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Deduktion und Abgeschrägtes Dodekaeder: Unterschied zwischen den Seiten
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[[Datei:Snubdodecahedronccw.jpg|mini|3D-Ansicht eines abgeschrägten Dodekaeders ([[:Datei:Snubdodecahedronccw.gif|Animation]])]] | |||
[[Datei:Snub dodecahedron vertfig.png|mini|Ausschnitt einer Raumecke des abgeschrägten Dodekaeders. Die weißen Linien begrenzen das [[Sehnenfünfeck]] (s. u.).]] | |||
Das '''abgeschrägte Dodekaeder''' ''(Dodecaedron simum)'' ist ein [[Polyeder]] ''(Vielflächner),'' das zu den [[Archimedischer Körper|archimedischen Körpern]] zählt. Es setzt sich aus 92 Flächen, nämlich 12 regelmäßigen [[Fünfeck]]en und 80 gleichseitigen [[Dreieck]]en, zusammen und hat 60 Ecken sowie 150 Kanten. Dabei bilden jeweils vier Dreiecke und ein Fünfeck eine [[Raumecke]]. | |||
Die folgenden Bilder zeigen zwei zueinander spiegelbildliche abgeschrägte Dodekaeder. | |||
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Snubdodecahedronccw.jpg|Spiegelvariante 1 | |||
Snubdodecahedroncw.jpg|Spiegelvariante 2 | |||
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Der zum abgeschrägten Dodekaeder [[Dualität (Mathematik)|duale]] Körper ist das [[Pentagonhexakontaeder]]. | |||
== | == Konstruktion == | ||
[[ | [[Datei:A11-A13.gif|mini|Transformation eines Rhombenikosidodekaeders in ein Abgeschrägtes Dodekaeder]] | ||
* Wie der Name schon andeutet, entsteht dieses Polyeder durch fortwährendes Abschrägen eines [[Dodekaeder]]s, sodass am Ende zwölf (kleinere) regelmäßige Fünfecke übrigbleiben, die [[Koinzidenz|koinzident]] mit den ursprünglichen Begrenzungsflächen des Dodekaeders sind. | |||
* Verdreht man bei einem [[Rhombenikosidodekaeder]] alle zwölf Fünfecke – die koinzident mit den Begrenzungsflächen eines umbeschriebenen Dodekaeders sind – jeweils um den gleichen bestimmten Winkel und fügt eine [[Diagonale (Geometrie)|Diagonale]] in die nun verzerrten Quadrate ein, entsteht auch ein abgeschrägtes Dodekaeder. | |||
== Formeln == | |||
Nachfolgend bezeichne der Term <math>t</math> den [[Kosinus]] des kleineren [[Zentriwinkel]]s <math>\zeta</math> im [[Sehnenfünfeck]] (siehe Grafik oben rechts) mit den Seitenlängen <math>a</math> und <math>d = \varphi \,a</math> (mit <math>d</math> sei die [[Diagonale (Geometrie)#Längen von Diagonalen|Diagonale]] im [[Fünfeck#Regelmäßiges Fünfeck|Pentagon]], mit <math>\varphi</math> die [[Goldener Schnitt|Goldene Zahl]] bezeichnet). | |||
<math>t</math> ist die einzige [[Reelle Zahl|reelle]] Lösung der [[Kubische Gleichung|kubischen Gleichung]] <math>8t^3+8t^2-\varphi^2=0</math>. | |||
: <math> t = \cos(\zeta) = \frac{1}{12} \left(\sqrt[3]{44 + 12\varphi\,(9 + \sqrt{81\varphi-15})} + \sqrt[3]{44 + 12\varphi\,(9 - \sqrt{81\varphi-15})} -4 \right)</math> <ref>t ≈ 0,47157563</ref> | |||
{| class="wikitable" | |||
|- class="hintergrundfarbe6" | |||
!colspan="3"| Größen eines abgeschrägten Dodekaeders mit Kantenlänge ''a'' | |||
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|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Volumen]]''' | |||
| <math>V = \frac{a^3}{6 \sqrt{1-2t}} \left(3 \sqrt{10\,(9t-2+(4t-1)\sqrt{5})} + 20 \sqrt{2+2t} \right) </math> | |||
|- | |||
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]''' | |||
| <math>A_O = a^2 \left(20\sqrt{3}+ 3\sqrt{25+ 10\sqrt{5}} \right) </math> | |||
|- | |||
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Umkugel]]radius''' | |||
| <math> R = \frac{a}{2} \sqrt{\frac{2-2t}{1-2t}} </math> | |||
|- | |||
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Kantenkugel]]radius''' | |||
| <math> r = \frac{a}{2\sqrt{1- 2t}} </math> | |||
|- | |||
|class="hintergrundfarbe5"| '''1. [[Flächenwinkel]]<br /> ([[Dreieck|Trigon]]–Trigon)<br /> ≈ 164° 10′ 31″''' | |||
| <math> \cos \, \alpha_1 = -\frac{1}{3}\left(1+4t\right) </math> | |||
|- | |||
|class="hintergrundfarbe5"| '''2. Flächenwinkel<br /> ([[Fünfeck|Pentagon]]–Trigon)<br /> ≈ 152° 55′ 48″''' | |||
| <math> \cos \, \alpha_2 = \frac{1}{\sqrt{15}}\left((1-2t)\sqrt{5+2\sqrt{5}} - 2\sqrt{(1+t)(5t+(2t-1)\sqrt{5})}\right) </math> | |||
|- | |||
|class="hintergrundfarbe5"| '''Flächen-Kanten-Winkel<br /> (Pentagon–Trigon)<br /> ≈ 143° 20′ 58″''' | |||
| <math> \cos \, \beta = \frac{-4t}{\sqrt{10-2\sqrt{5}}} </math> | |||
|- | |||
|class="hintergrundfarbe5"| '''3D-Kantenwinkel<br /> (Trigon–Trigon)<br /> ≈ 118° 8′ 12″''' | |||
| <math> \cos \, \gamma = -t </math> | |||
|- | |||
|class="hintergrundfarbe5"| '''Ecken[[raumwinkel]]<br /> ≈ 1,4355 π''' | |||
| <math> \Omega = \,3\alpha_1+2\alpha_2-3\pi</math> | |||
|} | |||
== Siehe auch == | |||
* {{WikipediaDE|Abgeschrägtes Dodekaeder}} | |||
== Weblinks == | |||
{{Commonscat|Snub dodecahedra|Abgeschrägtes Dodekaeder}} | |||
{{Wiktionary|abgeschrägtes Dodekaeder}} | |||
* {{MathWorld|SnubDodecahedron|Abgeschrägtes Dodekaeder}} | |||
== Einzelnachweise == | |||
<references /> | |||
{{Navigationsleiste Archimedische Körper}} | |||
[[Kategorie:Archimedische Körper|114]] | |||
[[Kategorie:Dodekaedergruppe]] | |||
[[Kategorie: | {{Wikipedia}} |
Version vom 14. Februar 2020, 00:49 Uhr
Das abgeschrägte Dodekaeder (Dodecaedron simum) ist ein Polyeder (Vielflächner), das zu den archimedischen Körpern zählt. Es setzt sich aus 92 Flächen, nämlich 12 regelmäßigen Fünfecken und 80 gleichseitigen Dreiecken, zusammen und hat 60 Ecken sowie 150 Kanten. Dabei bilden jeweils vier Dreiecke und ein Fünfeck eine Raumecke.
Die folgenden Bilder zeigen zwei zueinander spiegelbildliche abgeschrägte Dodekaeder.
-
Spiegelvariante 1
-
Spiegelvariante 2
Der zum abgeschrägten Dodekaeder duale Körper ist das Pentagonhexakontaeder.
Konstruktion
- Wie der Name schon andeutet, entsteht dieses Polyeder durch fortwährendes Abschrägen eines Dodekaeders, sodass am Ende zwölf (kleinere) regelmäßige Fünfecke übrigbleiben, die koinzident mit den ursprünglichen Begrenzungsflächen des Dodekaeders sind.
- Verdreht man bei einem Rhombenikosidodekaeder alle zwölf Fünfecke – die koinzident mit den Begrenzungsflächen eines umbeschriebenen Dodekaeders sind – jeweils um den gleichen bestimmten Winkel und fügt eine Diagonale in die nun verzerrten Quadrate ein, entsteht auch ein abgeschrägtes Dodekaeder.
Formeln
Nachfolgend bezeichne der Term den Kosinus des kleineren Zentriwinkels im Sehnenfünfeck (siehe Grafik oben rechts) mit den Seitenlängen und (mit sei die Diagonale im Pentagon, mit die Goldene Zahl bezeichnet).
ist die einzige reelle Lösung der kubischen Gleichung .
Größen eines abgeschrägten Dodekaeders mit Kantenlänge a | ||
---|---|---|
Volumen | ||
Oberflächeninhalt | ||
Umkugelradius | ||
Kantenkugelradius | ||
1. Flächenwinkel (Trigon–Trigon) ≈ 164° 10′ 31″ |
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2. Flächenwinkel (Pentagon–Trigon) ≈ 152° 55′ 48″ |
||
Flächen-Kanten-Winkel (Pentagon–Trigon) ≈ 143° 20′ 58″ |
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3D-Kantenwinkel (Trigon–Trigon) ≈ 118° 8′ 12″ |
||
Eckenraumwinkel ≈ 1,4355 π |
Siehe auch
- Abgeschrägtes Dodekaeder - Artikel in der deutschen Wikipedia
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Abgeschrägtes Dodekaeder. In: MathWorld (englisch).
Einzelnachweise
- ↑ t ≈ 0,47157563
Tetraederstumpf · Kuboktaeder · Hexaederstumpf · Oktaederstumpf · Rhombenkuboktaeder · Kuboktaederstumpf · Ikosidodekaeder · Dodekaederstumpf · Ikosaederstumpf · Abgeschrägtes Hexaeder · Rhombenikosidodekaeder · Ikosidodekaederstumpf · Abgeschrägtes Dodekaeder
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