Clemens Brentano und Virialsatz: Unterschied zwischen den Seiten

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[[Datei:Brentano2.jpg|miniatur|hochkant|Clemens Brentano ([[Wikipedia:Emilie Linder|Emilie Linder]], nach 1833)]]
Der '''Virialsatz''' ({{laS|''vis''}} ‚Kraft‘) ist eine Beziehung zwischen dem zeitlichen [[Arithmetischer Mittelwert|arithmetischen Mittelwert]] der [[Kinetische Energie|kinetischen Energie]]&nbsp;<math> \overline{T}</math> und dem zeitlichen Mittel der [[Potentielle Energie|potentiellen Energie]]&nbsp;<math>\overline{U}</math> eines [[abgeschlossenes System|abgeschlossenen]] physikalischen [[System]]s.


'''Clemens Wenzeslaus Brentano de La Roche ''' (* [[9. September]] [[1778]] in Koblenz-Ehrenbreitstein (heute Koblenz); [[28. Juli]] [[1842]] in Aschaffenburg) war ein deutscher [[Schriftsteller]] und neben [[wikipedia:Achim von Arnim|Achim von Arnim]] der Hauptvertreter der sogenannten [[wikipedia:Heidelberger Romantik|Heidelberger Romantik]].
Der Virialsatz wurde 1870 von [[Rudolf Clausius]] in dem Aufsatz ''Über einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz'' aufgestellt. Das '''Virial''' ist dabei nach Clausius der Ausdruck<ref>[[Rudolf Clausius|R. Clausius]]: [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k152258/f138.image ''Über einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz.''] Annalen der Physik, Band&nbsp;217, 1870, S.&nbsp;124–130.</ref><ref name=Goldstein>[[Herbert Goldstein|H. Goldstein]]: ''Klassische Mechanik.'' Akademische Verlagsgesellschaft, 1978, S.&nbsp;76&nbsp;f.</ref><ref>Die Definitionen des Virials variieren etwas, z.&nbsp;B. lassen sowohl [[Wolfgang Pauli]] in seinen Vorlesungen über Thermodynamik (ETH Zürich 1958) als auch das unten zitierte Buch von Honerkamp den Vorfaktor&nbsp;−1/2 in der Definition des Virials weg und Pauli lässt auch die Mittelbildung weg.</ref>


== Leben ==
:<math>-\frac{1}{2}\,\sum_{i=1}^N \overline{\vec{F_i} \cdot \vec{r_i}}.</math>
[[Datei:Wilhelm Hensel - Clemens Brentano 1819.jpg|miniatur|hochkant|Clemens Brentano 1819 (Zeichnung von [[wikipedia:Wilhelm Hensel|Wilhelm Hensel]])]]
Hierbei bezeichnet <math>\vec{F_i}</math> die auf das <math>i</math>-te Teilchen wirkende Kraft, <math>\vec r_i</math> dessen Ortsvektor und der Querstrich einen unten näher erläuterten Mittelwert, z.&nbsp;B. ein [[Zeitmittelwert|Zeit]]- oder [[Ensemblemittelwert|Scharmittel]]. Der Virialsatz ist ursprünglich von Clausius als Satz der klassischen Mechanik formuliert (als Gleichheit von Virial und mittlerer kinetischer Energie) und ermöglicht allgemeine Abschätzungen der Anteile potentieller und kinetischer Energie auch in komplexen Systemen, zum Beispiel in Mehrkörperproblemen in der Astrophysik. Es gibt auch einen quantenmechanischen Virialsatz und einen Virialsatz der statistischen Mechanik, aus dem unter anderem das ideale Gasgesetz und Korrekturen für reale Gase abgeleitet wurden. Die Gültigkeit des Virialsatzes ist an gewisse Voraussetzungen gebunden, etwa dass im Fall des Virialsatzes der Mechanik mit zeitlicher Mittelwertbildung Orte und Geschwindigkeiten der Teilchen beschränkt sind, oder dass ein thermisches Gleichgewicht herrscht.


Clemens Brentano war der zweite Sohn des Frankfurter Kaufmanns [[wikipedia:Peter Anton Brentano|Peter Anton Brentano]] (aus der Linie der [[wikipedia:Brentano|Brentano]] di Tremezzo) und dessen (zweiter) Ehefrau, der vom jungen [[Johann Wolfgang von Goethe|Goethe]] verehrten [[wikipedia:Maximiliane von La Roche|Maximiliane von La Roche]], und war damit ein Enkel von [[wikipedia:Sophie von La Roche|Sophie von La Roche]]. Der in vielen Lexika anzutreffende zweite Vorname „Maria“ gehört nicht zu seinen Taufnamen. Der Name wird sehr oft ''Clemens von Brentano'' geschrieben, doch beruht diese (fälschliche) Nobilitierung des Dichters auf einer Verwechslung mit dem Diplomaten [[wikipedia:Clemens von Brentano|Clemens von Brentano]] (1886–1965), der mit Clemens Brentano nur entfernt als Ururenkel seines Halbbruders [[wikipedia:Franz Dominicus Brentano|Franz Dominicus Brentano]] verwandt ist.
== Virialsatz der Mechanik ==
=== Teilchen in einem konservativen Kraftfeld ===
Einen einfachen Fall stellen <math>N</math> untereinander nicht wechselwirkende Teilchen in einem äußeren Kraftfeld dar, das [[Konservative Kraft|konservativ]], also von einem [[Potential (Physik)|Potential]]&nbsp;<math>\Phi(\vec r)</math> abgeleitet ist (die dazugehörende Ladung sei mit <math>q</math> bezeichnet, sie ist für den Fall der Gravitation gerade die Masse). Der Virialsatz gilt, wie unten dargelegt wird, falls die Bewegung im Endlichen bleibt, also Ort und Impuls für alle Zeiten beschränkt sind, und lautet


Zu seinen zahlreichen Geschwistern gehörten [[wikipedia:Bettina von Arnim|Bettina]], die den Dichter [[wikipedia:Achim von Arnim|Achim von Arnim]] heiratete, Georg, Christian, Sophie, Ludovica („Lulu“), Kunigunde („Gunda“), die mit dem Rechtsgelehrten Friedrich Carl von Savigny verheiratet war, sowie Magdalene („Meline“) (verheiratete von Guaita).
:<math>\overline T = -\frac{1}{2}\,\sum_{i=1}^N \overline{\vec{F_i} \cdot \vec{r_i}}  =  \frac{q}{2}\,\sum_{i=1}^N \overline{\nabla \Phi(\vec{r_i}) \cdot \vec{r_i}},</math>


Brentano benutzte in seinen ersten Veröffentlichungen den Namen Maria als Pseudonym und hat stets den 8. September, den Feiertag von [[Mariä Geburt]], als seinen Geburtstag angegeben.
wobei <math>T</math> die kinetische Energie des Teilchens ist und der Querstrich den zeitlichen Mittelwert für Zeiten <math>\tau \to \infty</math> bezeichnet. Nimmt man zusätzlich ein in der Ortsvariablen [[Homogene Funktion|homogenes]] Potential vom Grad&nbsp;<math>k</math> an, das heißt, es gilt <math>\Phi(\alpha\,\vec {r}) = \alpha^k \cdot \Phi(\vec {r})</math> für <math>\alpha > 0</math>, dann vereinfacht sich die obige Gleichung mit der [[Homogene Funktion#Positive Homogenität|Eulerschen Gleichung]] für homogene Funktionen <math>\nabla \Phi(\vec{r}) \cdot \vec{r} = k \Phi(\vec{r})</math><ref name=Honerkamp>{{Literatur |Autor=J. Honerkamp, [[Hartmann Römer|H. Römer]] |Titel=Klassische Theoretische Physik |Verlag=Springer |Datum=2012 |ISBN=9783642232626 |Online={{Google Buch |BuchID=AcMoBAAAQBAJ |Seite=43 |Linktext=Kapitel 2.12: ''Der Virialsatz.''}}}}</ref> zu


Er wurde katholisch getauft und wuchs unter mehrfachem Wohnortwechsel in Frankfurt am Main und Koblenz sowie kurzfristig in Heidelberg und Mannheim auf. <ref>Konrad Feilchenfeldt: ''Brentano Chronik, Daten zu Leben und Werk, zusammengestellt von Konrad Feilchenfeldt'', Reihe Hanser 259, Carl Hanser Verlag, München u. Wien, 1978, Seite 15-17</ref> Nach dem Scheitern einer kaufmännischen Lehre 1795–1796 in Bad Langensalza|Langensalza <ref>http://www.badlangensalza.de/bad-langensalza/persoenlichkeiten/clemens-brentano/</ref> studierte er ab dem 19. Mai 1797 in Halle Bergwissenschaften und wechselte am 5. Juni 1798 zum Medizinstudium an die Universität Jena. <ref>Konrad Feilchenfeldt: ''Brentano Chronik. Daten zu Leben und Werk, zusammengestellt von Konrad Feilchenfeldt'', Reihe Hanser 259, Carl Hanser Verlag, München u. Wien, 1978, Seite 19–21</ref> Statt sein Studium abzuschließen, widmete er sich aber immer mehr seinen literarischen Neigungen. In Jena lernte er die Vertreter der [[Weimarer Klassik]] ([[Christoph Martin Wieland]], [[Johann Gottfried von Herder]], [[Johann Wolfgang von Goethe]]) und der [[wikipedia:Frühromantik|Frühromantik]] ([[wikipedia:Friedrich Schlegel|Friedrich Schlegel]], [[Johann Gottlieb Fichte]] und [[wikipedia:Ludwig Tieck|Ludwig Tieck]]) kennen. Letztere ist ab 1800 in Jena personell nahezu vollständig vertreten. <ref>Konrad Feilchenfeldt: ''Brentano Chronik, Daten zu Leben und Werk, zusammengestellt von Konrad Feilchenfeldt'', Reihe Hanser 259, Carl Hanser Verlag, München u. Wien, 1978, Seite 24</ref> Von ihren Werken und literaturtheoretischen Schriften ließ Brentano sich zu seinen ersten Werken anregen, vor allem zu dem Roman ''Godwi'', in dem auch einige der bekanntesten Gedichte Brentanos enthalten sind (''Zu Bacharach am Rheine'', ''Sprich aus der Ferne'', ''Ein Fischer saß im Kahne'').
:<math>\overline{T} = \frac{k}{2}\,\overline U,</math>


1801 in Göttingen, wo er als Student der Philosophie eingeschrieben war, lernte er [[wikipedia:Ludwig Achim von Arnim|Ludwig Achim von Arnim]] kennen, mit dem ihn bald eine enge Freundschaft verband und mit dem er 1802 eine Reise auf dem Rhein unternahm. In den nächsten Jahren wohnte er bis 1811 immer wieder über längere Zeiträume hinweg mit Arnim zusammen.
wobei <math>\textstyle U = \sum q_i \Phi(\vec{r_i})</math> die gesamte potentielle Energie der Teilchen ist. Der Virialsatz ist daher eine Beziehung zwischen mittlerer kinetischer und mittlerer potentieller Energie.


[[Datei:Clemens Brentano by Christian Friedrich Tieck 1803.jpg|miniatur|hochkant|Clemens Brentano, Büste von [[Christian Friedrich Tieck]], 1803]]
=== Untereinander wechselwirkende Teilchen ===
[[Datei:Clemens Brentano.jpg|miniatur|hochkant|Clemens Brentano (Bild aus einem Lexikon von 1906; Ausschnitt aus einer Radierung von Ludwig Emil Grimm, 1837)]]
Für die Ableitung der Gasgesetze und die Anwendung in der Astrophysik ist der Fall eines abgeschlossenen Systems von <math>N</math> miteinander wechselwirkenden Teilchen von besonderem Interesse. Wie oben ergibt sich unter der Voraussetzung einer im Endlichen ablaufenden Bewegung der Virialsatz:


Nach seiner Heirat mit der Schriftstellerin [[wikipedia:Sophie Mereau|Sophie Mereau]] zog er 1804 nach Heidelberg, wo er mit Arnim die [[wikipedia:Zeitung für Einsiedler|Zeitung für Einsiedler]] und die [[Volkslied]]sammlung ''[[wikipedia:Des Knaben Wunderhorn|Des Knaben Wunderhorn]]'' herausgab. Seine Frau starb 1806 bei der Geburt des dritten Kindes; auch die beiden ersten Kinder – Achim und Joachime – sind nur wenige Wochen alt geworden. Zudem erlitt Sophie eine Fehlgeburt.
:<math>\overline T = -\frac{1}{2}\,\sum_{i=1}^N \overline{\vec{F_i} \cdot \vec{r_i}}</math>


Wenige Monate später heiratete Brentano [[wikipedia:Auguste Bußmann|Auguste Bußmann]], behielt aber sein „Wanderleben“ bei (Aufenthalte in Kassel und Landshut). Die zweite Ehe wurde 1814 geschieden.
Dabei ist <math>\vec {F_i}</math> die [[Resultierende]] der auf das <math>i</math>-te&nbsp;Teilchen einwirkenden [[Kraft|Kräfte]], die von ''anderen'' Teilchen des Systems ausgeübt werden. Da ein abgeschlossenes System betrachtet wird, existieren diesmal keine äußeren Kräfte. Wegen <math>\textstyle \sum_i \vec {F_i}=0</math> gilt, ist die Wahl des Ursprungs für die Ortsvektoren <math>\vec r_i</math> im Virial beliebig. Auf den ersten Blick sieht der Ausdruck im Virial kompliziert aus, lässt sich aber unter der Annahme, dass die paarweise zwischen den Teilchen wirkenden Kräfte jeweils von homogenen Potentialen vom Grad <math>k</math> abgeleitet werden können, wie oben auf die Form


Seit Ende 1809 hielt er sich in Berlin auf, wo er am literarischen Leben teilnahm und an seinem (bereits seit 1802 entstehenden und erst postum veröffentlichten) Versepos ''Romanzen vom Rosenkranz'' und an den (ebenfalls erst nach seinem Tod erschienenen) ''Rheinmärchen'' arbeitete. Er gehörte zu den Gründungsmitgliedern der seit 1810 bestehenden ''[[Deutsche Tischgesellschaft|Deutschen Tischgesellschaft]]'', deren [[Antijudaismus in der Neuzeit|antijudaistische]], zum Teil in [[Antisemitismus]] übergehende Tendenz er unter anderem mit seiner Schrift ''Der Philister vor, in und nach der Geschichte'' aktiv unterstützte. Antijudaistische Anspielungen begegnen auch in vielen weiteren seiner nach 1810 entstandenen Werke (z.&nbsp;B. in ''Gockel, Hinkel und Gakeleia''), das bekannteste seiner religiösen Werke, ''Das bittere Leiden'', versammelt fast alle Topoi des christlichen Antijudaismus. Dagegen findet sich in einem anderen, etwa gleichzeitig entstandenem Werk, ''Das Leben Jesu'', eine genaue und offenbar mit Sympathie geschriebene Schilderung des Judentums zur Zeit Christi.
:<math>\overline{T} = \frac{k}{2}\,\overline{U}</math>


Nur kurze Zeit währte seine Mitarbeit an [[Heinrich von Kleist]]s ''Berliner Abendblättern''; sie endete nach Differenzen mit Kleist.
bringen.


1811 reiste Brentano von Berlin ab, um sich die nächsten beiden Jahre in Böhmen und seit 1813 in Wien aufzuhalten. In dieser Zeit entstanden die Dramen ''Aloys und Imelde'' (erst 1912 veröffentlicht) und ''Die Gründung Prags'' (1815 im Druck erschienen). Der Versuch, sich in Wien als Bühnenautor zu etablieren, führte zu einem eklatanten Misserfolg.
=== Folgerungen und Beispiele ===
Mit der Gesamtenergie <math>\overline{E} = \overline{T} + \overline{U} = E</math> folgt aus dem Virialsatz:


Seit seiner Rückkehr nach Berlin im Jahr 1815 befand sich Brentano in einer Lebenskrise, die ihn zunächst zur pietistischen [[Erweckungsbewegung]] und schließlich zur Rückkehr zur katholischen Kirche führte. Dieser Schritt wurde motiviert durch die Bekanntschaft mit der Pastorentochter [[Luise Hensel]], die er Ende 1816 kennenlernte. Zunächst erwog der geschiedene Brentano den Übertritt zum Protestantismus, um Luise Hensel heiraten zu können. Als sie seinen Antrag zurückwies, bemühte er sich um die Bekehrung der Freundin zur katholischen Kirche; 1818 konvertierte sie. Er legte 1817 die [[Beichte|Generalbeichte]] ab und inszenierte seinen Verzicht auf weltliches Dichtertum, ohne sich jedoch im Privaten von der Dichtung zu verabschieden. Die Luise Hensel gewidmete Lyrik (u.&thinsp;a. ''O schweig nur Herz'', ''Ich bin durch die Wüste gezogen'') verbindet Elemente frühromantischer Dichtungstheorie mit religiösen und erotischen Themen. Etwa seit 1816 entstand auch ein Teil der ''[[Italienische Märchen|Italienischen Märchen]]'', darunter die erste Fassung von ''[[Italienische Märchen#Das Märchen von Gockel und Hinkel|Gockel, Hinkel und Gackeleia]]''.
:<math>\overline{T} = \frac{k}{2}\,\overline {U} = \frac{k}{k+2}\,E</math>


[[Datei:Luis Duttenhofer - Clemens Brentano.jpg|miniatur|hochkant|Brentano als Bischof (Scherenschnitt von [[Luise Duttenhofer]])]]
:<math>\overline{U} = \frac{2}{k+2}\,E</math>


1818 löste er seinen Berliner Hausstand auf, um die nächsten sechs Jahre im westfälischen [[Dülmen]] die Visionen der stigmatisierten Nonne [[Anna Katharina Emmerick]] an deren Krankenlager in vierzig Foliobänden aufzuzeichnen. Wie sich in Untersuchungen, die während des ersten Seligsprechungsverfahrens Anna Katharina Emmericks unternommen wurden, erwies, vermischte Brentano in seinen Aufzeichnungen ihre Aussagen mit eigenen Anmerkungen sowie dichterischen Passagen, weshalb es nach heutigem Kenntnisstand schwierig ist, den Inhalt dieser Visionsprotokolle zu bewerten.
Für den bekannten Fall <math>k = -1</math> ([[Gravitation]], [[Coulombsche Kraft]]) ergibt sich z.&nbsp;B.:


Nach dem Tod der Emmerick (1824) lebte Brentano an wechselnden Orten, ab 1829 in Frankfurt und ab 1833 in [[München]]. In dieser Zeit arbeitete er an Büchern, in denen er die Visionsaufzeichnungen verarbeitete: ''Das bittere Leiden unsers Herrn Jesu Christus'' (1833), ''Leben der heiligen Jungfrau Maria'' (1852, postum), ''Lehrjahre Jesu'' (1858–1860 in einer Bearbeitung von [[Karl Erhard Schmoeger]] erschienen; authentische Ausgabe zuerst 1983) und eine Biographie Anna Katharina Emmericks (unvollendet; 1867-1870 in Schmoegers Bearbeitung; authentische Ausgabe zuerst 1981). Diese Werke wurden gegen Brentanos Willen als Erbauungsbücher gelesen und weltweit in riesigen Auflagenzahlen verbreitet. Ihr Einfluss ist in Teilen des romanischen und amerikanischen Katholizismus noch heute ungebrochen. Mit seinem Buch ''Die Barmherzigen Schwestern'' (1831) unterstützte er die Einführung der Kongregation der [[Barmherzige Schwestern vom hl. Vinzenz von Paul|Barmherzigen Schwestern]] vom Hl. Vinzenz von Paul in Deutschland; zugleich ist das Werk einer der Höhepunkte deutscher Prosa. Als Organisator [[Laie (Religion)|laikaler]] sozialkaritativer Tätigkeiten, die bei Brentano stets mit der Pflege enger persönlicher Beziehungen zu Frauen verbunden waren, hat Brentano eine nicht unerhebliche Bedeutung in der Vorgeschichte des katholischen Vereinswesens.
:<math>\overline{T} = -\frac{1}{2}\,\overline{U} = -E</math>


1833 lernte Brentano in München die Schweizer Malerin [[Emilie Linder]] kennen. Wie bei früheren Frauenbekanntschaften wiederholten sich Liebeswerbung und Bekehrungsbemühungen; wie früher entzog sich die Freundin diesen Forderungen, ohne aber von ihnen ganz unbeeindruckt zu bleiben. Sie konvertierte nach Brentanos Tod zur katholischen Kirche. Im Zusammenhang mit Brentanos später Liebe zu ihr entstand sein lyrisches Spätwerk, das neben den Gedichten [[Johann Wolfgang von Goethe|Goethes]], [[Friedrich Hölderlin|Hölderlins]] und [[Heinrich Heine|Heines]] die eigenartigste und bedeutendste lyrische Leistung in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts darstellt (u.&thinsp;a. ''Ich darf wohl von den Sternen singen''). Wie die Linder-Lyrik, so knüpfen auch die in den 1830er Jahren entstandenen Märchenromane (''[[Italienische Märchen#Das Märchen von Fanferlieschen Schönefüßchen|Fanferließchen Schönefüßchen]]'', zu Lebzeiten unveröffentlicht; ''Gockel, Hinkel und Gackeleia'', 1838 erschienen) an das dichterische Werk aus der Berliner Zeit 1810–1818 an; zu den komplexesten und interessantesten seiner Arbeiten gehört das 102 Strophen lange Gedicht ''Alhambra''.
Insbesondere ergibt sich, dass die Gesamtenergie für die Anwendung des Virialtheorems im Fall <math>k = -1</math> negativ sein muss (da <math>\overline {T}</math> positiv ist).


Neben diesen hochartifiziellen Werken beteiligte Brentano sich zeitweise aktiv an der propagandistischen Tätigkeit des katholischen Kreises um [[Joseph Görres|Joseph von Görres]]. Inwieweit er die politischen Absichten des restaurativen [[Konservatismus]] teilte, ist eine nicht leicht zu beantwortende Frage. Zeitgenossen, unter denen manche ihn für einen Satanisten oder für eine „dämonische“ Gestalt hielten, fiel die irritierende Vieldeutigkeit seines Lebenswandels und seiner mündlichen und unveröffentlichten schriftlichen Äußerungen auf, die sich mit dem Bild des frommgewordenen alternden Dichters schlecht vereinbaren ließ.
Für den Fall harmonischer Schwingungen (<math>k = 2</math>) gilt:


Die Orthodoxie seiner „religiösen“ Werke war immer umstritten, es kam jedoch nie zu einer Indizierung der außerordentlich erfolgreichen Werke durch die römische Indexkongregation. Nach dem [[Erstes Vatikanisches Konzil|Ersten Vatikanischen Konzil]] haben sich auffällig viele von Brentanos ehemaligen, zu dieser Zeit noch lebenden Freunden und Bekannten von der Kirche abgewandt, ebenso viele aber gehörten zu den besonders entschiedenen Anhängern der Kirche.
:<math>\overline{T} = \overline{U} = \frac {1}{2} E</math>


Die letzten Lebensjahre Brentanos waren von [[Schwermut]] geprägt. Er starb 1842, im Alter von 63 Jahren, in Aschaffenburg, im Hause seines Bruders Christian.
== Sonderfälle der Mittelwertbildung ==
Gewöhnlich bezeichnet der Querstrich wie schon bei Clausius den zeitlichen Mittelwert für Zeiten <math>\tau \to \infty</math>. In bestimmten Sonderfällen kann das aber auch vereinfacht werden.


== Publikationsgeschichte und Rezeption ==
=== Geschlossene Bahnen ===
Der große Teil seiner dichterischen Werke war zu Lebzeiten unveröffentlicht geblieben und wurde erst nach seinem Tod herausgegeben, von seiner Schwägerin [[Emilie Brentano]], der Frau seines Bruders [[Christian Brentano]], und [[Joseph Merkel]]. (''Gesammelte Schriften'')
Liegen geschlossene Bahnen vor, kann das Zeitmittel durch die Mittelung über eine Periode ersetzt werden. Der Virialsatz folgt hier unmittelbar aus der Periodizität der Bewegung. In zwei Sonderfällen homogener Potentiale, nämlich für das Potential des [[Harmonischer Oszillator|harmonischen Oszillators]] (<math>k=2</math>) und für das [[Coulombpotential]] (<math>k=-1</math>), erhält man für finite (d.&nbsp;h nicht ins Unendliche gehende) Bewegungen im Ein- oder Zweikörperproblem immer geschlossene Bahnen.<ref>{{Literatur |Autor=[[Julius Wess|J. Wess]] |Titel=Theoretische Mechanik |Verlag=Springer-Verlag |Datum=2008 |ISBN=9783540748694 |Online={{Google Buch |BuchID=0bwfBAAAQBAJ |Seite=56 |Linktext=Kapitel 13: ''Homogene Potenziale.''}}}}</ref>


Seit 1975 erscheinen die ''Sämtlichen Werke und Briefe'' in historisch-kritischen Editionen (sogenannte Frankfurter Brentano-Ausgabe, begründet von Jürgen Behrens, Detlev Lüders und [[Wolfgang Frühwald]]), in denen viele Werke erstmals im ursprünglichen Wortlaut wiedergegeben werden.
=== Vielteilchensystem ===
Befindet sich ein [[Vielteilchensystem]] im [[Thermisches Gleichgewicht|thermischen Gleichgewicht]], kann das System als [[Ergodenhypothese|ergodisch]] betrachtet werden, d.&nbsp;h., das [[Zeitmittel]] ist gleich dem [[Ensemblemittelwert|Scharmittel]] für alle [[Observable|Beobachtungsgrößen]]. Da dies insbesondere für die kinetische und die potentielle Energie gilt und das Scharmittel der Energien aus der Summe der Einzelenergien, geteilt durch die Anzahl&nbsp;<math>N</math> der Objekte, gebildet wird, lässt sich das Scharmittel durch die Gesamtenergien ausdrücken. Wir erhalten daher für Gleichgewichtssysteme


Besondere Verdienste um die Erschließung von Leben und Werk Brentanos haben sich [[Wolfgang Frühwald]], [[Bernhard Gajek]] und [[Konrad Feilchenfeldt]] erworben.
:<math>T = \frac k2\,U</math>


Zu seiner Erinnerung stiftete die Stadt Heidelberg 1993 den [[Clemens-Brentano-Preis]].
ohne Mittelung über die Zeit, denn die Werte sind zeitlich konstant (siehe auch unten die Behandlung des Virialsatzes im Rahmen der statistischen Mechanik).


== Werke ==
Für das gravitative <math>N</math>-Teilchensystem in der Astrophysik (zum Beispiel als Modell von Galaxien- und Sternhaufen) ist zu bemerken, dass die oben angegebene Grundvoraussetzung in der Ableitung des Virialsatzes, dass das System räumlich beschränkt bleibt, für große Zeiträume nicht gegeben ist. All diese Haufen lösen sich irgendwann auf, da immer wieder Teilchen durch die gegenseitige Wechselwirkung (Störung) mit den anderen genug Energie aufsammeln, um zu entkommen. Allerdings sind die Zeiträume, in denen das geschieht, sehr lang. In der Astrophysik definiert die Relaxationszeit <math>T_\text{relax}</math> eines Sternhaufens oder einer Galaxie die Zeit, in der sich eine Gleichgewichtsverteilung einstellt.<ref name="Voigt">H. Voigt: ''Abriss der Astronomie.'' BI Verlag, 1980, S.&nbsp;367&nbsp;ff., S.&nbsp;487.</ref> Sie beträgt bei der Milchstraße <math>T_\text{relax} \approx 7 \cdot 10^{13}</math>&nbsp;Jahre (bei einem Alter von <math>13{,}6 \cdot 10^9</math>&nbsp;Jahren) und für typische Kugelsternhaufen <math>10^{10}</math>&nbsp;Jahre. Innerhalb des Zeitraums <math>T_\text{relax}</math> erreichen 0,74&nbsp;Prozent der Sterne nach der Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung die Fluchtgeschwindigkeit und entweichen. Numerische Rechnungen zeigten, dass der Anteil sogar noch etwas höher liegt,<ref>Sebastian von Hoerner: ''Zeitschrift für Astrophysik.'' Band&nbsp;50, 1960, 184. Danach etwa fünfmal höher.</ref> und dass der Virialsatz in den Haufen aufgrund des sich einstellenden Gleichgewichts (mit einer Anlaufzeit von zwei bis drei Relaxationszeiten) gut erfüllt ist. Nach dem Ablauf von <math>42 \cdot T_\text{relax}</math> sind 90&nbsp;Prozent der Sterne abgewandert.
[[Datei:Witzenspitzel.jpg|miniatur|hochkant| [[Italienische Märchen#Das Märchen von dem Witzenspitzel|''Das Märchen vom Witzenspitzel'']], Illustration von [[Alexander Zick]]]]
 
* {{ALO|845||''Gesammelte Schriften in 9 Bänden. (1852–1855).''|KeinText=Ja}} D. Sauerländer’s Verlag, Frankfurt am Main.  (Online bei [[Austrian Literature Online|ALO]]).
* ''Sämtliche Werke und Briefe.'' Historisch-kritische Ausgabe, hrsg. von Anne von Bohnenkamp-Renken, [[Konrad Feilchenfeldt]], Jürgen Behrens, [[Wolfgang Frühwald]] und Detlev Lüders. Kohlhammer, Stuttgart (u.&thinsp;a.) 1975. (Wird abgekürzt als ''FBA'').&nbsp;<ref>[http://d-nb.info/550905596 Permalink ''Deutsche Nationalbibliothek''], [http://aleph20-prod-acc.obvsg.at/F?func=direct&local_base=ACC01&doc_number=000525571 Permalink ''Österreichischer Bibliothekenverbund''].</ref>
 
=== Lyrik ===
* ''[[Abendständchen]]'', 1802
* ''[[Der Spinnerin Nachtlied]]'', um 1802
* ''[[Was reif in diesen Zeilen steht]]'', 1837
* ''[[Wenn der lahme Weber träumt]]'', 1838
* ''[[Des Knaben Wunderhorn]]'' (Volksliedersammlung, 3 Bde., zusammen mit Ludwig Achim von Arnim), 1806 und 1808 (Neuausgabe in FBA 6-9, hrsg. von Heinz Rölleke)
* ''Gedichte'' (hrsg. von Emilie Brentano), 1854
* ''Gedichte. Romanzen vom Rosenkranz'' (hrsg. von Wolfgang Frühwald, Bernhard Gajek und [[Friedhelm Kemp]]), 1968
 
=== Märchen ===
[[Datei:Brentano Gockel Hinkel Gackeleia 1838.jpg|miniatur|''Gockel, Hinkel und Gackeleia'', lithographiertes Titelblatt des Erstdrucks von 1838]]
 
* ''[[Italienische Märchen#Das Märchen von Gockel und Hinkel|Gockel, Hinkel und Gackeleia]]'' (Märchen), 1838
* ''Mährchen von Clemens Brentano'' (hrsg. von Guido Görres), 2 Bde., 1844 (Neuausgabe der ''[[Die Mährchen vom Rhein|Rheinmärchen]]'' in FBA 17, hrsg. von Brigitte Schillbach)
 
=== Epik ===
* ''Romanzen vom Rosenkranz'' (Versepos; in Band 3 der ''Gesammelten Schriften''), 1852 (Neuausgabe in FBA 10, hrsg. von Clemens Rauschenberg, und FBA 11,1, hrsg. von Dietmar Pravida)
* ''[[Godwi|Godwi oder Das steinerne Bild der Mutter]]'' (Roman) 2 Bände, 1801 – Eine fragmentarischen Fortsetzung enthält das wirkungsmächtige Gedicht von der [[Loreley|Lore Lay]]. (Neuausgabe in FBA 16 mit detailliertem Kommentar, hrsg. von Werner Bellmann)
* ''Der schiffbrüchige Galeerensklave vom todten Meer'' (Romanfragment; hrsg. von Walther Rehm), 1949 (Neuausgabe in FBA 19, hrsg. von Gerhard Kluge)
 
=== Erzählungen ===
* ''[[Die Rose (Brentano)|Die Rose]]'' 1800 (FBA 19, hrsg. von Gerhard Kluge)
* ''[[Der Sänger (Brentano)|Der Sänger]]'' 1801 (FBA 19)
* ''[[Die Schachtel mit der Friedenspuppe]]'' 1815 (Neuausgabe in FBA 19, hrsg. von Gerhard Kluge)
* ''[[Die mehreren Wehmüller und ungarischen Nationalgesichter]]'' 1817 (Neuausgabe in FBA 19, hrsg. von Gerhard Kluge)
* ''[[Die drei Nüsse]]'' 1817 (Neuausgabe in FBA 19)
* ''[[Geschichte vom braven Kasperl und dem schönen Annerl]]'' ([[Rahmennovelle]]), 1817  (Neuausgabe in FBA 19)
* ''[[Aus der Chronicka eines fahrenden Schülers]]'', (Erzählung), 1818 (Neuausgabe in FBA 19)
 
=== Bühnenwerke ===
* ''[[Gustav Wasa (Brentano)|Gustav Wasa]]'' (Drama), 1800 (FBA 12, hrsg. von [[Hartwig Schultz]])
* ''[[Godwi und Godwine]]'' (Lustspiel, Fragment, zusammen mit Bettina Brentano), um 1801 (FBA 12)
* ''[[Cecilie (Brentano)|Cecilie]]'' (Drama, Fragment), um 1801 (FBA 12)
* ''[[Die lustigen Musikanten]]'' (Singspiel), 1803 (FBA 12)
* ''[[Ponce de Leon (Brentano)|Ponce de Leon]]'' (Lustspiel), 1803 (FBA 12)
* ''[[Die Gründung Prags]]'' (Drama), 1815 (Neuausgabe in FBA 14, hrsg. von Walter Schmitz)
 
=== Satiren ===
* ''Entweder wunderbare Geschichte von Bogs dem Uhrmacher, wie er zwar das menschliche Leben längst verlassen, nun aber doch, nach vielen musikalischen Leiden zu Wasser und zu Lande, in die bürgerliche Schützengesellschaft aufgenommen zu werden Hoffnung hat, oder die über die Ufer der Badischen Wochenschrift als Beilage ausgetretene Conzert-Anzeige'', 1807 (gemeinsam mit Johann Joseph von Görres verfasst)
 
=== Religiöse Werke ===
* ''Die Barmherzigen Schwestern in Bezug auf Armen- und Krankenpflege'', 1831 (Neuausgabe in FBA 22, hrsg. von Renate Moering)
* ''Lehrjahre Jesu'' Teil I und II, (FBA 24,1/2, hrsg. von Jürg Mathes) ISBN 3-17-008658-8
* ''Das bittere Leiden unsers Herrn Jesu Christi'' (1858-1860 in einer Bearbeitung von Karl Erhard Schmoeger erschienen; authentische Ausgabe zuerst 1983, Neuausgabe in FBA 26 und 27,2, hrsg. von Bernhard Gajek und Irmengard Schmidbauer) ISBN 3-17-012652-0, ISBN 3-17-004917-8
* ''Das Leben der hl. Jungfrau Maria'' (1852, postum) ISBN 3-557-91005-9, ISBN 978-3-557-91005-3, ISBN 3-7171-0961-8, ISBN 978-3-7171-0961-7
* ''Biographie der Anna Katharina Emmerick'' (unvollendet, 1867-1870 in Schmoegers Bearbeitung; authentische Ausgabe zuerst 1981)
* ''Tagebuchaufzeichnungen'': Geheimnisse des Alten und des Neuen Bundes: Aus den Tagebüchern des Clemens Brentano, ISBN 3-7171-0962-6, ISBN 978-3-7171-0962-4
 
== Rudolf Steiner über Clemens Brentano ==
 
Rudolf Steiner sagte beispielsweise: "...wir haben es in der Familie Brentano mit einer gut katholischen Familie zu tun - und der romantische Sinn auf der anderen Seite. ''Clemens Brentano'' hat ja wirklich schönste der deutschen romantischen Dichtungen geschaffen, und er war, aus der romantischen Atmosphäre des deutschen Geisteslebens heraus, ein außerordentlich bedeutender Märchenerzähler." (Lit.: [[GA 213]], S. 98).


== Siehe auch ==
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Clemens Brentano}}
* {{WikipediaDE|Virialsatz}}
* {{WikipediaDE|Wenn der lahme Weber träumt}}


== Literatur ==
== Literatur ==
(alphabetisch)
* Lew Dawidowitsch Landau, Jewgeni Michailowitsch Lifschitz: ''Mechanik.'' Lehrbuch der theoretischen Physik, Bd.&nbsp;1. Deutsch, Frankfurt/M. 2004, ISBN 3-8171-1326-9.
 
:''Gibt eine einfache Herleitung des skalaren Virialsatzes.''
*Joseph Adam: ''Clemens Brentanos Emmerick-Erlebnis. Bindung und Abenteuer.'' Herder, Freiburg im Breisgau 1956.<ref>[http://d-nb.info/450021963 Permalink ''Deutsche Nationalbibliothek''].</ref> (Wichtigster Beitrag der Brentanoforschung vor Frühwald).
* James Binney, Scott Tremaine: ''Galactic Dynamics.'' Princeton Series in Astrophysics. Princeton University Press, Princeton, N.J. 1988, ISBN 0-691-08445-9.
*Richard Alewyn: ''Brentanos „Geschichte vom braven Kasperl und dem schönen Annerl“''. In: —: ''Probleme und Gestalten. Essays.'' Insel-Verlag, Frankfurt am Main 1974, ISBN 3-458-05355-7. (E: Festschrift für Günther Müller, Bonn 1957).
:''Hier findet man die tensorielle Verallgemeinerung und Anwendungen.''
*Hans Magnus Enzensberger: ''Brentanos Poetik''. Hanser, München 1961. (Die Dissertation des bekannten Schriftstellers; umstrittene Studie zu Brentanos Lyrik).
* Wilhelm Brenig: ''Statistische Theorie der Wärme.'' 3.&nbsp;Auflage, Springer 1992, S.&nbsp;144&nbsp;f. (Virialsatz in statistischer Mechanik).
*Gabriele Brandstetter: ''Erotik und Religiosität. Eine Studie zur Lyrik Clemens Brentanos.'' Fink, München 1986, ISBN 3-7705-2330-X.
* George W. Collins: ''The Virial Theorem in Stellar Astrophysics.'' Pachart Press, 1978, [http://bifrost.cwru.edu/personal/collins/virial/ Online.]
*Konrad Feilchenfeldt (Zusammenstellung): ''Brentano-Chronik. Daten zu Leben und Werk.'' Reihe Hanser, Band 259, Chroniken. Hanser, München (u.&nbsp;a.) 1978, ISBN 3-446-12637-6. (Standardwerk).
* Richard Becker: ''Theorie der Wärme.'' 1961, S.&nbsp;85 (zum äußeren Virial).
*Wolfgang Frühwald: ''Das Spätwerk Clemens Brentanos (1815-1842). Romantik im Zeitalter der Metternich'schen Restauration.'' Hermaea, Band 37. Niemeyer, Tübingen 1977, ISBN 3-484-15033-5. (Hauptwerk der neueren Brentanoforschung).
* Fritz Zwicky: ''Die Rotverschiebung von extragalaktischen Nebeln.'' Erste astrophysikalische Massenbestimmung mittels des Virialsatzes, 1933. {{bibcode|1933AcHPh...6..110Z}} (Mit „Nebel“ sind Galaxien bezeichnet.)
*Bernhard Gajek: ''Homo poeta. Zur Kontinuität der Problematik bei Clemens Brentano.'' Goethezeit, Band 3. Athenäum-Verlag, Frankfurt am Main 1971.<ref>[http://d-nb.info/720054672 Permalink ''Deutsche Nationalbibliothek''].</ref> (Anspruchsvolles Standardwerk zu Brentanos Lyrik).
* Albrecht Unsöld: ''Der neue Kosmos.'' Springer, 2. Aufl., 1974, S. 283, Ableitung und Bedeutung für die Berechnung des Aufbaus von Sternen. (Nicht im 1966er B.I.-Taschenbuch.)
*Sabine Claudia Gruber: ''Clemens Brentano und das geistliche Lied.'' Mainzer hymnologische Studien, Band 4. Francke, Tübingen (u.&nbsp;a.) 2002. ISBN 3-7720-2914-0.
*Kristina Hasenpflug: ''Clemens Brentanos Lyrik an Luise Hensel. Mit der historisch-kritischen Edition einiger Gedichte und Erläuterungen.'' Europäische Hochschulschriften, Reihe 1, Deutsche Sprache und Literatur, Band 1707. Lang, Frankfurt am Main (u.&nbsp;a.) 1999, ISBN 3-631-33951-8.
*Silke Horstkotte: ''Androgyne Autorschaft. Poesie und Geschlecht im Prosawerk Clemens Brentanos.'' Hermaea, N.F., Band 104. Niemeyer, Tübingen 2004, ISBN 3-484-15104-8.
*Helene M. Kastinger Riley: ''Clemens Brentano.'' Sammlung Metzler, Band M 213, Abteilung D, Literaturgeschichte. Metzler, Stuttgart 1985, ISBN 3-476-10213-0. (Oberflächliche Kompilation).
* {{BBKL|b/brentano|band=15|spalten=319-325|autor=Susanne Kiewitz|artikel=Brentano, Clemens Wenzeslaus}}
* {{NDB|2|589|593|Brentano, Clemens Wenzel Maria|Paul Kluckhohn|118515055}}
*Bettina Knauer: ''Allegorische Texturen. Studien zum Prosawerk Clemens Brentanos.'' Hermaea, N.F., Band 77. Niemeyer, Tübingen 1995, ISBN 3-484-15077-7. (Ergiebige Deutung von Brentanos erzählerischem Werk).
*Andreas Lorenczuk: ''Die Bilder der Wahrheit und die Wahrheit der Bilder. Zum „grossen Gockelmärchen“ (1838) und den Emmerick-Schriften von Clemens Brentano.'' Aurora-Buchreihe, Band 8. Thorbecke, Sigmaringen 1994, ISBN 3-7995-1808-8.
*Detlev Lüders (Hrsg.): ''Clemens Brentano. Beiträge des Kolloquiums im Freien Deutschen Hochstift 1978.'' Reihe der Schriften, Freies Deutsches Hochstift, Band 24. Niemeyer, Tübingen 1980, ISBN 3-484-10369-8.
*Sabine Oehring: ''Untersuchungen zur Brentano-Forschung der beiden Jesuiten Johann Baptist Diel und Wilhelm Kreiten.'' Europäische Hochschulschriften, Reihe 1,  Deutsche Sprache und Literatur, Band 1299. Lang, Frankfurt am Main (u.&nbsp;a.) 1992, ISBN 3-631-44039-1.
*Dietmar Pravida: ''„Die Erfindung des Rosenkranzes“. Untersuchungen zu Clemens Brentanos Versepos.'' Forschungen zum Junghegelianismus, Band 13. Lang, Frankfurt am Main (u.&thinsp;a.) 2005, ISBN 978-3-631-53541-7. (Zu den ''Romanzen vom Rosenkranz'').
*Bernd Reifenberg: ''Die „schöne Ordnung“ in Clemens Brentanos „Godwi“ und „Ponce de Leon“.'' Palaestra, Band 291. Vandenhoeck und Ruprecht, Göttingen 1990, ISBN 3-525-20564-3. (Poststukturalistisch).
*Brigitte Schad (Hrsg.): ''Die Aschaffenburger Brentanos. Beiträge zur Geschichte der Familie aus unbekanntem Nachlass-Material.'' Veröffentlichungen des Geschichts- und Kunstvereins Aschaffenburg e.&thinsp;V., Band 25. Geschichts- und Kunstverein Aschaffenburg, Aschaffenburg 1984, ISBN 3-87965-003-9, ISSN 0433-843-X.
*Susanne Scharnowski: ''Ein wildes gestaltloses Lied. Clemens Brentanos „Godwi oder Das steinerne Bild der Mutter“.'' Epistemata, Reihe Literaturwissenschaft, Band 184. Königshausen und Neumann, Würzburg 1996, ISBN 3-8260-1185-6. (Beste neuere Arbeit zu Brentanos Roman).
*Hans-Walter Schmidt: ''Erlösung der Schrift. Zum Buchmotiv im Werk Clemens Brentanos.'' Passagen Literatur. Passagen-Verlag, Wien 1991, ISBN 3-900767-63-7. (poststrukturalistisch)
*Hartwig Schultz: ''Clemens Brentano.'' Universal-Bibliothek, Band 17614, Literaturstudium. Reclam, Stuttgart 1999, ISBN 3-15-017614-X. (Einführung; nicht fehlerfrei).
*Hartwig Schultz (Hrsg.): ''Clemens Brentano, 1778-1842. Zum 150. Todestag, 1992.'' Lang, Bern (u.&nbsp;a.) 1993, ISBN 3-906750-94-9. (Mit Bibliographie).
*Hartwig Schultz: ''Schwarzer Schmetterling. Zwanzig Kapitel aus dem Leben des romantischen Dichters Clemens Brentano.'' BvT, Band 76083. Berliner Taschenbuch-Verlag, Berlin 2002, ISBN 3-442-76083-6. (Erste zuverlässige Biographie; sehr konventionell).
*Bernhard Gajek, Hartwig Schultz (Hrsg.): ''Auf Dornen oder Rosen hingesunken? Eros und Poesie bei Clemens Brentano. Begleitband zu der Ausstellung&nbsp;… 6. Juli bis 14. September 2003 im Freien Deutschen Hochstift, Frankfurter Goethe-Museum.'' Saint-Albin-Verlag, Berlin 2003, ISBN 3-930293-70-6. (Zu Brentanos Liebeslyrik).
*Hartwig Schultz: ''„Unsre Lieb aber ist außerkohren“. Die Geschichte der Geschwister Clemens und Bettine Brentano.'' Insel-Verlag, Frankfurt am Main (u.&nbsp;a.) 2004, ISBN 3-458-17229-7.
*Rolf Spinnler: ''Clemens Brentano oder die Schwierigkeit, naiv zu sein. Das Märchen von Fanferlieschen Schönefüßchen.'' Athenäums Monografien, Literaturwissenschaft, Band 95. Hain, Frankfurt am Main 1990, ISBN 3-445-08945-0. (Poststrukturalistisch).
*Martina Vordermayer: ''Antisemitismus und Judentum bei Clemens Brentano.'' Forschungen zum Junghegelianismus, Band 4. Lang, Frankfurt am Main (u.&nbsp;a.) 1999, ISBN 3-631-34475-9.


== Weblinks ==
== Weblinks ==
{{Commons}}
* John Baez: [http://math.ucr.edu/home/baez/virial.html ''The Virial Theorem Made Easy.'']
{{Wikiquote}}
{{Wikisource}}
* {{DNB-Portal|118515055}}
* {{PGDA|75}}
* {{PGIA|b#a882}}
* {{Zeno-Autor|Literatur/M/Brentano,+Clemens}}
* [http://www.goethehaus-frankfurt.de/forschung-und-editionen/brentano/bibliographie Brentano-Bibliographie] wird von der Redaktion der Frankfurter Brentano-Ausgabe, Freies Deutsches Hochstift, Frankfurt am Main, in unregelmäßigen Abständen aktualisiert
* [http://www.goethehaus-frankfurt.de/forschung-und-editionen/brentano/edition Information zur Frankfurter Brentano-Ausgabe (FBA)]
*[http://www.ub.fu-berlin.de/service_neu/internetquellen/fachinformation/germanistik/autoren/autorb/cvbrent.html Kommentierte Linksammlung] bei der Universitätsbibliothek der Freien Universität Berlin
* [http://www.altstadtfriedhof.de/Brentano.htm Brentanos Grabstätte, Aschaffenburger Altstadtfriedhof]
* [http://www.zgedichte.de/dichter_16.html Brentanos Gedichte]
* [http://vortraege.beitinger.de/index.html#brentano Vortrag über Clemens Brentano: „Ein Romantiker in Böhmen 1811 bis 1814“]


== Einzelnachweise ==
== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />
<references />


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Version vom 10. März 2020, 10:59 Uhr

Der Virialsatz (lat. vis ‚Kraft‘) ist eine Beziehung zwischen dem zeitlichen arithmetischen Mittelwert der kinetischen Energie  und dem zeitlichen Mittel der potentiellen Energie  eines abgeschlossenen physikalischen Systems.

Der Virialsatz wurde 1870 von Rudolf Clausius in dem Aufsatz Über einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz aufgestellt. Das Virial ist dabei nach Clausius der Ausdruck[1][2][3]

Hierbei bezeichnet die auf das -te Teilchen wirkende Kraft, dessen Ortsvektor und der Querstrich einen unten näher erläuterten Mittelwert, z. B. ein Zeit- oder Scharmittel. Der Virialsatz ist ursprünglich von Clausius als Satz der klassischen Mechanik formuliert (als Gleichheit von Virial und mittlerer kinetischer Energie) und ermöglicht allgemeine Abschätzungen der Anteile potentieller und kinetischer Energie auch in komplexen Systemen, zum Beispiel in Mehrkörperproblemen in der Astrophysik. Es gibt auch einen quantenmechanischen Virialsatz und einen Virialsatz der statistischen Mechanik, aus dem unter anderem das ideale Gasgesetz und Korrekturen für reale Gase abgeleitet wurden. Die Gültigkeit des Virialsatzes ist an gewisse Voraussetzungen gebunden, etwa dass im Fall des Virialsatzes der Mechanik mit zeitlicher Mittelwertbildung Orte und Geschwindigkeiten der Teilchen beschränkt sind, oder dass ein thermisches Gleichgewicht herrscht.

Virialsatz der Mechanik

Teilchen in einem konservativen Kraftfeld

Einen einfachen Fall stellen untereinander nicht wechselwirkende Teilchen in einem äußeren Kraftfeld dar, das konservativ, also von einem Potential  abgeleitet ist (die dazugehörende Ladung sei mit bezeichnet, sie ist für den Fall der Gravitation gerade die Masse). Der Virialsatz gilt, wie unten dargelegt wird, falls die Bewegung im Endlichen bleibt, also Ort und Impuls für alle Zeiten beschränkt sind, und lautet

wobei die kinetische Energie des Teilchens ist und der Querstrich den zeitlichen Mittelwert für Zeiten bezeichnet. Nimmt man zusätzlich ein in der Ortsvariablen homogenes Potential vom Grad  an, das heißt, es gilt für , dann vereinfacht sich die obige Gleichung mit der Eulerschen Gleichung für homogene Funktionen [4] zu

wobei die gesamte potentielle Energie der Teilchen ist. Der Virialsatz ist daher eine Beziehung zwischen mittlerer kinetischer und mittlerer potentieller Energie.

Untereinander wechselwirkende Teilchen

Für die Ableitung der Gasgesetze und die Anwendung in der Astrophysik ist der Fall eines abgeschlossenen Systems von miteinander wechselwirkenden Teilchen von besonderem Interesse. Wie oben ergibt sich unter der Voraussetzung einer im Endlichen ablaufenden Bewegung der Virialsatz:

Dabei ist die Resultierende der auf das -te Teilchen einwirkenden Kräfte, die von anderen Teilchen des Systems ausgeübt werden. Da ein abgeschlossenes System betrachtet wird, existieren diesmal keine äußeren Kräfte. Wegen gilt, ist die Wahl des Ursprungs für die Ortsvektoren im Virial beliebig. Auf den ersten Blick sieht der Ausdruck im Virial kompliziert aus, lässt sich aber unter der Annahme, dass die paarweise zwischen den Teilchen wirkenden Kräfte jeweils von homogenen Potentialen vom Grad abgeleitet werden können, wie oben auf die Form

bringen.

Folgerungen und Beispiele

Mit der Gesamtenergie folgt aus dem Virialsatz:

Für den bekannten Fall (Gravitation, Coulombsche Kraft) ergibt sich z. B.:

Insbesondere ergibt sich, dass die Gesamtenergie für die Anwendung des Virialtheorems im Fall negativ sein muss (da positiv ist).

Für den Fall harmonischer Schwingungen () gilt:

Sonderfälle der Mittelwertbildung

Gewöhnlich bezeichnet der Querstrich wie schon bei Clausius den zeitlichen Mittelwert für Zeiten . In bestimmten Sonderfällen kann das aber auch vereinfacht werden.

Geschlossene Bahnen

Liegen geschlossene Bahnen vor, kann das Zeitmittel durch die Mittelung über eine Periode ersetzt werden. Der Virialsatz folgt hier unmittelbar aus der Periodizität der Bewegung. In zwei Sonderfällen homogener Potentiale, nämlich für das Potential des harmonischen Oszillators () und für das Coulombpotential (), erhält man für finite (d. h nicht ins Unendliche gehende) Bewegungen im Ein- oder Zweikörperproblem immer geschlossene Bahnen.[5]

Vielteilchensystem

Befindet sich ein Vielteilchensystem im thermischen Gleichgewicht, kann das System als ergodisch betrachtet werden, d. h., das Zeitmittel ist gleich dem Scharmittel für alle Beobachtungsgrößen. Da dies insbesondere für die kinetische und die potentielle Energie gilt und das Scharmittel der Energien aus der Summe der Einzelenergien, geteilt durch die Anzahl  der Objekte, gebildet wird, lässt sich das Scharmittel durch die Gesamtenergien ausdrücken. Wir erhalten daher für Gleichgewichtssysteme

ohne Mittelung über die Zeit, denn die Werte sind zeitlich konstant (siehe auch unten die Behandlung des Virialsatzes im Rahmen der statistischen Mechanik).

Für das gravitative -Teilchensystem in der Astrophysik (zum Beispiel als Modell von Galaxien- und Sternhaufen) ist zu bemerken, dass die oben angegebene Grundvoraussetzung in der Ableitung des Virialsatzes, dass das System räumlich beschränkt bleibt, für große Zeiträume nicht gegeben ist. All diese Haufen lösen sich irgendwann auf, da immer wieder Teilchen durch die gegenseitige Wechselwirkung (Störung) mit den anderen genug Energie aufsammeln, um zu entkommen. Allerdings sind die Zeiträume, in denen das geschieht, sehr lang. In der Astrophysik definiert die Relaxationszeit eines Sternhaufens oder einer Galaxie die Zeit, in der sich eine Gleichgewichtsverteilung einstellt.[6] Sie beträgt bei der Milchstraße  Jahre (bei einem Alter von  Jahren) und für typische Kugelsternhaufen  Jahre. Innerhalb des Zeitraums erreichen 0,74 Prozent der Sterne nach der Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung die Fluchtgeschwindigkeit und entweichen. Numerische Rechnungen zeigten, dass der Anteil sogar noch etwas höher liegt,[7] und dass der Virialsatz in den Haufen aufgrund des sich einstellenden Gleichgewichts (mit einer Anlaufzeit von zwei bis drei Relaxationszeiten) gut erfüllt ist. Nach dem Ablauf von sind 90 Prozent der Sterne abgewandert.

Siehe auch

Literatur

  • Lew Dawidowitsch Landau, Jewgeni Michailowitsch Lifschitz: Mechanik. Lehrbuch der theoretischen Physik, Bd. 1. Deutsch, Frankfurt/M. 2004, ISBN 3-8171-1326-9.
Gibt eine einfache Herleitung des skalaren Virialsatzes.
  • James Binney, Scott Tremaine: Galactic Dynamics. Princeton Series in Astrophysics. Princeton University Press, Princeton, N.J. 1988, ISBN 0-691-08445-9.
Hier findet man die tensorielle Verallgemeinerung und Anwendungen.
  • Wilhelm Brenig: Statistische Theorie der Wärme. 3. Auflage, Springer 1992, S. 144 f. (Virialsatz in statistischer Mechanik).
  • George W. Collins: The Virial Theorem in Stellar Astrophysics. Pachart Press, 1978, Online.
  • Richard Becker: Theorie der Wärme. 1961, S. 85 (zum äußeren Virial).
  • Fritz Zwicky: Die Rotverschiebung von extragalaktischen Nebeln. Erste astrophysikalische Massenbestimmung mittels des Virialsatzes, 1933. bibcode:1933AcHPh...6..110Z (Mit „Nebel“ sind Galaxien bezeichnet.)
  • Albrecht Unsöld: Der neue Kosmos. Springer, 2. Aufl., 1974, S. 283, Ableitung und Bedeutung für die Berechnung des Aufbaus von Sternen. (Nicht im 1966er B.I.-Taschenbuch.)

Weblinks

Einzelnachweise und Anmerkungen

  1. R. Clausius: Über einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz. Annalen der Physik, Band 217, 1870, S. 124–130.
  2. H. Goldstein: Klassische Mechanik. Akademische Verlagsgesellschaft, 1978, S. 76 f.
  3. Die Definitionen des Virials variieren etwas, z. B. lassen sowohl Wolfgang Pauli in seinen Vorlesungen über Thermodynamik (ETH Zürich 1958) als auch das unten zitierte Buch von Honerkamp den Vorfaktor −1/2 in der Definition des Virials weg und Pauli lässt auch die Mittelbildung weg.
  4.  J. Honerkamp, H. Römer: Klassische Theoretische Physik. Springer, 2012, ISBN 9783642232626 (Kapitel 2.12: Der Virialsatz. in der Google Buchsuche).
  5.  J. Wess: Theoretische Mechanik. Springer-Verlag, 2008, ISBN 9783540748694 (Kapitel 13: Homogene Potenziale. in der Google Buchsuche).
  6. H. Voigt: Abriss der Astronomie. BI Verlag, 1980, S. 367 ff., S. 487.
  7. Sebastian von Hoerner: Zeitschrift für Astrophysik. Band 50, 1960, 184. Danach etwa fünfmal höher.


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