Elektrostatik

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Styropor-Polstermaterial wird vom Fell einer Katze elektrostatisch angezogen.
Blitze als Folge von elektrostatischer Aufladung

Die Elektrostatik ist das Teilgebiet der Physik, das sich mit ruhenden elektrischen Ladungen, Ladungsverteilungen und den elektrischen Feldern geladener Körper befasst.

Die Phänomene der Elektrostatik rühren von den Kräften her, die elektrische Ladungen aufeinander ausüben. Diese Kräfte werden vom coulombschen Gesetz beschrieben. Ein klassisches Beispiel ist, dass geriebener Bernstein Teilchen anzieht (siehe Geschichte). Auch wenn die Kräfte klein erscheinen, ist die elektrische Kraft z. B. im Vergleich zur Gravitation außerordentlich stark. So ist die elektrische Kraft zwischen einem Elektron und einem Proton (beide bilden zusammen ein Wasserstoffatom) um ungefähr 40 Größenordnungen größer als ihre gegenseitige Massenanziehung.

Die Elektrostatik ist ein Spezialfall der Elektrodynamik für unbewegte elektrische Ladungen und stationäre, d. h. zeitlich gleichbleibende elektrische Felder. Die Elektrostatik findet ihr Analogon in der Magnetostatik, die sich mit stationären Magnetfeldern befasst, wie sie beispielsweise von zeitlich gleichbleibenden elektrischen Strömen erzeugt werden.

Geschichte

Schon im Altertum war bekannt, dass bestimmte Materialien wie beispielsweise Bernstein nach dem Reiben mit einem Tuch oder Fell kleine leichte Teilchen anziehen (siehe Reibungselektrizität). William Gilbert setzte die Arbeiten von Petrus Peregrinus aus dem 13. Jahrhundert fort und fand heraus, dass auch andere Stoffe durch Reibung elektrisiert werden können und entwickelte das Versorium, eine frühe Bauform eines Elektroskops.[1] Er führte in seinem 1600 erschienenen Buch De Magnete, Magnetisque Corporibus, et de Magno Magnete Tellure (deutsch etwa: Über den Magneten, Magnetische Körper und den großen Magneten Erde) den dem Neulateinischen entlehnten Begriff „electrica“ für die Erscheinungen ein, die er im Zusammenhang mit dem Bernstein entdeckte, „elektron“ stammt vom griechischen Wort für Bernstein.[2]

Übersicht

Die von einer gegebenen Ladung Q auf ein Objekt ausgeübte Kraft ist proportional zur Ladung q des Objektes. Sie lässt sich also durch die Gleichung LaTeX: F =q \cdot E beschreiben; E ist die Feldstärke des die Ladung Q begleitenden elektrischen Feldes.

Von einem äußeren elektrischen Feld werden in elektrischen Leitern und Isolatoren unterschiedliche Effekte hervorgerufen. Die freien elektrischen Ladungen in Leitern, z. B. die Leitungselektronen der Metalle, verschieben sich makroskopisch solcherart, dass das elektrische Feld im gesamten Inneren des Leiters verschwindet (siehe faradayscher Käfig). Dieses Phänomen wird Influenz genannt. Andererseits reagieren die lokal gebundenen Ladungen in einem Isolator, also die Elektronen und Kerne der Atome, durch eine gegenseitige Verschiebung, wodurch der Isolator polarisiert wird.

Das von einem elektrostatischen Feld E auf eine Probeladung q wirkende Kraftfeld F ist konservativ, das heißt, dass die potentielle Energie W der Probeladung im elektrostatischen Feld nur abhängig ist von der Position x der Probeladung, nicht aber vom Weg, auf dem die Probeladung nach x bewegt wurde. Das bedeutet auch, dass sich das elektrostatische Feld als Gradient eines elektrischen Potentials LaTeX:  \phi darstellen lässt. Die potentielle Energie einer Probeladung im Potential ist also LaTeX: W = q \cdot \phi. Die Differenz zweier elektrischer Potentiale entspricht der elektrischen Spannung. Das Verschwinden des elektrischen Feldes, LaTeX: E = 0, ist gleichbedeutend mit räumlich konstantem elektrischen Potential LaTeX: \phi = konst.

Das Feld und damit auch das Potential einer beliebigen Ladungsverteilung in einem homogenen Isolator lässt sich leicht anhand der aus dem coulombschen Gesetz abgeleiteten Gesetzmäßigkeiten berechnen. (Das Feld in einem Leiter verschwindet.) Eine solche Berechnung ist bei räumlichen Anordnungen von Leitern, Nichtleitern und Ladungen nur in wenigen Fällen einfach.

Das elektrische Feld

Hauptartikel: Elektrisches Feld
Illustration des elektrischen Feldes und der Äquipotentialflächen um eine positive Ladung im Raum
Feldlinien einer positiv geladenen, unendlich ausgedehnten Ebene

Für den elektrostatischen Spezialfall stationärer magnetischer Felder (LaTeX: \dot{\vec{B}}=0) und verschwindender elektrischer Ströme (LaTeX: \vec{j}=0) folgt aus dem coulombschen Gesetz und der Definition des elektrischen Feldes LaTeX: \vec{E}=\vec{F}/Q für das von einer Punktladung Q am Ort LaTeX: \vec{x'} erregte elektrische Feld LaTeX: \vec{E} am Ort LaTeX: \vec{x}

LaTeX: \vec{E}(\vec{x}) = k Q\frac{\vec x-\vec{x}'}{\left\|\vec{x}-\vec{x}'\right\|^3}

Das elektrische Feld ist ein gerichtetes Vektorfeld. Für eine positive Ladung ist es genau von der Ladung weg, für eine negative Ladung zur Ladung hin gerichtet, was gleichbedeutend ist mit der Abstoßung gleichnamiger und der Anziehung entgegengesetzter Ladungen. Seine Stärke ist proportional zur Stärke der Ladung Q und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands von Q. Der Proportionalitätsfaktor k (siehe Dielektrizitätskonstante) ist die Coulomb-Konstante LaTeX: k = 1/(4 \pi \varepsilon_0) im SI-Einheitensystem und LaTeX: k = 1 im gaußschen Einheitensystem.

Das Maß der elektrischen Feldstärke in SI-Einheiten ist

LaTeX: [E]_{\mathrm{SI}}=\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{m}}</dd></dl>
<p>=\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}
=\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{s}^3\cdot\mathrm{A}}

Das von einer Menge an Ladungen, Qi, erregte Feld ist die Summe der Teilbeiträge (Superpositionsprinzip)

LaTeX: \vec E(\vec x) = k \sum_i {Q_i\frac{\vec x-\vec{x}_i}{\left\|\vec x-\vec{x}_i\right\|^3}}

Oder im Fall einer kontinuierlichen Raumladungsverteilung, ρ, das Integral

LaTeX: \vec E(\vec x) = k \int {\rho(\vec{x}')\frac{\vec x-\vec{x}'}{\left\|\vec x-\vec{x}'\right\|^3}}d^3x'

Das gaußsche Gesetz beschreibt, dass der Fluss des elektrischen Feldes durch eine geschlossene Oberfläche A proportional zur Stärke der von der Oberfläche umschlossenen Ladung Q ist

LaTeX: \int \vec{ E } \cdot d\vec{A} \sim Q = \int \rho dV

Der gaußsche Integralsatz verknüpft Fluss und Divergenz eines Vektorfeldes:

LaTeX: \int \vec{ E } \cdot d \vec{A} = \int \nabla \cdot \vec{E} dV

woraus folgt, dass die Divergenz des elektrischen Feldes proportional zur Raumladungsdichte ist:

LaTeX:  \nabla \cdot \vec{ E } \sim \rho

Ein konservatives elektrisches Feld kann durch den Gradienten eines skalaren elektrischen Potentials LaTeX:  \phi beschrieben werden

LaTeX:  \vec{ E } = - \nabla \phi

Woraus die Poisson-Gleichung folgt:

LaTeX:  \rho \sim \nabla \cdot \vec{ E } = - \nabla (\nabla \phi) = - \Delta \phi

Potential und Spannung

Da eine elektrische Ladung im elektrischen Feld eine Kraft erfährt, wird bei ihrer Bewegung durch das elektrische Feld Arbeit verrichtet, bzw. es muss Arbeit verrichtet werden, um die Ladung gegen das elektrische Feld zu bewegen. Aus den Maxwell-Gleichungen (genauer dem Induktionsgesetz) folgt mit LaTeX: B=\dot{B}=0, dass elektrostatische Felder wirbelfrei sind. Im konservativen Feld hängt die benötigte Energie nur vom Start- und Zielort ab, nicht vom genauen Weg. „Wirbelfrei“ heißt, dass die Rotation eines Vektorfeldes null ist (auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet):

LaTeX: \operatorname{rot} \vec E = 0 \leftrightarrow \oint \vec E \cdot d \vec s = 0

Somit lässt sich eine potentielle Energie der Ladung definieren. Da die Kraft proportional zur Ladung ist, gilt dies auch für die potentielle Energie. Daher kann man die potentielle Energie als Produkt der Ladung und eines Potentials, welches sich aus dem elektrischen Feld ergibt, berechnen.

Die Potentialdifferenz LaTeX: U=\Delta\phi zwischen zwei Punkten bezeichnet man als elektrische Spannung. Das Produkt aus der Ladung eines Teilchens und der Spannung zwischen zwei Punkten ergibt die Energie, die man benötigt, um das Teilchen von einem Punkt zum anderen zu bringen. Die Einheit des elektrischen Potentials und der elektrischen Spannung ist Volt. Gemäß der Definition von Potential und Spannung gilt Volt = Joule/Coulomb.

Das Potential berechnet sich wie folgt:

LaTeX: \phi=-\int \vec{E} \cdot d \vec s

Die Integrationsgrenzen ergeben sich aus der Wahl des Nullniveaus. Oft wird dies willkürlich in unendlicher Entfernung festgelegt. Eine Punktladung LaTeX: Q, die sich am Ort LaTeX: \vec x\,' befindet, verursacht am Ort LaTeX: \vec x das Potential:

LaTeX: \phi(\vec x)= k Q\frac{1}{\left\|\vec x-\vec{x}\,'\right\|}

Im Fall einer kontinuierlichen Raumladungsverteilung ist das elektrische Potential durch das folgende Integral gegeben:

LaTeX: \phi(\vec x)= k \int {\frac{\rho(\vec{x}\,')}{\left\|\vec x-\vec{x}\,'\right\|}}d^3x'

Ist es nicht möglich, eine analytische Lösung des Integrals zu finden, so kann man LaTeX: 1/||\vec x-\vec{x}\,'|| in eine Potenzreihe entwickeln, siehe Multipolentwicklung oder bei Legendre-Polynom.

Das Konzept der Spannung stößt an seine Grenzen, wenn dynamische Vorgänge auftreten. Für veränderliche Magnetfelder lässt sich zwar noch eine Induktionsspannung definieren, jedoch ist diese nicht mehr über eine Potentialdifferenz definierbar. Auch ist die für eine Bewegung der Ladung von einem Punkt zum anderen benötigte Energie nur so lange gleich der Potentialdifferenz zwischen den Punkten, wie die Beschleunigung vernachlässigbar klein ist, da nach der Elektrodynamik beschleunigte Ladungen elektromagnetische Wellen aussenden, die ebenfalls in der Energiebilanz berücksichtigt werden müssen.

Energie des elektrischen Feldes

In einem Plattenkondensator besteht ein näherungsweise homogenes Feld. Ist die Ladung der einen Platte LaTeX: Q und die der anderen Platte entsprechend LaTeX: -Q, und beträgt die Größe einer Plattenfläche LaTeX: A, so ergibt sich das LaTeX: \vec{E}-Feld betragsmäßig zu

LaTeX: E = \frac{Q}{\varepsilon_0 A}, wobei LaTeX: \varepsilon_0 die elektrische Feldkonstante ist.

Ist der konstante Plattenabstand LaTeX: d, und bringt man eine infinitesimal kleine Ladung LaTeX: \mathrm{d}Q von der einen auf die andere Platte, so muss gegen das elektrische Feld die infinitesimale Arbeit LaTeX: \mathrm{d}W mit dem Betrag

LaTeX: \mathrm{d}W = \mathrm{d}F\cdot d = E\cdot\mathrm{d}Q\cdot d

verrichtet werden. Der Energieerhaltung wegen muss diese Arbeit zu einer Erhöhung der Energie des Kondensators führen. Diese kann aber nur im elektrischen Feld stecken. Durch den Ladungsübertrag erhöht sich die Feldstärke um betragsmäßige

LaTeX: \mathrm{d}E = \frac{\mathrm{d}Q}{\varepsilon_0 A}.

Auflösen nach LaTeX: \mathrm{d}Q und Einsetzen in die Arbeit ergibt

LaTeX: \mathrm{d}W = \varepsilon_0\cdot A\cdot d\cdot E \cdot\mathrm{d}E.

Nun ist aber LaTeX: V=A\cdot d gerade das Volumen des Plattenkondensators, in dem sich das komplette E-Feld befindet (im idealen Plattenkondensator lässt sich zeigen, dass das E-Feld außerhalb des Plattenkondensators verschwindet, d. h. dort ist LaTeX: \vec{E}=0). Aufintegrieren und Teilen durch LaTeX: V ergibt die Energiedichte

LaTeX: \varrho_{el} = \frac{W}{V} = \frac{1}{2} \cdot \frac{C \cdot U^{2}}{A \cdot d} = \frac{1}{2}\,\varepsilon_0 E^2 = \frac{1}{2} D E,

wobei LaTeX: D die dielektrische Verschiebung ist.

Siehe auch

Literatur

Weblinks

 Wiktionary: Elektrostatik – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Commons-logo.png Commons: Elektrostatik - Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema
 Wikibooks: Elektrostatik – Lern- und Lehrmaterialien
 Wikibooks: Formelsammlung Elektrostatik – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise

  1.  Károly Simonyi: Kulturgeschichte der Physik. Harri Deutsch, Thun, Frankfurt am Main 1995, ISBN 3-8171-1379-X, S. 320–330.
  2.  Hans-Peter Sang: Geschichte der Physik. Band 1, Klett, Stuttgart 1999, ISBN 3-12-770230-2, S. 48–56.


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