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Menge
Die Menge (von mhd. manic „viel“) ist heute eines der grundlegendsten Konzepte der Mathematik. Sie fasst eine endliche oder unendliche Anzahl beliebiger, wohlunterschiedener Elemente zu einer Gesamtheit zusammen, wobei es sich bei den Elementen ebenfalls wieder um Mengen handeln kann. Mengen werden häufig auch durch entsprechende Mengendiagramme grafisch veranschaulicht.
Grundlagen
Die Mengenlehre wurde in der Zeit von 1874 bis 1897 von Georg Cantor (1845-1918) begründet. Er definierte den Begriff „Menge“ wie folgt:
„Unter einer „Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen.“
Vereinbarungsgemäß werden die Elemente einer Menge entweder explizit oder durch eine geeignete Definition innerhalb geschwungener Klammern angegeben, z.B. für die abzählbar unendliche Menge der natürlichen Zahlen . Eine Menge, die keine Elemente enthält, wird als leere Menge oder auch bezeichnet. Wird bei einer Menge auch die Reihenfolge der Elemente berücksichtigt, spricht man von einer Folge.
Grundmenge
Die Grundmenge, die auch als Universum bezeichnet wird, umfasst die Menge aller im gegebenen Zusammenhang betrachteten Elemente und ist damit die Basis für alle weiteren Überlegungen.
Teilmenge
Cantor prägte auch den Begriff der Teilmenge oder Untermenge. ist eine Untermenge (Teilmenge) von und ist eine Obermenge von , wenn jedes Element von auch in enthalten ist:
Enthält zudem weitere Elemente, die nicht in enthalten sind, so ist eine echte Teilmenge von und ist eine echte Obermenge von .
Potenzmenge
Als Potenzmenge wird die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Grundmenge bezeichnet:
Differenzmenge und Komplementärmenge
Die Differenzmenge zweier Mengen und ist die Menge aller Elemente, die in , aber nicht in enthalten sind, d.h.:
Gilt dabei , so wird die Differenzmenge auch als Komplementärmenge von in oder kurz als Komplement bezeichnet. Dabei wird zwischen einem relativem Komplement bezüglich beliebiger Teilmengen und einem absoluten Komplement bezüglich der Grundmenge unterschieden.
Mächtigkeit
Die Mächtigkeit oder Kardinalität einer Menge wird durch die Kardinalzahl angegeben. Für endliche Menge ist sie gleich der Anzahl ihrer Elemente. Unendliche Mengen können unterschiedliche Mächtigkeiten haben, die durch den hebräischen Buchstaben und einen Index bezeichnet werden. Für die abzählbar unendliche Menge der natürlichen Zahlen, die unter den unendlichen Mengen die geringste Mächtigkeit haben, schreibt man entsprechend . Die überabzählbare unendliche Menge der reellen Zahlen hat unter Annahme der Kontinuumshypothese[2] die Mächtigkeit , andernfalls gilt zumindest .
Punktmenge
In der Geometrie werden verschieden dimensionale Räume, wie die eindimensionale Linie, die zweidimensionale Ebene oder der dreidimensionale Raum, traditionell als Punktmengen bezeichnet.
Offene Menge und abgeschlossene Menge
Eine offene Menge enthält keine Randelemente. Die Elemente einer offenen Menge sind daher nur von Elementen dieser Menge und von keinen äußeren Elementen umgeben, d.h.:
- gibt es eine reelle Zahl , sodass jeder Punkt des -dimensionalen euklidischen Raums , dessen Abstand zu kleiner ist als , in liegt.
Andernfalls handelt es sich um eine abgeschlossene Menge.
Disjunkte Mengen
Zwei Mengen und heißen disjunkt, wenn sie kein gemeinsames Element besitzen, d.h. wenn ihre Schnittmenge leer ist:
So sind beispielsweise die Mengen und disjunkt, da sie kein gemeinsames Element haben. Die Mengen und sind hingegen nicht disjunkt, da sie das Element gemeinsam haben.
Mehrere Mengen sind paarweise disjunkt, wenn beliebige Paare von ihnen disjunkt sind.
Einzelnachweise
- ↑ Georg Cantor: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. In: Mathematische Annalen 46 (1895), S. 481. Online.
- ↑ Die Kontinuumshypothese besagt, dass es keine Menge gibt, deren Mächtigkeit zwischen der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen und der Mächtigkeit der reellen Zahlen liegt. Diese Hypothese hat sich aber als unentscheidbar erwiesen.