Volumen: Unterschied zwischen den Versionen

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Das '''Volumen''' ([[Wikipedia:Plural|Pl.]] ''Volumen'' oder ''Volumina''; von [[Latein|lat.]] ''volumen'' „Windung, Krümmung“, aus ''volvere'' „wälzen, rollen“), auch: '''Raum-''' oder '''Kubikinhalt''',<ref>DWDS-Wörterbuch: [http://www.dwds.de/?qu=Kubikinhalt Kubikinhalt]</ref> ist der [[Raum|räumliche]] [[Wikipedia:Inhalt|Inhalt]] eines [[Körper (Geometrie)|geometrischen Körpers]]. Übliches [[Formelzeichen]] ist <math>V</math>.
{{Infobox Physikalische Größe
|Name= Volumen<br /> Rauminhalt
|Größenart=
|Formelzeichen= <math>V</math>
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|AbgeleitetVon= [[Länge (Physik)|Länge]]
|SI= [[Kubikmeter|m<sup>3</sup>]]
|SI-Dimension= [[Länge (Physik)|L]]<sup>3</sup>
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|SieheAuch=
}}


In der [[Physik]] bezeichnet man mit dem Volumen die [[Wikipedia:Abmessung|Ausdehnung]] (den ''Platzbedarf'') eines Körpers. Im [[SI-Einheitensystem|SI-System]] ist die '''Volumeneinheit''' (auch: '''Volumseinheit''') für das '''Raummaß''' der '''Kubikmeter''' ([[Einheit]]enzeichen [[Meter|m]]<sup>3</sup>). Vereinzelt liest man noch die veralteten Abkürzungen cbm für m³ und ccm für cm³ (Kubikzentimeter). Die Einheit [[Wikipedia:Liter|Liter]] ist für Gase und Flüssigkeiten gebräuchlich und als 1&nbsp;[[Wikipedia:Kubikdezimeter|dm<sup>3</sup>]] (10×10×10&nbsp;cm³) definiert.
Das '''Volumen''' ([[Plural|Pl.]] ''Volumen'' oder ''Volumina''; von [[Latein|lat.]] ''volumen'' „Windung, Krümmung“, aus ''volvere'' „wälzen, rollen“), auch: '''Raum-''' oder '''Kubikinhalt''', ist der räumliche [[Inhalt]] eines [[Körper (Geometrie)|geometrischen Körpers]]. Übliches [[Formelzeichen]] ist&nbsp;''V''.


Das '''spezifische Volumen''' <math>v</math> eines [[Stoff]]es ist der Kehrwert seiner [[Dichte]] <math>\rho</math> und somit das Verhältnis des Volumens <math>V</math> zur [[Masse]] <math>m</math>. Es wird im [[SI-System]] in [[Meter|m]]<sup>3</sup>·[[Kilogramm|kg]]<sup>−1</sup> (Kubikmeter pro Kilogramm) angegeben:
In der [[Physik]] bezeichnet man mit dem Volumen die [[Abmessung|Ausdehnung]] (den ''Platzbedarf'') eines Körpers. Die (kohärente) [[SI-Einheitensystem|SI-Einheit]] für das [[Raummaß]] ist der [[Kubikmeter]] ([[Einheitenzeichen]] [[Meter|m]]<sup>3</sup>). Vereinzelt liest man noch die veralteten Abkürzungen cbm für m³ und ccm für cm³. <!-- Die Schreibweise „m^3“ sollte nur noch dann benutzt werden, wenn das Anzeigesystem keine hochgestellten [[Exponent (Mathematik)|Exponenten]] anzuzeigen vermag. SIEHE DISKUSSION -->Die Einheit [[Liter]] ist für Gase und Flüssigkeiten gebräuchlich und als 1&nbsp;[[Kubikdezimeter|dm<sup>3</sup>]] (10×10×10&nbsp;cm³) definiert.


:<math> v = \frac{1}{\rho} = \frac{V}{m} </math>
Technisch muss unterschieden werden:
* '''Hohlvolumen''', der ''freie Raum'' innerhalb gewisser Grenzen, etwa das '''Fassungsvermögen''' eines [[Behälter]]s
* '''Rauminhalt''', das ''Volumen [[fester Körper]], von [[Flüssigkeit]]en oder [[Gas]]en''
 
== Geschichte ==
Die ersten bekannten Formeln zur Volumenbestimmung (auch [[Stereometrie]]) stammen schon aus dem frühen [[Ägypten]]. Das [[Papyrus Moskau 4676|Moskauer Papyrus]] ist eine Sammlung von Rechenaufgaben und ist etwa auf das Jahr [[19. Jahrhundert v. Chr.|1850 v. Chr.]] datiert. Unter anderem sind hier die [[Formel]]n für die Bestimmung der Volumina für Rechteck[[Kegel (Geometrie)|kegel]] beschrieben. Die Bestimmung wurde durch [[Analyse]] und anschließender [[Synthese]] erreicht. Das heißt, der Körper wurde in mehrere bekannte Körper zerlegt und die Einzelvolumina addiert.
 
== Messmethoden ==
{{Siehe auch|Messgerät#Volumenmessung|titel1=Volumenmessgeräte}}
 
Im Laufe der Zeit haben sich ganz unterschiedliche Methoden zur Bestimmung von Volumina entwickelt:
* [[Auslitern]]: Der Körper wird mit [[Sand]] oder [[Wasser]] gefüllt, dessen Menge anschließend in einem bekannten Gefäß bestimmt wird; somit lässt sich bei Gefäßen das Volumen ihres Innenraumes bestimmen.
* [[Wasserverdrängung]]: Der Körper wird in ein vollständig mit Wasser gefülltes Gefäß eingetaucht. Das Volumen des übertretenden Wassers wird anschließend in einem geometrisch einfachen Gefäß (z.&nbsp;B. [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]]) vermessen. Infolge möglicher Wechselwirkungen zwischen Probekörper und Wasser kann es zu Messfehlern kommen, weshalb auch andere Flüssigkeiten eingesetzt werden können.
* Bei einem Körper mit einer bekannten [[Dichte]] lässt sich das Volumen auch [[Waage|erwiegen]].
 
== Volumen-Berechnung ==
Mathematisch gesehen ist das Volumen (der Rauminhalt) ein [[Maß (Mathematik)|Maß]] für eine messbare Teilmenge<ref>Es gibt auch Teilmengen, für die man kein Volumen bestimmen kann, die also nicht messbar sind. Siehe dazu z.&nbsp;B. [[Satz von Vitali (Maßtheorie)]].</ref> des gewöhnlichen dreidimensionalen Raums.
Im Allgemeinen lässt sich das Volumen eines Körpers (Bereich <math>B</math> im <math>\R^3</math>) durch ein 3-fach-Integral  <math>\mathrm V = \iiint_B \mathrm dV </math> beschreiben. Solche Integrale können sehr schwierig oder nur numerisch lösbar sein. Bei vielen einfachen Fällen (Polyeder) lässt sich das Volumen ohne Integrale bestimmen. Bei Rotationskörper und solchen mit stetigen Querschnittsflächen (s. Tabelle) kommt man mit einfachen Integralen aus. Hier die Volumina einiger häufig vorkommender Körper:
 
{| class="wikitable"
|-
! Körper
! Volumen
! Parameter
|-
| [[Würfel (Geometrie)|Würfel]]
|style="text-align:center" | <math>V=a^3\;</math>
|[[Datei:Wuerfel-1-tab.svg|80px]]
|-
| [[Quader]]
|style="text-align:center" | <math>V=abc</math>
| [[Datei:Quader-1-tab.svg|120px]]
|-
| [[Prisma (Geometrie)|Prisma]]<br />
(Grundfläche ''G'')
|style="text-align:center" | <math>V=G h</math>
| [[Datei:Prisma-1-tab.svg|100px]]
|-
| [[Pyramide (Geometrie)|Pyramide]]<br />
(Grundfläche ''G'')
|style="text-align:center" | <math>V=\frac{1}{3}Gh</math>
| [[Datei:Pyramide-1-tab.svg|200px]]
|-
| [[Kugel]]
|style="text-align:center" | <math>V=\frac{4}{3} \pi r^3 </math>
| [[Datei:Kugel-1-tab.svg|100px]]
|-
| [[Ellipsoid]]
|style="text-align:center"| <math>V=\frac{4}{3}\pi abc</math>
| [[Datei:Ellipsoid-1-tab.svg|150px]]
|-
| [[Kreiszylinder|senkrechter Kreiszylinder]]
|style="text-align:center" | <math>V=\pi r^2 h</math>
| [[Datei:Zylinder-1-tab.svg|100px]]
|-
| senkrechter [[Kreiskegel]]
|style="text-align:center" | <math>V=\frac{1}{3}\pi r^2 h</math>
| [[Datei:Kegel-1-tab.svg|100px]]
|-
| [[Volltorus|Torus]]
|style="text-align:center" | <math>V=2\pi^2 Rr^2</math>
| [[Datei:Torus-1-tab.svg|200px]]
|-
| [[Rotationskörper]]
|style="text-align:center" |<math>V= \pi \cdot \int_ {a}^b f(x)^2\mathrm{d}x </math>
| [[Datei:Vase-1-tab.svg|220px]]
|-
| Körper mit stetiger
Querschnittsfläche <math>A(x)</math><br />
(z.&nbsp;B. [[w:Steinmetz-Körper|Steinmetz-Körper]])
|style="text-align:center" |<math>V= \int_ {a}^b A(x)\mathrm{d}x </math>
|Für den Rotationskörper ist<br />
<math>A(x)=\pi f(x)^2</math>
|}
 
== Verallgemeinerung ==
Man kann ein Volumen auch über mehrdimensionale Mannigfaltigkeiten definieren, siehe dazu auch [[Volumenform]]. Nach dieser Verallgemeinerung ist das Volumen eines Teilraumes des zweidimensionalen euklidischen Raumes sein Flächeninhalt und Entsprechendes gilt auch in höherdimensionalen euklidischen Räumen. Beispielsweise hat ein n-dimensionaler [[Hyperwürfel]] mit Kantenlänge <math>a</math> ein Volumen von <math>a^n</math>.
 
Das Volumen einer [[Orientierbarkeit|orientierbaren]] [[Riemannsche Mannigfaltigkeit|Riemannschen Mannigfaltigkeit]] ist definiert durch [[Integralrechnung|Integration]] der Volumenform über die Mannigfaltigkeit.
 
== Hohlraum ==
Ein Hohlraum ist ein mathematisches, ein physikalisches oder ein natürliches Objekt. Ein Hohlraum hat ein Volumen, das man als Hohlvolumen bezeichnet. Ein in einer Struktur eingeschlossenes Volumen kann ein Hohlraum sein. Dabei verändert die Existenz von Hohlräumen oft die umliegende Struktur, z.&nbsp;B. in Hinsicht auf Festigkeit oder Elastizität (Siehe [[Porosität]]).
 
Ein natürlicher Hohlraum enthält ein Vakuum oder ist mit Gasen, Flüssigkeiten oder anderen Stoffen gefüllt, was wiederum die umschließende Struktur beeinflussen kann. Insbesondere kann die Grenzfläche zwischen Hohlraum und Struktur sich verändern, schwer zu erkennen sein oder auch nur auf gedanklicher Ebene existieren. Auch ein Hohlraum, der eine oder mehrere Öffnungen hat, also nicht vollständig von der umschließenden Struktur umgeben ist, wird umgangssprachlich so bezeichnet.
 
Die Größe des umschlossenen Volumens kann oft errechnet oder experimentell bestimmt werden. In manchen Fällen ist dies allerdings prinzipiell nicht möglich.
 
Hohlraumbildung ist ein oft auftretendes Phänomen bei geologischen und sonstigen physikalischen und chemischen Prozessen.


Die Zusammensetzung von [[Gemisch]]en wird gegebenenfalls in '''Volumenprozent''' (auch '''Volumprozent''', bzw. in Österreich '''Volumsprozent''', kurz: '''{{nowrap|Vol.-%}}''') angegeben.
Evakuierte Hohlräume haben mehrere universelle Eigenschaften, eine davon ist die [[Hohlraumstrahlung]].


Technisch muss unterschieden werden:
'''Beispiele: Hohlraum'''
* '''Hohlvolumen''', der ''freie Raum'' innerhalb gewisser Grenzen, etwa das '''Fassungsvermögen''' eines [[Wikipedia:Behälter|Behälter]]s
* …als Gefäß: [[Flasche]], [[Tank (Behälter)|Tank]], Verdauungssystem, Schwamm
* '''Rauminhalt''', das ''Volumen [[fester Körper]], von [[Flüssigkeit]]en oder [[Gas]]en''
* …als Aufenthaltsort: Wohnung, Höhle
* …als Ergebnis chemischer oder physikalischer Vorgänge: Luftblase, Seifenblase, „Löcher“ im Käse, [[Lunker]]


== Siehe auch ==
== Siehe auch ==
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<references />
<references />


[[Kategorie:Raumgeometrie|Sx]]
[[Kategorie:Raumgeometrie]]
[[Kategorie:Physikalische Größenart]]
[[Kategorie:Physikalische Größenart]]
{{Wikipedia}}
{{Wikipedia}}

Aktuelle Version vom 28. Juni 2022, 02:25 Uhr

Physikalische Größe
Name Volumen
Rauminhalt
Formelzeichen
Abgeleitet von Länge
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI m3 L3
cgs cm3 L3
Planck Planck-Volumen

Das Volumen (Pl. Volumen oder Volumina; von lat. volumen „Windung, Krümmung“, aus volvere „wälzen, rollen“), auch: Raum- oder Kubikinhalt, ist der räumliche Inhalt eines geometrischen Körpers. Übliches Formelzeichen ist V.

In der Physik bezeichnet man mit dem Volumen die Ausdehnung (den Platzbedarf) eines Körpers. Die (kohärente) SI-Einheit für das Raummaß ist der Kubikmeter (Einheitenzeichen m3). Vereinzelt liest man noch die veralteten Abkürzungen cbm für m³ und ccm für cm³. Die Einheit Liter ist für Gase und Flüssigkeiten gebräuchlich und als 1 dm3 (10×10×10 cm³) definiert.

Technisch muss unterschieden werden:

Geschichte

Die ersten bekannten Formeln zur Volumenbestimmung (auch Stereometrie) stammen schon aus dem frühen Ägypten. Das Moskauer Papyrus ist eine Sammlung von Rechenaufgaben und ist etwa auf das Jahr 1850 v. Chr. datiert. Unter anderem sind hier die Formeln für die Bestimmung der Volumina für Rechteckkegel beschrieben. Die Bestimmung wurde durch Analyse und anschließender Synthese erreicht. Das heißt, der Körper wurde in mehrere bekannte Körper zerlegt und die Einzelvolumina addiert.

Messmethoden

Siehe auch: Volumenmessgeräte

Im Laufe der Zeit haben sich ganz unterschiedliche Methoden zur Bestimmung von Volumina entwickelt:

  • Auslitern: Der Körper wird mit Sand oder Wasser gefüllt, dessen Menge anschließend in einem bekannten Gefäß bestimmt wird; somit lässt sich bei Gefäßen das Volumen ihres Innenraumes bestimmen.
  • Wasserverdrängung: Der Körper wird in ein vollständig mit Wasser gefülltes Gefäß eingetaucht. Das Volumen des übertretenden Wassers wird anschließend in einem geometrisch einfachen Gefäß (z. B. Zylinder) vermessen. Infolge möglicher Wechselwirkungen zwischen Probekörper und Wasser kann es zu Messfehlern kommen, weshalb auch andere Flüssigkeiten eingesetzt werden können.
  • Bei einem Körper mit einer bekannten Dichte lässt sich das Volumen auch erwiegen.

Volumen-Berechnung

Mathematisch gesehen ist das Volumen (der Rauminhalt) ein Maß für eine messbare Teilmenge[1] des gewöhnlichen dreidimensionalen Raums. Im Allgemeinen lässt sich das Volumen eines Körpers (Bereich im ) durch ein 3-fach-Integral beschreiben. Solche Integrale können sehr schwierig oder nur numerisch lösbar sein. Bei vielen einfachen Fällen (Polyeder) lässt sich das Volumen ohne Integrale bestimmen. Bei Rotationskörper und solchen mit stetigen Querschnittsflächen (s. Tabelle) kommt man mit einfachen Integralen aus. Hier die Volumina einiger häufig vorkommender Körper:

Körper Volumen Parameter
Würfel
Quader
Prisma

(Grundfläche G)

Pyramide

(Grundfläche G)

Kugel
Ellipsoid
senkrechter Kreiszylinder
senkrechter Kreiskegel
Torus
Rotationskörper
Körper mit stetiger

Querschnittsfläche
(z. B. Steinmetz-Körper)

Für den Rotationskörper ist

Verallgemeinerung

Man kann ein Volumen auch über mehrdimensionale Mannigfaltigkeiten definieren, siehe dazu auch Volumenform. Nach dieser Verallgemeinerung ist das Volumen eines Teilraumes des zweidimensionalen euklidischen Raumes sein Flächeninhalt und Entsprechendes gilt auch in höherdimensionalen euklidischen Räumen. Beispielsweise hat ein n-dimensionaler Hyperwürfel mit Kantenlänge ein Volumen von .

Das Volumen einer orientierbaren Riemannschen Mannigfaltigkeit ist definiert durch Integration der Volumenform über die Mannigfaltigkeit.

Hohlraum

Ein Hohlraum ist ein mathematisches, ein physikalisches oder ein natürliches Objekt. Ein Hohlraum hat ein Volumen, das man als Hohlvolumen bezeichnet. Ein in einer Struktur eingeschlossenes Volumen kann ein Hohlraum sein. Dabei verändert die Existenz von Hohlräumen oft die umliegende Struktur, z. B. in Hinsicht auf Festigkeit oder Elastizität (Siehe Porosität).

Ein natürlicher Hohlraum enthält ein Vakuum oder ist mit Gasen, Flüssigkeiten oder anderen Stoffen gefüllt, was wiederum die umschließende Struktur beeinflussen kann. Insbesondere kann die Grenzfläche zwischen Hohlraum und Struktur sich verändern, schwer zu erkennen sein oder auch nur auf gedanklicher Ebene existieren. Auch ein Hohlraum, der eine oder mehrere Öffnungen hat, also nicht vollständig von der umschließenden Struktur umgeben ist, wird umgangssprachlich so bezeichnet.

Die Größe des umschlossenen Volumens kann oft errechnet oder experimentell bestimmt werden. In manchen Fällen ist dies allerdings prinzipiell nicht möglich.

Hohlraumbildung ist ein oft auftretendes Phänomen bei geologischen und sonstigen physikalischen und chemischen Prozessen.

Evakuierte Hohlräume haben mehrere universelle Eigenschaften, eine davon ist die Hohlraumstrahlung.

Beispiele: Hohlraum

  • …als Gefäß: Flasche, Tank, Verdauungssystem, Schwamm
  • …als Aufenthaltsort: Wohnung, Höhle
  • …als Ergebnis chemischer oder physikalischer Vorgänge: Luftblase, Seifenblase, „Löcher“ im Käse, Lunker

Siehe auch

Weblinks

 Wiktionary: Volumen – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

  1. Es gibt auch Teilmengen, für die man kein Volumen bestimmen kann, die also nicht messbar sind. Siehe dazu z. B. Satz von Vitali (Maßtheorie).
Dieser Artikel basiert (teilweise) auf dem Artikel Volumen aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Lizenz Creative Commons Attribution/Share Alike. In Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.