imported>Joachim Stiller |
imported>Joachim Stiller |
| Zeile 5: |
Zeile 5: |
| Die Grundaufgabe der Trigonometrie besteht darin, aus drei Größen eines gegebenen [[Dreieck]]s (Seitenlängen, [[Winkel]]größen, Längen von Dreieckstransversalen usw.) andere Größen dieses Dreiecks zu berechnen. Als Hilfsmittel werden die [[Trigonometrische Funktion|trigonometrischen]] [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] (Winkelfunktionen, Kreisfunktionen, goniometrischen Funktionen) [[Sinus und Kosinus|Sinus (sin), Kosinus (cos)]], [[Tangens und Kotangens|Tangens (tan), Kotangens (cot)]], [[Sekans und Kosekans|Sekans (sec) und Kosekans (csc)]] verwendet. Trigonometrische Berechnungen können sich aber auch auf kompliziertere geometrische Objekte beziehen, beispielsweise auf [[Polygon|Polygone (Vielecke)]], auf Probleme der [[Stereometrie|Stereometrie (Raumgeometrie)]] und auf Fragen vieler anderer Gebiete (siehe unten). | | Die Grundaufgabe der Trigonometrie besteht darin, aus drei Größen eines gegebenen [[Dreieck]]s (Seitenlängen, [[Winkel]]größen, Längen von Dreieckstransversalen usw.) andere Größen dieses Dreiecks zu berechnen. Als Hilfsmittel werden die [[Trigonometrische Funktion|trigonometrischen]] [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] (Winkelfunktionen, Kreisfunktionen, goniometrischen Funktionen) [[Sinus und Kosinus|Sinus (sin), Kosinus (cos)]], [[Tangens und Kotangens|Tangens (tan), Kotangens (cot)]], [[Sekans und Kosekans|Sekans (sec) und Kosekans (csc)]] verwendet. Trigonometrische Berechnungen können sich aber auch auf kompliziertere geometrische Objekte beziehen, beispielsweise auf [[Polygon|Polygone (Vielecke)]], auf Probleme der [[Stereometrie|Stereometrie (Raumgeometrie)]] und auf Fragen vieler anderer Gebiete (siehe unten). |
|
| |
|
| == Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck == | | == Zu etlichen weitern Themen siehe auch == |
| [[Datei:Triangle sides-de.svg|mini|300px|Rechtwinkliges Dreieck]]
| | * {{WikipediaDE|Trigonometrie}} |
| Besonders einfach ist die Trigonometrie des [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinkligen Dreiecks]]. Da die [[Winkelsumme]] eines Dreiecks 180° beträgt, ist der rechte Winkel eines solchen Dreiecks der größte [[Innenwinkel]]. Ihm liegt die längste Seite (als [[Hypotenuse]] bezeichnet) gegenüber. Die beiden kürzeren Seiten des Dreiecks nennt man [[Kathete]]n. Wenn man sich auf einen der beiden kleineren Winkel bezieht, ist es sinnvoll, zwischen der [[Gegenkathete]] (dem gegebenen Winkel gegenüber) und der [[Ankathete]] (benachbart zum gegebenen Winkel) zu unterscheiden.
| |
| | |
| Diese Definitionen sind sinnvoll, da verschiedene rechtwinklige Dreiecke mit dem gegebenen Winkel untereinander [[Ähnlichkeit (Geometrie)|ähnlich]] sind, sodass sie in ihren Seitenverhältnissen übereinstimmen. Beispielsweise könnte ein Dreieck doppelt so lange Seiten haben wie ein anderes. Die [[Bruchrechnung|Brüche]] der genannten Definitionsgleichungen hätten in diesem Fall die gleichen Werte. Diese Werte hängen also nur vom gegebenen Winkel ab. Aus diesem Grund ist es sinnvoll, von [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] der Winkel zu sprechen.
| |
| | |
| === Beispiel: Berechnung einer Seitenlänge ===
| |
| Die folgenden Zahlenwerte sind abgerundet.
| |
| In einem Dreieck ABC sind folgende Größen gegeben:
| |
| :<math>b = 5{,}5\,\mbox{cm}; \quad \alpha = 29^\circ; \quad \gamma = 90^\circ</math>
| |
| | |
| Aus diesen Angaben soll die Seitenlänge c ermittelt werden. Da die Ankathete von <math>\alpha</math> bekannt und die Hypotenuse gesucht ist, wird die Kosinus-Funktion verwendet.
| |
| | |
| <math>\cos\alpha = \frac{b}{c}</math>
| |
| | |
| <math>c = \frac{b}{\cos\alpha} = \frac{5{,}5\,\mbox{cm}}{\cos 29^\circ} = 6{,}3\,\mbox{cm}</math>
| |
| | |
| === Beispiel: Berechnung einer Winkelgröße ===
| |
| Von einem Dreieck ABC ist bekannt:
| |
| | |
| <math>a = 3{,}1\,\mbox{cm}; \quad b = 5{,}5\,\mbox{cm}; \quad \gamma = 90^\circ</math>
| |
| | |
| Gesucht ist der Winkel <math>\beta</math>. Die beiden gegebenen Seiten <math>a</math> und <math>b</math> sind die Ankathete und die Gegenkathete von <math>\beta</math>. Daher ist es sinnvoll, die Tangens-Funktion einzusetzen.
| |
| | |
| <math>\tan\beta = \frac{b}{a} = \frac{5{,}5\,\mbox{cm}}{3{,}1\,\mbox{cm}} = 1{,}8</math>
| |
| | |
| Während im letzten Beispiel für einen bekannten Winkel der Kosinuswert zu berechnen war, ist hier die Situation umgekehrt. Aus einem bekannten Tangenswert soll der zugehörige Winkel bestimmt werden. Man benötigt hierfür die [[Umkehrfunktion]] der Tangens-Funktion, die so genannte [[Arcus-Tangens|Arcustangens-Funktion]] (arctan) oder ein Tabellenwerk, aus dem Winkel und zugehöriger Tangenswert abgelesen werden können. Damit erhält man:
| |
| | |
| <math>\beta = 61{,}0^\circ</math>
| |
| | |
| == Definition der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis ==
| |
| [[Datei:Triangle-unit-circle.svg|mini|300px|Einheitskreis]]
| |
| [[Datei:Circle-trig6.svg|mini|300px|Alle trigonometrischen Funktionen des Winkels θ können geometrisch im Einheitskreis mit Zentrum O konstruiert werden.]]
| |
| | |
| Die bisher verwendeten Definitionen sind nur für Winkel unter 90° brauchbar. Für viele Zwecke ist man jedoch an trigonometrischen Werten größerer Winkel interessiert. Der [[Einheitskreis]], das ist ein [[Kreis (Geometrie)|Kreis]] mit [[Radius]] 1, erlaubt eine solche Erweiterung der bisherigen Definition. Zum gegebenen Winkel wird der entsprechende Punkt auf dem Einheitskreis bestimmt. Die [[Kartesisches Koordinatensystem|x-Koordinate]] dieses Punkts ist der Kosinuswert des gegebenen Winkels, die y-Koordinate der Sinuswert.
| |
| | |
| Die oben gegebene Definition von Sinus- und Kosinuswert durch x- und y-Koordinate lässt sich problemlos auf Winkel über 90° ausdehnen. Man erkennt dabei, dass für Winkel zwischen 90° und 270° die x-Koordinate und damit auch der Kosinus negativ ist, entsprechend für Winkel zwischen 180° und 360° die y-Koordinate und somit auch der Sinus. Auch auf Winkel, die größer als 360° sind, sowie auf negative Winkel lässt sich die Definition ohne Weiteres übertragen.
| |
| | |
| Man beachte, dass in der modernen Herangehensweise die Beziehung zwischen Winkel und Sinus bzw. Kosinus dazu benutzt wird, um den Winkel zu definieren. Die [[Sinus]]- und [[Kosinus]]funktion selbst werden über ihre [[Potenzreihe|Reihendarstellung]] eingeführt.
| |
| | |
| Die weiteren vier trigonometrischen Funktionen sind definiert durch:
| |
| | |
| :<math>\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}</math>
| |
| | |
| :<math>\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}</math>
| |
| | |
| :<math>\sec\alpha = \frac{1}{\cos\alpha}</math>
| |
| | |
| :<math>\csc\alpha = \frac{1}{\sin\alpha}</math>
| |
| | |
| <gallery perrow="2" widths="300" caption="Graphen der wichtigsten trigonometrischen Funktionen (Winkel im Bogenmaß, d. h. π ≙ 180°)">
| |
| Sine.svg|Sinus
| |
| Cosine.svg|Kosinus
| |
| Tangent-plot.svg|Tangens
| |
| Cotangent.svg|Kotangens
| |
| Secant.svg|Sekans
| |
| Cosecant.svg|Kosekans
| |
| </gallery>
| |
| | |
| == Trigonometrie im allgemeinen Dreieck ==
| |
| Auch für allgemeine Dreiecke wurden etliche Formeln entwickelt, die es gestatten, unbekannte Seitenlängen oder Winkelgrößen zu bestimmen. Zu nennen wären hier insbesondere der [[Sinussatz]] und der [[Kosinussatz]]. Die Verwendung des Sinussatzes
| |
| | |
| :<math>\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}</math>
| |
| | |
| ist nützlich, wenn von einem Dreieck entweder zwei Seiten und einer der beiden gegenüber liegenden Winkel oder eine Seite und zwei Winkel bekannt sind. Der Kosinussatz
| |
| | |
| :<math>a^2 \, = \, b^2 + c^2 - 2 b c \cos\alpha</math>
| |
| :<math>b^2 \, = \, a^2 + c^2 - 2 a c \cos\beta</math>
| |
| :<math>c^2 \, = \, a^2 + b^2 - 2 a b \cos\gamma</math>
| |
| | |
| ermöglicht es, entweder aus drei gegebenen Seiten die Winkel auszurechnen oder aus zwei Seiten und ihrem Zwischenwinkel die gegenüber liegende Seite. Weitere Formeln, die für beliebige Dreiecke gelten, sind der [[Tangenssatz]], der [[Halbwinkelsatz]] (Kotangenssatz) und die [[Mollweidesche Formeln|mollweideschen Formeln]].
| |
| | |
| == Eigenschaften und Formeln ==
| |
| Die Artikel über die sechs trigonometrischen Funktionen ([[Sinus]], [[Kosinus]], [[Tangens]], [[Kotangens]], [[Secans]], [[Kosecans]]) und die [[Formelsammlung Trigonometrie]] enthalten zahlreiche Eigenschaften dieser Funktionen und Formeln zum Rechnen mit diesen. Besonders häufig gebraucht werden die Komplementärformeln für Sinus und Kosinus
| |
| | |
| :<math>\sin(90^\circ-\alpha) \, = \, \cos\alpha</math>
| |
| :<math>\cos(90^\circ-\alpha) \, = \, \sin\alpha</math>
| |
| | |
| sowie der „[[Trigonometrischer Pythagoras|trigonometrische Pythagoras]]“
| |
| | |
| :<math>\sin^2\alpha + \cos^2\alpha \, = 1</math>
| |
| | |
| Wichtig sind auch die [[Formelsammlung Trigonometrie#Additionstheoreme|Additionstheoreme]] der trigonometrischen Funktionen und die Folgerungen daraus. Es geht dabei um trigonometrische Werte von Summen oder Differenzen von Winkeln. So gilt beispielsweise für alle <math>\alpha</math> und <math>\beta</math>:
| |
| | |
| :<math>\sin(\alpha\pm \beta) = \sin\alpha \cdot \cos\beta \pm \cos\alpha \cdot \sin\beta</math>
| |
| :<math>\cos (\alpha\pm\beta) = \cos\alpha \cdot \cos\beta \mp \sin\alpha \cdot \sin\beta</math>
| |
| :<math>\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}</math>
| |
| :<math>\cos \alpha - \cos \beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}</math>
| |
| :<math>\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}</math>
| |
| :<math>\sin \alpha - \sin \beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}</math>
| |
| | |
| Weitere Identitäten finden sich in der [[Formelsammlung Trigonometrie]].
| |
| | |
| == Anwendungsgebiete ==
| |
| [[Datei:Fotothek df tg 0004529 Geometrie ^ Vermessung ^ Instrument.jpg|mini|250px|Historische Abbildung zur Vermessung eines Geländes mit Hilfe eines Dreiecks (1667)]]
| |
| | |
| Trigonometrie spielt in vielen Bereichen eine entscheidende Rolle:
| |
| | |
| In der [[Geodäsie]] (Vermessung) spricht man von [[Triangulation (Geodäsie)|Triangulation]], wenn man von Punkten bekannter Position aus andere Punkte anpeilt (Winkelmessung) und daraus trigonometrisch die Positionen der neuen Punkte bestimmt. In der [[Astronomie]] lassen sich auf entsprechende Weise die Entfernungen von Planeten, Monden und nahe gelegenen Fixsternen ermitteln. Ähnlich groß ist die Bedeutung der Trigonometrie für die [[Navigation]] von Flugzeugen und Schiffen und für die [[sphärische Astronomie]], insbesondere für die Berechnung von Stern- und Planetenpositionen.
| |
| | |
| In der [[Physik]] dienen Sinus- und Kosinus-Funktion dazu, [[Schwingung]]en und [[Welle]]n mathematisch zu beschreiben. Entsprechendes gilt für den zeitlichen Verlauf von [[Elektrische Spannung|elektrischer Spannung]] und elektrischer [[Stromstärke]] in der [[Wechselstrom]]technik.
| |
| | |
| == Geschichte ==
| |
| Vorläufer der Trigonometrie gab es bereits während der [[Antike]] in der [[Geschichte der Mathematik|griechischen Mathematik]]. [[Aristarchos von Samos]] nutzte die Eigenschaften rechtwinkliger Dreiecke zur Berechnung der Entfernungsverhältnisse zwischen Erde und Sonne bzw. Mond. Von den [[Liste von Astronomen|Astronomen]] [[Hipparchos (Astronom)|Hipparch]] und [[Ptolemäus]] ist bekannt, dass sie mit Sehnentafeln arbeiteten, also mit Tabellen für die Umrechnung von [[Kreiswinkel|Mittelpunktswinkeln (Zentriwinkeln)]] in [[Sehne (Mathematik)|Sehnenlängen]] und umgekehrt. Die Werte solcher Tabellen hängen unmittelbar mit der Sinus-Funktion zusammen: Die Länge einer Kreissehne ergibt sich aus dem [[Radius|Kreisradius]] <math>r</math> und dem Mittelpunktswinkel <math>\alpha</math> gemäß
| |
| | |
| :<math>s = 2 r \sin\frac{\alpha}{2}.</math>
| |
| | |
| Ähnliche Tabellen wurden auch in der [[Geschichte der Mathematik|indischen Mathematik]] verwendet. [[Geschichte der Mathematik|Arabische]] Wissenschaftler übernahmen die Ergebnisse von Griechen und Indern und bauten die Trigonometrie, insbesondere die sphärische Trigonometrie weiter aus. Im [[mittelalter]]lichen [[Europa]] wurden die Erkenntnisse der arabischen Trigonometrie erst spät bekannt. Die erste systematische Darstellung des Gebiets erfolgte im 15. Jahrhundert. Im Zeitalter der [[Renaissance]] erforderten die zunehmenden Problemstellungen der [[Ballistik]] und der Hochseeschifffahrt eine Verbesserung der Trigonometrie und des trigonometrischen [[Trigonometrische Tafeln|Tafelwerks]]. Der deutsche Astronom und [[Liste von Mathematikern|Mathematiker]] [[Regiomontanus]] (Johann Müller) fasste Lehrsätze und Methoden der ebenen und sphärischen Trigonometrie in dem fünfbändigen Werk ''De triangulis omnimodis'' zusammen. Aufgrund dieser Anwendung waren außer Sinus und Kosinus auch andere Winkelfunktionen gebräuchlich, wie etwa der [[Sinus versus]] = 1 - cos.
| |
| | |
| Der Begriff Trigonometrie wurde durch [[Bartholomäus Pitiscus]] in seinem ''Trigonometria: sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus'' von 1595 eingeführt.
| |
| | |
| Die heute verwendeten Schreibweisen und die analytische Darstellung der [[Trigonometrische Funktion|trigonometrischen Funktionen]] stammen zum größten Teil von [[Leonhard Euler]].
| |
|
| |
|
| == Siehe auch == | | == Siehe auch == |
anthrowiki.at, 
anthro.world, 
biodyn.wiki und 
steiner.wiki
Wie Sie die Entwicklung von AnthroWiki durch Ihre Spende unterstützen können, erfahren Sie hier.
Wiktionary: Trigonometrie – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wikibooks: Mathematik: Schulmathematik: Trigonometrie – Lern- und Lehrmaterialien
