Endliche einfache Gruppe

Endliche einfache Gruppen gelten in der Gruppentheorie (einem Teilgebiet der Mathematik) als die Bausteine der endlichen Gruppen.

Die endlichen einfachen Gruppen spielen für die endlichen Gruppen eine ähnliche Rolle wie die Primzahlen für die natürlichen Zahlen: Jede endliche Gruppe lässt sich in ihre einfachen Gruppen „zerteilen“ (für die Art der Eindeutigkeit siehe den Satz von Jordan-Hölder). Die Rekonstruktion einer endlichen Gruppe aus diesen ihren „Faktoren“ ist aber nicht eindeutig. Es gibt jedoch keine „noch einfacheren Gruppen“, aus denen sich die endlichen einfachen Gruppen konstruieren lassen.

Definition

Eine Gruppe $G$ heißt einfach, wenn sie nur $\left\{e\right\}$ und sich selbst als Normalteiler besitzt. Hierbei bezeichnet $e$ das neutrale Element der Gruppe. Oft wird zusätzlich $G\neq \left\{e\right\}$ gefordert.

Da die Normalteiler einer Gruppe genau die Untergruppen sind, die als Kern eines Gruppenhomomorphismus auftreten, ist eine Gruppe $G$ genau dann einfach, wenn jedes homomorphe Bild von $G$ isomorph zu $G$ oder zu $\left\{e\right\}$ ist. Eine weitere äquivalente Definition ist: Eine Gruppe ist genau dann einfach, wenn die Operation der Gruppe auf sich selbst als Gruppe mittels Konjugation irreduzibel ist (das heißt, die einzigen unter dieser Operation invarianten Untergruppen sind $\left\{e\right\}$ und $G$).

Klassifikation

Seit 1962 ist bekannt, dass alle nicht-abelschen endlichen einfachen Gruppen eine gerade Ordnung haben müssen, denn der Satz von Feit-Thompson besagt, dass Gruppen ungerader Ordnung sogar auflösbar sind. Bis zur vollständigen Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen, das heißt bis zur Aufzählung sämtlicher endlicher einfacher Gruppen bis auf Isomorphie, war es aber noch ein weiter Weg.

Anfang der 1980er Jahre verkündeten die Leiter des Klassifikationsprogramms einen vorläufigen Abschluss, größere Lücken mussten aber auch danach noch geschlossen werden und nicht alle Schritte waren veröffentlicht worden. Es wurde ein neues Programm aufgelegt, um die Klassifikation zu vereinfachen und lückenlos zu dokumentieren. Die endlichen einfachen Gruppen lassen sich einteilen in

• zyklische Gruppen von Primzahlordnung,
• alternierende Gruppen $A_{n}$ mit $n>4$,
• Gruppen vom Lie-Typ über einem endlichen Körper (16 jeweils unendliche Familien),
• 26 sporadische Gruppen

Zum Beweis des Klassifikationssatzes

Die Herleitung des Satzes war eines der umfangreichsten Projekte der Mathematikgeschichte:

• Der Beweis verteilt sich auf über 500 Fachartikel mit zusammen fast 15.000 gedruckten Seiten. Es sind aber nicht alle Beweise auch publiziert worden.
• Über 100 Mathematiker waren von Ende der 1920er bis Anfang der 1980er Jahre daran beteiligt.

Da Teile des Beweises nur mit Hilfe von Computern geführt werden konnten, wird er jedoch nicht von allen Mathematikern anerkannt. Nach der „Fertigstellung“ des Beweises um 1980 ist von führenden Mathematikern des Klassifikationsprogramms wie Michael Aschbacher und Daniel Gorenstein ein Programm aufgenommen worden, den Beweis zu vereinfachen und lückenlos zu dokumentieren. Dabei sind auch Lücken entdeckt worden, von denen die meisten ohne größere Komplikationen geschlossen werden konnten. Eine Lücke erwies sich allerdings als so hartnäckig, dass erst 2002 von Aschbacher und anderen ein Beweis erbracht werden konnte, der immerhin 1200 Seiten lang war – ein Grund war allerdings, dass sich die Autoren bemühten, möglichst ohne Verweise auszukommen.

Derek John Scott Robinson drückte sich 1996 in seinem Lehrbuch zur Gruppentheorie etwas vorsichtiger aus. Er schrieb, es werde allgemein geglaubt, dass die angegebene Klassifikation vollständig ist, aber ein vollständiger Beweis sei noch nicht niedergeschrieben.

Ronald Solomon, Richard Lyons und Daniel Gorenstein begannen 1994 eine auf 12 Bände angelegte Darstellung des Beweises (GLS Projekt), das bei der American Mathematical Society erscheint und voraussichtlich 2023 abgeschlossen ist.

Familien endlicher einfacher Gruppen

Die 16 Familien von Gruppen vom Lie-Typ ergeben zusammen mit den zyklischen Gruppen von Primzahlordnung und den alternierenden Gruppen die 18 (unendlichen) Familien des Klassifikationssatzes.

Zyklische Gruppen mit Primzahlordnung

Die zyklischen Gruppen Z_p mit p = 2, 3, 5, 7, 11, … bilden eine Familie einfacher Gruppen.

Bei den endlichen einfachen Gruppen fallen die Eigenschaften zyklisch und kommutativ zusammen, denn jede zyklische Gruppe ist kommutativ und jede endliche einfache kommutative Gruppe ist zyklisch.

Bei den endlichen einfachen Gruppen fallen die Eigenschaften zyklisch und ungerade Ordnung beinahe zusammen:

• Jede endliche einfache zyklische Gruppe – außer Z₂ – besitzt eine ungerade Anzahl von Elementen.
• Jede endliche einfache Gruppe mit ungerader Ordnung ist zyklisch.

Alternierende Permutationsgruppen

Die alternierenden Permutationsgruppen $A_{n}$ mit $n>4$ bilden eine Familie einfacher Gruppen. Die Gruppe A₅ hat 60 Elemente und ist die kleinste nichtabelsche einfache Gruppe.

Gruppen vom Lie-Typ

Auf Basis der Klassifikation der einfachen komplexen Lie-Algebren lassen sich 16 Familien einfacher Gruppen konstruieren, die nach den entsprechenden Typen der Lie-Algebren benannt sind. Diese sind

A_n(q), B_n(q), C_n(q), D_n(q), E₆(q), E₇(q), E₈(q), F₄(q), G₂(q),
²A_n(q²), ²B₂(2^2m+1), ²D_n(q²), ³D₄(q³), ²E₆(q²), ²F₄(2^2m+1), ²G₂(3^2m+1).

Für nähere Einzelheiten siehe Gruppe vom Lie-Typ. Die Gruppen A_n(q) stimmen mit den speziellen projektiven linearen Gruppen PSL_n(q) überein, die mit Ausnahme von PSL₂(2) und PSL₂(3) einfach sind.

Da die Mitglieder der Familie ²F₄(2^2m+1) nicht-abelsch und einfach sind, stimmen sie mit ihren Kommutatorgruppen ²F₄(2^2m+1)’ überein. Für m=0 ist die Gruppe ²F₄(2)’ ebenfalls Mitglied dieser unendlichen Familie. Sie wird Tits-Gruppe genannt und ist einfach. Sie ist aber im strengen Sinn nicht vom Lie-Typ. Betrachtet man also die Familie ²F₄(2^2m+1)’ als eigenständige unendliche Familie, dann sind zwar ihre Mitglieder wegen der (einzigen) Ausnahme Tits-Gruppe nicht mehr alle vom Lie-Typ, es erübrigt sich aber, der Tits-Gruppe anderweitig eine Sonderrolle zuzusprechen.

Sporadische Gruppen

Eine endliche einfache Gruppe wird sporadisch genannt, wenn sie zu keiner Familie mit unendlich vielen Mitgliedern gehört.

Die ersten 5 der insgesamt 26 sporadischen Gruppen (siehe dort zu einer tabellarischen Übersicht) wurden von Émile Mathieu bereits in den Jahren 1862 und 1873 entdeckt.

Die 21 „jüngeren“ Gruppen wurden ab 1964 gefunden; meist erfolgte die Entdeckung im Rahmen der Beweissuche zum Klassifikationssatz. Da diese Gruppen zum Teil recht groß sind, vergingen zwischen ihrer gruppentheoretischen Entdeckung und dem praktischen Beweis ihrer Existenz oft mehrere Jahre. Die größte aller 26 sporadischen Gruppen, die sogenannte Monstergruppe F1 mit rund 8 × 10⁵³ Elementen, wurde bereits 1973 von Bernd Fischer und Robert Griess entdeckt, ihre endgültige Konstruktion gelang Griess jedoch erst 1980.

Von einigen Autoren wird auch die Tits-Gruppe ²F₄(2)’ mit 17971200 = 2¹¹·3³·5²·13 Elementen zu den sporadischen Gruppen gezählt, womit sich eine Gesamtzahl von 27 ergäbe. Sie gehört aber (mit m=0) zur unendlichen Familie der ²F₄(2^2m+1)’-Gruppen von Kommutatorgruppen der Familie der ²F₄(2^2m+1)-Gruppen (die für m>0 als einfache nicht-abelsche Gruppen mit ihrer Kommutatorgruppe übereinstimmen) und ist somit nicht als sporadisch anzusehen.

Weblinks und Literatur

• Dieter Held: Die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen (PDF, 131 kB)
• Gerhard Hiß: Die sporadischen Gruppen (PostScript, 460 kB)
• Classification Theorem of Finite Groups bei Mathworld
• Michael Aschbacher: The Status of the classification of the finite simple groups. Notices AMS 2004, PDF, englisch
• Daniel Gorenstein: Die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen. In…
  • der Zeitschrift Spektrum der Wissenschaft, Februar 1986.
  • und dem Sammelband Moderne Mathematik, Heidelberg 1996, ISBN 3-8274-0025-2.
• Daniel Gorenstein Finite Simple Groups, Plenum Press 1982
• Ronald Solomon: A brief history of the classification of finite simple groups. BAMS, Bd. 38, 2001, Heft 3, PDF
• Mark Ronan: Symmetry and the Monster. Oxford University Press 2006 (populärwissenschaftlich)
• Bernd Stellmacher, Hans Kurzweil: Theorie der endlichen Gruppen – eine Einführung. Springer 1998, ISBN 354060331X.

GLS Projekt Daniel Gorenstein, Richard Lyons, Ronald Solomon: The classification of the finite simple groups, AMS, Mathematical Surveys and Monographs, Vol. 40., Band 1, 1994, Band 2, 1995, Band 3, 1997, Band 4, 1999 (Part II, Chapters 1-4: Uniqueness Theorems), Band 5, 2002, Band 6, 2004 (Part IV: The special odd case), Band 7, 2018 (Part III, Chapters 7-11: The Generic Case, Stages 3b and 4a)

Siehe auch

• Kategorie:Endliche einfache Gruppe - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Endliche einfache Gruppe - Artikel in der deutschen Wikipedia
• Liste kleiner Gruppen - Artikel in der deutschen Wikipedia