamard]] und [[Emile Borel]] (Maßtheorie), die Hilbert-Schule in Göttingen und die polnische Schule unter ihrer Leitfigur [[Stefan Banach]] waren Zentren der Entwicklung der [[Funktionalanalysis]], das heißt der Untersuchung unendlich dimensionaler Funktionenräume. Mit Hilfe der [[Banachraum|Banachräume]] und ihrer [[Dualität (Mathematik)|Dualitäten]] können viele Probleme, zum Beispiel der [[Integralgleichung]]en, sehr elegant gelöst werden. Die polnische Schule der Zwischenkriegszeit war auch führend in Topologie und mathematischer Grundlagenforschung und auch die russischen Mathematiker hatten anfangs einen Schwerpunkt in Funktionalanalysis ([[Nikolai Nikolajewitsch Lusin|Lusin-Schule]], [[Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow|Andrei Kolmogorow]]) und Topologie (u. a. [[Pawel Sergejewitsch Alexandrow]], [[Lew Pontrjagin]]). Die Mathematik wurde durch die Entwicklung neuer physikalischer Theorien befruchtet, insbesondere der [[Quantenmechanik]] (mit Verbindung insbesondere zur Funktionalanalysis) und die [[Relativitätstheorie]], das den [[Tensor]]kalkül und die Differentialgeometrie beförderte. Die [[Distribution (Mathematik)|Distribution]]en ([[Laurent Schwartz]], [[Sergei Lwowitsch Sobolew]]) der Funktionalanalysis führte zuerst [[Paul Dirac]] in der Quantenmechanik ein. Diese wiederum profitierte von der Entwicklung der Spektraltheorie linearer Operatoren (linearer Algebra in unendlich vielen Dimensionen).
 
Andrei Kolmogorow lieferte eine axiomatische Begründung der [[Wahrscheinlichkeit]]. Die Wahrscheinlichkeit ist für ihn ähnlich dem Flächeninhalt und kann mit Methoden der [[Maßtheorie]] behandelt werden. Damit erhielt dieses Gebiet eine sichere Grundlage, auch wenn die Auseinandersetzungen über Interpretationsfragen andauerten (siehe auch [[Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung]]). Eine große Quelle „nützlicher Mathematik“ war die Entwicklung vielfältiger statistischer Methoden ([[Ronald Aylmer Fisher]], [[Karl Pearson]], [[Abraham Wald]], Kolmogorow und andere) mit breiten Anwendungen im Versuchswesen, der Medizin, aber auch in den Sozial- und Geisteswissenschaften, der Marktforschung und Politik.
 
Die führende Rolle der Hilbertschen Schule endete mit dem Nationalsozialismus, der sich auch in der Mathematik bei den Vertretern der ''[[Deutsche Mathematik|Deutschen Mathematik]]'' ausprägte, und der Vertreibung eines Großteils der jüdischen Wissenschaftler aus ihren Universitätsstellen. Viele fanden Zuflucht in den USA und anderswo und befruchteten dort die Entwicklung der Mathematik.
 
[[Datei:JohnvonNeumann-LosAlamos.jpg|mini|hochkant|[[John von Neumann]]]]
Im Zweiten Weltkrieg entstand großer Bedarf an der Lösung konkreter mathematischer Probleme für militärische Belange, beispielsweise bei der Entwicklung der Atombombe, des Radars oder der Entschlüsselung von Codes. [[John von Neumann]] wie [[Alan Turing]], der in der Theorie der Berechenbarkeit zuvor das abstrakte Konzept einer [[Turingmaschine|universalen Rechenmaschine]] entwickelt hatte, arbeiteten an konkreten Computerprojekten. Der Computer hielt Einzug in die Mathematik. Dies führte zu einer dramatischen Weiterentwicklung der [[Numerik|numerischen Mathematik]]. Mit Hilfe des Computers können nun komplexe Probleme, die per Hand nicht zu lösen waren, relativ schnell berechnet werden, und numerisches Experimentieren machte viele neue Phänomene erst zugänglich ([[Experimentelle Mathematik]]).
 
Einen Höhepunkt erreichten Abstraktion und Formalisierung im Schaffen des Autorenkollektivs [[Nicolas Bourbaki]], zu der führende Mathematiker in Frankreich (und darüber hinaus) gehörten wie [[André Weil]], [[Jean-Pierre Serre]], [[Henri Cartan]] und [[Claude Chevalley]] und deren Treffen schon Ende der 1930er Jahre begannen. Sie übernahmen nach dem Niedergang der Hilbert-Schule und der Vertreibung vieler Mathematiker durch die Nationalsozialisten nach dem Krieg, wovon vor allem die USA profitierten, eine Führungsrolle in der strukturellen Auffassung der Mathematik, und zunächst in bewusster Anlehnung an die Göttinger algebraische Schule das stark an der Analysis orientierte Curriculum in Frankreich überwinden wollten, aber bald auch weit darüber hinaus wirkten (mit der [[Neue Mathematik|Neuen Mathematik]] im Schul-Curriculum der 1960er und 1970er Jahre).
 
Bedeutend in der zweiten Hälfte des 20.&nbsp;Jahrhunderts war die grundlegende Umwälzung der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]] vor allem durch Arbeiten [[Alexander Grothendieck]]s und seiner Schule sowie die breite Entwicklung der algebraischen Topologie, und teilweise damit einhergehend – die Entwicklung der [[Kategorientheorie]]. Das war ein nochmaliger Steigerungsgrad der Abstrahierung nach der Entwicklung der abstrakten Algebra in der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts insbesondere in der Schule von [[Emmy Noether]] und lieferte neue Ansätze und Denkweisen, die in weiten Teilen der Mathematik wirksam geworden sind. Die Kategorientheorie bot dabei eine Alternative zur Mengenlehre als Theorie der grundlegenden Strukturen.
 
Neben den Tendenzen zur Abstraktion gab es in der Mathematik aber immer wieder die Tendenz, konkrete Objekte detailliert zu erkunden. Besonders geeignet waren diese Untersuchungen auch, der Öffentlichkeit die Rolle der Mathematik näherzubringen (zum Beispiel [[Fraktal]]e ab den 1980er Jahren und die Chaostheorie, die [[Katastrophentheorie (Mathematik)|Katastrophentheorie]] der 1970er Jahre).
 
[[Datei:Andrew wiles1-3.jpg|mini|hochkant|[[Andrew Wiles]]]]
Wichtige neue Entwicklungen wie der [[Atiyah-Singer-Indexsatz]] oder der Beweis der [[Weil-Vermutungen]] spiegeln sich in der Verleihungen der [[Fields-Medaille]] und des [[Abelpreis]]es. Viele teilweise jahrhundertealte Probleme wurden im 20. Jahrhundert gelöst wie das [[Vierfarbenproblem]], die [[Kepler-Vermutung]] (beide mit Computerhilfe), der [[Endliche einfache Gruppe|Klassifikationssatz der endlichen Gruppen]], die [[Mordellvermutung]] ([[Gerd Faltings]]), die [[Poincaré-Vermutung]] (durch [[Grigori Perelman]] 2002) und 1995 schließlich der [[Großer fermatscher Satz|Satz von Fermat]] durch [[Andrew Wiles]]. Fermats Aussage, dass der Rand einer Buchseite zu schmal für einen Beweis sei, bestätigte sich: Wiles’ Beweis ist über 100&nbsp;Seiten lang, und er brauchte Hilfsmittel, die weit über den mathematischen Erkenntnisstand zu Fermats Zeiten hinausgingen. Einige Probleme wurden für prinzipiell unlösbar erkannt (wie die [[Kontinuumshypothese]] durch [[Paul Cohen (Mathematiker)|Paul Cohen]]), viele neue Probleme kamen hinzu (wie die [[abc-Vermutung]]) und die [[Riemann-Hypothese]] ist eines der wenigen Probleme der Hilbertliste, deren Beweis trotz großer Anstrengungen vieler Mathematiker weiterhin in weiter Ferne zu liegen scheint. Eine Liste zentraler [[Ungelöste Probleme der Mathematik|ungelöster Probleme der Mathematik]] ist die Liste der [[Millennium-Probleme]]. Zum Ende des Jahrhunderts gab es wieder eine starke Wechselwirkung von Mathematik und Physik über [[Quantenfeldtheorie]]n und [[Stringtheorie]] mit überraschenden und tiefliegenden Verbindungen in verschiedenen Bereichen der Mathematik (unendlich dimensionale Liealgebren, Supersymmetrie, Dualitäten mit Anwendungen in der abzählenden algebraischen Geometrie, Knotentheorie u. a.). Vorher hatte die Elementarteilchenphysik von der Mathematik insbesondere durch deren Klassifikation von kontinuierlichen Symmetriegruppen, den Liegruppen, ihren Liealgebren und deren Darstellungen profitiert ([[Elie Cartan]], [[Wilhelm Killing]] im 19. Jahrhundert), und Liegruppen sind auch ein zentrales, vereinigendes Thema der Mathematik des 20. Jahrhunderts mit vielfältigsten Anwendungen innerhalb der Mathematik bis zur Zahlentheorie ([[Langlands-Programm]]).


== Siehe auch ==
== Siehe auch ==
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* {{WikipediaDE|Kategorie:Qualitätsmanagement}}
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== Literatur ==
== Literatur ==
* {{Literatur
* Holger Brüggemann, Peik Bremer: ''Grundlagen Qualitätsmanagement. Von den Werkzeugen über Methoden zum TQM''. Wiesbaden: Springer 2012, ISBN 978-3-8348-1309-1.
  |Autor=Heinz-Wilhelm Alten
* Franz J. Brunner, Karl W. Wagner: ''Qualitätsmanagement. Leitfaden für Studium und Praxis''. München, Wien: Hanser 2011, ISBN 978-3-446-42516-3.
  |Titel=4000 Jahre Algebra. Geschichte, Kulturen, Menschen
* Hermann J. Thomann, Thomas Träger (Hrsg.): ''Qualitätsmanagement in Dienstleistungsunternehmen. Aktuelles Praxishandbuch'' TÜV Media, Köln 2018, ISBN 978-3-8249-0473-0.
  |Verlag=Springer
* Günter Göbel, Knut Marhold, E. Rüdiger Weng: ''QM FIBEL – Erfolgreiches QualitätsManagement für Architekten und Ingenieure''. IWW-Institut für Wirtschaftspublizistik GmbH & Co. KG, Würzburg, 2. Aufl. 2014, ISBN 978-3-89212-048-3.
  |Ort=Berlin u.&nbsp;a.
* Uli Greßler, Rainer Göppel: ''Qualitätsmanagement. Eine Einführung''. Bildungsverlag EINS, Troisdorf, ISBN 3-8237-4795-9.
  |Datum=2003
* Gerd F. Kamiske (Hrsg.): ''Bausteine des innovativen Qualitätsmanagement.'' Hanser, München/Wien 1997, ISBN 3-446-18990-4.
  |ISBN=3-540-43554-9}}
* ''MQ – Management und Qualität / Das Magazin für integrierte Managementsysteme'', Ausgabe Deutschland, Organ von [[TÜV Cert]], TÜV Media, Köln, {{ISSN|1862-2623}}.
* {{Literatur
* Tilo Pfeifer, Robert Schmitt (Hrsg.): Masing Handbuch Qualitätsmanagement, Carl Hanser Fachbuchverlag, München; Wien, 6. überarbeitete Auflage 2014, ISBN 978-3-446-43431-8
  |Hrsg=Joseph W. Dauben, Christoph Scriba
* Dieter Pfister, Lucien Schoppig: ''Identifikation als Erfolgsfaktor im modernen Qualitätsmanagement,'' Basel 1994, ISBN 3-906430-53-7.
  |Titel=Writing the History of Mathematics. Its Historical Development
* Armin Töpfer, Hartmut Mehdorn: ''Total Quality Management.'' 3. Auflage, Luchterhand, Berlin 1994, ISBN 3-472-01759-7.
  |Verlag=Birkhäuser
* Karl W. Wagner: ''Qualitätsmanagement für KMU''. Hanser, München 2005, ISBN 3-446-40229-2.
  |Ort=Basel u.&nbsp;a.
* Ernest Wallmüller: ''Ganzheitliches Qualitätsmanagement in der Informationsverarbeitung''. München, Wien: Hanser 1994 ISBN 3-446-17101-0.
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* Herbert Schnauber, Armin Schuster (Hrsg.): ''Erfolgsfaktor Qualität. Einsatz und Nutzen des EFQM-Excellence-Modells''. Symposion Publishing GmbH, Düsseldorf 2012, ISBN 978-3-86329-420-5
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* Robert Schmitt, Tilo Pfeifer: ''Qualitätsmanagement. Strategien – Methoden – Techniken.'' Hanser Verlag, München, 5. Auflage 2015, ISBN 978-3-446-43432-5.
* {{Literatur
  |Autor=Helmuth Gericke
  |Titel=Mathematik in Antike, Orient und Abendland
  |Verlag=Marixverlag
  |Ort=Wiesbaden
  |Datum=2005
  |ISBN=3-937715-71-1}}
* Thomas Heath: ''A History of Greek Mathematics''. 2 Bände, Clarendon Press, Oxford 1921.
* {{Literatur
  |Autor=Dietmar Herrmann
  |Titel=Die antike Mathematik, Geschichte der griechischen Mathematik
  |Verlag=Springer Spektrum
  |Ort=Heidelberg
  |Datum=2014
  |ISBN=978-3-642-37611-5}}
* {{Literatur
  |Autor=Dietmar Herrmann
  |Titel=Mathematik im Mittelalter, Geschichte der Mathematik des Abendlandes mit ihren Quellen in China, Indien und im Islam
  |Verlag=Springer Spektrum
  |Ort=Heidelberg
  |Datum=2016
  |ISBN=978-3-662-50289-1}}
* Felix Klein: [http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN375425993 ''Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert.''] 2 Bände, Springer 1926/27, Reprint 1979.
* {{Literatur
  |Autor=Morris Kline
  |Titel=Mathematical Thought from Ancient to Modern Times
  |Band=1
  |Verlag=Oxford University Press
  |Ort=New York, Oxford
  |Datum=1972
  |ISBN=0-19-506135-7}} (2 Bände)
* {{Literatur
  |Autor=Uta Merzbach, Carl Benjamin Boyer
  |Titel=A History of Mathematics
  |Verlag=John Wiley & Sons
  |Datum=2011
  |ISBN=978-0-470-52548-7}}
* {{Literatur
  |Autor=Christoph J. Scriba, Peter Schreiber
  |Titel=5000 Jahre Geometrie. Geschichte, Kulturen, Menschen
  |Auflage=2.
  |Verlag=Springer
  |Ort=Berlin u.&nbsp;a.
  |Datum=2005
  |ISBN=3-540-22471-8}}
* {{Literatur
  |Autor=Hans Wußing u.&nbsp;a.
  |Titel=6000 Jahre Mathematik. Eine kulturgeschichtliche Zeitreise. Von den Anfängen bis Leibniz und Newton
  |Verlag=Springer
  |Ort=Berlin u.&nbsp;a.
  |Datum=2008
  |ISBN=978-3-540-77189-0}} (2&nbsp;Bände)
* Ivor Grattan-Guinness (Hrsg.): ''Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences''. 2&nbsp;Bände, Routledge 1994.
* {{Literatur
  |Autor=Eleanor Robson, Jacqueline Stedall (Herausgeber)
  |Titel=The Oxford handbook of the history of mathematics
  |Verlag=Oxford University Press
  |Ort=Oxford
  |Datum=2009
  |ISBN=978-0-19-921312-2}}
* Thomas Sonar: ''3000 Jahre Analysis''. Springer Verlag, 2011.
* John Stillwell: ''Mathematics and its History''. Springer, 1989, 2.&nbsp;Auflage 2002.
* Dirk Struik: ''Abriß der Geschichte der Mathematik''. 7.&nbsp;Auflage, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1980 (englische Ausgabe ''A concise history of mathematics''. Dover 1987).
* Jean Dieudonné (Herausgeber und Mitautor): ''Geschichte der Mathematik 1700–1900 – ein Abriss''. Vieweg 1985 ([https://archive.org/details/DieudonneGeschichteDerMathematik17001900_201307 online bei archive.org]).
* Jean-Paul Pier (Hrsg.): ''Development of Mathematics 1900–1950''. Birkhäuser 1995.
* Jean-Paul Pier (Hrsg.): ''Development of Mathematics 1950–2000''. Birkhäuser 2000.
* Bartel Leendert van der Waerden: ''Erwachende Wissenschaft. Band 1: Ägyptische, babylonische und griechische Mathematik''. Birkhäuser 1966.
 
Biographien von Mathematikern finden sich in:
* ''Dictionary of Scientific Biography''
* Siegfried Gottwald, Hans-Joachim Ilgauds, Karl-Heinz Schlote: ''Lexikon bedeutender Mathematiker''. Bibliographisches Institut, Leipzig 1990.
 
== Weblinks ==
{{Commonscat|History of mathematics|Geschichte der Mathematik}}
{{Wikisource|Mathematik}}
{{Wikisource|Rechenbücher}}
* [http://www.planet-schule.de/sf/php/02_sen01.php?reihe=1073 Sendereihe: Die Geschichte der Mathematik] Vierteilige Sendereihe der BBC, The Story of Maths, vom WDR für Planet Schule auf Deutsch übersetzt, die Filme können online angesehen werden
* [http://www.emis.de/projects/JFM ERAM] Literaturdatenbank 1868–1942, Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik
* [http://turnbull.mcs.st-and.ac.uk/history MacTutor: Mathematik-Geschichts-Projekt der Universität St. Andrews] mit umfassendem Archiv vorzüglicher Biografien (auf englisch)
* [https://fidmath.de/historisches/zamn/ Zentralarchiv deutscher Mathematikernachlässe auf der Seite des Fachinformationsdienstes Mathematik]


== Einzelnachweise ==
== Einzelnachweise ==
<references />
<references />


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Version vom 3. August 2019, 05:34 Uhr

Qualitätsmanagement (QM) bezeichnet in der Wirtschaft eine Funktion (Management) und alle organisatorischen Maßnahmen, die der Verbesserung der Prozessqualität, der Arbeitsqualität und damit der Produkt- und Dienstleistungsqualität dienen.

Allgemeines

Der Begriff Leistungen umfasst im QM die Dienstleistungen, geht aber über den üblichen Begriff hinaus und betrifft vor allem die innerorganisatorischen Leistungen. Qualitätsmanagement ist eine Kernaufgabe des Managements. In Wirtschaftszweigen wie der Luft- und Raumfahrt, Automobilindustrie, Medizintechnik, Teilen der Gesundheitsversorgung, der medizinischen Rehabilitation oder der Arznei- und Lebensmittelherstellung ist ein Qualitätsmanagementsystem vorgeschrieben.

Bereits seit etwa 1900 wurden verschiedene Modelle zur Standardisierung des Qualitätsmanagements entwickelt.

Einsatz

Die Wirtschaftswissenschaften sehen Qualitätsmanagement als Teilbereich des funktionalen Managements, mit dem Ziel, die Effektivität und Effizienz einer Arbeit (Arbeitsqualität) oder von Geschäftsprozessen zu erhöhen. Dabei sind materielle und zeitliche Vorgaben zu berücksichtigen sowie die Qualität von Produkt oder Dienstleistung zu erhalten oder weiterzuentwickeln.

Inhalte sind etwa die Optimierung von Kommunikationsstrukturen, professionelle Lösungsstrategien, die Erhaltung oder Steigerung der Zufriedenheit von Kunden oder Klienten sowie der Motivation der Belegschaft, die Standardisierungen bestimmter Handlungs- und Arbeitsprozesse, Normen für Produkte oder Leistungen, Dokumentationen, Berufliche Weiterbildung, Ausstattung und Gestaltung von Arbeitsräumen.

Bei der Gestaltung von Arbeitsabläufen in Organisationen soll Qualitätsmanagement sicherstellen, dass Qualitätsbelange den zugewiesenen Platz einnehmen. Qualität bezieht sich dabei sowohl auf die vermarkteten Produkte und Dienstleistungen, als auch auf die internen Prozesse der Organisation und ist definiert als das Maß, in dem das betrachtete Produkt oder der betrachtete Prozess den Anforderungen genügt. Diese Anforderungen können explizit definiert sein, sie können aber auch implizit vorausgesetzt werden (Erwartungen).

Qualitätsmanagement führt somit nicht zwangsläufig zu einem höherwertigen Ergebnis, sondern zielt auf die Sicherstellung der vorgegebenen Qualität. Auch der Herstellungsprozess eines Billigprodukts kann einem vollständigen Qualitätsmanagement unterliegen. Qualitätszertifizierungen etwa nach ISO sagen somit nichts über die Produktqualität aus, wie teilweise durch Werbung suggeriert, sondern nur über das Qualitätsmanagement im Herstellungsprozess.

Historische Entwicklung

Zeit Schlagwort Beschreibung Vorreiter
um 1900 Qualitätskontrolle Aussortieren von fehlerhaften Produkten Ford, Taylor
um 1930 Qualitätsprüfung Steuerung basierend auf Statistiken Walter A. Shewhart z. B. Regelkarten
um 1960 Qualitätsmaßnahmen im ganzen Unternehmen Vorbeugende Maßnahmen Genichi Taguchi, W.E. Deming
um 1964 Null-Fehler-Programm des US-Verteidigungsministeriums Ziel der Perfektion Philip B. Crosby
um 1985 Null-Fehlerstrategie Six Sigma General Electric, Motorola
1988 EFQM-Modell neun ganzheitliche Kriterien EFQM
um 1990 umfassendes Qualitätskonzept Integration von Teilkonzepten Ishikawa 5-Why Six-Sigma
1995 Total-Quality-Management Qualität als Systemziel W.E. Deming, Malcolm Baldrige KVP kontinuierlicher Verbesserungs-Prozess

Modelle und Standards

Es gibt eine Reihe von Qualitätsmanagementnormen, welche als Rahmen oder auch als verpflichtende Vorgabe für die Etablierung eines Qualitätsmanagementsystems herangezogen werden. Die Nutzung der verschiedenen Qualitätsstandards zeigt starke regionale und branchenspezifische Unterschiede. Vor allem asiatische und angelsächsische Hersteller, insbesondere in der Industrie, haben Qualitätsmanagementmethoden eingeführt.

EFQM und ISO 9001

Die bekanntesten Qualitätsmanagementmodelle sind das EFQM-Modell (European Foundation for Quality Management-Modell) sowie die ISO 9001, die beide Schnittmengen in der Prozessorientierung haben.

Das EFQM-Modell ist europäisch ausgerichtet und ermöglicht ebenso ein Zertifikat durch einen Auditor – wie das der EN ISO 9001. Es ist im Gegensatz zur ISO 9001:2015 ein Wettbewerbsmodell, welches nicht auf die Erfüllung von Vorgaben, sondern auf die Selbstverantwortung in der Bewertung abzielt. Zentrales Anliegen des EFQM-Modells ist die stetige Verbesserung mittels Innovation und Lernen in allen Unternehmensteilen und in Zusammenarbeit mit anderen EFQM-Anwendern. Es orientiert sich laufend an weltbesten Umsetzungen, so dass es für ein Unternehmen nie möglich ist, die Maximalpunktzahl zu erreichen. Es besteht somit im Vergleich zur ISO 9001:2008 eine größere Motivation für weitere Verbesserungen. EFQM lässt sich nicht nur auf Wirtschaftsunternehmen, sondern auch auf Dienstleistungs- und soziale Einrichtungen anwenden. Die Revision ISO 9001:2015 folgt dem Ansatz des EFQM-Modells in Bezug auf ständige Verbesserung sowie Risikomanagement sowohl auf operativer als auch strategischer Ebene.

Spezielle Modelle

  • Neuere Qualitätsstandards wie IATF 16949:2016 orientieren sich stärker an den schon lange bekannten und fundierten Methoden der Begründer des industriellen Qualitätsgedankens (W. Edwards Deming, Walter A. Shewhart).
  • Für den öffentlichen Sektor wurde in Europa das auf EFQM aufbauende CAF (Common Assessment Framework)-Modell entwickelt.
  • Für Organisationen mit Entwicklungsaufgaben (interne IT-Abteilungen, Auto-Entwicklung, Maschinen-Entwicklung) gibt es das Capability Maturity Model Integration (CMMI) als ein spezialisiertes Prozessmodell. Durch die spezifische Ausrichtung auf Entwicklungsorganisationen kann CMMI detaillierter auf einzelne Prozessaspekte eingehen.
  • In der Produktion werden statistische Mittel verwendet, um den Herstellungsprozess zu überwachen. Zu den darauf aufbauenden Qualitätsstrategien gehört auch Six Sigma.
  • Im Projektmanagement werden ebenfalls eigene Qualitätsmanagementverfahren eingesetzt, siehe Qualitätsmanagement im Projektmanagement.
  • Speziell für Architektur- und Ingenieurbüros wurde in Zusammenarbeit mit dem TÜV Rheinland 2007 das QualitätsZertifikat Planer am Bau („QZ Planer am Bau“ ist eingetragene Wortmarke beim Deutschen Patent- und Markenamt) entwickelt.
  • Die strengsten Zertifizierungen sind jene der Automobilindustrie, wie die IATF16949:2016 oder deren Vorgänger QS-9000 und VDA 6.1.
  • Eigene Standards sind vorgesehen in der Medizin und der Medizintechnik, wie unter Qualitätsmanagement in der Medizin beschrieben, sowie
    • im Weiterbildungsbereich,
    • in der Luft- und Raumfahrt und
    • in Kernkraftwerken.

Bewertung

Bewertung (Qualitätsmanagement) - Artikel in der deutschen Wikipedia

Viele Qualitätsmanagementmodelle unternehmen den Versuch, die Prozesse objektiv bewertbar zu machen. Dabei sind zwei grundlegend verschiedene Ansätze zu unterscheiden:

a) Zertifizierbare Normen mit definierten Mindestanforderungen an ein wirksames Qualitätsmanagementsystem, beispielsweise die EN ISO 9001, die durch Audits bewertet werden.

b) Selbstbewertung des eigenen Qualitätsmanagementsystems und Benchmarking zwischen Wettbewerbern um einen Qualitätspreis, beispielsweise den EFQM Excellence Award der European Foundation for Quality Management (Wirtschaft), den Speyerer Qualitätswettbewerb (für den öffentlichen Sektor) oder den Ludwig-Erhard-Preis, der deutsche Preis nach den Regeln des EFQM mit hohem politischen Ansehen, innerhalb dessen die Wirksamkeit der im Wettbewerb stehenden Qualitätsmanagementsysteme miteinander verglichen werden.

Kritik

Kritisch wird häufig kommentiert, dass nur extern auditierte und zertifizierte Qualitätsmanagementmodelle objektiven Kriterien standhalten, da bei einer Selbstbewertung oftmals zugunsten der eigenen Situation bewertet wird. Von Auditoren ausgestellte Zertifikate, beispielsweise die drei möglichen Zertifikate der EFQM, legen daher einen Schwerpunkt auf externe Audits anstelle von Selbstbewertungen.

Die Sozialwissenschaftlerin Bettina Warzecha vertritt den Standpunkt, dass sich komplexe Arbeitsabläufe nicht durch Kennzahlen abbilden lassen: Es sei ein Mythos, dass industrielle Prozesse mittels Qualitätsmanagement beherrschbar seien.[1][2]

Der Sozial- und Wirtschaftswissenschaftler Paul Reinbacher qualifiziert Qualitätsmanagement als Kitsch, da es Komfortzonen schaffe, in denen Erwartungen erfüllt, aber keine neuen Impulse generiert werden. In diesem Sinne sei Qualitätsmanagement tendenziell konservativ statt innovativ.[3] Auch ein funktionierendes QM-System gibt keinen Aufschluss darüber ob die Produkte oder Dienstleistungen dem allgemeinen Qualitätsverständnis entsprechen und somit von hoher Qualität sind.

Struktur

Qualitätsmanagement ist ein selbstreferenzieller Prozess, das heißt, die Verfahren zur Verbesserung des jeweiligen Gegenstands lassen sich auch auf den Qualitätsmanagementprozess selbst anwenden.

Management

Im QM als Managementaufgabe werden festgelegt:

  • Qualitätspolitik
  • Ziele
  • Verantwortungen

Dabei liegt es im Interesse des Managements, eindeutige Beschreibungen niederzulegen, andernfalls kann es persönlich für die durch das Produkt eingetretenen Schäden zur Verantwortung gezogen werden.

Die DIN EN ISO 9001:2015 sieht eine in regelmäßigen Abständen durchzuführende Bewertung des Qualitätsmanagementsystems Norm durch die oberste Leitung, also die Geschäftsführung vor. Es werden keine einzelnen Personen bewertet, sondern nur das System. Ferner wird davon abgeraten, die Bewertung des QMS durch den eigenen Qualitätsmanagementbeauftragten (QMB) durchzuführen, denn eine Selbst-Bewertung macht wenig Sinn.

In den Vorgaben der Norm wird gefordert, dass die Bewertung in „regelmäßigen Abständen“ stattfinden soll, in der Praxis wird die Bewertung im Jahresrhythmus vorgenommen. In der Bewertung des Qualitätsmanagementsystems wird der Frage nachgegangen, ob das QMS in Leistung und Wirksamkeit den aktuellen Ansprüchen gerecht wird oder eine Anpassung nach Kapitel 9.3.2 der ISO-Norm empfehlenswert ist. Inhaltlich gilt es, Rückschlüsse auf die Kundenzufriedenheit zu ziehen, oder ob es Veränderungen der internen und externen Anspruchsgruppen für das Unternehmen bedarf, sowie ein Resümee über Leistungen externer Anbieter und Ergebnisse von Überwachungen und Messungen. Die Ergebnisse der Bewertung fließen in die aktuellen und die folgenden Auditberichte ein.[4]

Regelkreis des Qualitätsmanagements

Großer Wert wird auf die kontinuierliche Verbesserung der Prozesse gelegt. Erfahrungen daraus fließen wieder zurück in die Planung, so dass ein Regelkreis (Demingkreis) entsteht:[5]

  • Qualitätsplanung – es wird ein Ist-Zustand ermittelt und die Rahmenbedingungen für das Qualitätsmanagement festgelegt. Danach werden Konzepte und Abläufe erarbeitet.
  • Qualitätslenkung – die in der Planphase gewonnenen Ergebnisse werden umgesetzt (QFD, FMEA).
  • Qualitätssicherung – Auswerten qualitativer und quantitativer Qualitätsinformationen (Kosten-Nutzen-Betrachtungen, Überprüfen von gemachten Annahmen).
  • Qualitätsgewinn – aus vorheriger Phase gewonnene Informationen werden für Strukturverbesserungsmaßnahmen und Prozessoptimierung eingesetzt. Erfolge und Ergebnisse werden kommuniziert.

Siehe auch

Literatur

  • Holger Brüggemann, Peik Bremer: Grundlagen Qualitätsmanagement. Von den Werkzeugen über Methoden zum TQM. Wiesbaden: Springer 2012, ISBN 978-3-8348-1309-1.
  • Franz J. Brunner, Karl W. Wagner: Qualitätsmanagement. Leitfaden für Studium und Praxis. München, Wien: Hanser 2011, ISBN 978-3-446-42516-3.
  • Hermann J. Thomann, Thomas Träger (Hrsg.): Qualitätsmanagement in Dienstleistungsunternehmen. Aktuelles Praxishandbuch TÜV Media, Köln 2018, ISBN 978-3-8249-0473-0.
  • Günter Göbel, Knut Marhold, E. Rüdiger Weng: QM FIBEL – Erfolgreiches QualitätsManagement für Architekten und Ingenieure. IWW-Institut für Wirtschaftspublizistik GmbH & Co. KG, Würzburg, 2. Aufl. 2014, ISBN 978-3-89212-048-3.
  • Uli Greßler, Rainer Göppel: Qualitätsmanagement. Eine Einführung. Bildungsverlag EINS, Troisdorf, ISBN 3-8237-4795-9.
  • Gerd F. Kamiske (Hrsg.): Bausteine des innovativen Qualitätsmanagement. Hanser, München/Wien 1997, ISBN 3-446-18990-4.
  • MQ – Management und Qualität / Das Magazin für integrierte Managementsysteme, Ausgabe Deutschland, Organ von TÜV Cert, TÜV Media, Köln, ISSN 1862-2623.
  • Tilo Pfeifer, Robert Schmitt (Hrsg.): Masing Handbuch Qualitätsmanagement, Carl Hanser Fachbuchverlag, München; Wien, 6. überarbeitete Auflage 2014, ISBN 978-3-446-43431-8
  • Dieter Pfister, Lucien Schoppig: Identifikation als Erfolgsfaktor im modernen Qualitätsmanagement, Basel 1994, ISBN 3-906430-53-7.
  • Armin Töpfer, Hartmut Mehdorn: Total Quality Management. 3. Auflage, Luchterhand, Berlin 1994, ISBN 3-472-01759-7.
  • Karl W. Wagner: Qualitätsmanagement für KMU. Hanser, München 2005, ISBN 3-446-40229-2.
  • Ernest Wallmüller: Ganzheitliches Qualitätsmanagement in der Informationsverarbeitung. München, Wien: Hanser 1994 ISBN 3-446-17101-0.
  • Herbert Schnauber, Armin Schuster (Hrsg.): Erfolgsfaktor Qualität. Einsatz und Nutzen des EFQM-Excellence-Modells. Symposion Publishing GmbH, Düsseldorf 2012, ISBN 978-3-86329-420-5
  • Robert Schmitt, Tilo Pfeifer: Qualitätsmanagement. Strategien – Methoden – Techniken. Hanser Verlag, München, 5. Auflage 2015, ISBN 978-3-446-43432-5.

Einzelnachweise

  1. http://www.brandeins.de/archiv/2010/qualitaet/ungesunde-ordnung/ Interview mit der Sozialwissenschaftlerin Bettina Warzecha: Ungesunde Ordnung, brand eins (Wirtschaftsmagazin) 12. Jahrgang, Heft 10 vom Oktober 2010, S. 120–124.
  2. Bettina Warzecha: Problem Qualitätsmanagement – Prozessorientierung, Beherrschbarkeit und Null-Fehler-Abläufe als moderne Mythen, Verlag für Planung und Organisation, 2009, 163 Seiten, ISBN 978-3-00-028012-2.
  3. Paul Reinbacher: Qualitätsmanagement? Kitsch! In: The European. Das Debatten-Magazin. 12. Oktober 2015.
  4. Die Managementbewertung im Qualitätsmanagement. concept-pro.de, abgerufen am 15. November 2018.
  5.  Schmitt, Robert; Pfeifer, Tilo; Reißiger, Wolf: Qualitätsgerechte Organisationsstrukturen. In: Masing Handbuch Qualitätsmanagement. 5 Auflage. Hanser, München 2007, ISBN 978-3-446-40752-7, S. 54.
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