imported>Joachim Stiller |
imported>Joachim Stiller |
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| Diese '''Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen''' ([[Integraltafel]]) gibt eine Übersicht über [[Differentialrechnung|Ableitung]]sfunktionen und [[Stammfunktion]]en, die in der [[Differentialrechnung|Differential-]] und [[Integralrechnung]] benötigt werden.
| | ''WA Inhalte für Überarbeitung'' (Arbeitsversion) |
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| ==Tabelle einfacher Ableitungs- und Stammfunktionen (Grundintegrale)==
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| Diese Tabelle ist zweispaltig aufgebaut. In der linken Spalte steht eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], in der rechten Spalte eine Stammfunktion dieser Funktion. Die Funktion in der linken Spalte ist somit die [[Differentialrechnung|Ableitung]] der Funktion in der rechten Spalte.
| | '''Einleitung'''.....................................................................................................................fertig |
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| ''Hinweise'': | | '''Begriffs- und Bedeutungsgeschichte'''..........................................................................fertig |
| * Wenn <math>F</math> eine Stammfunktion von <math>f</math> ist und <math>C</math> eine beliebige reelle Zahl (Konstante), dann ist auch <math>F(x) + C</math> eine Stammfunktion von <math>f</math>. Zum Beispiel ist auch <math>F(x) = \tfrac12 x^2+5</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)=x</math>. Ist der Definitionsbereich von <math>f</math> ein Intervall, so erhält man auf diese Art alle Stammfunktionen. Besteht der Definitionsbereich von <math>f</math> aus mehreren Intervallen, so kann die additive Konstante auf jedem der Intervalle getrennt gewählt werden. Die additive Konstante <math>C</math> wird aus Gründen der Übersichtlichkeit in der Tabelle nicht aufgeführt.
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| * Weiterhin gilt: Falls <math>F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x)</math> ist, so ist aufgrund der [[Linearität]] des Integrals <math>a\cdot F(x)</math> eine Stammfunktion von <math>a\cdot f(x)</math>.
| |
| * Ebenso gilt: Sind <math>F(x)</math> und <math>G(x)</math> Stammfunktionen von <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math>, so ist <math>F(x) + G(x)</math> eine Stammfunktion von <math>f(x) + g(x)</math>.
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| === Potenz- und Wurzelfunktionen ===
| | '''Steiner über die Weltanschauungen''' |
| {| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;"
| |
| |-- class="hintergrundfarbe6"
| |
| !Funktion <math>f(x)</math>
| |
| !Stammfunktion <math>F(x)</math>
| |
| |-
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| | <math>0\;</math>
| |
| | <math>0\;</math> <!-- siehe die obigen Hinweise -->
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| |-
| |
| | <math>k\;(k\in\R)</math>
| |
| | <math>kx\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>x^n\;</math>
| |
| | <math>\left\{\begin{matrix} \frac{1}{n+1}x^{n+1} & \mbox{wenn }n\neq-1 \\ \ln \left| x \right| & \mbox{wenn } n=-1 \end{matrix}\right.</math>
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| |-
| |
| | <math>nx^{n-1} \;</math>
| |
| | <math>x^n\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>x\;</math>
| |
| | <math>\tfrac12 x^2\;</math>
| |
| |-
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| | <math>2x\;</math>
| |
| | <math>x^2\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>x^2\;</math>
| |
| | <math>\tfrac13 x^3\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\sqrt x\;</math>
| |
| | <math>\tfrac23 x^\tfrac32\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\sqrt[n]{x}\;</math>
| |
| | <math>\frac{n}{n+1}(\sqrt[n]{x})^{n+1} \mbox{ wenn } n\neq-1\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>3x^2\;</math>
| |
| | <math>x^3\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\frac1{\sqrt{x}}\;</math>
| |
| | <math>2\sqrt{x}\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\frac{1}{n (\sqrt[n]{x^{n-1}})}\;</math>
| |
| | <math>\sqrt[n]{x}\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>-\frac{2}{x^3}\;</math>
| |
| | <math>\frac{1}{x^2}\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>-\frac{1}{x^2}\;</math>
| |
| | <math>\frac{1}{x}\;</math>
| |
| |-
| |
| |}
| |
|
| |
|
| === Exponential- und Logarithmusfunktionen ===
| | '''Die zwölf Weltanschauungen'''......................................................................................xxx |
| {| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;"
| |
| |-- class="hintergrundfarbe6"
| |
| !Funktion <math>f(x)</math>
| |
| !Stammfunktion <math>F(x)</math>
| |
| |-
| |
| | <math>e^x\;</math>
| |
| | <math>e^x\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>e^{kx}\;</math>
| |
| | <math>\frac{1}{k}e^{kx}\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>a^x\ln a\;(a>0)</math>
| |
| | <math>a^x\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>a^x\;</math>
| |
| | <math>\frac{a^x}{\ln a}\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>x^x(1+\ln(x))\;</math>
| |
| | <math>x^x\;</math> <math>(x >0)\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>e^{x \ln \left| x \right|}(\ln \left| x \right| + 1)\;</math>
| |
| | <math>\left| x \right|^x = </math> <math> e^{x \ln \left| x \right|} \; (x\neq 0)</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\frac{1}{x}\;</math>
| |
| | <math>\ln \left| x \right| \;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>x^n\ln x\;</math>
| |
| | <math>\frac{x^{n+1}}{n+1}\left(\ln x - \frac{1}{n+1}\right)\,,\quad n\geq0</math>
| |
| |-
| |
| | <math>u'(x) \ln u(x)\;</math>
| |
| | <math>u(x) \ln u(x) - u(x)\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\frac{1}{x}\ln^{n}x \;\;(n\neq-1)\;</math>
| |
| | <math>\frac{1}{n+1}\ln^{n+1}x\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\frac{1}{x}\ln{x^n} \;\; (n\neq0)\;</math>
| |
| | <math>\frac{1}{2n}\ln^2{x^n} = \frac{n}2\ln^2 x\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\frac{1}{x}\frac{1}{\ln a}\;</math>
| |
| | <math>\log_a x\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\frac{1}{x\ln x}\;</math>
| |
| | <math>\ln\left| \ln x \right| \;</math> <math> (x > 0, x \ne 1)\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\log_a x\;</math>
| |
| | <math>\frac{1}{\ln a}(x\ln x -x)\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\sqrt{a^2 - x^2}</math>
| |
| | <math>\frac{a^2}{2} \arcsin \left(\frac{x}{a} \right) + \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} \; </math>
| |
| |-
| |
| | <math>\sqrt{a^2 + x^2}</math>
| |
| | <math>\frac{a^2}{2} \operatorname{arsinh} \left(\frac{x}{a} \right) + \frac{x}{2} \sqrt{a^2 + x^2} \;</math>
| |
| |}
| |
|
| |
|
| === Trigonometrische Funktionen und Hyperbelfunktionen ===
| | '''Die Weltanschauungen durch die Epochen''' |
| {| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;"
| |
| |-- class="hintergrundfarbe6"
| |
| !Funktion <math>f(x)</math>
| |
| !Stammfunktion <math>F(x)</math>
| |
| |-
| |
| | <math> \sin x\;</math>
| |
| | <math>-\cos x\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math> \cos x\;</math>
| |
| | <math> \sin x\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math> \sin^2 x\;</math>
| |
| | <math>\tfrac12 (x-\sin x\cdot\cos x)\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\cos^2 x\;</math>
| |
| | <math>\tfrac12 (x+\sin x\cdot\cos x)\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\sin(k x)\,\cos(k x)\;</math>
| |
| | <math> -\frac{1}{4k}\cos (2kx) \,\!</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\sin(k x)\,\cos(k x)\;</math>
| |
| | <math>\frac{1}{2k} \sin^{2}(k x)</math>
| |
| |-
| |
| | <math> \tan x\;</math>
| |
| | <math>-\ln|\cos x|\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\cot x\;</math>
| |
| | <math>\ln|\sin x|\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\frac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x\;</math>
| |
| | <math>\tan x\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\frac{-1}{\sin^2 x}=-(1+\cot^2 x)\;</math>
| |
| | <math>\cot x\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\arcsin x\;</math>
| |
| | <math>x\arcsin x +\sqrt {1-x^2}\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\arccos x\;</math>
| |
| | <math>x\arccos x -\sqrt {1-x^2}\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\arctan x\;</math>
| |
| | <math>x \arctan x -\tfrac12 \ln \left(1+x^2 \right)\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\arccot x\;</math>
| |
| | <math>x \arccot x +\tfrac12 \ln \left(1+x^2 \right)\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\;</math>
| |
| | <math>\arcsin x\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\;</math>
| |
| | <math>\arccos x\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\frac {1} {x^2+1}\;</math>
| |
| | <math>\arctan x\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\frac {x^2} {x^2+1}\;</math>
| |
| | <math>x - \arctan x\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\frac {1} {(x^2+1)^2}\;</math>
| |
| | <math>\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x^2+1}+\arctan x\right)\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\sinh x\;</math>
| |
| | <math>\cosh x\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\cosh x\;</math>
| |
| | <math>\sinh x\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\tanh x\;</math>
| |
| | <math>\ln \cosh x\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\coth x\;</math>
| |
| | <math>\ln|\sinh x|\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\frac{1}{\cosh^2 x} =1-\tanh^2 x\;</math>
| |
| | <math>\tanh x\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\frac{-1}{\sinh^2 x} =1-\coth^2 x\;</math>
| |
| | <math>\coth x\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\operatorname{arsinh}\;x\;</math>
| |
| | <math>x\;\operatorname{arsinh}\;x -\sqrt{x^2+1}\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\operatorname{arcosh}\;x\;</math>
| |
| | <math>x\;\operatorname{arcosh}\;x -\sqrt{x^2-1}\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\operatorname{artanh}\;x\;</math>
| |
| | <math>x\;\operatorname{artanh}\;x +\frac{1}{2}\ln{\left(1-x^2\right)}\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\operatorname{arcoth}\;x\;</math>
| |
| | <math>x\;\operatorname{arcoth}\;x +\frac{1}{2}\ln{\left(x^2-1\right)}\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\frac{1}{\sqrt {x^2+1}}\;</math>
| |
| | <math>\operatorname{arsinh}\;x\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\frac{1}{\sqrt {x^2-1}}\;,\;x>1</math>
| |
| | <math>\operatorname{arcosh}\;x\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\frac{1}{1-x^2}\;,\;\left| x \right|<1</math>
| |
| | <math>\operatorname{artanh}\;x\;</math>
| |
| |-
| |
| | <math>\frac{1}{1-x^2}\;,\;\left| x \right|>1</math>
| |
| | <math>\operatorname{arcoth}\;x\;</math>
| |
| |}
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|
| === Sonstige ===
| | '''Der Mensch und die Weltanschauungen''' |
| {| class="wikitable" style="background-color:#FFFFFF;"
| |
| |-- class="hintergrundfarbe6"
| |
| !Funktion <math>f(x)</math>
| |
| !Stammfunktion <math>F(x)</math>
| |
| |-
| |
| | <math>e^{-x^2}</math>
| |
| | <math>\frac{\sqrt{\pi}}{2}\;\operatorname{erf} x</math>
| |
| |-
| |
| | <math>e^{-a x^2 + b x + c}</math>
| |
| | <math>\frac{\sqrt{\pi}}{2 \sqrt{a}}\;e^{\frac{b^2}{4 a} + c}\;\operatorname{erf}\left(\sqrt{a}\;x - \frac{b}{2 \sqrt{a}}\right)</math>
| |
| |-
| |
| |<math>\frac {u'(x)} {u(x)}</math>
| |
| |<math>\ln \left| u(x) \right| \,</math>
| |
| |-
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| |<math> u'(x) \cdot u(x)</math>
| |
| |<math> \tfrac12 (u(x))^2 </math>
| |
| |-
| |
| | <math>u'(x)\cdot (u(x))^n\;</math>
| |
| | <math>\frac{1}{n+1}(u(x))^{n+1}\;</math>
| |
| |}
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| == Rekursionsformeln für weitere Stammfunktionen==
| | '''Weltanschauungsstimmungen''', '''Seelentöne''', '''Anthropomorphismus'''.......................xxx |
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| :<math>\int\frac{1}{(x^2+1)^n}\, \mathrm d x =
| | '''Problematik''' |
| \frac{1}{2n-2}\cdot\frac{x}{(x^2+1)^{n-1}}
| |
| + \frac{2n-3}{2n-2} \cdot \int\frac{1}{(x^2+1)^{n-1}}\, \mathrm d x,\quad n\geq 2</math>
| |
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| |
|
| :<math>\int\sin^n(x)\mathrm d x =
| | '''Kritik''' |
| \frac{n-1}{n}\int\sin^{n-2}(x)\mathrm d x -\frac{1}{n}\cos(x)\sin^{n-1}(x),\quad n\geq 2</math>
| |
|
| |
|
| :<math>\int\cos^n(x)\mathrm d x =
| | '''Siehe auch''' ....................................................................................................................fertig |
| \frac{n-1}{n}\int\cos^{n-2}(x)\mathrm d x +\frac{1}{n}\sin(x)\cos^{n-1}(x),\quad n\geq 2</math>
| |
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|
| == Siehe auch ==
| | '''Literatur'''..........................................................................................................................fertig |
| * {{WikipediaDE|Tabelle von Ableitungs- und Stammfunktionen}}
| |
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| |
|
| == Weblinks ==
| | '''Einzelnachweise''' |
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|
| {{Wikibooks|Formelsammlung Mathematik#Analysis|unbestimmte Integrale in der Formelsammlung Mathematik }}
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|
| [[Kategorie:Liste (Mathematik)|Ableitungs- und Stammfunktionen]]
| | Möglicher ergänzender, separater Artikel: '''WA in phil. Verständnis''' |
| [[Kategorie:Integralrechnung]]
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| {{Wikipedia}}
| | In Verbindung mit Zitaten aus folgenden Werken, zur Begriffsherleitung: |
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| | |
| | Immanuel Kant "Kritik der Urteilskraft" |
| | |
| | Martin Heidegger "Holzwege" |
| | |
| | Karl Jaspers "Philosophie der Weltanschauungen" |
| | |
| | Sigmund Freud, Bd.1 Ges. Werke Bd.1 "Vorlesungen zur Einführung in die Psychoanalyse und Neue Folge" |
| | |
| | Wilhelm Dilthey, Ges. Schriften, Bd.8 "Weltanschauungslehre: Abhandlungen zur Philosophie der Philosophie" |
| | |
| | Wilhelm Dilthey, Ges. Schriften, Bd.2 "Weltanschauung und Analyse des Menschen seit Renaissance und Reformation" |
| | |
| | Meyer, Max H. "Die Weltanschauung des Zentrums in ihren Grundlinien" (Perspektive auf den Begriff aus dem Nationalsozialismus) |
| | |
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| | : Steinerschüler, mach den Artikel doch mal "hier" vertig... Ich gebe Dir mal einen Link vor.. Da kannst Du es meinetwegen in Ruhe ausarbeite... Ist das ein Wort? |
| | |
| | :[[Weltanschauung (Anthroposophie)]] |
| | |
| | :Dann leg mal los... Ich schau zu... |
| | |
| | :[[Benutzer:Joachim Stiller|Joachim Stiller]] ([[Benutzer Diskussion:Joachim Stiller|Diskussion]]) 18:00, 17. Dez. 2020 (UTC) |
WA Inhalte für Überarbeitung (Arbeitsversion)
Einleitung.....................................................................................................................fertig
Begriffs- und Bedeutungsgeschichte..........................................................................fertig
Steiner über die Weltanschauungen
Die zwölf Weltanschauungen......................................................................................xxx
Die Weltanschauungen durch die Epochen
Der Mensch und die Weltanschauungen
Weltanschauungsstimmungen, Seelentöne, Anthropomorphismus.......................xxx
Problematik
Kritik
Siehe auch ....................................................................................................................fertig
Literatur..........................................................................................................................fertig
Einzelnachweise
Möglicher ergänzender, separater Artikel: WA in phil. Verständnis
In Verbindung mit Zitaten aus folgenden Werken, zur Begriffsherleitung:
Immanuel Kant "Kritik der Urteilskraft"
Martin Heidegger "Holzwege"
Karl Jaspers "Philosophie der Weltanschauungen"
Sigmund Freud, Bd.1 Ges. Werke Bd.1 "Vorlesungen zur Einführung in die Psychoanalyse und Neue Folge"
Wilhelm Dilthey, Ges. Schriften, Bd.8 "Weltanschauungslehre: Abhandlungen zur Philosophie der Philosophie"
Wilhelm Dilthey, Ges. Schriften, Bd.2 "Weltanschauung und Analyse des Menschen seit Renaissance und Reformation"
Meyer, Max H. "Die Weltanschauung des Zentrums in ihren Grundlinien" (Perspektive auf den Begriff aus dem Nationalsozialismus)
- Steinerschüler, mach den Artikel doch mal "hier" vertig... Ich gebe Dir mal einen Link vor.. Da kannst Du es meinetwegen in Ruhe ausarbeite... Ist das ein Wort?
- Weltanschauung (Anthroposophie)
- Dann leg mal los... Ich schau zu...
- Joachim Stiller (Diskussion) 18:00, 17. Dez. 2020 (UTC)
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biodyn.wiki und 
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