Parallelepiped

Ein von 3 Vektoren aufgespanntes Parallelepiped

Ein Parallelepiped (von griech. επίπεδον epipedon „Fläche“), auch Spat, Parallelflach oder Parallelotop genannt, ist ein geometrischer Körper, der von sechs paarweise kongruenten (deckungsgleichen) in parallelen Ebenen liegenden Parallelogrammen begrenzt wird. Es hat zwölf Kanten, von denen je vier parallel verlaufen und untereinander gleich lang sind, und acht Ecken, in denen diese Kanten in maximal drei verschiedenen Winkeln zueinander zusammenlaufen.

Volumen

Das Volumen $V$ des Parallelepipeds ist das Produkt der Grundfläche $G$ (Parallelogramm) und der Parallelepiped-Höhe $h$:

$G=|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|=|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\cdot \sin \gamma$

$h=|{\vec {c}}|\cdot |\cos \theta |$, wobei $\theta$ der Winkel zwischen ${\vec {c}}$ und der Normalen auf der Grundfläche ist.

$V=G\cdot h=|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|\;|{\vec {c}}|\;|\cos \theta |$

$=|({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}|\$

Das gemischte Produkt in der letzten Zeile ist das Spatprodukt der drei Vektoren.

Oberfläche

Der Flächeninhalt der gesamten Oberfläche ergibt sich aus der Summe der einzelnen Parallelogrammflächen:

$A_{O}=2\cdot \left(|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|+|{\vec {a}}\times {\vec {c}}|+|{\vec {b}}\times {\vec {c}}|\right)$

$=2(ab\sin \gamma +bc\sin \alpha +ca\sin \beta )\$.