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| [[Datei:Bass Guitar Time Signal of open string A note (55 Hz).png|thumb|350px|Die Bass-Note A (55 Hz) auf einer Bassguitarre als Zeitsignal]] | | [[Kategorie:Soziale Dreigliederung]] |
| [[Datei:Fourier Transform of bass guitar time signal.png|thumb|350px|Die Fourier-Analyse enthüllt das Frequenzspektrum des gespielten Tons mit allen Obertönen.]] | | [[Kategorie:IG-EuroVision|!]] |
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| Die '''Fourier-Transformation''' ('''FT'''), benannt nach dem französischen Mathematiker und Physiker [[Wikipedia:Joseph Fourier|Jean Baptiste Joseph Fourier]] (1768-1830), ist eine [[Mathematik|mathematische]] Methode, um aus einer beliebigen (auch aperiodischen) [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f(x)</math> eine [[Summe]] (bzw. ein [[Integral]]) harmonischer periodischer Funktionen zu erzeugen, aus denen sie wieder aufgebaut werden kann, ähnlich wie etwa ein [[musik]]alischer Akkord in die darin zusammenklingenden Töne inklusive aller Obertöne aufgespalten, also gleichsam analysiert bzw. in ihr [[Spektrum|Frequenzspektrum]] zerlegt werden kann. In diesem Sinn spricht man auch von einer '''Fourier-Analyse''' bzw. einer '''klassischen harmonischen Analyse'''. Die durch die Fourier-Transformation erzeugte Funktion, die dieses Spektrum beschreibt, nennt man '''Fourier-Transformierte''' oder auch '''Spektralfunktion'''.
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| Die Umkehrfunktion, entsprechend dem Wiederaufbau des Akkords aus den einzelnen Tönen, wird dementsprechend '''Fourier-Synthese''' genannt. Die Fourier-Transformation wird in der [[Physik]] häufig dazu verwendet, um eine durch [[Empirie|empirisch]] gewonnene Messdaten aufgespannte Funktion in ihre harmonischen Bestandteile zu zerlegen.
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| == Definition ==
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| Für eine beliebige integrierbare Funktion <math>f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{C}</math> ist die kontinuierliche '''Fourier-Transformierte''' für alle <math>y \in\mathbb R</math> wie folgt definiert:
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| :<math>\hat{f}(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{-2\pi i x y}\,dx</math>
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| Ist eine diskrete [[Folge (Mathematik)|Folge]] von Messwerten <math>a=(a_0,\dotsc,a_{N-1})</math> gegeben, wird die '''diskrete Fourier-Transformierte''' ('''DFT''') als '''Fourier-Reihe''' wie folgt dargestellt:
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| :<math>\hat a_k = \sum_{n=0}^{N-1} e^{-2\pi \mathrm{ik}\cdot\frac{n}{N}}\cdot a_n</math> für <math>k=0,\dotsc,N-1</math>
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| Für die '''inverse Fourier-Transformation''' ('''iFT''') gilt entsprechend für alle <math>x \in\mathbb R</math>:
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| :<math>f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat f(y)\ e^{2 \pi i x y}\,dy</math>
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| bzw. für die '''inverse diskrete Fourier-Transformation''' ('''iDFT'''):
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| :<math>a_k=\frac 1 N \sum_{n=0}^{N-1} e^{2\pi \mathrm{ik}\cdot\frac{n}{N}}\cdot a_n</math> für <math>k=0,\dots,N-1 \,</math>
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| wobei nach der [[Eulersche Formel|Eulerschen Formel]] die komplexen harmonischen Funktionen erzeugt werden:
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| :<math>\mathrm{e}^{\mathrm{i}\,x} = \cos\left(x \right) + \mathrm{i}\,\sin\left( x\right)</math> bzw. <math>\mathrm{e}^{\mathrm{-i}\,x} = \cos\left(x \right) - \mathrm{i}\,\sin\left( x\right)</math>
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| == Siehe auch ==
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| * {{WikipediaDE|Fourier-Transformation}}
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| * {{WikipediaDE|Fourier-Analysis}}
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| [[Kategorie:Mathematischer Grundbegriff]] [[Kategorie:Analysis]] [[Kategorie:Physik]]
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