Menge und Gasgesetze: Unterschied zwischen den Seiten

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[[Datei:Example of a set.svg|mini|Eine Menge von Polygonen]]
#WEITERLEITUNG [[Thermische Zustandsgleichung idealer Gase]]
 
Die '''Menge''' (von {{mhd|''manic''}} „viel“) ist heute eines der grundlegendsten Konzepte der [[Mathematik]]. Sie fasst eine endliche oder unendliche [[Anzahl]] beliebiger, wohlunterschiedener '''Elemente''' zu einer Gesamtheit zusammen, wobei es sich bei den Elementen ebenfalls um Mengen (Elementmengen) handeln kann. Der Mengenbegriff umfasst also nicht nur Mengen von einzelnen Elementen, sondern auch ''Mengen von Mengen''. Besteht die Menge aus genau zwei Mengen, spricht man von einer '''Paarmenge'''. Mengen werden häufig auch durch entsprechende [[Mengendiagramm]]e grafisch veranschaulicht.
 
== Grundlagen ==
 
Die '''Mengenlehre''' wurde in der Zeit von 1874 bis 1897 von [[Georg Cantor]] (1845-1918) begründet. Er definierte den [[Begriff]] „Menge“ wie folgt:
 
{{Zitat|Unter einer „Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen.|Georg Cantor<ref>Georg Cantor: ''Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre.'' In: ''[[Wikipedia:Mathematische Annalen|Mathematische Annalen]]'' 46 (1895), S. 481. [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN237853094&DMDID=DMDLOG_0069&LOGID=LOG_0069&PHYSID=PHYS_0295 Online].</ref>}}
 
Vereinbarungsgemäß werden die Elemente einer Menge entweder explizit oder durch eine geeignete Definition innerhalb geschwungener Klammern angegeben, z.B. für die abzählbar unendliche Menge der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] <math>\mathbb{N} = \{1; 2; 3; \ldots\}</math>. Eine Menge, die keine Elemente enthält, wird als [[leere Menge]] <math>\emptyset</math> oder auch <math>\{\}</math> bezeichnet. Wird bei einer Menge auch die Reihenfolge der Elemente berücksichtigt, spricht man von einer [[Folge (Mathematik)|Folge]].
 
=== Grundmenge ===
[[Datei:Set subsetAofB.svg|mini||''A'' ist eine (echte) '''Teilmenge''' von ''B''.]]
Die '''Grundmenge''', die auch als '''Universum''' <math>U</math> bezeichnet wird, umfasst die Menge aller im gegebenen Zusammenhang betrachteten Elemente und ist damit die Basis für alle weiteren Überlegungen.
 
=== Teilmenge ===
 
Cantor prägte auch den Begriff der '''Teilmenge''' oder ''Untermenge''. <math>A</math> ist eine '''Untermenge''' (Teilmenge) von <math>B</math> und <math>B</math> ist eine '''Obermenge''' von <math>A</math>, wenn jedes Element von <math>A</math> auch in <math>B</math> enthalten ist:
 
::<math>A \subseteq B \Longleftrightarrow B \supseteq A: \forall x \in A\colon x \in B</math>
 
Enthält <math>B</math> zudem weitere Elemente, die nicht in <math>A</math> enthalten sind, so ist <math>A</math> eine '''echte Teilmenge''' von <math>B</math> und <math>B</math> ist eine '''echte Obermenge''' von <math>A</math>.
 
[[#Disjunkte Mengen|Paarweise disjunkte]] Teilmengen einer Menge werden als [[#Partition|Partionen]] bezeichnet (siehe unten).
 
=== Mengensystem ===
 
Eine '''Mengensystem''' ist eine Menge, deren Elemente sämtlich Teilmengen einer gemeinsamen Grundmenge sind.
 
=== Schnittmenge ===
[[Datei:Venn0001.svg|mini|Schnittmenge <math>A \cap B </math>]]
Die '''Schnittmenge''' oder '''Durchschnittsmenge''' <math>\bigcap U</math> einer nichtleeren Menge von Mengen <math>U</math> ist die Menge aller Elemente, die in jeder Elementmenge von <math>U</math> enthalten sind. So gilt etwa für die aus den beiden Mengen <math>A</math> und <math>B</math> bestehende Paarmenge <math>U\,=\{A,B\}</math>:
 
:<math>\bigcap U := \bigcap_{a\in U} a = \{x \mid \forall a\in U : x\in a\} </math>
 
=== Vereinigungsmenge ===
[[Datei:Venn0111.svg|mini|Vereinigungsmenge <math>A \cup B </math>]]
Die '''Vereinigungsmenge''' <math>\bigcup U</math> einer nichtleeren Menge von Mengen <math>U</math> ist die Menge aller Elemente, die in mindestens einer Elementmenge von <math>U</math> enthalten sind, z.B.:
 
:<math> \bigcup \, \{A,B\} = \{ x \mid \left( x \in {A} \right) \lor \left( x \in {B} \right) \} =: {A}\cup{B} </math>
 
=== Potenzmenge ===
 
Als '''Potenzmenge''' <math>\mathcal P(X)</math> wird die Menge aller Teilmengen <math>U</math> einer gegebenen Grundmenge <math>X</math> bezeichnet:
 
:<math>\mathcal P(X) := \{ U \mid U \subseteq X \}</math>
 
=== Differenzmenge und Komplementärmenge ===
[[Datei:absolute complement.svg|thumb|Das absolute Komplement A<sup>C</sup> von A in U]]
Die '''Differenzmenge''' zweier Mengen <math>A</math> und <math>B</math> ist die Menge aller Elemente, die in <math>A</math>, aber nicht in <math>B</math> enthalten sind, d.h.:
 
::<math>A \setminus B := \{ x \mid \left( x\in A \right) \land \left( x\not\in B \right) \}</math>
 
Gilt dabei <math>B \subseteq A</math>, so wird die Differenzmenge auch als '''Komplementärmenge''' von <math>B</math> in <math>A</math> oder kurz als '''Komplement''' bezeichnet. Dabei wird zwischen einem '''relativem Komplement''' bezüglich beliebiger Teilmengen und einem '''absoluten Komplement''' bezüglich der Grundmenge <math>U</math> unterschieden.
 
=== Abzählbare Menge ===
 
Eine '''abzählbare Menge''' ist eine Menge mit einer '''abzählbaren''' Anzahl von Elementen. Eine [[endliche Menge]] enthält im Gegensatz zu einer [[Unendliche Menge|unendlichen Menge]] nur endlich viele Elemente. Ist eine Menge '''nicht abzählbar''', so bezeichnet man sie als '''überabzählbare Menge'''.
 
Eine Menge, die gleiche Mächtigkeit hat wie die [[Natürliche Zahlen|natürlichen Zahlen]] <math>\mathbb{N}</math> und folglich über [[unendlich]] viele Elemente verfügt, nennt man '''abzählbar unendlich'''. Endliche und abzählbar unendliche Mengen zusammen werden als '''höchstens abzählbare Mengen''' bezeichnet.
 
=== Mächtigkeit ===
 
Die [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] oder ''Kardinalität'' einer Menge wird durch die [[Kardinalzahl]] angegeben. Für endliche Menge ist sie gleich der [[Anzahl]] ihrer Elemente. Unendliche Mengen können unterschiedliche Mächtigkeiten haben, die durch den [[Hebräisches Alphabet|hebräischen Buchstaben]] <math>\aleph</math> und einen Index bezeichnet werden. Für die abzählbar unendliche Menge der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]], die unter den unendlichen Mengen die geringste Mächtigkeit haben, schreibt man entsprechend <math>\aleph_0</math>. Die ''überabzählbare'' unendliche Menge der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] hat unter Annahme der [[Kontinuumshypothese]]<ref>Die Kontinuumshypothese besagt, dass es keine Menge gibt, deren Mächtigkeit zwischen der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen und der Mächtigkeit der reellen Zahlen liegt. Diese Hypothese hat sich aber als ''[[unentscheidbar]]'' erwiesen.</ref> die Mächtigkeit <math>\aleph_1</math>, andernfalls gilt zumindest <math>\aleph_1 \le \left\vert\mathbb{R}\right\vert</math>.
 
== Punktmenge ==
 
In der [[Geometrie]] werden verschieden dimensionale [[Raum (Mathematik)|Räume]], wie die [[eindimensional]]e [[Linie]], die [[2D|zweidimensionale]] Ebene oder der [[3D|dreidimensionale]] Raum, traditionell als '''Punktmengen''' bezeichnet.
 
== Offene Menge und abgeschlossene Menge ==
 
Eine '''offene Menge''' enthält keine Randelemente. Die Elemente einer offenen Menge <math>U</math> sind daher nur von Elementen dieser Menge und von keinen äußeren Elementen umgeben, d.h.:
 
:<math>\forall x \in U</math> gibt es eine reelle Zahl <math>\varepsilon > 0</math>, sodass jeder Punkt <math>y</math> des <math>n</math>-dimensionalen [[euklidischer Raum|euklidischen Raums]] <math>\mathbb R^n</math>, dessen [[Abstand]] zu <math>x</math> kleiner ist als <math>\varepsilon</math>, in <math>U</math> liegt.
 
Andernfalls handelt es sich um eine '''abgeschlossene Menge'''.
 
== Disjunkte Mengen ==
[[Datei:Disjunkte Mengen.svg|miniatur|Zwei disjunkte Mengen]]
 
Zwei Mengen <math>A</math> und <math>B</math> heißen '''disjunkt''', wenn sie kein gemeinsames Element besitzen, d.h. wenn ihre Schnittmenge leer ist:
 
: <math>A\cap B=\emptyset</math>
 
So sind beispielsweise die Mengen <math>A = \{1, 7, 12\}</math> und <math>B = \{3, 5, 9\}</math> ''disjunkt'', da sie kein gemeinsames Element haben. Die Mengen <math>A = \{1, 7, 12\}</math> und <math>B = \{3, 7, 9\}</math> sind hingegen ''nicht disjunkt'', da sie das Element <math>7</math> gemeinsam haben.
 
Mehrere Mengen sind '''paarweise disjunkt''', wenn beliebige Paare von ihnen disjunkt sind.
 
=== Partition ===
 
Als '''Partition''' <math>P</math> einer Menge <math>M</math> wird deren '''Zerlegung''' in paarweise disjunkte [[Leere Menge|nichtleere]] Teilmengen bezeichnet.
 
Gegeben sei beispielsweise die Menge <math>M = \{1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}</math>; dann ist <math>P = \{ \{ 1, 5, 9 \}, \{ 2, 3 \}, \{4, 6, 7 \}, \{8\} \}</math> eine Partition der Menge <math>M</math>.
 
Die Anzahl der möglichen Partitionen einer Menge <math>M_n</math> mit <math>n</math> Elementen wird durch die nach dem Mathematiker und [[Science-Fiction]]-Autor [[w:Eric Temple Bell|Eric Temple Bell]] (Pseudonym: [[w:John Taine|John Taine]]; 1883-1960) benannte '''Bellsche Zahl''' (auch: '''Bellzahl''' oder '''Exponentialzahl''') <math>B_n</math> angegeben. Die [[leere Menge]] hat dabei definitionsgemäß genaue eine Partition, welche die leere Menge selbst ist; daher ist <math>B_0 = 1</math>. Für die Bellschen Zahlen gilt folgende [[Rekursion]]sformel:
 
:<math>B_{n+1} = \sum_{k=0}^{n}{{n \choose k}B_k} = \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!} \cdot B_k </math>
 
Für die Bellschen Zahlen, beginnend mit <math>B_0</math>, ergibt sich daher die rasch anwachsende [[Folge (Mathematik)|Zahlenfolge]] : <math>1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, 678570, \ldots</math>
 
== Siehe auch ==
 
* [[Mengenlehre]]
* {{WikipediaDE|Menge (Mathematik)}}
 
== Einzelnachweise ==
 
<references />
 
[[Kategorie:Mengenlehre]]

Aktuelle Version vom 15. August 2019, 16:06 Uhr

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