Säuren und Kreis: Unterschied zwischen den Seiten

Aus AnthroWiki
(Unterschied zwischen Seiten)
imported>Joachim Stiller
 
imported>Odyssee
 
Zeile 1: Zeile 1:
'''Säuren''' sind im engeren Sinne alle [[Chemische Verbindung|chemischen Verbindungen]], die in der Lage sind, [[Proton (Chemie)|Protonen]] (H<sup>+</sup>) an einen Reaktionspartner zu übertragen – sie können als [[Protonendonator]] fungieren. In wässriger Lösung ist der Reaktionspartner im Wesentlichen Wasser. Es bilden sich [[Oxonium]]-Ionen (H<sub>3</sub>O<sup>+</sup>) und der [[pH-Wert]] der Lösung wird damit gesenkt. Säuren reagieren mit sogenannten [[Basen (Chemie)|Basen]] unter Bildung von Wasser und [[Salze]]n. Eine [[Basen (Chemie)|Base]] ist somit das Gegenstück zu einer Säure und vermag diese zu [[Neutralisation (Chemie)|neutralisieren]].
[[Datei:KreisMittelpunktRadius.svg|mini|Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r]]


Im weiteren Sinn beschreiben verschiedene [[Säure-Base-Konzepte]] wesentlich breitere Paletten von chemischen Reaktionen, die weit über die oben erwähnten Reaktionen hinausreichen können.
Ein '''Kreis''' ist eine ebene [[geometrische Figur]]. Er wird definiert als die [[Menge (Mathematik)|Menge]] aller Punkte einer [[Ebene (Mathematik)|Ebene]], die einen [[Konstante Funktion|konstanten]] [[Abstand]] zu einem vorgegebenen Punkt dieser Ebene (dem ''Mittelpunkt'') haben. Der Abstand der Kreispunkte zum Mittelpunkt ist der '''Radius''' (von {{laS|radius}}, wörtlich „Stab“, „Speiche“ oder „Strahl“) oder ''Halbmesser'' des Kreises, er ist eine [[Positive Zahl|positive]] [[reelle Zahl]]. Ein Kreis mit dem Radius 1 wird als '''Einheitskreis''' bezeichnet. Der Kreis gehört zu den klassischen und [[Mathematisches Objekt|grundlegenden Objekten]] der [[Euklidische Geometrie|euklidischen Geometrie]]. Er lässt sich aber auch anders als nach dieser klassischen Definition beschreiben, nämlich als [[Apollonius-Kreis]]. Benannt ist er nach antiken Mathematiker [[Apollonios von Perge]]. Er ist definiert als die [[Menge (Mathematik)|Menge]] aller [[Punkt (Geometrie)|Punkte]], für die das [[Verhältnis (Mathematik)|Verhältnis]] (d.h. der [[Quotient]]) der Entfernungen zu zwei gegebenen Punkten einen vorgegebenen konstanten Wert hat. Er wird deshalb gelegentlich auch als [[Quotientenkreis]] bezeichnet.


== Geschichte ==
== Kreiszahl ==
Wohl die älteste bekannte Säure (lat. ''acidum'') ist [[Essig]] (lat. ''acetum''), eine etwa fünfprozentige wässrige Lösung der Verbindung [[Essigsäure]]. Säuren waren etwas ''Essigartiges'' (''oxos'' od. ''acidus''). In der [[Alchemie]] galt Säure als ein ''Urstoff''. Die sauren Eigenschaften basierten auf einer einzigen ''Ursäure'', die in verschiedenen Substanzen zur Wirkung kam. Säuren lassen [[Calciumcarbonat|Kalk]] bzw. [[Carbonate]] aufschäumen, haben eine ätzende Wirkung und einen sauren [[Gustatorische Wahrnehmung|Geschmack]]. Bis Ende des 13. Jahrhunderts waren wohl neben Essig und anderen Pflanzensäften keine Säuren bekannt. Erweiterte Kenntnisse bezüglich Säuren wurden dem im 8. Jahrhundert lebenden [[Dschābir ibn Hayyān|Geber]] zugeschrieben, sie basieren jedoch auf Schriften der deutlich jüngeren, sogenannten ''[[Pseudo-Geber]]''. Es entwickelten sich Kenntnisse über verschiedene anorganische Säuren, die alle den ''Varietäten des [[Vier-Elemente-Lehre|Elements Wasser]]'' zugeschrieben wurden. Ab dem 18. Jahrhundert wurden sie als [[Mineralsäuren]] bezeichnet.


* Eine Herstellung von [[Salpetersäure]] (HNO<sub>3</sub>) wurde von den Pseudo-Geber vermutlich nach dem 13.&nbsp;Jahrhundert als „auflösendes Wasser“ ''(aqua dissolutiva)'' oder „starkes Wasser“ ''(aqua fortis)'' beschrieben. Dabei wurde [[Kupfersulfat|Kupfervitriol]] (siehe aber auch [[Chalkanthit]]) mit [[Nitrate#Salpeter|Salpeter]] und [[Alaune]]n auf Rotglut erhitzt. Es entweichen [[Stickoxide#Nitrose Gase|nitrose Gase]], die mit Wasser Salpetersäure bilden. Man nannte diese Säure auch ''Scheidewasser'', da sie [[Silber]] in einer chemischen Reaktion löst, aber [[Gold]] nicht. [[Johann Rudolph Glauber|J.&nbsp;R. Glauber]] beschrieb 1648 die Herstellung der konzentrierten (rauchenden) Salpetersäure ''(spiritus acidus nitri)'' durch Umsetzung mit Schwefelsäure.
Schon die [[Altes Ägypten|alten Ägypter]] und [[Babylonier]] versuchten, den [[Flächeninhalt]] des Kreises näherungsweise zu bestimmen. Besonders in der griechischen [[Antike]] war der Kreis wegen seiner Vollkommenheit von großem Interesse. Beispielsweise versuchte [[Archimedes]] erfolglos, mit den Werkzeugen [[Zirkel]] und [[Lineal]] den Kreis in ein [[Quadrat (Geometrie)|Quadrat]] mit gleichem Flächeninhalt zu überführen, um so den Flächeninhalt des Kreises bestimmen zu können. Ein solches Verfahren zur Berechnung des Flächeninhalts nennt man die [[Quadratur des Kreises]]. Erst 1882 konnte [[w:Ferdinand von Lindemann|Ferdinand von Lindemann]] durch Nachweis einer besonderen Eigenschaft der Kreiszahl zeigen, dass diese Aufgabe unlösbar ist.
* [[Königswasser]], aus heutiger Sicht eine Mischung aus [[Salpetersäure|Salpeter-]] und [[Salzsäure]], dürfte ähnlich früh bekannt gewesen sein, da es sich relativ einfach durch Umsetzung von Salpetersäure mit dem bekannten [[Ammoniumchlorid|Salmiak]] gewinnen lässt. Königswasser war die ''Königin aller Säuren'', der nicht einmal [[Gold]], der ''König der Metalle'', widerstehen konnte.
* [[Schweflige Säure]] (H<sub>2</sub>SO<sub>3</sub>) ist sicher lange bekannt, da sie durch Verbrennung von elementarem [[Schwefel]] zu erhalten ist. Sicherlich war bei vielen Prozessen auch Schwefelsäure (mit) dabei. Genauere Prozesse zur Darstellung von [[Schwefelsäure]] (H<sub>2</sub>SO<sub>4</sub>) wurden aber erst 1597 von [[Andreas Libavius|A. Libavius]] genauer beschrieben: a) Glühen von [[Eisen(II)-sulfat|Eisen-]] oder [[Kupfersulfat]], dem sogenannten Eisen- bzw. Kupfer[[Vitriole|vitriol]] – siehe hierzu auch [[Vitriolverfahren]] – zum ''Oleum vitrioli'' (rauchender Schwefelsäure) und b) Verbrennung von Schwefel und anschließende Oxidation, die zu verdünnten Lösungen ''(Oleum sulphuris)'' führten. Eine technische Umsetzung gelang im 19. Jahrhundert mit dem [[Bleikammerverfahren]].
* [[Salzsäure]] (HCl) wurde erst Ende des 16.&nbsp;Jahrhunderts bekannt. Durch Glühen einer Mischung aus [[Natriumchlorid|Kochsalz]] und [[Tonminerale|Ton]] beschrieb [[Andreas Libavius|A. Libavius]] eine Synthese. [[Basilius Valentinus|B. Valentinus]] beschrieb die Umsetzung von [[Vitriole|Vitriol]] und [[Natriumchlorid|Kochsalz]] zu ''aqua caustica'', dem ätzenden Wasser. Intensive Untersuchungen durch [[Johann Rudolph Glauber|J.&nbsp;R. Glauber]] im 17.&nbsp;Jahrhundert führten zu ''Glaubers Salzgeist'' ''(Spiritus salis Glauberianus)'', der sehr konzentrierten, sogenannten ''rauchenden'' Salzsäure bzw. dem Gas [[Chlorwasserstoff]].


Der wichtige Begriff [[Basen (Chemie)|Base]] als phänomenologisches Gegenstück zur Säure wurde im 17. Jahrhundert von Alchimisten und Chemikern wie [[Georg Ernst Stahl|G.&nbsp;E. Stahl]], [[Robert Boyle|R. Boyle]] und [[Guillaume-François Rouelle|G.&nbsp;F. Rouelle]] verwendet, weil „basische“ Stoffe die ''nichtflüchtige'' Grundlage zur ''Fixierung flüchtiger Säuren'' bildeten und die (ätzende) Wirkung von Säuren aufheben konnten. Grundlegende Schritte in die Chemie gelangen [[Antoine Laurent de Lavoisier|A.&nbsp;L. Lavoisier]] im 18.&nbsp;Jahrhundert, der bestimmten chemischen Verbindungen bestimmte Eigenschaften zuwies. Er dachte, dass Säuren stets aus Nichtmetalloxiden und Wasser sowie Basen aus Metalloxiden und Wasser entstünden. [[Humphry Davy]] fand 1808 ein Gegenbeispiel ([[Chlorwasserstoff]]). [[Justus von Liebig|J. von Liebig]] sah Säuren als [[Wasserstoff]]-Verbindungen, die sich durch Metalle in [[Salze]] überführen lassen.
[[Datei:area of a circle.svg|mini|hochkant=1.7|Eine Näherung für die Kreisfläche]]
Die '''Kreiszahl''' <math>\pi = 3{,}1415926\ldots,</math> ist eine [[irrationale Zahl]], die als das aufgrund der [[Ähnlichkeit]] für alle Kreise gleiche Verhältnis ihres Umfangs <math>U</math> zu deren [[Durchmesser]] <math>d</math> definiert ist. Daraus ergibt sich die bekannte [[Formel]] für den Kreisumfang:


1887 definierte [[Svante Arrhenius|S. Arrhenius]] Säuren als Stoffe, die beim Auflösen in Wasser unter Abgabe von Protonen (H<sup>+</sup>) dissoziieren, und Basen als Stoffe, die beim Auflösen in Wasser unter Abgabe von Hydroxidionen (OH<sup>−</sup>) dissoziieren. Gibt man Säuren und Basen zusammen, neutralisieren sie sich unter Bildung von Wasser. Die Theorie war jedoch noch unzureichend, da Verbindungen ohne [[Sauerstoff]] nicht einbezogen wurden: Auch [[Ammoniak]] neutralisiert eine Säure. [[Johannes Nicolaus Brønsted|J. N. Brønsted]] und [[Thomas Lowry|T. Lowry]] beschrieben [[1923]] unabhängig voneinander die heute noch wichtigste Definition von Säuren und Basen. Sie bilden die Basis der unten erläuterten Erklärungen zur Säure.
:<math>U = d \pi = 2r \pi</math>


== Was sind Säuren? ==
Die Flächenformel lässt sich anschaulich aus der nebenstehenden Zeichnung verstehen. Der Kreis wird dabei in immer feinere Sektoren zerlegt, die sich zu einem Rechteck mit der Breite <math>r \pi</math> und der Höhe <math>r</math> zusammenstellen lassen. Daraus ergibt sich die Formel für die Kreisfläche <math>A</math>:
Ohne näher auf verschiedene ''[[Säure-Base-Konzepte]]'' einzugehen, soll hier als Einstieg eine mögliche und übliche Betrachtungsweise beschrieben werden. Im engen Zusammenhang mit Säuren stehen ''in der Regel'' und häufig ''ohne ausdrückliche Erwähnung'' die Anwesenheit und bestimmte [[Eigenschaften des Wassers]]. Reines Wasser unterliegt einer sogenannten [[Protolyse#Autoprotolyse|Autoprotolyse]]. Hierbei entstehen aus dem Wasser in sehr kleinen und gleichen Mengen [[Oxonium]]ionen (H<sub>3</sub>O<sup>+</sup>) und [[Hydroxide|Hydroxidionen]] (OH<sup></sup>):


:<math>\mathrm{1. \ H_2O + H_2O \ \rightleftharpoons \ H_3O^+ + OH^-}</math>
:<math>A = r^2 \pi</math>


In dieser Reaktionsgleichung des Wassers zeigt sich die Eigenschaft einer Säure, nämlich die Fähigkeit der Bildung von H<sub>3</sub>O<sup>+</sup>-Ionen in Wasser. Gleichzeitig bilden sich OH<sup>−</sup>-Ionen in Wasser – eine der Eigenschaften, über die eine [[Basen (Chemie)|Base]] verfügen kann. Man bezeichnet jedoch Wasser weder als eine Base noch als eine Säure und nennt sein Verhalten ''neutral''. Dies bezieht sich auf den [[pH-Wert]], der die [[Stoffmengenkonzentration|Konzentration]] der H<sub>3</sub>O<sup>+</sup>-Ionen in Wasser angibt. Reines Wasser hat den pH-Wert von 7, also eine sehr kleine Konzentration. Diese Reaktion ist, wie alle in diesem Abschnitt beschriebenen Reaktionen, eine Gleichgewichtsreaktion: Die Bildung der Ionen sowie deren Vereinigung zu Wasser findet ständig und mit gleicher Häufigkeit statt. ''Neutral'' heißt also nicht, dass nichts passiert.
== Worterklärungen ==
=== Kreisflächen ===
Nach der eingangs genannten Definition ist ein Kreis eine [[Kurve (Mathematik)|Kurve]], also ein [[Dimension (Mathematik)|eindimensionales]] Gebilde, und keine zweidimensionale [[Fläche (Mathematik)|Fläche]]. Da das Wort „Kreis“ aber oft ungenau auch für die eingeschlossene Fläche benutzt wird, verwendet man zur Verdeutlichung häufig die Begriffe ''Kreislinie, Kreisrand'' oder ''Kreisperipherie''<ref>Ilja Nikolajewitsch Bronštein: ''Taschenbuch der Mathematik.'' Verlag Harri Deutsch, 5. Auflage, Thun und Frankfurt 2001, S.&nbsp;143.</ref> anstatt Kreis&nbsp;– im Gegensatz zur ''Kreisfläche'' oder ''Kreisscheibe.'' Mathematiker unterscheiden dann noch zwischen der ''abgeschlossenen'' Kreisfläche oder -scheibe und der ''[[Offene Menge|offenen]]'' (oder dem ''Kreisinneren''), je nachdem ob die Kreislinie dazugehört oder nicht.


Als Säuren kann man [[chemische Verbindung]]en bezeichnen, die in einer bestimmten Wechselwirkung mit Wasser stehen können. Sie verfügen über Wasserstoffatome, die ionenähnlich (ionogen) gebunden sind. So reagiert reine [[Essigsäure]] (H<sub>3</sub>C-COOH) mit Wasser und bildet dabei weitere H<sub>3</sub>O<sup>+</sup>-Ionen. Tritt eine solche Reaktion auf, kann man eine Verbindung als Säure bezeichnen.
=== Bogen, Sehne, Sektor, Segment und Ring ===
Neben dem Oxoniumion entstehen auch das Acetat-[[Anion]] H<sub>3</sub>C-COO<sup>−</sup>:
[[Datei:BogenSektorSegment.svg|mini|hochkant=2|Kreisbogen, Kreissektor und Kreissegment]]
[[Datei:Couronne.svg|mini|hochkant=1.0|Kreisring]]


:<math>\mathrm{2. \ H_3C{-}COOH + H_2O \ \rightleftharpoons \ H_3C{-}COO^- + H_3O^+}</math>
Eine zusammenhängende Teilmenge des Kreises (also der Kreislinie) ist ein '''Kreisbogen'''. Eine [[Strecke (Geometrie)|Verbindungsstrecke]] von zwei Punkten auf der Kreislinie bezeichnet man als '''Kreissehne''' Zu jeder Sehne gehören zwei Kreisbögen. Die längsten Kreissehnen sind diejenigen, die durch den Mittelpunkt verlaufen, also die '''Durchmesser'''. Die zugehörigen Kreisbögen heißen Halbkreise. Ist die Kreissehne kein Durchmesser, so sind die Kreisbögen unterschiedlich lang.


[[Essigsäure]] ist eine [[Carbonsäuren|Carbonsäure]] und im Vergleich zu [[Mineralsäuren|anorganischen Säuren]] wie [[Chlorwasserstoff]] eine eher schwache Säure. In wässriger Lösung liegen ein guter Teil der Moleküle [[Dissoziation (Chemie)|undissoziiert]] als H<sub>3</sub>C-COOH vor. Auch hier stellt sich zügig ein [[Chemisches Gleichgewicht|Gleichgewicht]] ein. Die obige Reaktionsgleichung (2) lässt sich aus diesem Grund mit gleicher Berechtigung von rechts nach links lesen. Ein Acetat-Anion reagiert mit einem Oxoniumion zu Wasser und Essigsäure. In dieser Leserichtung findet eine ''basische Reaktion'' statt: die Umsetzung von Hydroxoniumionen zu Wassermolekülen. Setzt man einer Essigsäurelösung in geeigneter Menge Acetat-Anionen, beispielsweise in Form des gut löslichen [[Natriumacetat]]s zu, kann die saure Eigenschaft der Essigsäure vollständig durch die basische Eigenschaft des Acetat-Ions kompensiert werden. Die wässrige Lösung wird neutralisiert. ''Neutral'' heißt auch hier keineswegs, dass nichts in der Lösung passiert. Nur die Konzentration der H<sub>3</sub>O<sup>+</sup>-Ionen ist so gering wie in reinem Wasser.
Ein '''Kreissektor''' (Kreisausschnitt) ist eine Fläche, die von zwei Radien und einem dazwischen liegenden Kreisbogen begrenzt wird. Bilden die zwei Radien einen Durchmesser, wird der Sektor auch als Halbkreis bezeichnet.


Ergänzend soll nun die ''basische Reaktion'' betrachtet werden, die auftritt, wenn Natriumacetat in ''reinem'' Wasser gelöst wird (Das Na<sup>+</sup>-Kation ist in der Reaktionsgleichung weggelassen):
'''Kreissegmente''' (Kreisabschnitte)'' werden von einem Kreisbogen und einer Kreissehne eingeschlossen.


:<math>\mathrm{3. \ H_3C{-}COO^- + H_2O \ \rightleftharpoons \ OH^- + H_3C{-}COOH}</math>
Ein '''Kreisring''' entsteht, wenn man aus einem Kreis einen kleineren Kreis mit demselben Mittelpunkt herausschneidet.


Hier bilden sich [[Hydroxide|Hydroxidionen]] (OH<sup>−</sup>). Fügt man dieser Acetatlösung eine geeignete Menge an wässriger Essigsäurelösung zu, wird die Lösung ''neutral''. Es stellt sich zwischen H<sub>3</sub>O<sup>+</sup> und OH<sup>−</sup> das Gleichgewicht (1) ein, das zu Anfang als Grundeigenschaft von Wasser vorgestellt wurde und hier als Gleichung (1a) andersherum dargestellt ist.
=== Tangente, Passante und Sekante ===
Für die Lage einer [[Gerade]]n in Bezug auf einen gegebenen Kreis gibt es drei Möglichkeiten:
[[Datei:SekTangPass.svg|mini|links|Beziehung von Kreis zu Tangente, Passante und Sekante]]


:<math>\mathrm{1a) \ H_3O^+ + OH^- \ \rightleftharpoons \ H_2O + H_2O}</math>
* Ist der Abstand zwischen Mittelpunkt und Gerade kleiner als der Kreisradius, so haben Kreis und Gerade zwei (verschiedene) Schnittpunkte und man nennt die Gerade [[Sekante]] (lateinisch ''secare'' = schneiden). Manchmal bezeichnet man den Spezialfall einer Sekante, die durch den Mittelpunkt eines Kreises verläuft, als ''Zentrale.''
* Stimmt der Abstand des Mittelpunkts zu der Geraden mit dem Radius überein, so gibt es genau einen gemeinsamen Punkt. Man sagt, dass die Gerade den Kreis berührt, und nennt die Gerade eine [[Tangente]] (lateinisch ''tangere'' = berühren). Eine Tangente steht im Berührpunkt senkrecht ([[Orthogonalität|orthogonal]], normal) zum entsprechenden Radius.
* Wenn der Abstand des Kreismittelpunkts von der Geraden größer ist als der Kreisradius, dann haben Kreis und Gerade keinen Punkt gemeinsam. In diesem Fall bezeichnet man die Gerade als [[Passante]]. Diese Bezeichnung hat keinen unmittelbaren lateinischen Ursprung, sondern wurde wohl nach franz. oder ital. ''passante'' = Vorbeigehende gebildet. Die lat. Wurzel ist ''passus'' = Schritt.


Viele als Säure bezeichnete Substanzen sind von vornherein wässrige Lösungen und können nicht ohne weiteres als chemische Verbindungen verstanden werden, die über ionogen gebundene Wasserstoffatome verfügen. [[Salzsäure]] ist eine ''wässrige Lösung'' des Gases [[Chlorwasserstoff]] (HCl) und gilt als eine starke Säure. In dieser Lösung liegt – vor jeder praktischen Verwendung der Säure – bereits die Gleichgewichtsreaktion (4) vor, bei der das Gleichgewicht fast vollständig auf der rechten Seite liegt.
Die zweidimensionale Entsprechung der Tangente ist die '''Tangentialebene''', die ein dreidimensionales Objekt (z.&nbsp;B. eine [[Kugel]]) in einem Punkt berührt.
{{Absatz}}


:<math>\mathrm{4. \ HCl + H_2O \ \rightleftharpoons \ H_3O^+ + Cl^-}</math>
== Formale Definition ==
[[Datei:Kreis.svg|mini|Ein Kreis mit Mittelpunkt <math>M</math>, Radius <math>r</math> und Durchmesser <math>d</math>.]]
In einer Ebene <math>E</math> ist ein Kreis <math>k</math> mit Mittelpunkt <math>\mathrm{M} \in E</math> und Radius <math>r > 0</math> die Punktmenge
:<math>k = \left\{\mathrm{X} \in E ~ \vert ~ \overline{\mathrm{MX}} = r \right\}.</math><ref>Max Koecher, Aloys Krieg: ''Ebene Geometrie.'' 3. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg New York 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S.&nbsp;143.</ref>


Der Chlorwasserstoff hat sein Potential, eine Säure zu sein, schon längst ausgespielt, und es haben sich H<sub>3</sub>O<sup>+</sup>-Ionen gebildet. Die chemischen Auswirkungen, die durch eine praktische Anwendung der Salzsäure auftreten, sind auf Reaktionen der H<sub>3</sub>O<sup>+</sup>-Ionen zurückzuführen. Die Säure ''ist'' das H<sub>3</sub>O<sup>+</sup>-Ion. Das Maß für den Säuregehalt ([[Stoffmengenkonzentration|Konzentration]]) ist hier der [[pH-Wert]], während bei schwächeren Säuren, wie Essigsäure, das Maß für die [[Säurekonstante|Säurestärke]], der pKs-Wert, im Vordergrund steht. Starke und schwache Säuren unterscheiden sich durch ihre Tendenz, „gerne“ oder „weniger gerne“ H<sub>3</sub>O<sup>+</sup>-Ionen in Wasser zu bilden. Im Abschnitt Säure-Base-Gleichgewicht werden diese Tendenzen näher beschrieben.
Dabei ist der Radius <math>r</math> eine positive reelle Zahl, und <math>\overline{\mathrm{MX}}</math> bezeichnet die Länge der [[Strecke (Geometrie)|Strecke]] <math>[\mathrm{MX}]</math>.


=== Säure-Base-Gleichgewicht ===
Der doppelte Radius heißt '''Durchmesser''' und wird oft mit <math>d</math> bezeichnet. Radius <math>r</math> und Durchmesser <math>d</math> sind durch die Beziehungen <math>d = 2r</math> oder <math>r = d/2</math> miteinander verknüpft.
Bei der [[Protolyse]] nimmt ein Reaktionspartner (in der Regel Wasser) das von der Säure abgegebene Proton auf. Dies ist abzugrenzen von den [[Redoxreaktion]]en, bei denen [[Elektron]]enübergänge stattfinden.


Die allgemeine [[Chemisches Gleichgewicht|Gleichgewichtsreaktion]] einer Säure HA ''in wässriger Lösung'' lautet:
Manchmal wird auch jede ''Strecke,'' die den Mittelpunkt mit einem Punkt auf der Kreislinie verbindet, als ''Radius'' bezeichnet, und jede Strecke, die durch den Mittelpunkt geht, und deren beide Endpunkte auf der Kreislinie liegen, als ''Durchmesser.'' Bei dieser Sprechweise ist die ''Zahl'' <math>r</math> die ''Länge'' jedes Radius und die Zahl <math>d</math> die Länge jedes Durchmessers.


:<math>\mathrm{5. \ HA + H_2O \ \rightleftharpoons \ H_3O^+ + A^-}</math>
Die offene Kreisfläche ist formal definiert als die Punktmenge


Die Säuren unterscheiden sich in ihrer Tendenz, H<sup>+</sup>-Ionen an Wasser zu übertragen. Diese wird als ''Säurestärke'' ''K''<sub>s</sub> bezeichnet und gibt die Gleichgewichtskonstante ([[Säurekonstante]]) der Säurereaktion an. Die Säurekonstante wird häufig in Form des p''K''<sub>s</sub>-Wertes angegeben, der als negativer dekadischer Logarithmus der Säurekonstante definiert ist.
<math>\left\{\mathrm{X} \in E ~ \vert ~ \overline{\mathrm{MX}} < r \right\},</math>


:<math>K_\mathrm{S} = \frac{c(\mathrm{H}_3\mathrm{O}^+) \cdot c(\mathrm{A}^-)}{c(\mathrm{HA})}</math>
die abgeschlossene Kreisscheibe als


:<math>\mathrm{p}K_\mathrm{S} = -\log K_\mathrm{S}</math>
<math>\left\{\mathrm{X} \in E ~ \vert ~ \overline{\mathrm{MX}} \le r \right\}.</math>


Säuren mit großem ''K''<sub>s</sub>-Wert (kleinem p''K''<sub>s</sub>-Wert) sind starke Säuren. Liegt ein [[pH-Wert]] einer Lösung, die eine Säure enthält, zwei Einheiten unter dem p''K''<sub>s</sub>-Wert, werden nur noch ein Hundertstel der H<sub>3</sub>O<sup>+</sup>-Ionen gebildet.
== Zu etlichen weiteren Themen siehe auch ==
 
* {{WikipediaDE|Kreis}}
=== Mehrprotonige Säuren ===
Säuren, die mehrere Protonen abspalten können, nennt man ''mehrprotonige Säuren'' oder auch ''mehrbasige Säuren''. [[Schwefelsäure]] (H<sub>2</sub>SO<sub>4</sub>) ist eine zweiprotonige (auch diprotonige), [[Phosphorsäure]] (H<sub>3</sub>PO<sub>4</sub>) eine dreiprotonige (auch triprotonige) Säure. Das Bestreben der Abgabe der einzelnen Protonen (Protolyse) ist unterschiedlich groß und lässt sich durch die [[Säurekonstante]] (K<sub>s</sub>) beschreiben. Für die einzelnen Protolyseschritte gilt allgemein: K<sub>s</sub>(I) > K<sub>s</sub>(II) > K<sub>s</sub>(III) (bzw. p''K''<sub>s</sub>(I) < p''K''<sub>s</sub>(II) < p''K''<sub>s</sub>(III)).
 
Für Phosphorsäure gilt:
:{|
| <math>\mathrm{H}_3\mathrm{PO_4 + H_2O \ \rightleftharpoons \ H_2PO_4^- + H_3O^+}</math>
| style="padding-left:20px;" | <math>K_\mathrm{S} = 7{,}4 \cdot 10^{-3}</math>
| style="padding-left:20px;" | <math>\mathrm{p}K_\mathrm{S} = 2{,}13 \ </math>
|-
| <math>\mathrm{H_2PO_4^- + H_2O \ \rightleftharpoons \ HPO_4^{2-} + H_3O^+}</math>
| style="padding-left:20px;"| <math>K_\mathrm{S} = 6{,}3 \cdot 10^{-8}</math>
| style="padding-left:20px;"| <math>\mathrm{p}K_\mathrm{S} = 7{,}20 \ </math>
|-
| <math>\mathrm{HPO_4^{2-} + H_2O \ \rightleftharpoons \ PO_4^{3-} + H_3O^+}</math>
| style="padding-left:20px;" | <math>K_\mathrm{S} = 4{,}4 \cdot 10^{-13}</math>
| style="padding-left:20px;" | <math>\mathrm{p}K_\mathrm{S} = 12{,}36 \ </math>
|}
 
=== pK<sub>S</sub>-Werte wichtiger Säuren ===
Siehe [[Wikipedia:Säurekonstante#pKS- und pKB-Werte einiger Verbindungen|p''K''<sub>s</sub>- und p''K''<sub>b</sub>-Werte einiger Verbindungen]].
 
== Eigenschaften ==
Die Eigenschaften von Säuren, insbesondere die von ihnen ausgehenden Gefahren, sind sehr unterschiedlich. Als Beispiele seien hier [[Salpetersäure]] (Hauptgefahr: ätzend), [[Cyanwasserstoff|Blausäure]] (starkes Gift) und [[Pikrinsäure]] (ein Sprengstoff) genannt.
 
* Säuren greifen besonders [[unedle Metalle]] und [[Calciumcarbonat|Kalk]] an, aber auch Kleidung, Haut und Augen (allgemein alle organischen Materialien) laufen bei Kontakt Gefahr, von der Säure zerstört zu werden.
* Es gibt starke und schwache Säuren. [[Chlorwasserstoff]] ist eine starke Säure und dissoziiert in Wasser vollständig. Die wässrige Lösung nennt man [[Salzsäure]]. [[Essigsäure]] ist eine schwächere Säure und dissoziiert in Wasser nur zum Teil.
* Säuren kann man mit Wasser verdünnen, dabei wird ihre Wirkung je nach Verdünnung deutlich schwächer. Das Verdünnen von konzentrierten Säuren ist eine [[exotherme Reaktion]]. Es entsteht also Wärme. Vor allem beim Verdünnen von konzentrierter Schwefelsäure kann die Säurelösung unkontrolliert wegspritzen.<ref>{{Literatur |Autor=G. Jander, E. Blasius |Titel=Einführung in das anorganisch-chemische Praktikum |Auflage=12., überarbeitete |Verlag=Hirtzel Verlag |Ort=Stuttgart |Datum=1987 |Seiten=5 |ISBN=3-7776-0433-X}}</ref> Daher gilt beim Verdünnen die Regel, die Säure in das Wasser zu geben, nicht umgekehrt: ''„Zuerst das Wasser, dann die Säure, sonst geschieht das Ungeheure.“'' Aber auch bei korrektem Mischen ist darauf zu achten, dass die konzentrierte Säure langsam und vorsichtig dem Wasser beigefügt wird.
* Es ist ein weit verbreiteter Irrtum, dass Säuren immer Flüssigkeiten sind. Bekannte Vertreter von Säuren, die rein als Feststoff vorliegen, sind [[Ascorbinsäure|Vitamin C]] und [[Citronensäure]], eine gasförmige Säure ist beispielsweise [[Chlorwasserstoff]].
* Wässrige Lösungen von Säuren bewirken eine Farbveränderung von [[Indikator (Chemie)|Indikatoren]], zum Beispiel färben sie blaues [[Lackmus]]papier rot.
* Die „Gegenspieler der Säuren“ sind die [[Basen (Chemie)|Basen]] (Basenlösung = Lauge). Sie können Säuren neutralisieren. Auch Basen sind ätzend und greifen viele andere Stoffe an, die mit Säuren nicht unbedingt reagieren.
* In Wasser gelöst leiten Säuren den elektrischen Strom. Hierbei erfolgt eine [[Elektrolyse]], bei der sich an der [[Kathode]] (dem Minuspol) Wasserstoff und an der [[Anode]] (dem Pluspol) der neutralisierte Stoff des Säureanions bilden, bei der [[Salzsäure]] z.&nbsp;B. [[Chlor]]. An der Kathode erfolgt eine [[Reduktion (Chemie)|Reduktion]] (Elektronenaufnahme) und an der Anode erfolgt eine [[Oxidation]] (Elektronenabgabe).
 
== Säure-Base-Reaktionen ohne Wasser ==
 
Analog zu den Säure-Base-Reaktionen die in wässrigen Lösungen und unter Beteiligung des Wassers ablaufen, existieren Reaktionen in anderen Medien. In wasserfreiem [[Ethanol]] findet mit [[Chlorwasserstoff]] eine Reaktion statt, bei dem Ethanol die Rolle einer Base übernimmt:
 
:<math>\mathrm{H_3C{-}CH_2{-}OH + HCl \ \rightleftharpoons \ H_3C{-}CH_2{-}OH_2^+ + Cl^-}</math>
 
In der Gasphase reagieren die Gase [[Ammoniak]] und [[Chlorwasserstoff]] unter Bildung des Salzes [[Ammoniumchlorid]].
 
:<math>\mathrm{NH_3 + HCl \ \rightleftharpoons \ NH_4Cl}</math>
 
In Säure-Base-Reaktionen können neben Wasser auch andere hinreichend polare Lösungsmittel als Reaktionspartner wirken. Ein gutes Beispiel ist die Autoprotolyse des flüssigen Ammoniaks:
 
:<math>\mathrm{NH_3 + NH_3 \ \rightleftharpoons \ NH_4^+ + NH_2^-}</math>
 
== Beispiele für Säuren ==
Wichtige Säuren sind:
* [[Schwefelsäure]]: H<sub>2</sub>SO<sub>4</sub> (industrielle Verwendung, [[Saurer Regen]])
* [[Salzsäure]]: HCl (industrielle Verwendung)
* [[Kieselsäure]]: H<sub>4</sub>SiO<sub>4</sub>
* [[Phosphorsäure]]: H<sub>3</sub>PO<sub>4</sub> (Lebensmittelindustrie, unter anderem [[Cola]], [[Desoxyribonukleinsäure|DNA]])
* [[Kohlensäure]]: H<sub>2</sub>CO<sub>3</sub> (Lebensmittelindustrie, Technik, [[Erdatmosphäre|Atmosphäre]])
* [[Essigsäure]]: CH<sub>3</sub>COOH (Salatbereitung in der Küche, Lebensmittelindustrie)
* [[Benzoesäure]] ([[Konservierungsmittel]] für Lebensmittel)
* [[Flusssäure]]: HF (Computerchipherstellung)
* [[Salpetersäure]]: HNO<sub>3</sub> (industrielle Verwendung)
 
Auch Salze mehrprotoniger Säuren können als Säuren wirken („saure Salze“), beispielsweise
* [[Sulfate|Hydrogensulfate]]
* [[Phosphate#Primäre, sekundäre und tertiäre Phosphate|Hydrogenphosphate]]


== Siehe auch ==
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Säuren}}
* {{WikipediaDE|Kategorie:Kreisgeometrie}}
* {{WikipediaDE|Liste der Säuren}}
* {{WikipediaDE|Kategorie:Kreis}}
* {{WikipediaDE|Kreis}}
* {{WikipediaDE|Kleinkreis}}
* {{WikipediaDE|Großkreis}}
* {{WikipediaDE|Kreisgruppe}}
* {{WikipediaDE|Kreistreue}}
* {{WikipediaDE|Zindlerkurve}}


== Literatur ==
== Literatur ==
Historische Entwicklung der Säuren:
* [[Dietrich Mahnke]]: ''Unendliche Sphäre und Allmittelpunkt - Beiträge zur Genealogie der mathematischen Mystik'', Niemeyer, Halle (Saale) 1937 [http://ophen.org/pub-134581 online]
* Claus Priesner, Karin Figala: ''Alchemie: Lexikon einer hermetischen Wissenschaft.'' Beck, München 1998, ISBN 3-406-44106-8
* Ilka Agricola, Thomas Friedrich: ''Elementargeometrie.'' 3. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1385-5.
* V. Karpenko, J. A. Norris: ''Vitriol in the History of Chemistry.'' Chem. Listy, Band 96, 2002, Seiten: 997–1005, [http://www.chemicke-listy.cz/docs/full/2002_12_05.pdf PDF]
* Christian Bär: ''Elementare Differentialgeometrie.'' 2. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2010, ISBN 978-3-11-022458-0.
* [http://www.britannica.com/eb/article-9036278/Geber ''Geber'' in Britannica]
* Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: ''Elementargeometrie. Eine aufgabenorientierte Einführung.'' Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0856-1.
* [[Renatus Ziegler]]: ''Mathematik und Geisteswissenschaft: Mathematische Einführung in die Philosophie als Geisteswissenschaft in Anknüpfung an Plato, Cusanus, Goethe, Hegel und Steiner'', Verlag am Goetheanum, Dornach 1992, ISBN 978-3723506455


== Weblinks ==
== Weblinks ==
{{Wiktionary|Säure}}
{{Commonscat|Circle geometry|Kreis}}
* [https://www.google.com/search?q=anorganische+S%C3%A4ure&client=firefox-b&source=lnms&tbm=vid&sa=X&ved=0ahUKEwiI8vWXtrbfAhXCZlAKHSNDCLgQ_AUIEygA&biw=1280&bih=888 Die wichtigsten anorganischen Säuren] Google
{{Wikibooks|Beweisarchiv: Algebra: Körper: Transzendenz von e und π|Beweis der Transzendenz von e und π|im Beweisarchiv}}
{{Wiktionary}}
* [http://www.mathematische-basteleien.de/kreis.htm „Mathematische Basteleien“ zum Kreis]
* [https://www.youtube.com/watch?v=x-YAkyNIr3g Der Kreis - Geometrie einfach erklärt] YouTube


== Einzelnachweise ==
== Einzelnachweise ==
<references />
<references />


{{Normdaten|TYP=s|GND=4051266-6}}
{{Normdaten|TYP=s|GND=4032962-8}}


[[Kategorie:Acidität und Basizität]]
[[Kategorie:Urphänomene der Geometrie]]
[[Kategorie:Stoffgruppe]]
[[Kategorie:Geometrische Figur]]
[[Kategorie:Säuren|!]]
[[Kategorie:Kreisgeometrie]]
[[Kategorie:Formsymbol]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Einheit]]
[[Kategorie:Kreis|!]]


{{Wikipedia}}
{{Wikipedia}}

Version vom 10. April 2020, 09:45 Uhr

Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r

Ein Kreis ist eine ebene geometrische Figur. Er wird definiert als die Menge aller Punkte einer Ebene, die einen konstanten Abstand zu einem vorgegebenen Punkt dieser Ebene (dem Mittelpunkt) haben. Der Abstand der Kreispunkte zum Mittelpunkt ist der Radius (von lat. radius, wörtlich „Stab“, „Speiche“ oder „Strahl“) oder Halbmesser des Kreises, er ist eine positive reelle Zahl. Ein Kreis mit dem Radius 1 wird als Einheitskreis bezeichnet. Der Kreis gehört zu den klassischen und grundlegenden Objekten der euklidischen Geometrie. Er lässt sich aber auch anders als nach dieser klassischen Definition beschreiben, nämlich als Apollonius-Kreis. Benannt ist er nach antiken Mathematiker Apollonios von Perge. Er ist definiert als die Menge aller Punkte, für die das Verhältnis (d.h. der Quotient) der Entfernungen zu zwei gegebenen Punkten einen vorgegebenen konstanten Wert hat. Er wird deshalb gelegentlich auch als Quotientenkreis bezeichnet.

Kreiszahl

Schon die alten Ägypter und Babylonier versuchten, den Flächeninhalt des Kreises näherungsweise zu bestimmen. Besonders in der griechischen Antike war der Kreis wegen seiner Vollkommenheit von großem Interesse. Beispielsweise versuchte Archimedes erfolglos, mit den Werkzeugen Zirkel und Lineal den Kreis in ein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt zu überführen, um so den Flächeninhalt des Kreises bestimmen zu können. Ein solches Verfahren zur Berechnung des Flächeninhalts nennt man die Quadratur des Kreises. Erst 1882 konnte Ferdinand von Lindemann durch Nachweis einer besonderen Eigenschaft der Kreiszahl zeigen, dass diese Aufgabe unlösbar ist.

Eine Näherung für die Kreisfläche

Die Kreiszahl ist eine irrationale Zahl, die als das aufgrund der Ähnlichkeit für alle Kreise gleiche Verhältnis ihres Umfangs zu deren Durchmesser definiert ist. Daraus ergibt sich die bekannte Formel für den Kreisumfang:

Die Flächenformel lässt sich anschaulich aus der nebenstehenden Zeichnung verstehen. Der Kreis wird dabei in immer feinere Sektoren zerlegt, die sich zu einem Rechteck mit der Breite und der Höhe zusammenstellen lassen. Daraus ergibt sich die Formel für die Kreisfläche :

Worterklärungen

Kreisflächen

Nach der eingangs genannten Definition ist ein Kreis eine Kurve, also ein eindimensionales Gebilde, und keine zweidimensionale Fläche. Da das Wort „Kreis“ aber oft ungenau auch für die eingeschlossene Fläche benutzt wird, verwendet man zur Verdeutlichung häufig die Begriffe Kreislinie, Kreisrand oder Kreisperipherie[1] anstatt Kreis – im Gegensatz zur Kreisfläche oder Kreisscheibe. Mathematiker unterscheiden dann noch zwischen der abgeschlossenen Kreisfläche oder -scheibe und der offenen (oder dem Kreisinneren), je nachdem ob die Kreislinie dazugehört oder nicht.

Bogen, Sehne, Sektor, Segment und Ring

Kreisbogen, Kreissektor und Kreissegment
Kreisring

Eine zusammenhängende Teilmenge des Kreises (also der Kreislinie) ist ein Kreisbogen. Eine Verbindungsstrecke von zwei Punkten auf der Kreislinie bezeichnet man als Kreissehne Zu jeder Sehne gehören zwei Kreisbögen. Die längsten Kreissehnen sind diejenigen, die durch den Mittelpunkt verlaufen, also die Durchmesser. Die zugehörigen Kreisbögen heißen Halbkreise. Ist die Kreissehne kein Durchmesser, so sind die Kreisbögen unterschiedlich lang.

Ein Kreissektor (Kreisausschnitt) ist eine Fläche, die von zwei Radien und einem dazwischen liegenden Kreisbogen begrenzt wird. Bilden die zwei Radien einen Durchmesser, wird der Sektor auch als Halbkreis bezeichnet.

Kreissegmente (Kreisabschnitte) werden von einem Kreisbogen und einer Kreissehne eingeschlossen.

Ein Kreisring entsteht, wenn man aus einem Kreis einen kleineren Kreis mit demselben Mittelpunkt herausschneidet.

Tangente, Passante und Sekante

Für die Lage einer Geraden in Bezug auf einen gegebenen Kreis gibt es drei Möglichkeiten:

Beziehung von Kreis zu Tangente, Passante und Sekante
  • Ist der Abstand zwischen Mittelpunkt und Gerade kleiner als der Kreisradius, so haben Kreis und Gerade zwei (verschiedene) Schnittpunkte und man nennt die Gerade Sekante (lateinisch secare = schneiden). Manchmal bezeichnet man den Spezialfall einer Sekante, die durch den Mittelpunkt eines Kreises verläuft, als Zentrale.
  • Stimmt der Abstand des Mittelpunkts zu der Geraden mit dem Radius überein, so gibt es genau einen gemeinsamen Punkt. Man sagt, dass die Gerade den Kreis berührt, und nennt die Gerade eine Tangente (lateinisch tangere = berühren). Eine Tangente steht im Berührpunkt senkrecht (orthogonal, normal) zum entsprechenden Radius.
  • Wenn der Abstand des Kreismittelpunkts von der Geraden größer ist als der Kreisradius, dann haben Kreis und Gerade keinen Punkt gemeinsam. In diesem Fall bezeichnet man die Gerade als Passante. Diese Bezeichnung hat keinen unmittelbaren lateinischen Ursprung, sondern wurde wohl nach franz. oder ital. passante = Vorbeigehende gebildet. Die lat. Wurzel ist passus = Schritt.

Die zweidimensionale Entsprechung der Tangente ist die Tangentialebene, die ein dreidimensionales Objekt (z. B. eine Kugel) in einem Punkt berührt.

Formale Definition

Ein Kreis mit Mittelpunkt , Radius und Durchmesser .

In einer Ebene ist ein Kreis mit Mittelpunkt und Radius die Punktmenge

[2]

Dabei ist der Radius eine positive reelle Zahl, und bezeichnet die Länge der Strecke .

Der doppelte Radius heißt Durchmesser und wird oft mit bezeichnet. Radius und Durchmesser sind durch die Beziehungen oder miteinander verknüpft.

Manchmal wird auch jede Strecke, die den Mittelpunkt mit einem Punkt auf der Kreislinie verbindet, als Radius bezeichnet, und jede Strecke, die durch den Mittelpunkt geht, und deren beide Endpunkte auf der Kreislinie liegen, als Durchmesser. Bei dieser Sprechweise ist die Zahl die Länge jedes Radius und die Zahl die Länge jedes Durchmessers.

Die offene Kreisfläche ist formal definiert als die Punktmenge

die abgeschlossene Kreisscheibe als

Zu etlichen weiteren Themen siehe auch

Siehe auch

Literatur

  • Dietrich Mahnke: Unendliche Sphäre und Allmittelpunkt - Beiträge zur Genealogie der mathematischen Mystik, Niemeyer, Halle (Saale) 1937 online
  • Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementargeometrie. 3. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1385-5.
  • Christian Bär: Elementare Differentialgeometrie. 2. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2010, ISBN 978-3-11-022458-0.
  • Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie. Eine aufgabenorientierte Einführung. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0856-1.
  • Renatus Ziegler: Mathematik und Geisteswissenschaft: Mathematische Einführung in die Philosophie als Geisteswissenschaft in Anknüpfung an Plato, Cusanus, Goethe, Hegel und Steiner, Verlag am Goetheanum, Dornach 1992, ISBN 978-3723506455

Weblinks

Commons: Kreis - Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema
 Wiktionary: Kreis – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

  1. Ilja Nikolajewitsch Bronštein: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, 5. Auflage, Thun und Frankfurt 2001, S. 143.
  2. Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg New York 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 143.


Dieser Artikel basiert (teilweise) auf dem Artikel Kreis aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Lizenz Creative Commons Attribution/Share Alike. In Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.