Planck-Einheiten und Assoziativgesetz: Unterschied zwischen den Seiten

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Die '''Planck-Einheiten''' bilden ein System '''natürlicher Einheiten''', der Wert ausschließlich durch fundamentale [[Naturkonstanten]] bestimmt ist und durch keine mehr oder weniger willkürliche Definition festgelegt wird. Als [[Maßeinheit]]en sind sie daher besonders gut dazu geeignet, [[physikalische Größen]] miteinander zu vergleichen. Das System wurde erstmals [[1899]] von [[Max Planck]] vorgeschlagen<ref>Max Planck: ''Über Irreversible Strahlungsvorgänge''. In: ''Sitzungsbericht der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften'', 1899, erster Halbband [http://bibliothek.bbaw.de/bibliothek-digital/digitalequellen/schriften/anzeige/index_html?band=10-sitz/1899-1&seite:int=494 S. 479–480.]</ref> und später nach ihm benannt.
Das '''Assoziativgesetz''' (von [[lat.]] ''associare'' „vereinigen, verbinden, verknüpfen, vernetzen“) oder '''Verknüpfungsgesetz''' ist eine elementare Regel der [[Mathematik]]. Eine [[zweistellige Verknüpfung]] ist auf der [[Menge (Mathematik)|Menge]] <math>A</math> '''assoziativ''', wenn für alle <math>a,b,c\in A</math> folgende Bedingung erfüllt ist:


Die '''Planck-Skala''' begrenzt zugleich den Anwendungsbereich der bisher bekannten [[Naturgesetz|physikalischen Gesetze]]. Im Bereich der sogenannten '''Planck-Länge''' <math>l_p</math>, die vom Licht in der '''Planck-Zeit''' <math>t_p</math> durchlaufen wird, könnte das physikalische Geschehen nur durch eine [[Theorie]] der [[Quantengravitation]] beschrieben werden, die aber bislang noch nicht widerspruchsfrei formuliert werden konnte. In dieser Theorie müssten die beiden großen Theorien der [[Moderne Physik|modernen Physik]], die [[Allgemeine Relativitätstheorie|allgemeinen Relativitätstheorie]] und die [[Quantentheorie]], miteinander vereinigt werden. Für [[Partikel]] in der Größenordnung der '''Planckmasse''' <math>m_p</math>wird ihre charakteristische Größendimension, die sich aus ihrer [[Wikipedia:Compton-Wellenlänge|Compton-Wellenlänge]] <math>\lambda = \frac{h}{m c}</math> ergibt, vergleichbar dem [[Schwarzschild-Radius]] <math>r_\mathrm{S} = \frac{2 G m}{c^2}</math> eines winzigen [[Schwarzes Loch|Schwarzen Loches]] mit dem Durchmesser der ''Planck-Länge'' <math>l_p</math>.
::<math> a \star \left( b \star c \right) = \left( a \star b \right) \star c </math>


Die Grundgrößen der Planck-Einheiten ergeben sich aus einer einfachen Dimensionsbetrachtung aus folgenden universellen Naturkonstanten:
Gegebenenfalls ist die Assoziativität nur einseitig erfüllt:


* [[Gravitationskonstante]] <math>\textstyle G = 6{,}673\;84\;(80) \cdot 10^{-11}\,\mathrm{\frac{m^3}{kg \cdot s^2}}</math> <ref name="CODATAbg">{{internetquelle |url=http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?bg |hrsg=National Institute of Standards and Technology |titel=CODATA Recommended Values |zugriff=2. April 2018}} Wert für die Gravitationskonstante in Basiseinheiten</ref>
* Eine binäre Verknüpfung ist '''links-assoziativ''', wenn gilt: <math>a*b*c = (a*b)*c</math>
* [[Lichtgeschwindigkeit]] <math>\textstyle c = 299\,792\,458\;\mathrm{m/s}</math>
* Eine binäre Verknüpfung ist '''rechts-assoziativ''', wenn gilt: <math>a*b*c = a*(b*c)</math>
* [[Plancksches Wirkungsquantum|reduziertes plancksches Wirkungsquantum]] <math>\textstyle \hbar = \frac{h}{2\pi} = 1{,}054\,571\,800(13) \cdot 10^{-34}\,\mathrm{Js}</math>
* [[Wikipedia:Boltzmann-Konstante|Boltzmann-Konstante]] <math>\textstyle k_\mathrm{B} = 1{,}380\,648\,52\,(79) \cdot 10^{-23} \; \mathrm{J/K}</math>
* [[Wikipedia:Coulombsches_Gesetz|Coulomb-Konstante]] <math>k_C = 1/(4 \pi\textstyle \varepsilon_0) \approx 8{,}987551787 \cdot 10^9 \, \mathrm{\frac{Vm}{As}}</math> (mit der elektrischen [[Wikipedia:Permittivität|Permittivität]] des [[Vakuum]]s <math>\textstyle \varepsilon_0</math>).


Daraus ergeben sich folgende elementare ''Planck-Einheiten'', aus denen alle anderen [[Einheit]]en abgeleitet werden können.
[[Kategorie:Mathematik]]
 
{| class="wikitable"
|-
! Name
! [[Physikalische Größe|Größe]]
! Definitionsgleichung
! Wert in [[Wikipedia:SI-Einheiten|SI-Einheiten]]
|-
| '''Planck-Masse'''
| [[Masse (Physik)|Masse]]
| <math>m_p = \sqrt{\frac{\hbar\,c}{G}}</math>
| 2,176 · 10<sup>−8</sup> [[Wikipedia:Kilogramm|kg]]<ref>{{Internetquelle |url=http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?plkm |hrsg=National Institute of Standards and Technology |titel=CODATA Recommended Values |zugriff=2. April 2018}} Wert für die Planck-Masse</ref>
|-
| '''Planck-Länge'''
| Länge
| <math> l_p = \sqrt{\frac{\hbar\,G}{c^3}}</math>
| 1,616 · 10<sup>−35</sup> [[Wikipedia:Meter|m]]<ref>{{Internetquelle |url=http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?plkl |hrsg=National Institute of Standards and Technology |titel=CODATA Recommended Values |zugriff=2. April 2018}} Wert für die Planck-Länge</ref>
|-
| '''Planck-Zeit'''
| [[Zeit]]
| <math>t_p = \frac{l_p}{c}</math>
| 5,391 · 10<sup>−44</sup> [[Wikipedia:Sekunde|s]]<ref>{{Internetquelle |url=http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?plkt |hrsg=National Institute of Standards and Technology |titel=CODATA Recommended Values |zugriff=2. April 2018}} Wert für die Planck-Zeit</ref>
|-
| '''Planck-Ladung'''
| [[Elektrische Ladung|Ladung]]
| <math>q_p = \sqrt{\hbar\,c\,4\,\pi\,\varepsilon_0} </math>
| 1,876 · 10<sup>−18</sup> [[Wikipedia:Coulomb|C]]
|-
| '''Planck-Temperatur'''
| [[Temperatur]]
| <math>T_p = \frac{m_\mathrm{P}\,c^2}{k_\mathrm{B}}</math>
| 1,417 · 10<sup>32</sup> [[Wikipedia:Kelvin|K]]<ref>{{Internetquelle |url=http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?plktmp |hrsg=National Institute of Standards and Technology |titel=CODATA Recommended Values |zugriff=2. April 2018}} Wert für die Planck-Temperatur</ref>
|}
 
== Einzelnachweise ==
 
<references />
 
[[Kategorie:Physik]]

Version vom 3. April 2018, 10:16 Uhr

Das Assoziativgesetz (von lat. associare „vereinigen, verbinden, verknüpfen, vernetzen“) oder Verknüpfungsgesetz ist eine elementare Regel der Mathematik. Eine zweistellige Verknüpfung ist auf der Menge assoziativ, wenn für alle folgende Bedingung erfüllt ist:

Gegebenenfalls ist die Assoziativität nur einseitig erfüllt:

  • Eine binäre Verknüpfung ist links-assoziativ, wenn gilt:
  • Eine binäre Verknüpfung ist rechts-assoziativ, wenn gilt:
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