imported>Joachim Stiller |
imported>Joachim Stiller |
| Zeile 1: |
Zeile 1: |
| Die '''Aussagenlogik''' ist ein Teilgebiet der [[Logik]], das sich mit Aussagen und deren Verknüpfung durch [[Junktor]]en befasst, ausgehend von strukturlosen [[Wikipedia:Elementaraussagen|Elementaraussage]]n (Atomen), denen ein [[Wahrheitswert]] zugeordnet wird. In der ''klassischen Aussagenlogik'' wird jeder Aussage genau einer der zwei Wahrheitswerte „wahr“ und „falsch“ zugeordnet. Der Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage lässt sich ohne zusätzliche Informationen aus den Wahrheitswerten ihrer Teilaussagen bestimmen.
| | [[Datei:Ea (Babilonian) - EnKi (Sumerian).jpg|miniatur|Enki, mit Euphrat und Tigris, die von seinen Schultern entspringen. Die Ziege als sein Symboltier zu seinen Füßen]] |
|
| |
|
| == Geschichte ==
| | '''Enki''' ([[Wikipedia:Sumerische Sprache|sumerisch]] <sup>[[Wikipedia:dingir|d]]</sup>en-KI {{Keilschrift|𒀭𒂗𒆠|lang=sux}} Herr Erde; [[Wikipedia:akkadisch|akkadisch]] '''[[Ea]]''' Wasserhaus) ist der Name des sumerischen Weisheitsgottes und Herrscher des Süßwasserozeans [[Abzu (Gottheit)|Abzu]]. Er gilt auch als Gott der Handwerker, der Künstler und der Magier. Seine besondere Leistung war die Erschaffung der Menschen. Enki wird mit den Flüssen [[Wikipedia:Euphrat|Euphrat]] und [[Wikipedia:Tigris|Tigris]] dargestellt, welche aus seinen Schultern quellen. In der Hand hält er ein Gefäß, aus dem Wasser quillt. Ihn begleiten seine Symboltiere, wie der Ziegenfisch (manchmal auch nur eine Ziege oder nur ein Fisch) und die Schildkröte. Das Boot und ein Stab mit Widderkopf sind seine Utensilien<ref>Leick 1998 S.41</ref>. |
| Historisch geht die Aussagenlogik zurück bis zu [[Aristoteles]], der erstmals aussagenlogische Grundsätze diskutierte, nämlich in seiner Metaphysik den [[Satz vom Widerspruch]] und den [[Satz vom ausgeschlossenen Dritten]], und der in seiner ersten Analytik den [[Reductio ad absurdum|indirekten Beweis]] thematisierte. Die zweiwertige aussagenlogische Semantik entwickelten etwas später die megarischen Philosophen [[Diodoros Kronos]] und [[Philon von Megara|Philon]]. Die Aussagensemantik und -axiomatik kombinierte der Stoiker [[Chrysippos von Soli]], der den ersten aussagenlogischen Kalkül formulierte. Die Weiterentwicklung der Aussagenlogik der Stoa durch das Mittelalter wird oft übersehen.<ref>Karl Dürr: ''Aussagenlogik im Mittelalter.'' In: ''Erkenntnis.'' Bd. 7, Nr. 1, 1937/1938, {{ISSN|0165-0106}}, S. 160–168, [[doi:10.1007/BF00666521]].</ref> Eine erste [[Vollständigkeit (Logik)|vollständige]] und [[entscheidbar]]e Formalisierung für aussagenlogische [[Tautologie (Logik)|Tautologien]] – allerdings noch nicht für das aussagenlogische Schließen – schuf [[George Boole]] 1847 mit seinem algebraischen Logikkalkül. Den ersten aussagenlogischen Kalkül mit Schlussregeln formulierte [[Gottlob Frege]] im Rahmen seiner [[Begriffsschrift]] 1879. Er war die Vorlage für den Aussagenkalkül von [[Bertrand Russell]] 1910, der sich später durchsetzte (s. u.).
| |
| <!-- Weitere Entwicklung: Kalküle *mit* Schlussregeln, Metatheorie, nichtklassische Entwicklungen... --> | |
|
| |
|
| == Zur Abgrenzung der klassischen Aussagenlogik == | | == Genealogie == |
| Da in der heutigen Mathematik die klassische Aussagenlogik maßgeblich wurde, wird in diesem Artikel dieser moderne Haupttypus der Aussagenlogik behandelt. Allgemein ist die [[klassische Logik]] durch zwei Eigenschaften charakterisiert:
| | Enki ist laut den sumerischen Götterlisten der Sohn von [[An (Gottheit)|An]] und [[Uraš (Göttin)|Ki]]<ref>Leick 1998 S.104</ref>. In Mythen wie zum Beispiel [[Enki und Nammu]] und dem [[Atraḫasis-Epos]] wird jedoch [[Nammu]] als seine Mutter bezeichnet. Seine Frau ist in den sumerischen Götterlisten [[Ninki]]; in [[Babylonisches Reich|babylonischer Zeit]] wird sie durch [[Damkina]] ersetzt. In dem Mythos [[Ninḫursanga|Enki und Ninhursanga]] ist [[Ninḫursanga|Ninḫursanga]] seine Frau. Seine bekanntesten Kinder sind [[Nanše]] und [[Asalluchi|Asalluḫi]], welcher von den Babyloniern mit [[Marduk]] gleichgesetzt wurde, um Marduk als Sohn von Enki/Ea zu etablieren. Auch [[Namtaru]] wird als sein Sohn genannt<ref> K. Tallqvist, Sumerische Akkadische Namen der Totenwelt. Helsinki, 1934, 12 ff., 88</ref>. Er gilt weiterhin als der Erschaffer der [[Abgal]], [[Enkidu]] und vieler weiterer Götter und Dämonen. |
|
| |
|
| * Jede Aussage hat einen von genau zwei Wahrheitswerten, meist „falsch“ oder „wahr“ ([[Prinzip der Zweiwertigkeit]] oder Bivalenzprinzip).
| | == Geschichte == |
| * Der Wahrheitswert jeder zusammengesetzten Aussage ist eindeutig durch die Wahrheitswerte ihrer Teilaussagen bestimmt (Prinzip der ''Extensionalität'' oder ''Kompositionalität'', siehe [[Extensionalitätsprinzip]])
| | Enki ist seit der frühsumerischen Zeit belegt und zeigt sich in verschiedenen Inschriften, die ihn als Süßwassergott und Gott der lebensspendenden Feuchtigkeit verehren. Als Namensbestandteil kann man Enki sogar noch weiter zurückverfolgen<ref>Leick 1998 S.40</ref>. Sein Hauptheiligtum [[Wikipedia:Eapsu|Eapsu]] befand sich in der Stadt [[Wikipedia:Eridu|Eridu]] und sicherte in früher Zeit die Vormachtstellung der Stadt. Als einer der wichtigsten Götter im mesopotamischen Pantheon hatte Enki Tempel in vielen anderen Städten. Als der Einfluss Eridus sank, wurde auch sein Hauptheiligtum nach [[Wikipedia:Uruk|Uruk]] verlegt, was sich im Mythos [[Inanna und Enki]] niederschlägt. |
| | | [[Datei:CdM, sigillo a cilindro assiro, gruppo di eroi davanti al dio enki, serpentino, fine del III millennio a.c.jpg|miniatur|Gruppe von Helden vor dem Gott Enki, welche eine Schale hält, aus der Wasser fließt]] |
| Das Prinzip der Zweiwertigkeit wird oft mit dem [[Satz vom ausgeschlossenen Dritten]] verwechselt.
| |
| | |
| Die ''klassische Aussagenlogik'' ist jenes Gebiet der klassischen Logik, das die innere Struktur von Sätzen ([[Aussage]]n) daraufhin untersucht, aus welchen anderen Sätzen (Teilsätzen) sie zusammengesetzt sind und wie diese Teilsätze miteinander verknüpft sind. Die innere Struktur von Sätzen, die ihrerseits nicht in weitere Teilsätze zerlegt werden können, wird von der Aussagenlogik nicht betrachtet. Ein Beispiel: Die Aussage „Alle Katzen sind Hunde, und die Erde ist eine Scheibe“ ist mit dem Bindewort „und“ aus den beiden kürzeren Aussagen „Alle Katzen sind Hunde“ und „Die Erde ist eine Scheibe“ zusammengesetzt. Diese beiden Aussagen lassen sich ihrerseits nicht mehr in weitere Aussagen zerlegen, sind aus aussagenlogischer Sicht also elementar oder atomar. Andere, auf die Aussagenlogik aufbauende logische Systeme betrachten die innere Struktur solcher atomaren Aussagen; ein wichtiges Beispiel ist die [[Prädikatenlogik]].
| |
| | |
| In Abgrenzung zur klassischen Logik entstehen ''nichtklassische Logiksysteme'', wenn man das Prinzip der Zweiwertigkeit, das Prinzip der Extensionalität oder sogar beide Prinzipien aufhebt. Nichtklassische Logiken, die durch die Aufhebung des Prinzips der Zweiwertigkeit entstehen, heißen [[mehrwertige Logik]]. Die Zahl der Wahrheitswerte (in diesem Falle üblicher: Pseudowahrheitswerte) kann dabei endlich sein (z. B. dreiwertige Logik), ist aber oft auch unendlich (z. B. [[Fuzzy-Logik]]). Hingegen verwenden Logiken, die durch die Aufhebung der Extensionalität entstehen, [[Junktor]]en (Konnektive), bei denen sich der Wahrheitswert des zusammengesetzten Satzes nicht mehr eindeutig aus dem Wahrheitswert seiner Teile bestimmen lässt. Ein Beispiel für nichtextensionale Logik ist die [[Modallogik]], die die einstelligen nichtextensionalen Operatoren „es ist notwendig, dass“ und „es ist möglich, dass“ einführt.
| |
| | |
| Logische Systeme stehen innerhalb der Logik nicht in einem Konkurrenzverhältnis um Wahrheit oder Richtigkeit. Die Frage, welches logische System für einen bestimmten Zweck genutzt werden soll, ist eher eine pragmatische.
| |
| | |
| Oft werden logische Systeme und logische Fragestellungen mit außerlogischen Fragen verwechselt oder vermischt, z. B. mit der [[Metaphysik|metaphysischen]] Frage, welches logische System „richtig“ sei, d. h. die Wirklichkeit beschreibe. Zu dieser Frage gibt es unterschiedliche Standpunkte einschließlich des [[Positivismus|positivistischen]] Standpunkts, dass diese Frage sinnlos sei. Diese Fragen fallen aber in andere Gebiete, z. B. [[Philosophie]], [[Wissenschaftstheorie]] und [[Sprachwissenschaft]].
| |
| | |
| Wenn in diesem Artikel die klassische Aussagenlogik behandelt wird, so ist das also nicht als metaphysische Festlegung zu verstehen oder gar als Behauptung, dass „alle Aussagen wahr oder falsch sind“. Es ist lediglich so, dass die klassische Aussagenlogik einfach nur solche Aussagen behandelt, die wahr oder falsch sind. Das ist eine große formale Vereinfachung, die dieses System relativ leicht erlernbar sein lässt. Braucht man aus metaphysischen oder pragmatischen Gründen mehr als zwei Wahrheitswerte, kann die klassische Aussagenlogik als Ausgangspunkt dienen, um ein geeignetes logisches System aufzustellen.
| |
| | |
| == Umgangssprachliche Einleitung ==
| |
| | |
| === Einfache Aussage (Elementaraussage) ===
| |
| {{Hauptartikel|Aussage (Logik)}}
| |
| | |
| Eine Aussage A ist ein Satz, der entweder wahr (w, wahr, true, 1) oder nicht wahr (f, falsch, false, 0) ist. Das gilt sowohl für einfache als auch für verknüpfte Aussagen. „Halbwahrheiten“ gibt es nicht. Eine Aussage kann sowohl der gewöhnlichen Sprache entstammen als auch der Sprache der Mathematik. Eine Elementaraussage ist eine Aussage, die keine aussagenlogischen Verknüpfungen (''nicht, und, oder, wenn … dann, genau dann wenn'') enthält.
| |
| | |
| Beispiele für Elementaraussagen:
| |
| * <math>A_1</math>: München ist 781 km von Hamburg entfernt.
| |
| * <math>A_2</math>: 9 ist durch 3 teilbar.
| |
| * <math>A_3</math>: Eintracht Frankfurt wird in der nächsten Saison deutscher Fußballmeister.
| |
| * <math>A_4</math>: Alle Autos sind grün.
| |
| <math>A_2</math> ist offensichtlich wahr, <math>A_4</math> dagegen ist falsch. <math>A_1</math> muss man zunächst prüfen,
| |
| bevor man entscheiden kann, ob <math>A_1</math> wahr oder falsch ist. Ob <math>A_3</math> wahr ist, kann man derzeit nicht entscheiden. Das wird sich erst am Ende der nächsten Fußballsaison
| |
| herausstellen.
| |
| | |
| In der klassischen Aussagenlogik ist eine Aussage entweder wahr oder nicht wahr, auch wenn man den Wahrheitsgehalt nicht kennt. Das ist zum Beispiel bei den ungelösten mathematischen Problemen der Fall.
| |
| | |
| ''Anmerkung:'' <math>A_4</math> ist eine All-Aussage; die Struktur solcher Aussagen ist Gegenstand der [[Prädikatenlogik]]. Im Sinne der Aussagenlogik ist es eine Elementaraussage.
| |
| | |
| === Verneinte Aussage – Negation ===
| |
| {{Hauptartikel|Negation}}
| |
| | |
| Die ''Verneinung'' bzw. ''Negation'' (auch: ''Satzverneinung'', ''äußere Verneinung'', ''kontradiktorisches Gegenteil'') einer Aussage A ist diejenige Aussage ¬A, die genau dann wahr ist, wenn A falsch ist, und die genau dann falsch ist, wenn A wahr ist. Einfacher: Die Verneinung einer Aussage A dreht den Wahrheitswert von A in sein Gegenteil um.
| |
| | |
| Man erhält die Verneinung einer Aussage A immer dadurch, dass man ihr die Formulierung „Es ist nicht der Fall, dass“ voranstellt. Zwar lässt sich ein natürlichsprachlicher Satz auch verneinen, indem man das Wort „nicht“ oder eine andere [[Positive Formulierung|negative Formulierung]] an geeigneter Stelle einfügt – es ist aber nicht immer ganz einfach, zu erkennen, welche Formulierung zu verwenden und an welcher Stelle einzufügen ist. Formal schreibt man für „nicht A“ in der gebräuchlichsten [[Notation]] (Schreibweise) ¬A, auf Englisch und in der [[Schaltalgebra]] auch „NOT A“, gelegentlich auch „~A“.
| |
| {| class="wikitable float-right"
| |
| |-
| |
| ! <math>A</math>
| |
| ! <math>\neg A</math>
| |
| |-
| |
| | falsch
| |
| |style="text-align:center"| wahr
| |
| |-
| |
| | wahr
| |
| |style="text-align:center"| falsch
| |
| |}
| |
| | |
| Wir verneinen die obigen Beispiele:
| |
| * <math>\neg A_1</math>: Es ist nicht der Fall, dass München 781 km von Hamburg entfernt ist.
| |
| * <math>\neg A_2</math>: Es ist nicht der Fall, dass 9 durch 3 teilbar ist.
| |
| * <math>\neg A_3</math>: Es ist nicht der Fall, dass Eintracht Frankfurt in der nächsten Saison deutscher Fußballmeister wird.
| |
| * <math>\neg A_4</math>: Es ist nicht der Fall, dass alle Autos grün sind. (Es kann durchaus auch grüne Autos geben, aber es gibt mindestens ein Auto, das nicht grün ist.)
| |
| | |
| Allgemein gilt für die Verneinung:
| |
| * Wenn eine Aussage <math>A</math> wahr ist, ist die Verneinung <math>\neg A</math> falsch.
| |
| * Wenn eine Aussage <math>A</math> falsch ist, ist die Verneinung <math>\neg A</math> wahr.
| |
| * Eine Aussage <math>A</math> kann nicht gleichzeitig wahr und falsch sein.
| |
| * Die Aussagen <math>A</math> und <math>\neg A</math> können nicht gleichzeitig wahr sein.
| |
| | |
| === Und-verknüpfte Aussagen – Konjunktion ===
| |
| {{Hauptartikel|Konjunktion (Logik)}}
| |
| | |
| Eine ''Konjunktion'' ist eine aus zwei Aussagen zusammengesetzte Aussage, die die Wahrheit all ihrer Teilaussagen behauptet. Umgangssprachlich verbindet man zwei Aussagen A und B durch das Bindewort „und“ zu einer Konjunktion „A und B“.
| |
| | |
| === Nichtausschließendes Oder – Disjunktion ===
| |
| {{Hauptartikel|Disjunktion}}
| |
| | |
| Eine ''Disjunktion'' ist eine zusammengesetzte Aussage, die behauptet, dass mindestens eine ihrer Teilaussagen wahr ist. Die Disjunktion in diesem Sinn wird auch ''nichtausschließendes Oder'' genannt. (Aber Achtung: Die Bezeichnung „Disjunktion“ wurde und wird oft auch für das [[#Ausschließendes Oder|ausschließende Oder]], „entweder … oder“, verwendet – man denke an das Konzept der [[disjunkt|disjunkten Mengen]]. Einige Autoren verwenden daher für das Nichtausschließende Oder den Begriff ''Adjunktion''.)
| |
| Das Formelzeichen „<math>\vee</math>“ stammt von dem lateinischen Wort „vel“, was auf deutsch „oder“ bedeutet.
| |
| * Sprechweise: „A oder B“; genauer: „A oder B oder beide“, häufig in juristischen oder medizinischen Texten: „A und/oder B“
| |
| * Schreibweise: <math>A \vee B</math>
| |
| * auf Englisch und in der [[Schaltalgebra]] auch A OR B
| |
| | |
| Die Aussage <math>A \vee B</math> ist immer dann wahr, wenn mindestens eine der Teilaussagen A oder B wahr ist, bzw. wenn beide Teilaussagen wahr sind. Andernfalls ist <math>A \vee B</math> falsch, nämlich dann, wenn sowohl A als auch B falsch sind.
| |
| | |
| Beispiel für eine ''Oder''-Verknüpfung:
| |
| * A: 9 ist durch 3 teilbar
| |
| * B: 9 ist eine Quadratzahl
| |
| {| class="wikitable float-right"
| |
| |-
| |
| ! <math>A</math>
| |
| ! <math>B</math>
| |
| ! <math>A \vee B</math>
| |
| |-
| |
| | wahr
| |
| | wahr
| |
| |style="text-align:center"| wahr
| |
| |-
| |
| | falsch
| |
| | wahr
| |
| |style="text-align:center"| wahr
| |
| |-
| |
| | wahr
| |
| | falsch
| |
| |style="text-align:center"| wahr
| |
| |-
| |
| | falsch
| |
| | falsch
| |
| |style="text-align:center"| falsch
| |
| |}
| |
| Diese Teilaussagen und ihre Negationen werden nun durch <math>\vee</math> miteinander verknüpft:
| |
| * <math>C_5</math>: 9 ist durch 3 teilbar oder 9 ist eine Quadratzahl.
| |
| * <math>C_6</math>: 9 ist nicht durch 3 teilbar oder 9 ist eine Quadratzahl.
| |
| * <math>C_7</math>: 9 ist durch 3 teilbar oder 9 ist keine Quadratzahl.
| |
| * <math>C_8</math>: 9 ist nicht durch 3 teilbar oder 9 ist keine Quadratzahl.
| |
| | |
| <math>C_5 = A \vee B</math> ist wahr, weil sowohl <math>A</math> als auch <math>B</math> wahr sind.<br />
| |
| <math>C_6 = \neg A \vee B</math> ist wahr, weil <math>B</math> wahr ist.<br />
| |
| <math>C_7 = A \vee \neg B</math> ist wahr, weil <math>A</math> wahr ist.<br />
| |
| Nur <math>C_8 = \neg A \vee \neg B</math> ist falsch, weil sowohl <math>\neg A</math> als auch <math>\neg B</math> falsch sind.
| |
| | |
| === Materiale Implikation ===
| |
| {{Hauptartikel|Implikation}}
| |
| | |
| Die ''materiale Implikation'', auch ''Konditional'' oder ''Subjunktion'' genannt, drückt die ''hinreichende Bedingung'' aus: Sie sagt, dass die Wahrheit des einen Satzes eine hinreichende Bedingung für die Wahrheit des anderen Satzes ist. Man schreibt
| |
| : <math>A \rightarrow B</math>
| |
| | |
| oder auch
| |
| : <math> B \subset A </math><ref>Achtung Verwechslungsgefahr: Das ist kein Teilmengenzeichen, sondern das Kurven-, Bogen- oder Hufeisenzeichen (Peano-Russellsche Schreibweise) – siehe Beitrag zur [[Implikation]]; das Teilmengenzeichen, welches gleich aussieht, müsste sich auf die andere Seite öffnen.</ref> und liest
| |
| | |
| * A ist eine hinreichende Bedingung für B.
| |
| * Schon wenn A, dann B.
| |
| * A setzt voraus, dass B.
| |
| * B ist eine notwendige Bedingung für A.<br /><small>Dass B genau dann eine notwendige Bedingung für A ist, wenn A eine hinreichende Bedingung für B ist, ist eine auf den ersten Blick überraschende und vielleicht kontraintuitive, jedoch zutreffende Feststellung. Das Unterkapitel [[#Hinreichende und notwendige Bedingung|Hinreichende und notwendige Bedingung]] bemüht sich, diesen Zusammenhang sichtbarer zu machen.</small>
| |
| * A impliziert B.
| |
| * Nur wenn B, dann A.
| |
| oder auch nur
| |
| * Wenn A, dann B.
| |
| | |
| In einem Konditional nennt man A das ''Antezedens'', B das ''Konsequens'' oder ''Sukzedens''.
| |
| | |
| Beispiele:
| |
| * Dass es regnet, ist eine hinreichende Bedingung dafür, dass die Straße nass ist.
| |
| * Schon wenn es regnet, ist die Straße nass.
| |
| * Wenn es regnet, ist die Straße nass.
| |
| * Nur wenn die Straße nass ist, kann es regnen.
| |
| * Wenn Person x einen Wagen der Marke y hat, hat x ein Auto.
| |
| * Wenn eine Zahl n durch 6 teilbar ist, dann ist die Zahl n durch 3 teilbar.
| |
| | |
| Die Lesart „wenn … dann“ ist insofern problematisch, als mit dem natürlichsprachlichen „wenn … dann“ vor allem inhaltliche Zusammenhänge wie Kausalität oder zeitliche Nähe ausgedrückt werden. All das macht die materiale Implikation nicht, sie nennt nur den formalen Zusammenhang: „Dass es regnet, ist eine hinreichende Bedingung dafür, dass die Straße nass ist“. Zur Frage, ''warum'' das eine hinreichende Bedingung ist – ob auf Grund eines kausalen Zusammenhangs oder auch nur rein zufällig –, nimmt die materiale Implikation nicht Stellung.
| |
| {| class="wikitable float-right"
| |
| |-
| |
| ! <math>A</math>
| |
| ! <math>B</math>
| |
| ! <math>A \rightarrow B</math>
| |
| ! <math>\neg B \rightarrow \neg A</math>
| |
| |-
| |
| | falsch
| |
| | falsch
| |
| |style="text-align:center"| wahr
| |
| |style="text-align:center"| wahr
| |
| |-
| |
| | falsch
| |
| | wahr
| |
| |style="text-align:center"| wahr
| |
| |style="text-align:center"| wahr
| |
| |-
| |
| | wahr
| |
| | falsch
| |
| |style="text-align:center"| falsch
| |
| |style="text-align:center"| falsch
| |
| |----
| |
| | wahr
| |
| | wahr
| |
| |style="text-align:center"| wahr
| |
| |style="text-align:center"| wahr
| |
| |}
| |
| | |
| Als ''Umkehrschluss'' bezeichnet man den Schluss von <math>A \rightarrow B</math> auf <math>\neg B \rightarrow \neg A</math>. Für die Beispiele bedeutet das:
| |
| * Wenn die Straße nicht nass ist, regnet es nicht.
| |
| * Wenn Person x kein Auto hat, dann hat x keinen Wagen der Marke y.
| |
| * Wenn die Zahl n nicht durch 3 teilbar ist, dann ist n nicht durch 6 teilbar.
| |
| | |
| Umgangssprachlich lässt man sich gelegentlich zu weiteren – ''falschen'' – Aussagen
| |
| verleiten:
| |
| * Weil es nicht regnete, kann die Straße nicht nass sein.<br /> <small>Diese Folgerung ist falsch, da die Straße auch aus anderen Gründen nass werden kann (Rohrbruch, Übung der Feuerwehr …).</small>
| |
| * x hat keinen Wagen der Marke y, also hat x kein Auto.<br /> <small>Falsch, denn er könnte ja einen Wagen der Marke z haben.</small>
| |
| * n ist nicht durch 6 teilbar, also ist n auch nicht durch 3 teilbar.<br /><small>Auch diese Folgerung ist falsch. Die Zahl 15 ist nicht durch 6 teilbar und sehr wohl durch 3.</small>
| |
| | |
| Das bedeutet: Wenn die Folgerung <math>A \rightarrow B</math> wahr ist, dann erhält man aus der
| |
| Aussage ¬A keine Aussage über B; B kann wahr oder falsch sein. („[[Ex falso quodlibet|Ex falso sequitur quodlibet]]“ – „Aus Falschem folgt Beliebiges“)
| |
| | |
| Die Implikation ist ein wichtiges Mittel in der Mathematik. Die meisten [[Beweis (Mathematik)|mathematischen Beweise]] verwenden das Konzept der Implikation.
| |
| | |
| === Bikonditional ===
| |
| {{Hauptartikel|Bikonditional}}
| |
| | |
| Das ''Bikonditional'', oft auch ''objektsprachliche Äquivalenz'' oder ''materiale Äquivalenz'' genannt, drückt die ''hinreichende und notwendige Bedingung'' aus, sagt also, dass eine Aussage A genau dann zutrifft, wenn eine Aussage B zutrifft. Man schreibt:
| |
| : <math>A \leftrightarrow B</math>
| |
| | |
| und liest
| |
| * A ist genau dann der Fall, wenn B der Fall ist.
| |
| * A genau dann wenn B.
| |
| * A ist äquivalent zu B.
| |
| * A ist dann und nur dann der Fall, wenn B der Fall ist.
| |
| | |
| Auch beim Bikonditional wird eine rein formale Aussage getroffen, die nichts über einen allfälligen inhaltlichen Zusammenhang von A und B aussagt.
| |
| | |
| Statt <math>A \leftrightarrow B</math> zu sagen, kann man auch sagen, dass A eine hinreichende Bedingung für B und dass B eine hinreichende Bedingung für A ist, also <math>(A \rightarrow B) \and (B \rightarrow A)</math>. Tatsächlich sind diese beiden Aussagen [[Logische Äquivalenz|logisch äquivalent]].
| |
| {| class="wikitable float-right"
| |
| |-
| |
| ! <math>A</math>
| |
| ! <math>B</math>
| |
| ! <math>A \leftrightarrow B</math>
| |
| |-
| |
| | falsch
| |
| | falsch
| |
| |style="text-align:center"| wahr
| |
| |-
| |
| | falsch
| |
| | wahr
| |
| |style="text-align:center"| falsch
| |
| |-
| |
| | wahr
| |
| | falsch
| |
| |style="text-align:center"| falsch
| |
| |----
| |
| | wahr
| |
| | wahr
| |
| |style="text-align:center"| wahr
| |
| |}
| |
| | |
| Beispiel:
| |
| * Die natürliche Zahl n ist genau dann durch 6 teilbar, wenn n durch 2 und durch 3 teilbar ist.<br /><small>Wenn n durch 6 teilbar ist, dann folgt daraus, dass n durch 2 und durch 3 teilbar ist. Umgekehrt gilt aber auch: Wenn n durch 2 und durch 3 teilbar ist, dann ist n durch 6 teilbar.</small>
| |
| * Heute ist genau dann Dienstag, wenn morgen Mittwoch ist.
| |
| | |
| Das Bikonditional als zusammengesetzte Aussage innerhalb der logischen Sprache (siehe [[Objektsprache]]) wird oft mit dem Konzept der logischen Äquivalenz verwechselt oder vermischt. Die logische Äquivalenz ist eine [[Metasprache|metasprachliche]], meist natürlichsprachlich formulierte Eigenschaft zweier Aussagen der logischen Sprache. Ein Zusammenhang zwischen logischer Äquivalenz und Bikonditional besteht nur insofern, als das Metatheorem gilt, dass ein Bikonditional <math>A \leftrightarrow B</math> genau dann eine [[Tautologie (Logik)|Tautologie]] ist, wenn die beiden Aussagen A und B logisch äquivalent sind.
| |
| | |
| === Ausschließendes Oder ===
| |
| {{Hauptartikel|Kontravalenz}}
| |
| | |
| {| class="wikitable float-right"
| |
| |-
| |
| ! <math>A</math>
| |
| ! <math>B</math>
| |
| ! <math>\neg(A \leftrightarrow B)</math>
| |
| |-
| |
| | falsch
| |
| | falsch
| |
| |style="text-align:center"| falsch
| |
| |-
| |
| | falsch
| |
| | wahr
| |
| |style="text-align:center"| wahr
| |
| |-
| |
| | wahr
| |
| | falsch
| |
| |style="text-align:center"| wahr
| |
| |-
| |
| | wahr
| |
| | wahr
| |
| |style="text-align:center"| falsch
| |
| |} | |
| | |
| Das ausschließende Oder (Kontravalenz oder Antivalenz), „entweder A oder B“, besagt, dass genau eine der beiden von ihm verknüpften Aussagen wahr ist. Entsprechend ist ein ausschließendes Oder nicht nur dann falsch, wenn sowohl A als auch B falsch sind, sondern auch, wenn ''beide'' wahr sind. (Einige Autoren verwenden für das Ausschließende Oder den Begriff ''Alternative''.)
| |
| | |
| Obwohl das ausschließende Oder ein Konzept ist, mit dem man in der natürlichen Sprache immer wieder zu tun hat, wird es in den meisten logischen Sprachen nicht als eigenständiger [[Junktor]] eingeführt. Stattdessen wird das ausschließende Oder zum Beispiel als verneintes Bikonditional ausgedrückt, also als <math>\neg(A \leftrightarrow B)</math>.
| |
| | |
| Große Bedeutung genießt das ausschließende Oder hingegen in der [[Schaltalgebra]], wo es meist als [[XOR-Gatter|XOR]] ''(eXclusive OR)'' aufgeschrieben wird.
| |
| | |
| === Verneinung einer verknüpften Aussage (De Morgansche Gesetze) ===
| |
| {{Hauptartikel|De Morgansche Gesetze}}
| |
| | |
| ==== Verneinung einer Konjunktion ====
| |
| Die Verneinung der Konjunktion „A und B“ (in der logischen Schreibweise: <math>A \and B</math>) lautet „Es ist nicht der Fall, dass A und B zutreffen“ (in der logischen Schreibweise: <math>\neg(A \and B)</math>).
| |
| Diese ist [[Logische Äquivalenz|logisch äquivalent]] mit der Aussage
| |
| „A ist nicht der Fall, oder B ist nicht der Fall (oder beides)“ (in logischer Schreibweise: <math>(\neg A \or \neg B)</math>).
| |
| {| class="wikitable float-right"
| |
| |-
| |
| !<math>A</math>
| |
| !<math>B</math>
| |
| !<math>\neg(A \and B)</math>
| |
| |-
| |
| | falsch
| |
| | falsch
| |
| |style="text-align:center"| wahr
| |
| |-
| |
| | falsch
| |
| | wahr
| |
| |style="text-align:center"| wahr
| |
| |-
| |
| | wahr
| |
| | falsch
| |
| |style="text-align:center"| wahr
| |
| |----
| |
| | wahr
| |
| | wahr
| |
| |style="text-align:center"| falsch
| |
| |}
| |
| Ein Beispiel:
| |
| | |
| Wenn man die Aussage
| |
| : Es regnet, und die Erde ist eine Scheibe
| |
| verneinen möchte, dann kann man entweder sagen
| |
| : Es ist nicht der Fall, dass es regnet und die Erde eine Scheibe ist.
| |
| oder man sagt
| |
| : Es regnet nicht oder die Erde ist keine Scheibe (oder beides).
| |
| | |
| In der Schaltalgebra wird sehr oft der Junktor [[Shefferscher Strich|NAND]] verwendet, wobei „A NAND B“ denselben Wahrheitswertverlauf hat wie der Ausdruck <math>\neg(A \and B)</math>.
| |
| | |
| ==== Verneinung einer Disjunktion ====
| |
| | |
| Die Verneinung der [[Disjunktion]] „A oder B (oder beides)“ (in der logischen Schreibweise: <math>A \or B</math>) lautet „Es ist nicht der Fall, dass A oder B zutrifft“ (in logischer Schreibweise: <math>\neg(A \or B)</math>).
| |
| Diese ist logisch äquivalent mit der Aussage
| |
| „A ist nicht der Fall, und B ist nicht der Fall“ (in logischer Schreibweise: <math>\neg A \and \neg B</math>).
| |
| {| class="wikitable float-right"
| |
| |-
| |
| ! <math>A</math>
| |
| ! <math>B</math>
| |
| ! <math>\neg(A \vee B)</math>
| |
| |-
| |
| | falsch
| |
| | falsch
| |
| |style="text-align:center"| wahr
| |
| |-
| |
| | falsch
| |
| | wahr
| |
| |style="text-align:center"| falsch
| |
| |-
| |
| | wahr
| |
| | falsch
| |
| |style="text-align:center"| falsch
| |
| |-
| |
| | wahr
| |
| | wahr
| |
| |style="text-align:center"| falsch
| |
| |}
| |
| Ein Beispiel:
| |
| | |
| Wenn man die Aussage
| |
| : Die Erde ist eine Scheibe, oder die Erde ist ein Würfel.
| |
| verneinen möchte, so sagt man
| |
| : Es ist nicht der Fall, dass die Erde eine Scheibe ist oder dass die Erde ein Würfel ist.
| |
| Nach dem Gesetz von De Morgan kann man nun aber auch sagen:
| |
| : Die Erde ist keine Scheibe, und die Erde ist kein Würfel
| |
| oder in schönerem Deutsch
| |
| : Die Erde ist weder eine Scheibe noch ein Würfel.
| |
| | |
| In der Schaltalgebra wird das Konnektiv [[NOR-Gatter|NOR]] verwendet, das denselben Wahrheitswertverlauf hat wie die Aussage <math>\neg(A \or B)</math>.
| |
| | |
| === Hinreichende und notwendige Bedingung ===
| |
| | |
| Dieser Abschnitt soll den zunächst oft als kontraintuitiv empfundenen Zusammenhang zwischen hinreichender und notwendiger Bedingung, wie er im Abschnitt über die materiale Implikation angesprochen wurde, wiederaufgreifen und näher ausführen.
| |
| | |
| Betrachten wir einmal mehr die materiale Implikation <math>A\rightarrow B</math>.
| |
| | |
| Man sagt: A ist ''hinreichend'' für B: Schon wenn A der Fall ist, ist auch B der Fall.
| |
| | |
| Umgekehrt kann man aber auch sagen: B ist ''notwendig'' für A. Ohne B kann A nicht erfüllt sein.
| |
| | |
| Wie kommt dieser Zusammenhang zustande?
| |
| | |
| Wir wissen, dass die Wahrheit von A die Wahrheit von B nach sich zieht, denn A ist ja hinreichende Bedingung für B. Somit ist es einfach nicht möglich, dass A eintritt, ohne dass B damit ebenfalls eintreten würde: B ist also gezwungenermaßen der Fall, wenn A der Fall ist. B ist „notwendig“ für A.
| |
| | |
| Dieser Zusammenhang ist in Wahrheit also ziemlich einfach; Hauptgrund dafür, dass er anfangs oft als kontraintuitiv empfunden wird, ist wahrscheinlich die Schwierigkeit, zwischen den vielen Bedeutungen des umgangssprachlichen „wenn … dann“ einerseits und der rein formalen hinreichenden und notwendigen Bedingung andererseits strikt zu trennen.
| |
| | |
| Mit dem umgangssprachlichen „wenn … dann“ möchte man fast immer einen inhaltlichen (kausalen und/oder temporalen) Zusammenhang zwischen Antecedens und Konsequens ausdrücken: „Regen verursacht Straßennässe“, „Zuerst fällt der Regen, erst nachher wird die Straße nass“. Wenn man die hinreichende Bedingung in diesem Sinn missversteht, dann ist es klar, dass die in umgekehrter Reihenfolge formulierte notwendige Bedingung „Nur wenn die Straße nass ist, regnet es“ seltsam aussieht: „Regen verursacht doch Straßennässe, wie kann daraus je gefolgert werden, dass Straßennässe Regen verursacht?“
| |
| | |
| All dies sagt die materiale Implikation aber nicht aus. „A ist eine hinreichende Bedingung für B“ meint schlicht, dass wenn die Aussage A wahr ist, auch die Aussage B wahr ist – zeitlos und zusammenhanglos, nicht etwa „später“ oder „weil“.
| |
| | |
| Analog sagt die notwendige Bedingung, „B ist eine notwendige Bedingung für A“, lediglich das aus, dass B wahr ist, sofern A es ist. Genau das ist aber die Definition des Konditionals A → B.
| |
| | |
| {{Siehe auch|notwendige und hinreichende Bedingung}}
| |
| | |
| == Formaler Zugang ==
| |
| | |
| === Einleitung ===
| |
| | |
| Spätestens beim ''lauten'' Lesen von Sätzen wie:
| |
| | |
| : „Die Aussage <math>A \and B</math> ist genau dann wahr, wenn die Aussagen A und B wahr sind“,
| |
| | |
| wird der selbstbewusste Laie verlangen, dass ihm erklärt wird, was das soll.
| |
| | |
| Die Antwort des Logikers: Es soll versucht werden, Sicherheit in die Regeln des [[Logik|logischen]] Schließens zu bringen. Seit den [[Sophisten]] ist dem Abendland klar, dass scheinbar zwingende Schlüsse zu offensichtlich absurden Ergebnissen führen können. Immer wieder wurden [[Paradoxie]]n formuliert und von großen Denkern als Herausforderung empfunden. Logiker versuchen deshalb, die Regeln des Argumentierens so streng wie möglich zu fassen.
| |
| | |
| Das einleitende Beispiel macht klar, dass dazu eine ''Trennung der Sprachebenen'' unerlässlich ist: Die formale Aussage A∧B soll dadurch erklärt werden, dass auf einer [[Metasprache|metasprachlichen]] Ebene über die Aussage A wie auch über die Aussage B geredet wird.
| |
| | |
| ''Ein'' Versuch dies durchzuführen, besteht darin, die Aussagenlogik als [[formales System]], konkret als [[Kalkül]] (eine bestimmte Art eines formalen Systems) zu definieren. Die Begriffe „wahr“ und „falsch“ kommen in diesem System zunächst überhaupt nicht vor. Stattdessen werden [[Axiom]]e gesetzt, die einfach als Zeichenketten angesehen werden, aus denen weitere [[Ableitung (Logik)|ableitbare]] Zeichenketten aufgrund von bestimmten [[Schlussregel]]n hergeleitet werden.
| |
| | |
| Das Ziel dabei ist einerseits, dass in einem formalen System nur Zeichenketten (Sätze) hergeleitet werden können, die bei einer plausiblen Interpretation auch wahr sind. Andererseits sollen alle Sätze, die als „wahr“ interpretierbar sind, auch hergeleitet werden können. Das erste ist die Forderung nach ''Korrektheit'', das zweite die nach ''Vollständigkeit'' des formalen Systems; beide Eigenschaften sind unter [[Kalkül#Der Begriff Kalkül in der Logik|Kalkül: Der Begriff Kalkül in der Logik]] beschrieben.
| |
| | |
| Für die klassische Aussagenlogik, mit der wir es hier zu tun haben, gibt es [[Kalkül]]e (formale Systeme), die sowohl korrekt als auch vollständig sind. Für komplexere logische Systeme (z. B. [[Mengenlehre]]) ist es aber ''unmöglich'', einen vollständigen Kalkül aufzustellen, der auch korrekt ist – diese Erkenntnis wurde [[1931]] von [[Kurt Gödel]] bewiesen ([[Gödelscher Unvollständigkeitssatz]]).
| |
| | |
| === Syntax ===
| |
| | |
| Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, die [[Syntax]] („Grammatik“) einer logischen Sprache formal zu definieren; meist geschieht das im Rahmen eines [[Kalkül]]s. Die folgende Definition ist daher nur als Beispiel dafür zu verstehen, wie ein Kalkül für die klassische Aussagenlogik aussehen kann. Weitere Beispiele für konkrete Kalküle finden sich unter [[Baumkalkül]], [[Begriffsschrift]], [[Systeme natürlichen Schließens]], [[Sequenzenkalkül]] oder [[Resolution (Logik)|Resolutionskalkül]]. Ein weiterer axiomatischer Kalkül ist als Beispiel im Artikel [[Hilbert-Kalkül]] angegeben, ein graphischer Kalkül im Artikel [[Existential Graphs]].
| |
| | |
| ==== Bausteine der aussagenlogischen Sprache ====
| |
| | |
| Als ''Bausteine'' der aussagenlogischen Sprache sollen ''Satzbuchstaben'' („atomare Formeln“, Satzkonstanten), ''Junktoren'' und ''Gliederungszeichen'' verwendet werden. Satzbuchstaben sollen die Zeichen P<sub>0</sub>, P<sub>1</sub>, P<sub>2</sub>, … sein. Junktoren sollen die Zeichen ¬, ∧, ∨, → und ↔ sein. Als Gliederungszeichen sollen die runden Klammern dienen.
| |
| | |
| Formal lässt sich das z. B. auf folgende Weise ausdrücken:
| |
| | |
| Sei V die ([[Abzählbare Menge|abzählbar unendliche]]) [[Menge (Mathematik)|Menge]] der ''atomaren Formeln'' (Satzbuchstaben):
| |
| | |
| : V = {P<sub>n</sub> | n ∈ ''N''<sub>0</sub>} (''N''<sub>0</sub>: Menge der natürlichen Zahlen inkl. 0), d. h. V = {P<sub>0</sub>, P<sub>1</sub>, P<sub>2</sub>, P<sub>3</sub>, ...}
| |
| | |
| Sei J die Menge der Junktoren und Gliederungszeichen:
| |
| | |
| : J = {¬, ∧, ∨, →, ↔, (, )}
| |
| | |
| Das ''[[Alphabet (Informatik)|Alphabet]]'' der logischen Sprache sei die Menge V ∪ J, also die Vereinigungsmenge von atomaren Formeln, Junktoren und Gliederungszeichen.
| |
| | |
| ==== Formationsregeln ====
| |
| | |
| Die ''Formationsregeln'' legen fest, wie man aus den Bausteinen der aussagenlogischen Sprache Sätze (Formeln) bilden kann.
| |
| | |
| Hier sollen ''aussagenlogische Formeln'' als Worte über dem [[Alphabet (Informatik)|Alphabet]] der logischen Sprache, also über V ∪ J wie folgt [[Strukturelle Induktion|induktiv]] definiert werden:
| |
| | |
| * Alle atomaren Formeln F ∈ V (d. h. alle Satzbuchstaben) sind Formeln.
| |
| * Ist F eine Formel, so ist auch (¬F) eine Formel. (Diese Formel heißt ''[[Negation]]'' von F.)
| |
| * Sind F und G zwei (nicht notwendigerweise unterschiedliche) Formeln, so ist auch (F ∧ G) eine Formel. (Diese Formel heißt ''[[Konjunktion (Logik)|Konjunktion]]'' von F und G.)
| |
| * Sind F und G zwei (nicht notwendigerweise unterschiedliche) Formeln, so ist auch (F ∨ G) eine Formel. (Diese Formel heißt ''[[Disjunktion]]'' von F und G.)
| |
| * Sind F und G zwei (nicht notwendigerweise unterschiedliche) Formeln, so ist auch (F → G) eine Formel. (Diese Formel heißt ''[[Implikation|materiale Implikation]]'' oder ''Konditional'' von F und G.)
| |
| * Sind F und G zwei (nicht notwendigerweise unterschiedliche) Formeln, so ist auch (F ↔ G) eine Formel. (Diese Formel heißt ''[[Bikonditional]]'' von F und G.)
| |
| * Nichts anderes ist eine aussagenlogische Formel.
| |
| | |
| ==== Schlussregeln ====
| |
| {{Hauptartikel|Schlussregel}}
| |
| | |
| ''Schlussregeln'' sind allgemein Transformationsregeln (Umformungsregeln), die auf bestehende Formeln angewandt werden und aus ihnen neue Formeln erzeugen. Wenn man einen Kalkül für ein logisches System aufstellt, dann wählt man die Transformationsregeln so, dass sie aus bestehenden Formeln solche Formeln erzeugen, die aus den Ausgangsformeln semantisch ''folgen'' – deshalb die Bezeichnung „Schlussregel“ (''eine Schlussfolgerung ziehen'').
| |
| | |
| Innerhalb der Syntax sind die Schlussregeln allerdings rein formale Transformationsregeln, denen für sich keinerlei inhaltliche Bedeutung zukommt.
| |
| | |
| An konkreten Schlussregeln sollen hier nur zwei angegeben werden: Der [[Modus ponendo ponens]] und die Substitutionsregel.
| |
| | |
| ; Modus ponendo ponens
| |
| : Aus einem Satz der Form <math>\varphi \rightarrow \psi</math> und einem Satz der Form <math>\varphi</math> darf man auf einen Satz der Form <math>\psi</math> schließen; dabei sind <math>\varphi</math> und <math>\psi</math> Platzhalter für beliebige Formeln. Zum Beispiel darf man nach dieser Schlussregel aus „Wenn Regen die Straße benetzt, dann ist der Straßenbelag regennass“ und aus „Regen benetzt die Straße“ schließen auf „Der Straßenbelag ist regennass“.
| |
| | |
| ; Substitutionsregel (Ersetzungsregel)
| |
| : In einem Satz dürfen alle Vorkommnisse eines beliebigen Atoms (z. B. „P“) durch einen beliebig komplexen Satz (z. B. <math>(P \and \neg Q)</math>) ersetzt werden. Es müssen dabei aber auch wirklich ''alle'' Vorkommnisse des gewählten Atoms ersetzt werden, und sie müssen auch wirklich alle durch ''denselben'' Satz ersetzt werden.
| |
| : Zum Beispiel darf mittels der Substitutionsregel aus <math>P \rightarrow (P \or Q)</math> auf <math>(P \and \neg Q) \rightarrow ((P \and \neg Q) \or Q)</math> geschlossen werden. Man sagt, P werde durch <math>(P \and \neg Q)</math> ersetzt bzw. <math>(P \and \neg Q)</math> werde für P substituiert (eingesetzt).
| |
| | |
| {{Siehe auch|Kalkül}}
| |
| | |
| ==== Axiome ====
| |
| {{Hauptartikel|Axiom}}
| |
| | |
| ''Axiome'' sind ausgezeichnete (im Sinn von: hervorgehobene) Formeln der aussagenlogischen Sprache. Die Auszeichnung besteht darin, dass sie innerhalb eines Beweises oder einer Herleitung (siehe unten) ohne weitere Rechtfertigung verwendet werden.
| |
| | |
| Pragmatisch wählt man solche Formeln als Axiome, die semantisch gesehen Tautologien sind, also immer zutreffen, und die dabei helfen, Beweise zu verkürzen. Innerhalb der Syntax sind die Axiome allerdings rein formale Objekte, denen keinerlei inhaltliche Bedeutung oder Rechtfertigung zukommt.
| |
| | |
| Axiome sind im Allgemeinen optional, d. h. ein Kalkül kann auch ganz ohne Axiome auskommen, wenn er ausreichend viele bzw. mächtige Schlussregeln hat. Axiomfreie Kalküle sind zum Beispiel die [[Systeme natürlichen Schließens]] oder [[Baumkalkül]]e.
| |
| | |
| Hier soll exemplarisch ein axiomatischer Kalkül gezeigt werden, und zwar jener, den Whitehead und Russell in ihren 1910–1913 entstandenen [[Principia Mathematica]] vorstellten. Der Principia Mathematica-Kalkül für die Aussagenlogik umfasst die folgenden Axiome (von denen das vierte redundant, d. h. nicht unbedingt erforderlich, weil aus den anderen Axiomen herleitbar ist):
| |
| | |
| # <math>(P \or P) \rightarrow P</math>
| |
| # <math>Q \rightarrow (P \or Q)</math>
| |
| # <math>(P \or Q) \rightarrow (Q \or P)</math>
| |
| # <math>[P \or (Q \or R)] \rightarrow [Q \or (P \or R)]</math>
| |
| # <math>(Q \rightarrow R) \rightarrow [(P \or Q) \rightarrow (P \or R)]</math>
| |
| | |
| Um aus diesen Axiomen auch solche gültigen Sätze herleiten zu können, die andere als die in den Axiomen vorkommende Junktoren enthalten, werden diese durch folgende Festlegung auf die vorhandenen Junktoren zurückgeführt:
| |
| | |
| # <math>(P \rightarrow Q) := (\neg P \or Q)</math>
| |
| # <math>(P \and Q) := \neg (\neg P \or \neg Q)</math>
| |
| | |
| Alternativ zu – wie hier – konkreten Axiomen kann man auch ''Axiomenschemata'' angeben, in welchem Fall man auch ohne Substitutionsregel auskommt. Interpretiert man die obigen Axiome als Axiomenschemata, dann stünde z. B. das erste Axiomenschema, <math>(P \or P) \rightarrow P</math>, für unendlich viele Axiome, nämlich alle Ersetzungsinstanzen dieses Schemas.
| |
| | |
| ==== Herleitung und Beweis ====
| |
| {{Hauptartikel|Ableitung (Logik)}}
| |
| | |
| Eine Herleitung ist eine Liste von aufsteigend nummerierten Sätzen, die mit einer oder mehreren Annahmen (den [[Prämisse]]n der Herleitung) oder Axiomen beginnt. Alle auf diese folgenden Sätze sind entweder ebenfalls Axiome (bei manchen Kalkülen sind auch weitere Annahmen zulässig) oder sind aus einer oder mehreren der vorangehenden Zeilen durch Anwendung von [[Schlussregel]]n entstanden. Der letzte Satz in der Liste ist die [[Konklusion]] der Herleitung.
| |
| | |
| Eine Herleitung ohne Prämissen heißt ''Beweis''. Oft werden aber die Wörter „Herleitung“ und „Beweis“ synonym gebraucht.
| |
| | |
| Wenn es gelingt, aus einer Menge von Annahmen (Prämissen) Δ eine Konklusion P herzuleiten, dann schreibt man auch <math>\Delta \vdash P</math>.
| |
| | |
| Gelingt es, einen Satz P ohne die Verwendung von Annahmen herzuleiten (zu beweisen), dann schreibt man auch: <math>\vdash P</math>. In diesem Fall wird P ''Theorem'' genannt.
| |
| | |
| Das Zeichen <math>\vdash</math> geht auf die [[Begriffsschrift]] zurück, jenes Werk, in dem [[Gottlob Frege]] [[1879]] die erste Formalisierung der [[Prädikatenlogik]] angegeben hat.
| |
| | |
| In der klassischen Aussagenlogik wählt man die Schlussregeln so, dass sich mit ihrer Hilfe ''alle'' gültigen Argumente (und ''nur'' gültige Argumente) herleiten lassen; die Frage der Gültigkeit wird im folgenden Abschnitt, „Semantik“, behandelt.
| |
| | |
| === Semantik ===
| |
| | |
| Außerhalb der Logik bezeichnet [[Semantik]] ein Forschungsgebiet, das sich mit der Bedeutung von Sprache und deren Teilen befasst. Oft wird auch das Wort ''Semantik'' gleichbedeutend mit dem Wort ''Bedeutung'' verwendet.
| |
| | |
| Auch innerhalb der Logik geht es bei Semantik um Bedeutung: Darum nämlich, den Ausdrücken einer formalen Sprache – zum Beispiel der hier behandelten Sprache der Aussagenlogik – eine Bedeutung zuzuordnen. In der Logik wird auch das meist sehr formal unternommen.
| |
| | |
| Im Zentrum der (formalen) Semantik steht eine Auswertungsfunktion (andere Bezeichnungen lauten Bewertungsfunktion, Denotationsfunktion, Wahrheitswertefunktion), die den Formeln der logischen Sprache eine Bedeutung zuordnet. Formal gesprochen ist die Auswertungsfunktion eine Abbildung von der Menge der Formeln der Sprache in die Menge der Wahrheitswerte. Oft wird die Auswertungsfunktion mit dem Großbuchstaben V bezeichnet.
| |
| | |
| In der klassischen Aussagenlogik ist die Auswertungsfunktion sehr einfach: Das Prinzip der Zweiwertigkeit fordert, dass sie für jede zu bewertende Formel genau einen von genau zwei Wahrheitswerten liefern muss; und das Prinzip der Extensionalität fordert, dass die Bewertungsfunktion beim Bewerten eines komplexen Satzes nur die Bewertung von dessen Teilsätzen berücksichtigen muss.
| |
| | |
| Jedem Atom, also jedem Satzbuchstaben (Atom) wird durch Festsetzung ein Wahrheitswert zugeordnet. Man sagt: Die Atome werden interpretiert. Es wird also z. B. festgelegt dass P<sub>0</sub> wahr ist, dass P<sub>1</sub> falsch ist und dass P<sub>2</sub> ebenfalls falsch ist. Damit ist der Bewertung der Bausteine der logischen Sprache Genüge getan. Formal ist eine solche Bewertung – ''Interpretation'' genannt und oft mit dem Kleinbuchstaben v bezeichnet – eine Funktion im mathematischen Sinn, d. h. eine Abbildung von der Menge der Atome in die Menge der Wahrheitswerte.
| |
| | |
| Wenn die Auswertungsfunktion V auf ein Atom angewandt wird, d. h. wenn sie ein Atom bewerten soll, liefert sie die Interpretation dieses Atoms im Sinn des obigen Absatzes. Mit anderen Worten, sie liefert den Wert, den die Bewertung v dem Atom zuordnet.
| |
| | |
| Um die zusammengesetzten Formeln bewerten zu können, muss für jeden Junktor definiert werden, welchen Wahrheitswert die Bewertungsfunktion für die unterschiedlichen Wahrheitswertkombinationen liefert, den seine Argumente annehmen können. In der klassischen Aussagenlogik geschieht das meist mittels [[Wahrheitstabelle]]n, weil es nur überschaubar wenige Möglichkeiten gibt.
| |
| | |
| Der einstellige Junktor ¬, die [[Negation]], ist in der klassischen Aussagenlogik so definiert, dass er den Wahrheitswert seines Arguments ins Gegenteil umkehrt, also „verneint“: Ist die Bewertung einer Formel X wahr, dann liefert die Bewertungsfunktion für ¬X falsch; wird aber X falsch bewertet, dann liefert die Bewertungsfunktion für ¬X wahr. Die Wahrheitstabelle sieht folgendermaßen aus:
| |
| | |
| {| class="wikitable" style="text-align:center;"
| |
| |-
| |
| !style="background-color:#f0f0f0;" |a
| |
| !style="background-color:#f0f0f0;" |[[Negation]]<br />¬ a
| |
| |-----
| |
| | f||w
| |
| |-----
| |
| | w||f
| |
| |}
| |
| | |
| Die Wahrheitswertverläufe der verwendeten zweistelligen Konnektive sind in der klassischen Aussagenlogik wie folgt definiert:
| |
| | |
| {| class="wikitable" style="text-align:center;"
| |
| |- class="hintergrundfarbe5"
| |
| ! a
| |
| ! b
| |
| ! [[Konjunktion (Logik)|Konjunktion]]<br />a ∧ b
| |
| ! [[Disjunktion]]<br />a ∨ b
| |
| ! materiale [[Implikation]]<br />Konditional<br />a → b
| |
| ! [[Bikonditional]]<br />a ↔ b
| |
| |-
| |
| | f || f || f || f || w || w
| |
| |-
| |
| | f || w || f || w || w || f
| |
| |-
| |
| | w || f || f || w || f || f
| |
| |-
| |
| | w || w || w || w || w || w
| |
| |}
| |
| | |
| Allgemein gibt es für die klassische Aussagenlogik vier einstellige und sechzehn zweistellige Junktoren. Die hier behandelte logische Sprache beschränkt sich nur deshalb auf die Junktoren ¬, ∧, ∨, → und ↔, weil diese am gebräuchlichsten sind und weil sie auch inhaltlich noch am ehesten aus der Alltagssprache bekannt sind. Aus formaler Sicht ist die einzige Bedingung, die man bei der Wahl von Junktoren erfüllen möchte, die, dass sich mit den gewählten Junktoren auch alle anderen theoretisch möglichen Junktoren ausdrücken lassen; man sagt: Dass die Menge der gewählten Junktoren funktional vollständig ist. Diese Anforderung ist bei der hier getroffenen Wahl erfüllt.
| |
| | |
| Näheres zur Frage, wie viele und welche Junktoren es gibt und wie viele Junktoren man benötigt, um funktionale Vollständigkeit zu erreichen, ist im Kapitel [[Junktor]] beschrieben.
| |
| | |
| ==== Semantische Gültigkeit, Tautologien ====
| |
| | |
| ''Semantische Gültigkeit'' ist eine Eigenschaft von Formeln oder von Argumenten. (Ein [[Argument]] ist die Behauptung, dass aus einigen Aussagen – den [[Prämisse]]n – eine bestimmte Aussage – die [[Konklusion]] – folgt.)
| |
| | |
| Eine ''Formel'' der aussagenlogischen Sprache heißt genau dann semantisch gültig, wenn die Formel unter allen Interpretationen – d. h. unter allen Zuordnungen von Wahrheitswerten zu den in ihr vorkommenden Atomen – wahr ist; wenn sie sozusagen allgemeingültig ist; mit anderen Worten: Wenn die [[Wahrheitstabelle]] für diese Aussage in jeder Zeile das Ergebnis ''wahr'' zeigt. Man nennt semantisch gültige Formeln auch [[Tautologie (Logik)|Tautologien]] und schreibt, wenn <math>P</math> eine Tautologie ist, formal wie folgt:
| |
| : <math>\models P</math>
| |
| | |
| Ein ''Argument'' heißt genau dann semantisch gültig, wenn unter der Voraussetzung, dass alle Prämissen wahr sind, auch die Konklusion wahr ist. In der Formulierung von [[Gottfried Wilhelm Leibniz]]: ''Aus Wahrem folgt nur Wahres.'' Diese Definition muss natürlich ebenfalls formal gefasst werden, und das geschieht wie folgt: Ein Argument ist genau dann semantisch gültig, wenn alle Zuordnungen von Wahrheitswerten zu den in Prämissen und Konklusion vorkommenden Atomen, unter denen die Bewertungsfunktion für alle Prämissen den Wert ''wahr'' liefert, auch für die Konklusion den Wert ''wahr'' liefert.
| |
| | |
| Um auszudrücken, dass aus einer Menge <math>\Delta</math> von Formeln (der Prämissenmenge) eine Formel <math>P</math> (die Konklusion) semantisch folgt, schreibt man formal wie folgt:
| |
| :<math>\Delta \models P</math>
| |
| | |
| Beachte die graphische Ähnlichkeit und die inhaltliche Verschiedenheit zwischen <math>\Delta \vdash P</math> (Kapitel „Herleitung und Beweis“) und <math>\Delta \models P</math> (''Siehe:'' [[Semantische Folgerung]]): Die erste Formulierung – <math>\Delta \vdash P</math> – drückt die ''syntaktische'' Gültigkeit des Arguments aus, sagt also, dass aus den Formeln in <math>\Delta</math> mit den Schlussregeln des gewählten Kalküls die Formel <math>P</math> ''hergeleitet'' werden kann. <math>\Delta \models P</math> hingegen behauptet die ''semantische'' Gültigkeit, die in der klassischen Aussagenlogik wie in den vorangegangenen Absätzen als das Leibniz’sche ''Aus Wahrem folgt nur Wahres'' definiert ist.
| |
| | |
| {{Siehe auch|Entscheidbar}}
| |
| | |
| ==== Wichtige semantische Eigenschaften: Erfüllbarkeit, Widerlegbarkeit und Unerfüllbarkeit ====
| |
| | |
| Neben der Eigenschaft der Gültigkeit (Allgemeingültigkeit) gibt es einige andere wichtige Eigenschaften: Erfüllbarkeit, Widerlegbarkeit und Unerfüllbarkeit. Im Gegensatz zur Gültigkeit, die Eigenschaft von Formeln oder von Argumenten sein kann, sind Erfüllbarkeit, Widerlegbarkeit und Unerfüllbarkeit Eigenschaften von Sätzen oder von Satzmengen.
| |
| | |
| * Eine Formel heißt ''erfüllbar'', wenn es mindestens eine Interpretation der in ihr vorkommenden Atome (Satzbuchstaben) gibt, unter der die Formel wahr ist.
| |
| * Eine Formel heißt ''widerlegbar'', wenn es mindestens eine Interpretation der in ihr vorkommenden Atome gibt, unter der die Formel falsch ist.
| |
| * Eine Formel heißt ''unerfüllbar'', wenn sie unter allen Interpretationen der in ihr vorkommenden Satzbuchstaben falsch ist.
| |
| * Eine Formelmenge heißt ''erfüllbar'', wenn ''alle'' in ihr enthaltenen Formeln erfüllbar sind.
| |
| | |
| Die Frage, ob eine Formel (oder eine Formelmenge) eine der genannten Eigenschaften hat, ist ebenso wie die Frage, ob eine Formel allgemeingültig, d. h. eine Tautologie ist, für allgemeine Formeln nicht effizient lösbar: Zwar ist die Wahrheitstafel ein Entscheidungsverfahren für jede dieser Fragen, doch umfasst eine Wahrheitstafel für eine Aussage bzw. eine Aussagemenge in n Atomen <math>2^n</math> Zeilen; das Wahrheitstafelverfahren ist nichts anderes als ein [[Brute-Force-Methode|Brute-Force-Verfahren]].
| |
| | |
| Jede dieser Fragestellungen kann auf die Frage zurückgeführt werden, ob eine bestimmte Formel erfüllbar ist:
| |
| * Eine Formel <math>\varphi</math> ist genau dann eine ''Tautologie'', wenn <math>\neg\varphi</math> unerfüllbar ist.
| |
| * Eine Formel <math>\varphi</math> ist genau dann ''widerlegbar'', wenn <math>\neg\varphi</math> erfüllbar ist.
| |
| | |
| Die Frage, ob eine Aussage erfüllbar ist, wird [[Erfüllbarkeitsproblem der Aussagenlogik|Erfüllbarkeitsproblem]] oder ''SAT-Problem'' (nach dem englischen Wort für Erfüllbarkeit, ''satisfiability'') genannt. Das SAT-Problem spielt eine wichtige Rolle in der theoretischen Informatik und [[Komplexitätstheorie]]. Das Erfüllbarkeitsproblem für allgemeine (beliebige) Formeln ist [[NP-vollständig]], d. h. (unter der Voraussetzung, dass [[P-NP-Problem|P ungleich NP]]) nicht in polynomialer Laufzeit lösbar.
| |
| | |
| Für bestimmte echte Teilmengen der Formeln der aussagenlogischen Sprache ist das SAT-Problem dennoch schneller, d. h. in polynomial beschränkter Rechenzeit lösbar. Eine solche Teilmenge sind die [[Horn-Formel]]n, das sind Konjunktionen von Disjunktionen, deren Disjunkte verneinte oder unverneinte Atome sind, wobei innerhalb einer solchen Disjunktion allerdings höchstens ein Atom unverneint sein darf.
| |
| | |
| ==== Algebraische Sicht ====
| |
| | |
| Wenn man die Semantik betrachtet, die hier für die klassische Aussagenlogik aufgestellt wurde, dann erkennt man gewisse Gesetzmäßigkeiten. Wird z. B. die Auswertungsfunktion auf eine Aussage der Form X ∧ W angewendet, wobei W eine beliebige wahre Aussage sein soll, dann stellt man fest, dass die Auswertungsfunktion für X ∧ W immer den Wahrheitswert ''wahr'' liefert, wenn V(X)=wahr ist (das heißt V(X∧W)=V(X)). Von der Struktur her gleichwertige Gesetzmäßigkeiten gelten auch in anderen Semantiken, auch in solchen, die für ganz andere, nichtlogische Systeme aufgestellt werden. Für die Arithmetik gilt z. B., dass die dortige Bewertungsfunktion (hier V<sub>Arithmetik</sub> genannt) für einen Ausdruck der Form X + Y immer den Wert von X liefert, sofern der Wert von Y null ist: V<sub>Arithmetik</sub>(X+Y)=V<sub>Arithmetik</sub>(X), wenn V<sub>Arithmetik</sub>(Y) = null ist.
| |
| | |
| Eine formale Wissenschaft, die solche strukturellen Gesetzmäßigkeiten untersucht, ist die [[abstrakte Algebra]] (meist Teilgebiet der [[Mathematik]], aber auch der [[Informatik]]). In der abstrakten Algebra wird zum Beispiel untersucht, für welche Verknüpfungen es ein neutrales Element gibt, d. h. ein Element ''N'', das für eine Verknüpfung ''op'' dazu führt, dass (für beliebiges X) gilt: X ''op'' ''N'' = X. So würde man aus algebraischer Sicht sagen, dass es für die klassische aussagenlogische Konjunktion genau ein neutrales Element gibt, nämlich ''wahr'', und dass es für die Addition in der Arithmetik ebenfalls genau ein neutrales Element gibt, nämlich die Zahl Null. Nur am Rande sei erwähnt, dass es auch für andere Junktoren neutrale Elemente gibt; das neutrale Element für die [[Disjunktion]] ist ''falsch'': V(X ∨ F) = V(X), wenn V(F)=falsch ist.
| |
| | |
| Die formale Algebra betrachtet formale Semantiken rein nach ihren strukturellen Eigenschaften. Sind diese identisch, dann besteht zwischen ihnen aus algebraischer Sicht kein Unterschied. Aus algebraischer Sicht, genauer: Aus Sicht der formalen Algebra ist die Semantik für die klassische Aussagenlogik eine zweiwertige [[Boolesche Algebra]]. Andere formale Systeme, deren Semantiken jeweils eine Boolesche Algebra bilden, sind die [[Schaltalgebra]] und die elementare Mengenlehre. Aus algebraischer Sicht besteht daher zwischen diesen Disziplinen kein Unterschied.
| |
| <!-- hier weiter mit der Überarbeitung -->
| |
| | |
| ==== Normalformen ====
| |
| | |
| Jede aussagenlogische Formel lässt sich in eine äquivalente Formel in
| |
| [[Konjunktive Normalform|konjunktiver Normalform]] und eine äquivalente Formel in
| |
| [[Disjunktive Normalform|disjunktiver Normalform]] umformen.
| |
| | |
| === Metatheorie ===
| |
| <!-- das Kapitel ist noch unvollständig -->
| |
|
| |
|
| In der Metatheorie werden die Eigenschaften von logischen Systemen untersucht: Das logische System ist in der Metatheorie der Untersuchungsgegenstand.
| | == Mythen == |
| | Enki gilt als Erschaffer der Menschen in verschiedenen Mythen. Des Weiteren gilt er als der Besitzer der [[Wikipedia:Schicksalstafeln|Schicksalstafeln]] ME, auf denen die Schicksale der Götter und Menschen geschrieben stehen. |
|
| |
|
| Eine metatheoretische Fragestellung ist zum Beispiel die, ob in einem Kalkül ein Widerspruch hergeleitet werden kann.
| | === Enki und die Weltordnung === |
| | Nachdem Enki den [[Wikipedia:Euphrat|Euphrat]] umgelenkt hatte, um das Land [[Wikipedia:Dilmun|Dilmun]] fruchtbar zu machen, ejakulierte er in den [[Wikipedia:Tigris|Tigris]], um auch diesem die Fruchtbarkeit zu schenken. |
| | Danach verteilt er die verschiedenen Tiere des Wassers, des Landes und der Berge auf ihre Posten und ordnet den Göttern ihre Aufgaben zu. Seine Tochter Inanna wird dabei als oberste Priesterin eingesetzt, die das Leben Jahr für Jahr durch die [[Heilige Hochzeit]] auf die Erde bringt<ref>Black 2004. S. 215ff</ref>. |
|
| |
|
| Der vorliegende Abschnitt soll einige wichtige metatheoretische Fragestellungen aus dem Blickwinkel der Aussagenlogik betrachten.
| | === [[Wikipedia:Inanna und Enki|Enki und Inanna]] === |
| | Inanna kommt zu Enki nach Eridu und betört ihn mit Bier und ihrer Schönheit. Als Enki volltrunken ist und ihr 14 Wünsche auf den Weg mitgibt, schreiben sich diese Wünsche in die Schicksalstafeln ein und ermöglichen es Inanna, diese mitzunehmen. Als Enki wieder zur Besinnung kommt und den Betrug bemerkt, schickt er seine Dämonen Inanna nach, doch Inanna kann den Dämonen glaubhaft machen, dass sie nun die legitime Besitzerin der Schicksalstafeln ist. Enki gibt sich geschlagen und verkündet, dass die Weisheitstafeln von nun an in Uruk, Inannas Stadt, bleiben sollen<ref>Römer 2006; S. 402</ref>. |
|
| |
|
| ; Konsistenz
| | === Enki und Ninmah === |
| : Ein [[Kalkül]] wird genau dann ''konsistent'' genannt, wenn es unmöglich ist, mit Hilfe seiner Axiome und Regeln einen [[Kontradiktion|Widerspruch]] herzuleiten, d. h. eine Aussage der Form P ∧ ¬ P (z. B. „Hugo ist groß, und Hugo ist nicht groß“). Für einen Kalkül, der in der Aussagenlogik verwendet werden soll, ist das eine Mindestanforderung.
| | Enki und Ninmah machen einen Wettstreit, wer die besseren Menschen schaffen könne. Ninmah erschafft daraufhin verschiedene Menschen mit Behinderungen. Enki gibt allen jedoch eine Aufgabe in der Gesellschaft. Daraufhin dreht Enki den Spieß um und erschafft seinerseits das Wesen Umu'ul, mit dem Ninmah nichts anzufangen weiß, da es eine nicht lebensfähige Fehlgeburt ist. Sie muss sich Enki daher geschlagen geben<ref>Römer 2006; S. 386</ref>. |
| : Ist es in einem Kalkül möglich, einen Widerspruch herzuleiten, dann wird der Kalkül ''inkonsistent'' genannt.
| |
| : Es gibt formale Systeme, in denen solch ein Widerspruch hergeleitet werden kann, die aber durchaus sinnvoll sind. Für solche Systeme wird ein anderer Konsistenzbegriff verwendet: Ein Kalkül ist konsistent, wenn in ihm nicht alle Formeln herleitbar sind (siehe [[parakonsistente Logik]]).
| |
| : Es lässt sich leicht zeigen, dass für die klassische Logik die beiden Konsistenzbegriffe zusammenfallen: In der klassischen Logik lässt sich aus einem Widerspruch jeder beliebige Satz herleiten (dieser Sachverhalt wird [[Ex falso quodlibet]] genannt), d. h. wenn ein klassischer Kalkül auch nur einen Widerspruch herleiten könnte, also im ersten Sinn inkonsistent wäre, dann könnte er ''jede'' Aussage herleiten, wäre also im zweiten Sinn inkonsistent. Wenn umgekehrt ein Kalkül inkonsistent im zweiten Sinn ist, also in ihm jede Aussage herleitbar ist, dann ist insbesondere auch jeder Widerspruch herleitbar und ist er auch inkonsistent im ersten Sinn.
| |
|
| |
|
| ; [[Korrektheit (Logik)|Korrektheit]]
| | === [[Wikipedia:Enki und Nammu|Enki und Nammu]] === |
| : Ein Kalkül heißt genau dann ''korrekt'' (semantisch korrekt), wenn in ihm ''nur'' solche Formeln hergeleitet werden können, die auch semantisch gültig sind. Für die klassische Aussagenlogik bedeutet das einfacher: Ein Kalkül ist genau dann korrekt, wenn in ihm nur Tautologien bewiesen und nur gültige Argumente hergeleitet werden können.
| | Die Götter schaffen es nicht mehr genügend Mehl zu beschaffen. Daraufhin bittet Nammu ihren Sohn Enki eine Lösung zu finden, woraufhin Enki sich Lehm von seinem Schenkel klopft und daraus die Menschen erschafft<ref name="Römer 2006; S. 363">Römer 2006; S. 363</ref>. |
| : Ist es in einem aussagenlogischen Kalkül möglich, mindestens ein ungültiges Argument herzuleiten oder mindestens eine Formel zu beweisen, die keine Tautologie ist, dann ist der Kalkül ''inkorrekt''.
| |
|
| |
|
| ; [[Vollständigkeit (Logik)|Vollständigkeit]]
| | === [[Atraḫasis-Epos]] === |
| : ''Vollständig'' (semantisch vollständig) heißt ein Kalkül genau dann, wenn in ihm ''alle'' semantisch gültigen Formeln hergeleitet werden können; für die klassische Aussagenlogik: Wenn in ihm ''alle'' Tautologien hergeleitet werden können.
| | Als die [[Anunna]]ki es leid sind zu arbeiten und so Streit zwischen den [[Igigu]] und den Anunnaki entsteht, erschafft Enki aus dem Blut eines geschlachteten Gottes und dem Lehm des Abzu den Menschen, um den Göttern zu dienen. Die Menschen werden den Göttern jedoch zu laut. Daher beschließen die Götter die Menschen auszurotten und schicken [[Namtar]], um die Menschen mit Schüttelfrost zu dezimieren. Enki verrät aber seinem Lieblingsmenschen [[Atraḫasis]], wie sie Namtar besiegen könnten. Gleiches macht er mit [[Adad]] und [[Nisaba]]. Die Götter werden dadurch zornig und beschließen, dass Enki keinem Menschen mehr die Entscheidungen der Götter kundtun darf. Sie beschließen darauf eine Sintflut zu schicken, um alle Menschen zu vernichten. Enki geht jedoch zur Hütte von Atraḫasis und redet mit der Schilfwand, hinter der Atraḫasis liegt, so dass dieser alles mitbekommt. Er rät ihm eine [[Arche Noah|Arche]] zu bauen, sein Hab und Gut und seine Leute darauf zu bringen. So verhindert Enki die vollständige Ausrottung der Menschen durch die Götter<ref>von Soden 2006; S. 612ff</ref>. |
|
| |
|
| ; Adäquatheit
| | === Enki und Ninhursanga === |
| : Ein Kalkül heißt genau dann im Hinblick auf eine spezielle Semantik ''adäquat'', wenn er (semantisch) korrekt und (semantisch) vollständig ist.
| | Enki möchte unbedingt einen männlichen Nachfolger, jedoch schenkt ihm seine Frau [[Ninḫursanga|Ninhursanga]] nur die Tochter [[Ninisiga]], die Göttin des Neumondes. Daraufhin schwängert er seine Tochter, die ihm die Tochter [[Ninkur]] gebärt, die Herrin des Hochlandes. Da Enki immer noch keinen Sohn hat, schwängert er nun seine Enkelin Ninkur und diese gebiert ihm [[Uttu]], die Göttin des Flachses und der Webkunst. Ninhursanga ist das Ganze mittlerweile zu viel. Sie berät Uttu, wie sie den Avancen von Enki widerstehen könne. Doch Enki verwandelt sich in einen gutaussehenden Gärtner und schafft es so, Uttu doch zu begatten. Als Uttu den Betrug bemerkt, fleht sie zu Ninhursanga um Hilfe. Diese entfernt den Samen Enkis und wirft ihn auf den Boden. Daraus entstehen acht Pflanzen, die Ninhursanga Enki zum Essen vorsetzt. Daraufhin erkrankt Enki schwer. Die Anunna jedoch sehen das mit Sorge und Enlil schafft es Ninhursanga zu überreden, Enki zu helfen. Ninhursanga setzt sich daraufhin auf Enki, nimmt die Samen in sich auf und gebärt daraus acht Götter<ref name="Römer 2006; S. 363"/>. |
|
| |
|
| Ein metatheoretisches Resultat ist zum Beispiel die Feststellung, dass alle korrekten Kalküle auch konsistent sind. Ein anderes metatheoretisches Resultat ist die Feststellung, dass ein konsistenter Kalkül nicht automatisch korrekt sein muss: Es ist ohne weiteres möglich, einen Kalkül aufzustellen, in dem zwar kein Widerspruch hergeleitet werden kann, in dem aber z. B. die nicht allgemeingültige Aussage der Form „A ∨ B“ hergeleitet werden kann. Ein solcher Kalkül wäre aus ersterem Grund konsistent, aus letzterem Grund aber nicht korrekt.
| | === Der Held und die Schildkröte === |
| | | Als [[Wikipedia:Ninurta|Ninurta]] [[Wikipedia:Anzu|Anzu]] im Flug attackierte, ließ dieser die Schicksalstafeln fallen. Sie fielen in den [[Apsu|Süßwasserozean]], direkt in das Reich von Enki. Nach dem Kampf forderte Ninurta die Schicksalstafeln von Enki zurück, um zum Herrscher über das Schicksal der Menschen und der Götter zu werden. Enki aber, der im Kampf zuvor Ninurta mit seiner Zauberkunst und Weisheit zur Seite stand, war nicht bereit diese auszuhändigen. Er lobte und pries Ninurta als größten Krieger des Universums, aber die Tafeln werde er behalten. Ninurta wurde wütend und drohte damit, den Süßwasserozean zu zerstören. Daraufhin formte Enki aus dem Lehm des Süßwasserozeans eine Schildkröte, diese wiederum grub ein riesiges Loch. Und als Enki Ninurta ablenkte, packte die Schildkröte Ninurta an den Zehennägeln und schleifte ihn in das Loch. So sehr Ninurta sich auch bemühte, er war nicht in der Lage, das Loch zu verlassen. Enki wollte das Loch schließen und Ninurta darin begraben, jedoch ließ er auf Bitten von Ninurtas Mutter, Ninmaḫ, Ninurta frei, mit der Bedingung, dass Enki von nun an der Besitzer der Schicksalstafeln bleibt<ref>Black 2004. S.235ff</ref>. |
| Ein weiteres, sehr einfaches Resultat ist die Feststellung, dass ein vollständiger Kalkül nicht automatisch auch korrekt oder nur konsistent sein muss. Das einfachste Beispiel wäre ein Kalkül, in dem ''jede'' Formel der aussagenlogischen Sprache herleitbar ist. Da jede Formel herleitbar ist, sind alle Tautologien herleitbar, die ja Formeln sind: Das macht den Kalkül vollständig. Da aber jede Formel herleitbar ist, ist insbesondere auch die Formel P<sub>0</sub> ∧ ¬ P<sub>0</sub> und die Formel A ∨ B herleitbar: Ersteres macht den Kalkül inkonsistent, letzteres inkorrekt.
| |
| | |
| Das Ideal, das ein Kalkül erfüllen sollte, ist Korrektheit und Vollständigkeit: Wenn das der Fall ist, dann ist er der ideale Kalkül für ein logisches System, weil er alle semantisch gültigen Sätze (und nur diese) herleiten kann. So sind die beiden Fragen, ob ein konkreter Kalkül korrekt und/oder vollständig ist und ob es für ein bestimmtes logisches System überhaupt möglich ist, einen korrekten und vollständigen Kalkül anzugeben, zwei besonders wichtige metatheoretische Fragestellungen.
| |
| | |
| == Abgrenzung und Philosophie == | |
| | |
| Die klassische Aussagenlogik, wie sie hier ausgeführt wurde, ist ein formales logisches System. Als solches ist sie eines unter vielen, die aus formaler Sicht gleichwertig nebeneinander stehen und die ganz bestimmte Eigenschaften haben: Die meisten sind konsistent, die meisten sind korrekt, etliche sind vollständig, und einige sind sogar entscheidbar. Aus formaler Sicht stehen die logischen Systeme in keinem Konkurrenzverhalten hinsichtlich Wahrheit oder Richtigkeit.
| |
| | |
| Von formalen, innerlogischen Fragen klar unterschieden sind außerlogische Fragen: Solche nach der Nützlichkeit (Anwendbarkeit) einzelner Systeme für einen bestimmten Zweck und solche nach dem philosophischen, speziell [[Metaphysik|metaphysischen]] Status einzelner Systeme.
| |
| | |
| Die Nützlichkeitserwägung ist die einfachere, bezüglich deren Meinungsunterschiede weniger tiefgehend bzw. weniger schwerwiegend sind. Klassische Aussagenlogik zum Beispiel bewährt sich in der Beschreibung elektronischer Schaltungen ([[Schaltalgebra]]) oder zur Formulierung und Vereinfachung [[Logischer Operator|logischer Ausdrücke in Programmiersprachen]]. [[Prädikatenlogik]] wird gerne angewandt, wenn es darum geht, Faktenwissen zu formalisieren und automatisiert Schlüsse daraus zu ziehen, wie das unter anderem im Rahmen der Programmiersprache [[Prolog (Programmiersprache)|Prolog]] geschieht. [[Fuzzy-Logik]]en, nonmonotone, [[Mehrwertige Logik|mehrwertige]] und auch parakonsistente Logiken sind hochwillkommen, wenn es darum geht, mit Wissensbeständen umzugehen, in denen Aussagen mit unterschiedlich starkem Gewissheitsgrad oder gar einander widersprechende Aussagen abgelegt werden sollen und dennoch sinnvolle Schlüsse aus dem Gesamtbestand gezogen werden sollen. Auch wenn es je nach Anwendungsfall sehr große Meinungsunterschiede geben kann, welches logisches System besser geeignet ist, ist die Natur des Problems für alle Beteiligten unmittelbar und in gleicher Weise greifbar. Einzelwissenschaftliche Überlegungen und Fragestellungen spielen sich überwiegend in diesem Bereich ab.
| |
| | |
| (Noch) kontroverser als solche pragmatischen Überlegungen sind Fragestellungen philosophischer und metaphysischer Natur. Geradezu paradigmatisch ist die Frage, „welches logische System richtig ist“, wobei „richtig“ hier gemeint ist als: Welches logische System nicht nur einen Teilaspekt der Wirklichkeit modellhaft vereinfacht, sondern die Wirklichkeit, das Sein als Ganzes adäquat beschreibt. Zu dieser Fragestellung gibt es viele unterschiedliche Meinungen einschließlich der vom philosophischen [[Positivismus]] eingeführten Meinung, dass die Fragestellung als Ganzes sinnlos ist.
| |
| | |
| In den Bereich metaphysischer Fragestellungen fällt auch die Frage, ob es so etwas wie ein ''metaphysisches'' [[Prinzip der Zweiwertigkeit]] gebe, ob also Aussagen über die Wirklichkeit durchgehend ins Schema wahr/falsch passen oder nicht. Diese Frage ist unabhängig von der Frage, ob die Beschäftigung mit zwei- oder mehrwertigen Logiken praktisch sinnvoll ist: Selbst wenn ein metaphysisches Prinzip der Zweiwertigkeit herrscht, könnte man anwendungspraktisch mehrwertige Logiken nützen, etwa dazu, epistemische Sachverhalte zu fassen, zum Beispiel aus Aussagen zu schließen, die zwar metaphysisch wahr oder falsch sind, von denen aber nicht oder noch nicht bekannt ist, welches von beidem der Fall ist. Umgekehrt kann man auch dann, wenn ein solches metaphysisches Prinzip nicht gilt, zweiwertige Logik wegen ihrer Einfachheit für solche Anwendungen bevorzugen, bei denen nur mit solchen Sätzen umgegangen werden muss, die tatsächlich wahr oder falsch sind.
| |
| | |
| Die Frage nach einem metaphysischen Prinzip der Zweiwertigkeit ist wie die meisten metaphysischen Fragen nicht endgültig zufriedenstellend beantwortet. Ein früher Einwand gegen ein solches Prinzip, den Aristoteles zur Diskussion stellte, war das Thema der Aussagen über zukünftige Sachverhalte („Morgen wird es regnen“). Wenn Aussagen über Zukünftiges schon heute wahr oder falsch wären, so wird argumentiert, dann müsse die Zukunft bis ins letzte Detail vorbestimmt sein. Ein anderer Einwand, der vorgebracht wird, ist, dass es Aussagen gibt, deren Wahrheit praktisch oder theoretisch nicht festgestellt werden kann – zum Beispiel lässt sich die Wahrheit von „Der Rasen vor dem Weißen Haus bestand am 1. Februar 1870 aus genau 6.120.375,4 Grashalmen“ einfach nicht feststellen.
| |
| | |
| Befürworter eines metaphysischen Zweiwertigkeitsprinzips berufen sich oft auf das Verhalten von Metatheoretikern, also von Mathematikern oder Logikern, die Aussagen ''über'' formale Systeme treffen: Egal wie mehrwertig oder nichtklassisch das untersuchte System ist, die dabei getroffenen Metavermutungen, Metabehauptungen und Metafeststellungen sind immer zweiwertig: Ein Kalkül, auch ein parakonsistenter oder nonmonotoner, wird immer als ''entweder'' konsistent ''oder'' inkonsistent betrachtet, und ein logisches System ist immer ''entweder'' korrekt oder inkorrekt, vollständig oder nicht vollständig, entscheidbar oder unentscheidbar, niemals „ein bisschen“ von beidem. Befürworter deuten das als Hinweis darauf, dass es in der Wirklichkeit tatsächlich eine strenge Unterscheidung nach wahr und falsch gebe oder dass es zumindest sinnvoll ist, eine solche anzunehmen.
| |
| | |
| Eine andere philosophische Fragestellung ist die nach dem metaphysischen Status des Untersuchungsgegenstands der Logik, also danach, was logische Systeme, Kalküle, Wahrheitswerte eigentlich „sind“.
| |
| | |
| Der [[Platonismus|platonische]] Standpunkt besteht darin, dass die in der Logik verwendeten Zeichen und Konstrukte eine außerlogische Bedeutung haben, dass sie Namen für real existierende (wenn auch natürlich nicht-physikalische) Gegenstände sind. In diesem Sinn gäbe es so etwas wie ''das Wahre'' und ''das Falsche'', abstrakte Gegenstände, die von den Zeichen „wahr“ und „falsch“ benannt werden.
| |
| | |
| Der Gegenpol zum Platonismus wäre der Nominalismus, der Existenz nur den Zeichen zuspricht, die in der Logik manipuliert werden. Gegenstand der Logik sind Zeichen, und die Tätigkeit der Logiker ist die Manipulation von Zeichen. Die Zeichen bezeichnen aber nichts, so etwas wie das Wahre oder das Falsche gibt es also nicht. Im [[Grundlagenstreit der Mathematik]] entspräche der nominalistischen Position die [[Formalismus (Mathematik)|formalistische Richtung]].
| |
| | |
| Eine Mittelstellung nähme der [[Konstruktivismus (Philosophie)|philosophische Konstruktivismus]] ein, demzufolge die Zeichen zwar keine unabhängig existierenden Gegenstände bezeichnen, durch den Umgang mit den Zeichen aber Gegenstände konstruiert werden.
| |
| | |
| == Siehe auch ==
| |
| * {{WikipediaDE|Logik}}
| |
| * {{WikipediaDE|Aussagenlogik}}
| |
| * {{WikipediaDE|Klassische Logik}}
| |
|
| |
|
| == Literatur == | | == Literatur == |
| | | * [[Wikipedia:Helmut Freydank|Helmut Freydank]] u.a.: ''Lexikon Alter Orient. Ägypten * Indien * China * Vorderasien.'' VMA-Verlag, Wiesbaden 1997 ISBN 3-928127-40-3 |
| * Jon Barwise, John Etchemendy: ''The Language of First Order Logic'' (= ''CSLI Lecture Notes.'' Bd. 23). 2. Auflage, revised and expanded. Center for the Study of Language and Information, Stanford CA 1991, ISBN 0-937073-74-1. | | * Gwendolyn Leick: ''A Dictionary of Ancient Near Eastern Mythology.'' New York 1998. ISBN 9780415198110 |
| * Ansgar Beckermann: ''Einführung in die Logik.'' 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-11-017965-2. | | * [[Wikipedia:Brigitte Groneberg|Brigitte Groneberg]]: ''Die Götter des Zweistromlandes. Kulte, Mythen, Epen.'' Artemis & Winkler, Stuttgart 2004 ISBN 3-7608-2306-8 |
| * Karel Berka, Lothar Kreiser: ''Logik-Texte. Kommentierte Auswahl zur Geschichte der modernen Logik.'' 4., gegenüber der 3., erweiterte, durchgesehene Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1986. | | * Jeremy Black, Graham Cunningham, Eleanor Robson: The Literature of ancient Sumer. London 2004. ISBN 9780199263110 |
| * Wolfgang Detel: ''Grundkurs Philosophie.'' Band 1: ''Logik'' (= ''Universal-Bibliothek.'' Nr. 18468). Reclam, Stuttgart 2007, ISBN 978-3-15-018468-4.
| | * Willem H. Ph. Römer: Mythen und Epen in sumerischer Sprache. In: Bernd Janowski, [[Wikipedia:Gernot Wilhelm|Gernot Wilhelm]] (Hrsg.): ''Texte aus der Umwelt des Alten Testaments.'' Neue Folge. Band 3. Gütersloher Verlagshaus, Gütersloh 2006. ISBN 3-579-05287-X. |
| * Wilfrid Hodges: ''Logic.'' Penguin Books, Harmondsworth 1977, ISBN 0-14-021985-4 (2. Auflage. ebenda 2001 ISBN 0-14-100314-6). | | * [[Wikipedia:Wolfram von Soden|Wolfram von Soden]]: ''Der altbabylonische Atramchasis-Mythos.'' In: Bernd Janowski, Gernot Wilhelm (Hrsg.): ''Texte aus der Umwelt des Alten Testaments.'' Neue Folge. Band 3. Gütersloher Verlagshaus, Gütersloh 2006. ISBN 3-579-05287-X. |
| * Rüdiger Inhetveen: ''Logik. Eine dialog-orientierte Einführung'' (= ''Eagle.'' Bd. 2). Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2003, ISBN 3-937219-02-1.
| | * Peeter Espak: ''[http://dspace.utlib.ee/dspace/bitstream/handle/10062/15915/espak_peeter.pdf?sequence1 The God Enki in Sumerian Royal Ideology and Mythology].'' Tartu University Press, Tartu 2010. ISBN 978-9949-19-522-0 (''Dissertationes Theologiae Universitatis Tartuensis'' 19) |
| * E. J. Lemmon: ''Beginning Logic.'' Nelson, London 1965 (2. Auflage. Chapman & Hall, London 1987, ISBN 0-412-38090-0). | |
| * Wesley C. Salmon: ''Logik.'' (= ''Universal-Bibliothek.'' Nr. 7996). Reclam Stuttgart 1983, ISBN 3-15-007996-9.
| |
|
| |
|
| == Weblinks == | | == Weblinks == |
| {{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Aussagenlogik}}
| | * Peeter Espak: [http://dspace.utlib.ee/xmlui/bitstream/handle/10062/958/espakpeeter.pdf?sequence=5 ''Ancient Near Eastern Gods Enki and Ea. Diachronical Analysis of Texts and Images from the Earliest Sources to the Neo-Sumerian Period.''] (Master's Thesis) [[Wikipedia:Universität Tartu|Universität Tartu]] 2006 |
| * {{IEP|http://www.iep.utm.edu/p/prop-log.htm|Propositional Logic|Kevin C. Klement}}
| |
| * [http://timms.uni-tuebingen.de/Browser/Browser01.aspx?path=%2fUniversit%C3%A4t+T%C3%BCbingen%2fMathematisch-Naturwissenschaftliche+Fakult%C3%A4t%2fMathematik%2fVorlesung+Mathematik+I+WiSe+2002-2003%2f Vorlesungsmitschnitt Mathematik I] Uni Tübingen. Die ersten zwei Stunden handeln ausführlich von Wahrheitstabellen.
| |
| * Christian Spannagel: [https://av.tib.eu/series/241 Aussagen- und Prädikatenlogik]. Vorlesungsreihe, 2012.
| |
|
| |
|
| == Einzelnachweise und Anmerkungen == | | == Einzelnachweise == |
| <references /> | | <references /> |
|
| |
|
| {{Normdaten|TYP=s|GND=4136098-9}} | | {{Normdaten|TYP=p|GND=118682091|VIAF=42632013}} |
| | |
| | [[Kategorie:Mesopotamische Gottheit]] |
| | [[Kategorie:Sumerische Gottheit]] |
| | [[Kategorie:Schöpfungsgottheit]] |
| | [[Kategorie:Männliche Gottheit]] |
|
| |
|
| [[Kategorie:Logik]]
| | {{Wikipedia}} |
| [[Kategorie:Logiken]]
| |
| [[Kategorie:Klassische Logik]]
| |
| [[Kategorie:Sprachphilosophie]]
| |
anthrowiki.at, 
anthro.world, 
biodyn.wiki und 
steiner.wiki
Wie Sie die Entwicklung von AnthroWiki durch Ihre Spende unterstützen können, erfahren Sie hier.
_-_EnKi_(Sumerian).jpg)
