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Schlangenförmige Verwerfung der Magnetfeldlinien in der Gegend von Ceylon ([[GA 171]], 6. Vortrag]
{{Doppeltes Bild|rechts|Vector-addition-and-scaling.svg|200|CoordsXYZ.JPG|200|Schematische Darstellung der Vektoraddition und der Multiplikation mit einem Skalar: Der Vektor '''v''' (blau) wird zu einem anderen Vektor '''w''' addiert (rot, unten). Oben wird '''w''' um einen Faktor 2 gestreckt, das Ergebnis ist die Summe {{nowrap|'''v''' + 2·'''w.'''}}|Ein Koordinatenvektor (x,y,z) als Ortsvektor im dreidimensionalen reellen Koordinatenraum}}
 
Ein '''Raum''' ist in der [[Mathematik]] als [[Abstraktion|abstrakte]] Verallgemeinerung des uns gewohnten [[Anschauungsraum]]s als eine [[Menge (Mathematik)|Menge]] [[Mathematisches Objekt|mathematischer Objekte]] mit einer [[Mathematische Struktur|mathematischen Struktur]] definiert. Auf die Anschaulichkeit wird dabei verzichtet.
 
== Vektorraum ==
Ein '''Vektorraum''' besteht aus einer Menge von mathematischen Objekten, die '''Vektoren''' (von [[lat.]] ''vector'' „Träger, Fahrer“) genannt werden und addiert, subtrahiert oder mit einem [[Skalar]] (z.B. einer [[Zahl]]) multipliziert werden können, sodass der daraus resultierende Vektor wiederum ein Element desselben Vektorraums ist und die [[Assoziativgesetze]] und [[Distributivgesetze]] erfüllt sind. Die Vektoren werden geometrisch-symbolisch in der Regel als Pfeile mit bestimmter Länge und Richtung dargestellt. Als mathematische Objekte können dafür beispielsweise [[Reelle Zahlen|reelle]] oder [[komplexe Zahlen]], [[Zahlentupel]], [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] oder [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] verwendet werden. Die Skalare entstammen einem bestimmten [[Körper (Mathematik)|Körper]], z.B. dem Körper <math>\mathbb R</math> der reellen Zahlen oder dem Körper <math>\mathbb C</math> der komplexen Zahlen, weshalb ein Vektorraum stets ''über'' einem bestimmten Körper definiert ist. Im gegebenen Fall handelt es sich dann beispielsweise um einen '''reellen''' oder '''komplexen Vektorraum'''.
 
Als '''Ortsvektor''' (auch '''Radiusvektor''' oder '''Positionsvektor''') eines Punktes <math>\overrightarrow P</math> wird ein Vektor <math>\overrightarrow{OP}</math> bezeichnet, der von einem festgelegten Punkt <math>\overrightarrow O</math> (meist dem Ursprung des [[Koordinatensystem]]s) zu diesem Punkt zeigt.
 
== Vektorrechnung ==
[[Bild:Epsilontensor.svg|mini|Matrixdarstellung des dreidimensionalen [[w:Levi-Civita-Symbol|Levi-Civita-Symbol]] ]]
[[Datei:Cross product parallelogram.svg|miniatur|Veranschaulichung des Kreuzprodukts]]
 
In der '''Vektorrechnung''' sind verschiedene Rechenoperationen für Vektoren definiert. Die Vektoren können dazu als '''Spaltenvektor''' oder in Komponentenschreibweise angeschrieben werden. Die wichtigsten Rechenoperationen zeigt die nachstehende Tabelle:
 
{|class="wikitable"
!Rechenoperation
!Spaltenvektoren
!Komponentenschreibweise
!Beschreibung
|-
|Addition/Subtraktion
|<math>
\vec c = \vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}a_1\pm b_1 \\ a_2\pm b_2 \\ a_3 \pm b_3\end{pmatrix}
</math>
|<math> c_i = a_i \pm b_i</math>
|
|-
|Multiplikation mit einem Skalar
|<math>
\vec c = r\vec{a} = r \, \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}ra_1 \\ ra_2 \\ ra_3\end{pmatrix}
</math>
|<math>c_i = r a_i </math>
|
|-
|Skalarprodukt
|<math>
c = \vec{a}\cdot\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} =
a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3</math>
|<math>c = \sum_i a_i b_i </math>
|
|-
|Betrag
|<math>a = |\vec{a}| = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}</math><ref>nach dem [[Satz von Pythagoras]]</ref>
|<math>a = \sqrt{\sum_i a_i^2}</math>
|
|-
|Kreuzprodukt<br />(Vektorprodukt)
|<math>
\vec c = \vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}
</math>
| <math>c_i = \sum_{jk} \varepsilon_{ijk}a_{j}b_{k}</math><ref><math>\varepsilon_{ijk}</math> ist das [[w:Levi-Civita-Symbol|Levi-Civita-Symbol]] und ist +1 für gerade Permutationen von (1, 2, 3), −1 für ungerade Permutationen und sonst 0.</ref>
|Der Betrag des Vektorprodukts entspricht der Fläche des von den beiden Vektoren aufgespannten [[Parallelogramm]]s:
 
<math>A = |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot |{\sin\theta}| </math>
|-
|Spatprodukt
|<math>(\vec{a},\vec{b},\vec{c}) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \det\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_ 2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{pmatrix} </math>
|
|Der Betrag des Spatprodukts entspricht dem [[Volumen]] des von den drei Vektoren aufgespannten [[Parallelepiped]]s:
 
<math>V = |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot |{\sin\theta}|,</math>
|-
|Dyadisches Produkt<br />(tensorielles Produkt)
|<math>
\boldsymbol C = (c_{ij}) = \vec{a}\otimes\vec{b}
= \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
a_1 b_1 & a_1 b_2 & a_1 b_3\\
a_2 b_1 & a_2 b_2 & a_2 b_3\\
a_3 b_1 & a_3 b_2 & a_3 b_3
\end{pmatrix}
</math>
|<math>c_{ij} = a_i b_j</math>
|
|}
 
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Raum (Mathematik)}}
* {{WikipediaDE|Vektor}}
 
== Literatur ==
 
* Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel: ''Mathematik'', 4. Auflage, Springer Spektrum 2018, ISBN 978-3662567401, eBook ISBN 978-3-662-56741-8
 
== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
 
<references />
 
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Raum|201]]
 
{{Wikipedia}}

Version vom 17. August 2019, 15:31 Uhr

Schematische Darstellung der Vektoraddition und der Multiplikation mit einem Skalar: Der Vektor v (blau) wird zu einem anderen Vektor w addiert (rot, unten). Oben wird w um einen Faktor 2 gestreckt, das Ergebnis ist die Summe v + 2·w. Ein Koordinatenvektor (x,y,z) als Ortsvektor im dreidimensionalen reellen Koordinatenraum
Schematische Darstellung der Vektoraddition und der Multiplikation mit einem Skalar: Der Vektor v (blau) wird zu einem anderen Vektor w addiert (rot, unten). Oben wird w um einen Faktor 2 gestreckt, das Ergebnis ist die Summe v + 2·w.
Ein Koordinatenvektor (x,y,z) als Ortsvektor im dreidimensionalen reellen Koordinatenraum

Ein Raum ist in der Mathematik als abstrakte Verallgemeinerung des uns gewohnten Anschauungsraums als eine Menge mathematischer Objekte mit einer mathematischen Struktur definiert. Auf die Anschaulichkeit wird dabei verzichtet.

Vektorraum

Ein Vektorraum besteht aus einer Menge von mathematischen Objekten, die Vektoren (von lat. vector „Träger, Fahrer“) genannt werden und addiert, subtrahiert oder mit einem Skalar (z.B. einer Zahl) multipliziert werden können, sodass der daraus resultierende Vektor wiederum ein Element desselben Vektorraums ist und die Assoziativgesetze und Distributivgesetze erfüllt sind. Die Vektoren werden geometrisch-symbolisch in der Regel als Pfeile mit bestimmter Länge und Richtung dargestellt. Als mathematische Objekte können dafür beispielsweise reelle oder komplexe Zahlen, Zahlentupel, Matrizen oder Funktionen verwendet werden. Die Skalare entstammen einem bestimmten Körper, z.B. dem Körper der reellen Zahlen oder dem Körper der komplexen Zahlen, weshalb ein Vektorraum stets über einem bestimmten Körper definiert ist. Im gegebenen Fall handelt es sich dann beispielsweise um einen reellen oder komplexen Vektorraum.

Als Ortsvektor (auch Radiusvektor oder Positionsvektor) eines Punktes wird ein Vektor bezeichnet, der von einem festgelegten Punkt (meist dem Ursprung des Koordinatensystems) zu diesem Punkt zeigt.

Vektorrechnung

Matrixdarstellung des dreidimensionalen Levi-Civita-Symbol
Veranschaulichung des Kreuzprodukts

In der Vektorrechnung sind verschiedene Rechenoperationen für Vektoren definiert. Die Vektoren können dazu als Spaltenvektor oder in Komponentenschreibweise angeschrieben werden. Die wichtigsten Rechenoperationen zeigt die nachstehende Tabelle:

Rechenoperation Spaltenvektoren Komponentenschreibweise Beschreibung
Addition/Subtraktion
Multiplikation mit einem Skalar
Skalarprodukt
Betrag [1]
Kreuzprodukt
(Vektorprodukt)
[2] Der Betrag des Vektorprodukts entspricht der Fläche des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms:

Spatprodukt Der Betrag des Spatprodukts entspricht dem Volumen des von den drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds:

Dyadisches Produkt
(tensorielles Produkt)

Siehe auch

Literatur

Einzelnachweise und Anmerkungen

  1. nach dem Satz von Pythagoras
  2. ist das Levi-Civita-Symbol und ist +1 für gerade Permutationen von (1, 2, 3), −1 für ungerade Permutationen und sonst 0.


Dieser Artikel basiert (teilweise) auf dem Artikel Raum (Mathematik) aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Lizenz Creative Commons Attribution/Share Alike. In Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.

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