Gyrus und Inkreis: Unterschied zwischen den Seiten

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[[Datei:Gray726.png|mini|400px|Die äußere Oberfläche der linken Gehirnhälfte mit ihren Gehirnwindungen (aus [[Wikipedia:Gray's Anatomy|Gray's Anatomy]], Tafel 726)]]
[[Datei:Pentagon-inscribed-circle.svg|mini|[[Tangentenfünfeck]] mit Inkreis]]


Als '''Gyrus''' (von {{ELSalt|γύρος}} ''gýros'' „Runde, Biegung, Rand, Windung“) wird in der [[Anatomie]] eine deutlich aus der [[Gehirn]]oberfläche hervortretende '''Gehirnwindung''' bezeichnet. Die einzelnen Gyri sind dabei deutlich durch '''Fissuren''' („Furchen“) und '''Sulci''' („Gräben“, Ez. '''Sulcus''') voneinander getrennt. Die Gyri finden sich in der [[Großhirnrinde]] und in der [[Kleinhirn]]rinde und bewirken eine wesentliche Oberflächenvergrößerung. Bei Neugeborenen beträgt die Gehirnoberfläche etwa 679 cm² und wächst beim Erwachsenen auf ca. 1600 cm² an.
Der '''Inkreis''' eines [[Polygon]]s (Vielecks) in der [[Euklidische Ebene|euklidischen Ebene]] ist der [[Kreis (Geometrie)|Kreis]], der alle Seiten des Polygons in ihrem Inneren berührt (das heißt, er [[Berührung (Mathematik)|berührt]] die Strecken ''zwischen'' den [[Eckpunkt]]en und nicht ihre Verlängerungen). Er ist gleichzeitig der größte Kreis, der vollständig in dem gegebenen Polygon liegt.


== Beispiele ==
Nur solche Polygone, bei denen sich alle [[Winkelhalbierende]]n der [[Innenwinkel]] des Polygons in einem Punkt schneiden, besitzen einen Inkreis. Der Schnittpunkt ist in diesem Fall der Mittelpunkt des Inkreises.


* [[Wikipedia:Gyrus angularis|Gyrus angularis]]
Existiert der Inkreis eines Polygons mit [[Flächeninhalt]] <math>A</math> und [[Umfang (Geometrie)|Umfang]] <math>u</math>, so hat der Inkreisradius den Wert
* [[Wikipedia:Gyrus cinguli|Gyrus cinguli]]
: <math>r = \frac{2A}{u}</math>.
* [[Gyrus dentatus]]
 
* [[Wikipedia:Gyrus frontalis inferior|Gyrus frontalis inferior]]
== Inkreis eines Dreiecks ==
* [[Gyrus fusiformis]]
[[Datei:Triangle-inscribed-circle.svg|mini|Dreieck mit Inkreis]]
* [[Wikipedia:Gyrus insularis|Gyrus insularis]]
Eine besonders große Bedeutung hat der Inkreis in der [[Dreiecksgeometrie]]. Jedes [[Dreieck]] besitzt einen Inkreis, sein Mittelpunkt liegt im Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden. Zeichnet man um diesen Schnittpunkt einen Kreis, der eine Seite des Dreiecks berührt (die Seite wird somit eine [[Kreistangente]] des Inkreises), so berührt dieser Kreis auch die beiden anderen Seiten.
* [[Wikipedia:Gyrus parahippocampalis|Gyrus parahippocampalis]]
 
* [[Gyrus postcentralis]]
Alle Punkte der Winkelhalbierenden des Innenwinkels <math>\alpha = \angle BAC</math> haben den gleichen Abstand von den Seiten <math>[AB]</math> und <math>[CA]</math>. Entsprechend haben die Punkte der Winkelhalbierenden von <math>\beta = \angle CBA</math> den gleichen Abstand von <math>[BC]</math> und <math>[AB]</math>. Der Schnittpunkt dieser beiden Winkelhalbierenden hat also von allen drei Seiten des Dreiecks (<math>[AB]</math>, <math>[BC]</math> und <math>[CA]</math>) gleichen Abstand. Er muss also auch auf der dritten Winkelhalbierenden liegen.
* [[Gyrus praecentralis]]
 
* [[Wikipedia:Gyrus rectus|Gyrus rectus]]
Der Inkreis berührt alle drei Seiten von innen – im Gegensatz zu den drei [[Ankreis]]en, die jeweils eine Seite von außen und die Verlängerungen der beiden anderen Seiten berühren.
* [[Wikipedia:Gyrus supramarginalis|Gyrus supramarginalis]]
 
* [[Wikipedia:Gyri temporales transversi|Gyri temporales transversi]]
Der Inkreismittelpunkt, also der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, zählt zu den [[Ausgezeichnete Punkte im Dreieck|ausgezeichneten Punkten]] des Dreiecks. Er trägt die [[Kimberling-Nummer]] <math>X_1</math>.
 
=== Radius ===
Ist <math>A</math> der [[Flächeninhalt]] des Dreiecks mit den Seiten <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math>, so berechnet sich der [[Radius]] <math>r</math> des Inkreises durch:
 
: <math>r = \frac{2 A}{a+b+c} = \sqrt{\frac{(s-a) (s-b) (s-c)}{s} }</math>
 
mit
 
: <math>s = \frac{a+b+c}{2}= \frac{u}{2}</math>
 
Je nach den gegebenen Parametern des Dreiecks ist folgender Zusammenhang interessant:
 
: <math>r = \frac{a}{\cot\left(\frac{\beta}{2}\right) + \cot\left(\frac{\gamma}{2}\right)} = \frac{b}{\cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \cot\left(\frac{\gamma}{2}\right)} = \frac{c}{\cot\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \cot\left(\frac{\beta}{2}\right)}</math>
 
=== Koordinaten ===
Die [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]] des Inkreis-Mittelpunktes berechnen sich als das mit den Seitenlängen der gegenüberliegenden Seiten gewichtete Mittel der Eckpunkt-Koordinaten. Wenn sich die drei Eckpunkte bei <math>(x_A,y_A)</math>, <math>(x_B,y_B)</math> und <math>(x_C,y_C)</math> befinden und die den Eckpunkten gegenüberliegenden Seiten die Längen <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> haben, dann befindet sich der Inkreis-Mittelpunkt bei
: <math>\left(\frac{a x_A+b x_B+c x_C}{P},\frac{a y_A+b y_B+c y_C}{P}\right) = \frac{a(x_A,y_A)+b(x_B,y_B)+c(x_C,y_C)}{P}</math>
mit <math>\ P = a + b + c.</math>
 
{| class="centered" border="1" cellspacing="0" cellpadding="2"
|-
!colspan="2" style="background:#C0C0FF; text-align:left;"| Inkreismittelpunkt eines Dreiecks (<math>X_1</math>)
|-
!style="text-align:left"| [[Trilineare Koordinaten]]
| <math>1 \,: \, 1 \,: \, 1</math>
|-
!style="text-align:left"| [[Baryzentrische Koordinaten]]
| <math>a \,: \, b \,: \, c</math>
|}
 
=== Weitere Eigenschaften ===
* Die Entfernung zwischen der Ecke ''A'' und einem der benachbarten Berührpunkte des Inkreises ist gleich <math>s-a</math>; dabei bedeutet <math>s</math> wie oben den halben Umfang. Entsprechendes gilt für die Ecken ''B'' und ''C''.
* Die [[Verbindungsgerade]]n der Ecken des Dreiecks mit den gegenüberliegenden Berührpunkten des Inkreises schneiden sich in einem Punkt, dem [[Gergonne-Punkt]].
* Der [[Satz vom Dreizack]] stellt einen Zusammenhang zwischen [[Umkreis]] und Inkreis her.
 
=== Inkreis eines rechtwinkligen Dreiecks ===
Liegt speziell ein [[rechtwinkliges Dreieck]] in der euklidischen Ebene vor, so lassen sich weitergehende Angaben zum Inkreis eines solchen Dreiecks machen.<ref name="CA-RBN-I">Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''Bezaubernde Beweise: eine Reise durch die Eleganz der Mathematik.'' 2013, S. 89–90</ref>
 
==== Radius des Inkreises ====
Im Falle eines rechtwinkligen Dreiecks mit Seitenlängen <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math>, wobei <math>c</math> die [[Länge (Mathematik)|Länge]] der Hypotenuse sein soll, kann man für den Inkreisradius <math>r</math> zwei einfache Gleichungen angeben, welche wie folgt lauten:
: <math>r = \frac{a \cdot b}{a+b+c} = \frac{a+b-c}{2}</math>.
 
==== Flächenformel ====
Der [[Tangentialpunkt]], in dem die Hypotenuse den Inkreis [[Berührpunkt|berührt]], zerlegt diese in die Teil[[Strecke (Geometrie)#Eigenschaften|strecken]] mit den Längen
: <math>x = a-r</math>
 
und
: <math>y = b-r</math>.
 
Damit gilt dann in Hinblick auf den Flächeninhalt <math>A</math> des rechtwinkligen Dreiecks
: <math>A = \frac{a \cdot b}{2} = (a-r)  \cdot (b-r) = x \cdot y</math>.
 
== Inkreise anderer Vielecke ==
 
Während bei Dreiecken stets ein Inkreis existiert, trifft dies bei Vielecken (Polygonen) mit mehr als drei Ecken nur in Sonderfällen zu.
 
[[Viereck]]e, die einen Inkreis besitzen, heißen [[Tangentenviereck]]e. Zu ihnen gehören alle [[Konvexe Menge|konvexen]] [[Drachenviereck]]e, insbesondere alle [[Raute]]n und [[Quadrat (Geometrie)|Quadrate]].
 
[[Regelmäßiges Polygon|Regelmäßige Polygone]] haben – unabhängig von der Zahl der Ecken – stets einen Inkreis. Für den Inkreisradius eines regelmäßigen <math>n</math>-Ecks mit der Seitenlänge <math>a</math> gilt:
: <math>r = \frac{a}{2} \cot\tfrac{180^\circ}{n} = \frac{a}{2 \tan\frac{180^\circ}{n}} </math>


== Siehe auch ==
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Gyrus}}
* {{WikipediaDE|Inkreis}}
* {{WikipediaDE|Umkreis}}
* {{WikipediaDE|Ankreis}}
* {{WikipediaDE|Kreise am Dreieck}}
* {{WikipediaDE|Inkugel}}
 
== Literatur ==
* {{Literatur
  |Autor=Claudi Alsina, Roger B. Nelsen
  |Titel=Bezaubernde Beweise: eine Reise durch die Eleganz der Mathematik
  |Verlag=Springer Spektrum
  |Ort=Berlin (u.&nbsp;a.)
  |Datum=2013
  |ISBN=978-3-642-34792-4}}
* Harold Scott MacDonald Coxeter, S. L. Greitzer: ''Zeitlose Geometrie.'' Klett, Stuttgart 1983, ISBN 3-12-983390-0.
* Max Koecher, Aloys Krieg: ''Ebene Geometrie.'' 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u.&nbsp;a. 2007, ISBN 978-3-540-49327-3.
 
== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
* [http://www.walter-fendt.de/m14d/inkreis.htm Inkreis eines Dreiecks wird Schritt für Schritt gezeichnet]
* {{MathWorld |id=Incircle |title=Inkreis}}
* [http://www.zum.de/dwu/depotan/amdl004.htm Flash-Animation zur Inkreis-Konstruktion beim Dreieck] (dwu-Unterrichtsmaterialien)
 
== Einzelnachweise ==
<references />
 
[[Kategorie:Dreiecksgeometrie]]
[[Kategorie:Kreis]]


[[Kategorie:Großhirn]]
{{Wikipedia}}
[[Kategorie:Gehirn]]
[[Kategorie:Gyrus|!]]

Aktuelle Version vom 14. Februar 2020, 20:53 Uhr

Tangentenfünfeck mit Inkreis

Der Inkreis eines Polygons (Vielecks) in der euklidischen Ebene ist der Kreis, der alle Seiten des Polygons in ihrem Inneren berührt (das heißt, er berührt die Strecken zwischen den Eckpunkten und nicht ihre Verlängerungen). Er ist gleichzeitig der größte Kreis, der vollständig in dem gegebenen Polygon liegt.

Nur solche Polygone, bei denen sich alle Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Polygons in einem Punkt schneiden, besitzen einen Inkreis. Der Schnittpunkt ist in diesem Fall der Mittelpunkt des Inkreises.

Existiert der Inkreis eines Polygons mit Flächeninhalt und Umfang , so hat der Inkreisradius den Wert

.

Inkreis eines Dreiecks

Dreieck mit Inkreis

Eine besonders große Bedeutung hat der Inkreis in der Dreiecksgeometrie. Jedes Dreieck besitzt einen Inkreis, sein Mittelpunkt liegt im Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden. Zeichnet man um diesen Schnittpunkt einen Kreis, der eine Seite des Dreiecks berührt (die Seite wird somit eine Kreistangente des Inkreises), so berührt dieser Kreis auch die beiden anderen Seiten.

Alle Punkte der Winkelhalbierenden des Innenwinkels haben den gleichen Abstand von den Seiten und . Entsprechend haben die Punkte der Winkelhalbierenden von den gleichen Abstand von und . Der Schnittpunkt dieser beiden Winkelhalbierenden hat also von allen drei Seiten des Dreiecks (, und ) gleichen Abstand. Er muss also auch auf der dritten Winkelhalbierenden liegen.

Der Inkreis berührt alle drei Seiten von innen – im Gegensatz zu den drei Ankreisen, die jeweils eine Seite von außen und die Verlängerungen der beiden anderen Seiten berühren.

Der Inkreismittelpunkt, also der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, zählt zu den ausgezeichneten Punkten des Dreiecks. Er trägt die Kimberling-Nummer .

Radius

Ist der Flächeninhalt des Dreiecks mit den Seiten , und , so berechnet sich der Radius des Inkreises durch:

mit

Je nach den gegebenen Parametern des Dreiecks ist folgender Zusammenhang interessant:

Koordinaten

Die kartesischen Koordinaten des Inkreis-Mittelpunktes berechnen sich als das mit den Seitenlängen der gegenüberliegenden Seiten gewichtete Mittel der Eckpunkt-Koordinaten. Wenn sich die drei Eckpunkte bei , und befinden und die den Eckpunkten gegenüberliegenden Seiten die Längen , und haben, dann befindet sich der Inkreis-Mittelpunkt bei

mit

Inkreismittelpunkt eines Dreiecks ()
Trilineare Koordinaten
Baryzentrische Koordinaten

Weitere Eigenschaften

  • Die Entfernung zwischen der Ecke A und einem der benachbarten Berührpunkte des Inkreises ist gleich ; dabei bedeutet wie oben den halben Umfang. Entsprechendes gilt für die Ecken B und C.
  • Die Verbindungsgeraden der Ecken des Dreiecks mit den gegenüberliegenden Berührpunkten des Inkreises schneiden sich in einem Punkt, dem Gergonne-Punkt.
  • Der Satz vom Dreizack stellt einen Zusammenhang zwischen Umkreis und Inkreis her.

Inkreis eines rechtwinkligen Dreiecks

Liegt speziell ein rechtwinkliges Dreieck in der euklidischen Ebene vor, so lassen sich weitergehende Angaben zum Inkreis eines solchen Dreiecks machen.[1]

Radius des Inkreises

Im Falle eines rechtwinkligen Dreiecks mit Seitenlängen , und , wobei die Länge der Hypotenuse sein soll, kann man für den Inkreisradius zwei einfache Gleichungen angeben, welche wie folgt lauten:

.

Flächenformel

Der Tangentialpunkt, in dem die Hypotenuse den Inkreis berührt, zerlegt diese in die Teilstrecken mit den Längen

und

.

Damit gilt dann in Hinblick auf den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks

.

Inkreise anderer Vielecke

Während bei Dreiecken stets ein Inkreis existiert, trifft dies bei Vielecken (Polygonen) mit mehr als drei Ecken nur in Sonderfällen zu.

Vierecke, die einen Inkreis besitzen, heißen Tangentenvierecke. Zu ihnen gehören alle konvexen Drachenvierecke, insbesondere alle Rauten und Quadrate.

Regelmäßige Polygone haben – unabhängig von der Zahl der Ecken – stets einen Inkreis. Für den Inkreisradius eines regelmäßigen -Ecks mit der Seitenlänge gilt:

Siehe auch

Literatur

  •  Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Bezaubernde Beweise: eine Reise durch die Eleganz der Mathematik. Springer Spektrum, Berlin (u. a.) 2013, ISBN 978-3-642-34792-4.
  • Harold Scott MacDonald Coxeter, S. L. Greitzer: Zeitlose Geometrie. Klett, Stuttgart 1983, ISBN 3-12-983390-0.
  • Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-49327-3.

Weblinks

 Wiktionary: Inkreis – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

  1. Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Bezaubernde Beweise: eine Reise durch die Eleganz der Mathematik. 2013, S. 89–90


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