imported>Joachim Stiller |
imported>Odyssee |
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| [[Datei:Curvilinear.svg|mini|hochkant=1.5|<span style="color:blue">'''Krummlinige'''</span>, <span style="color:red">'''affine'''</span> und '''Kartesische''' Koordinaten]]
| | Eine '''Linie''' (von [[lat.]] ''linea'' „Strich, Richtschnur, Kante“) ist in der [[Geometrie]] eine gedachte oder gezeichnete gerade oder gekrümmte Verbindung zwischen zwei [[Punkt]]en. [[Mathematik|Mathematisch]] handelt es sich um ein als [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] bezeichnetes [[eindimsional]]es [[Objekt]]. |
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| Ein '''Koordinatensystem''' wird in der [[Mathematik]] verwendet, um die Position in einem [[Geometrie|geometrischen]] [[Dimension (Mathematik)|n-dimensionalen]] [[Raum]] mittels eines [[n-Tupel]]s von [[Zahl]]en, den '''Koordinaten''', eindeutig zu kennzeichnen. Für n = 2 hat man es mit einer [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] bzw. mit einer gekrümmten [[Fläche (Mathematik)|Fläche]] zu tun. Linien, auf denen bis auf jeweils eine alle anderen Koordinaten konstant sind, werden als '''Koordinatenlinien''' bezeichnet. Dabei wird grundsätzlich zwischen ''geradlinigen'' (''affinen'') und ''krummlinigen Koordinatensystemen'' unterschieden. Stehen die Koordinatenlinien überdies in jedem Punkt senkrecht aufeinander, so handelt es sich um ein ''orthogonales Koordinatensystem''. Zur besseren Orientierung werden meist auch die durch den '''Koordinatenursprung''' (den '''Nullpunkt''') verlaufenden '''Koordinatenachsen''' eingezeichnet.
| | [[Kategorie:Mathematik]] [[Kategorie:Geometrie]] |
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| == Kartesisches Koordinatensystem ==
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| Das bekannte und im zwei- und dreidimensionalen Raum am häufigsten verwendete, nach [[René Descartes]] benannte '''kartesische Koordinatensystem''' ist ein geradliniges othogonales Koordinatensytem mit zwei bzw. drei senkrecht aufeinander stehenden Koordinatenachsen. In der Regel handelt es sich dabei um ein rechtshändiges Koordinatensystem, bei dem die horizontale x-Achse auch als '''Abszissenachse''' (von [[Latein|lat.]] ''linea abscissa'' „abgeschnittene Linie“) und die vertikale y-Achse als '''Ordinatenachse''' (von [[Latein|lat.]] ''linea ordinata'' „geordnete Linie“) bezeichnet wird.
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| Datei:Koordinaten xy ohne Netz.svg|Zwei Koordinatenachsen:<br />''y'' über ''x'' mit Skalenteilung (gemäß [[Wikipedia:DIN 461|DIN 461]])
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| Datei:Koordinaten xy mit Netz.svg|Zwei Koordinatenachsen:<br />''y'' über ''x'' mit Koordinaten­netz (gemäß DIN 461)
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| Datei:3D coordinate system.svg|Drei Koordinatenachsen:<br />Mit drei Ebenen, die jeweils zwei Achsen enthalten
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| == Polarkoordinatensystem ==
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| Im [[zweidimensional]]en '''Polarkoordinatensystem''' oder '''Kreiskoordinatensystem''' wird jeder [[Punkt]] einer gegebenen [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] durch den Abstand von einem vorgegebenen festen Punkt - die ''Radialkoordinate'' <math>r</math> - und den Winkel zu einer festen Richtung - die ''Winkelkoordinate'' <math>\phi</math> beschrieben.
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| [[Datei:Ebene polarkoordinaten.PNG|mini|center|500px|Ebene Polarkoordinaten und ihre Transformation in kartesische Koordinaten]]
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| == Zylinderkoordinatensystem ==
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| [[Datei:Cylindrical Coordinates.svg|mini|Zylinderkoordinaten]]
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| Ein '''Zylinderkoordinatensystem''' ergänzt das Polarkoordinatensystem um eine Höhenkoordinate <math>z</math> und wird dadurch zu einem räumlichen Koordinatensystem. Die hier statt <math>r</math> verwendete Koordinate <math>\rho</math> beschreibt dabei den Abstand von der <math>z</math>-Achse. Zylinderkoordinaten lassen sich dann leicht nach folgenden Formeln in kartesische Koordinaten umrechnen:
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| :<math>x=\rho\,\cos\varphi</math>
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| :<math>y=\rho\,\sin\varphi</math>
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| :<math>z=z</math>
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| == Kugelkoordinatensystem ==
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| Das '''Kugelkoordinatensystem''' erweitert das Polarkoordinatensystem auf den [[dreidimensional]]en [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]], weshalb es auch als '''räumliches Polarkoordinatensystem''' bezeichnet wird. Jeder Punkt des Raumes wird dabei durch die die ''Radialkoordinate'' <math>r</math>, den '''Polarwinkel''' <math>\theta</math> oder <math>\vartheta</math> und den '''Azimutwinkel''' <math>\varphi</math> oder <math>\phi</math> eindeutig beschrieben.
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| [[Datei:Kugelkoord-def.svg|300px|center|Kugelkoordinaten <math>r,\theta,\varphi </math> eines Punktes im Kugelkoordinatensytem]]
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| === Sphärisches Koordinatensystem ===
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| Ein '''sphärisches Koordinatensystem''' beschreibt eindeutig alle Punkte, die auf der Kugeloberfläche liegen. In diesem Fall reicht die Angabe der beiden Winkelkoordinaten <math> \theta,\varphi </math>, da hier die Radialkoordinate <math>r</math> konstant ist.
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| ==== Geographisches Koordinatensystem ====
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| [[Datei:Meridian-International.PNG|mini|1 Breitenkreis<br />2 Meridian (halber Längenkreis)]]
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| '''Geographische Koordinaten''' beruhen auf einem ''sphärischen Koordinatensystem'', mit dem sich jeder Punkt der kugelförmig gedachten [[Erdoberfläche]] eindeutig beschreiben lässt, insbesondere auch der eigene '''Standort''' eines [[Beobachter]]s.
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| Die '''geographische Breite''' wird vom [[Äquator]] nach [[Norden]] (0° bis 90° Nord am Nordpol) und [[Süden]] (0° bis 90° Süd am Südpol) gemessen, die '''geographische Länge''' hingegen von dem willkürlich durch die Londoner [[w:Royal Greenwich Observatory|Sternwarte Greenwich]] gelegten '''Nullmeridian''' von 0° bis 180° gegen [[Osten]] und von 0° bis 180° gegen [[Westen]]. Die parallel zum Äquator verlaufenden [[Breitenkreis]]e sind Linien konstanter geographischer Breite, die [[Längenkreis]]e sind [[Großkreis]]e, die durch den [[Nordpol|Nord]]- und [[Südpol]] gehen. Ein halber Längenkreis, der von Pol zu Pol verläuft, wird als '''Meridian''' (von [[lat.]] ''circulus meridianus'' „Mittagskreis“) bezeichnet.
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| === Astronomische Koordinatensysteme ===
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| {{Hauptartikel|Astronomische Koordinatensysteme}}
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| Auch astronomische Koordinatensysteme beruhen auf einem Kugelkoordinatensystem.
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| == Koordinatentransformation ==
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| Durch eine geeignete '''Koordinatentransformation''', meist durch durch [[Drehung]] (Rotation), [[Skalar (Mathematik)|Skalierung]] (Veränderung des Maßstabs), [[Scherung (Geometrie)|Scherung]] und [[Parallelverschiebung|Verschiebung]] (Translation) und ihre Kombinationen, können die Koordinaten eines Koordinatensystems in die eines anderen Koordinatensystems transformiert, d.h. umgewandelt werden.
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| == Generalisierte Koordinaten ==
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| '''Verallgemeinerte''' bzw. '''generalisierte Koordinaten''', meist durch das Formelzeichen <math>q</math> bzw. <math>q_i</math> gekennzeichnet, dienen in der [[Physik]] dazu, den [[Raum|räumlichen]] Zustand eines [[System]]s möglichst einfach eindeutig zu beschreiben. So kann etwa die Lage eines [[Mathematisches Pendel|mathematischen Pendels]] allein durch den Auslenkwinkel <math>\phi</math> als generalisierte Koordinate eindeutig angegeben werden.
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| == Siehe auch ==
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| * {{WikipediaDE|Koordinatensystem}}
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| * {{WikipediaDE|Kartesisches Koordinatensystem}}
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| [[Kategorie:Mathematik]] | |
| [[Kategorie:Geometrie]] | |
| [[Kategorie:Analysis]]
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