Kontingenz und Kreis: Unterschied zwischen den Seiten

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'''Kontingenz''' ({{ELSalt|τὰ ἐνδεχόμενα}}, ''endechómena'', "etwas, das möglich ist"; [[Latein|lat.]] ''contingentia'', "Möglichkeit, Zufall") bezeichnet ganz allgemein einen Zustand, der, so wie er gegeben ist, zwar [[möglich]] ist, aber keineswegs [[notwendig]] so und nicht anders sein ''muss''. Alles, was '''kontingent''' ist, könnte auch anders oder gar nicht sein und erscheint in diesem Sinn als [[Zufall]]. Gäbe es keinen Zufall, würde alles Weltgeschehen mit zwingender Notwendigkeit, also streng [[deterministisch]] ablaufen. In dieser Art vom Zufall zu sprechen, ist aber nur berechtigt, solange man bei einer rein äußerlichen, nur das [[physisch]]e Geschehen umfassenden Betrachtung stehen bleibt. Bezieht man auch [[höhere Welten]], also etwa die [[Ätherwelt]], die [[Astralwelt]] und die [[geistige Welt]] ein, enthüllen sich übergeordnete Gesetzmäßigkeiten, die letztlich aus den Taten [[Geistige Wesen|geistiger Wesenheiten]] resultieren. Das anzuerkennen erfordert Erkenntnismut, der aber für eine weitere fruchtbare Entfaltung der [[Wissenschaft]] aufgebracht werden muss.
[[Datei:KreisMittelpunktRadius.svg|mini|Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r]]


{{GZ|[[Naturgesetz]]e
Ein '''Kreis''' ist eine ebene [[geometrische Figur]]. Er wird definiert als die [[Menge (Mathematik)|Menge]] aller Punkte einer [[Ebene (Mathematik)|Ebene]], die einen [[Konstante Funktion|konstanten]] [[Abstand]] zu einem vorgegebenen Punkt dieser Ebene (dem ''Mittelpunkt'') haben. Der Abstand der Kreispunkte zum Mittelpunkt ist der '''Radius''' (von {{laS|radius}}, wörtlich „Stab“, „Speiche“ oder „Strahl“) oder ''Halbmesser'' des Kreises, er ist eine [[Positive Zahl|positive]] [[reelle Zahl]]. Ein Kreis mit dem Radius 1 wird als '''Einheitskreis''' bezeichnet. Der Kreis gehört zu den klassischen und [[Mathematisches Objekt|grundlegenden Objekten]] der [[Euklidische Geometrie|euklidischen Geometrie]]. Er lässt sich aber auch anders als nach dieser klassischen Definition beschreiben, nämlich als [[Apollonius-Kreis]]. Benannt ist er nach antiken Mathematiker [[Apollonios von Perge]]. Er ist definiert als die [[Menge (Mathematik)|Menge]] aller [[Punkt (Geometrie)|Punkte]], für die das [[Verhältnis (Mathematik)|Verhältnis]] (d.h. der [[Quotient]]) der Entfernungen zu zwei gegebenen Punkten einen vorgegebenen konstanten Wert hat. Er wird deshalb gelegentlich auch als [[Quotientenkreis]] bezeichnet.
anerkennen, die in den chemischen, in den physikalischen
Vorgängen wirken, das ist ein Mut, der ja da ist, den die Menschen
haben, und er soll ihnen nicht abgesprochen werden; aber er ist billig.
Denn die Welt läßt sich nicht leicht als eine bloße Zufälligkeit betrachten,
insofern man es mit Naturtatsachen zu tun hat. Aber der Mut
verdunstet gegenüber den Dingen, die man gewöhnlich als zufällig
bezeichnet, wo der Mensch gerade stark sein sollte - nämlich dem
Zufall gegenüber - und sich sagen sollte: Da treten mir in einer gewissen
Sphäre Ereignisse gegenüber, welche sich scheinbar sinnlos
zusammenschließen; ich werde einen tieferen Sinn darin suchen. -
Hineintragen den Sinn in die äußere Zufälligkeit, das hieße, sich mit
starker Seele den äußeren Zeichen entgegenwerfen, so daß der Mut
auch andauerte gegenüber den scheinbar zufälligen Ereignissen. So
daß also das heutige Phantasieren gegenüber dem Zufall aus einer
inneren Schwäche stammt, weil sich der Mensch nicht getraut gegenüber
den Dingen, die er heute Zufall nennt, ein Gesetz anzuerkennen.
Das ist etwas, was man bezeichnen darf als wissenschaftliche Feigheit,
als Feigheit der Wissenschaft gegenüber dem Zufall: stehenzubleiben
und nicht den Mut zu haben, in das, was sich als ein bloßes wirres
Chaos darbietet, die Gesetze hineinzutragen, weil das Gesetz sich nicht
selbst anbietet und dazu zwingt, es aus innerem Mut hineinzutragen.
Daher muß entgegentreten der mutlosen Wissenschaft, die sich heute
bloß auf Naturgesetze ausdehnen will, die mutvolle, starke, kühne
Wissenschaft des Geistes, welche die innere Seele so belebt, daß in das
scheinbare Chaos der Zufälligkeiten Gesetz und Ordnung hineingebracht
wird. Und das ist diejenige Seite der Geisteswissenschaft, von
der man sagen muß: Der Mensch soll durch sie stark werden, um
nicht bloß dort Gesetzmäßigkeiten anzuerkennen, wo die äußeren
Verhältnisse zu Stärke und Mut zwingen, sondern auch dort, wo er
sein Inneres aufrufen muß, um so zu sprechen, wie sonst nur die Naturereignisse
mit ihrem Zwange zu ihm sprechen.|133|53f}}


Warum viele [[Wissenschaft]]ler, namentlich [[Neurowissenschaftler]], diesen Erkenntnismut nicht aufbringen wollen, beschreibt der amerikanische [[Philosoph]] [[John Searle]] wie folgt:
== Kreiszahl ==


{{LZ|Wenn man den tiefsten Beweggrund des Materialismus bezeichnen
Schon die [[Altes Ägypten|alten Ägypter]] und [[Babylonier]] versuchten, den [[Flächeninhalt]] des Kreises näherungsweise zu bestimmen. Besonders in der griechischen [[Antike]] war der Kreis wegen seiner Vollkommenheit von großem Interesse. Beispielsweise versuchte [[Archimedes]] erfolglos, mit den Werkzeugen [[Zirkel]] und [[Lineal]] den Kreis in ein [[Quadrat (Geometrie)|Quadrat]] mit gleichem Flächeninhalt zu überführen, um so den Flächeninhalt des Kreises bestimmen zu können. Ein solches Verfahren zur Berechnung des Flächeninhalts nennt man die [[Quadratur des Kreises]]. Erst 1882 konnte [[w:Ferdinand von Lindemann|Ferdinand von Lindemann]] durch Nachweis einer besonderen Eigenschaft der Kreiszahl zeigen, dass diese Aufgabe unlösbar ist.
wollte, dann könnte man wohl sagen, daß es einfach ein ''horror conscientiae''<ref>''horror conscientiae'' „Angst vor dem Bewusstsein“</ref> ist. Doch weshalb? Warum sollten sich Materialisten
 
vor dem Bewußtsein fürchten? Warum nehmen sie das Bewußtsein
[[Datei:area of a circle.svg|mini|hochkant=1.7|Eine Näherung für die Kreisfläche]]
nicht an als eine weitere materielle Eigenschaft unter vielen anderen?
Die '''Kreiszahl''' <math>\pi = 3{,}1415926\ldots,</math> ist eine [[irrationale Zahl]], die als das aufgrund der [[Ähnlichkeit]] für alle Kreise gleiche Verhältnis ihres Umfangs <math>U</math> zu deren [[Durchmesser]] <math>d</math> definiert ist. Daraus ergibt sich die bekannte [[Formel]] für den Kreisumfang:
Einige unter ihnen - [[David Armstrong|Armstrong]] und [[Daniel Dennett|Dennett]] zum Beispiel -
 
behaupten, genau das täten sie. Aber sie tun es, indem sie für
:<math>U = d \pi = 2r \pi</math>
»Bewußtsein« eine neue Definition geben, mit der das zentrale
 
Merkmal von Bewußtsein bestritten wird: seine subjektive Qualität.
Die Flächenformel lässt sich anschaulich aus der nebenstehenden Zeichnung verstehen. Der Kreis wird dabei in immer feinere Sektoren zerlegt, die sich zu einem Rechteck mit der Breite <math>r \pi</math> und der Höhe <math>r</math> zusammenstellen lassen. Daraus ergibt sich die Formel für die Kreisfläche <math>A</math>:
Der tiefste Grund für die Angst vor dem Bewußtsein ist, daß
 
Bewußtsein das von sich aus furchteinflößende Merkmal der [[Subjektivität]]
:<math>A = r^2 \pi</math>
hat. Es widerstrebt Materialisten, dieses Merkmal zu
 
akzeptieren, weil sie glauben, daß die Existenz eines subjektiven
== Worterklärungen ==
Bewußtseins sich nicht vertrüge mit der Welt, wie sie sich in ihrer
=== Kreisflächen ===
Konzeption ausnimmt. Viele denken, daß man angesichts der
Nach der eingangs genannten Definition ist ein Kreis eine [[Kurve (Mathematik)|Kurve]], also ein [[Dimension (Mathematik)|eindimensionales]] Gebilde, und keine zweidimensionale [[Fläche (Mathematik)|Fläche]]. Da das Wort „Kreis“ aber oft ungenau auch für die eingeschlossene Fläche benutzt wird, verwendet man zur Verdeutlichung häufig die Begriffe ''Kreislinie, Kreisrand'' oder ''Kreisperipherie''<ref>Ilja Nikolajewitsch Bronštein: ''Taschenbuch der Mathematik.'' Verlag Harri Deutsch, 5. Auflage, Thun und Frankfurt 2001, S.&nbsp;143.</ref> anstatt Kreis&nbsp;– im Gegensatz zur ''Kreisfläche'' oder ''Kreisscheibe.'' Mathematiker unterscheiden dann noch zwischen der ''abgeschlossenen'' Kreisfläche oder -scheibe und der ''[[Offene Menge|offenen]]'' (oder dem ''Kreisinneren''), je nachdem ob die Kreislinie dazugehört oder nicht.
naturwissenschaftlichen Entdeckungen nur noch eine Konzeption
 
der Wirklichkeit haben kann, in der die Existenz von Subjektivität
=== Bogen, Sehne, Sektor, Segment und Ring ===
bestritten wird. Wie beim »Bewußtsein« kann man sich auch hier
[[Datei:BogenSektorSegment.svg|mini|hochkant=2|Kreisbogen, Kreissektor und Kreissegment]]
wiederum damit behelfen, daß man »Subjektivität« so umdefiniert,
[[Datei:Couronne.svg|mini|hochkant=1.0|Kreisring]]
daß dieses Wort nicht mehr Subjektivität bedeutet, sondern irgend
 
etwas Objektives...|Searle, S. 72f}}
Eine zusammenhängende Teilmenge des Kreises (also der Kreislinie) ist ein '''Kreisbogen'''. Eine [[Strecke (Geometrie)|Verbindungsstrecke]] von zwei Punkten auf der Kreislinie bezeichnet man als '''Kreissehne''' Zu jeder Sehne gehören zwei Kreisbögen. Die längsten Kreissehnen sind diejenigen, die durch den Mittelpunkt verlaufen, also die '''Durchmesser'''. Die zugehörigen Kreisbögen heißen Halbkreise. Ist die Kreissehne kein Durchmesser, so sind die Kreisbögen unterschiedlich lang.
 
Ein '''Kreissektor''' (Kreisausschnitt) ist eine Fläche, die von zwei Radien und einem dazwischen liegenden Kreisbogen begrenzt wird. Bilden die zwei Radien einen Durchmesser, wird der Sektor auch als Halbkreis bezeichnet.
 
'''Kreissegmente''' (Kreisabschnitte)'' werden von einem Kreisbogen und einer Kreissehne eingeschlossen.
 
Ein '''Kreisring''' entsteht, wenn man aus einem Kreis einen kleineren Kreis mit demselben Mittelpunkt herausschneidet.
 
=== Tangente, Passante und Sekante ===
Für die Lage einer [[Gerade]]n in Bezug auf einen gegebenen Kreis gibt es drei Möglichkeiten:
[[Datei:SekTangPass.svg|mini|links|Beziehung von Kreis zu Tangente, Passante und Sekante]]
 
* Ist der Abstand zwischen Mittelpunkt und Gerade kleiner als der Kreisradius, so haben Kreis und Gerade zwei (verschiedene) Schnittpunkte und man nennt die Gerade [[Sekante]] (lateinisch ''secare'' = schneiden). Manchmal bezeichnet man den Spezialfall einer Sekante, die durch den Mittelpunkt eines Kreises verläuft, als ''Zentrale.''
* Stimmt der Abstand des Mittelpunkts zu der Geraden mit dem Radius überein, so gibt es genau einen gemeinsamen Punkt. Man sagt, dass die Gerade den Kreis berührt, und nennt die Gerade eine [[Tangente]] (lateinisch ''tangere'' = berühren). Eine Tangente steht im Berührpunkt senkrecht ([[Orthogonalität|orthogonal]], normal) zum entsprechenden Radius.
* Wenn der Abstand des Kreismittelpunkts von der Geraden größer ist als der Kreisradius, dann haben Kreis und Gerade keinen Punkt gemeinsam. In diesem Fall bezeichnet man die Gerade als [[Passante]]. Diese Bezeichnung hat keinen unmittelbaren lateinischen Ursprung, sondern wurde wohl nach franz. oder ital. ''passante'' = Vorbeigehende gebildet. Die lat. Wurzel ist ''passus'' = Schritt.
 
Die zweidimensionale Entsprechung der Tangente ist die '''Tangentialebene''', die ein dreidimensionales Objekt (z.&nbsp;B. eine [[Kugel]]) in einem Punkt berührt.
{{Absatz}}
 
== Formale Definition ==
[[Datei:Kreis.svg|mini|Ein Kreis mit Mittelpunkt <math>M</math>, Radius <math>r</math> und Durchmesser <math>d</math>.]]
In einer Ebene <math>E</math> ist ein Kreis <math>k</math> mit Mittelpunkt <math>\mathrm{M} \in E</math> und Radius <math>r > 0</math> die Punktmenge
:<math>k = \left\{\mathrm{X} \in E ~ \vert ~ \overline{\mathrm{MX}} = r \right\}.</math><ref>Max Koecher, Aloys Krieg: ''Ebene Geometrie.'' 3. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg New York 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S.&nbsp;143.</ref>
 
Dabei ist der Radius <math>r</math> eine positive reelle Zahl, und <math>\overline{\mathrm{MX}}</math> bezeichnet die Länge der [[Strecke (Geometrie)|Strecke]] <math>[\mathrm{MX}]</math>.
 
Der doppelte Radius heißt '''Durchmesser''' und wird oft mit <math>d</math> bezeichnet. Radius <math>r</math> und Durchmesser <math>d</math> sind durch die Beziehungen <math>d = 2r</math> oder <math>r = d/2</math> miteinander verknüpft.
 
Manchmal wird auch jede ''Strecke,'' die den Mittelpunkt mit einem Punkt auf der Kreislinie verbindet, als ''Radius'' bezeichnet, und jede Strecke, die durch den Mittelpunkt geht, und deren beide Endpunkte auf der Kreislinie liegen, als ''Durchmesser.'' Bei dieser Sprechweise ist die ''Zahl'' <math>r</math> die ''Länge'' jedes Radius und die Zahl <math>d</math> die Länge jedes Durchmessers.
 
Die offene Kreisfläche ist formal definiert als die Punktmenge
 
<math>\left\{\mathrm{X} \in E ~ \vert ~ \overline{\mathrm{MX}} < r \right\},</math>
 
die abgeschlossene Kreisscheibe als
 
<math>\left\{\mathrm{X} \in E ~ \vert ~ \overline{\mathrm{MX}} \le r \right\}.</math>
 
== Zu etlichen weiteren Themen siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Kreis}}
 
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Kategorie:Kreisgeometrie}}
* {{WikipediaDE|Kategorie:Kreis}}
* {{WikipediaDE|Kreis}}
* {{WikipediaDE|Kleinkreis}}
* {{WikipediaDE|Großkreis}}
* {{WikipediaDE|Kreisgruppe}}
* {{WikipediaDE|Kreistreue}}
* {{WikipediaDE|Zindlerkurve}}


== Literatur ==
== Literatur ==
* [[Dietrich Mahnke]]: ''Unendliche Sphäre und Allmittelpunkt - Beiträge zur Genealogie der mathematischen Mystik'', Niemeyer, Halle (Saale) 1937 [http://ophen.org/pub-134581 online]
* Ilka Agricola, Thomas Friedrich: ''Elementargeometrie.'' 3. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1385-5.
* Christian Bär: ''Elementare Differentialgeometrie.'' 2. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2010, ISBN 978-3-11-022458-0.
* Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: ''Elementargeometrie. Eine aufgabenorientierte Einführung.'' Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0856-1.
* [[Renatus Ziegler]]: ''Mathematik und Geisteswissenschaft: Mathematische Einführung in die Philosophie als Geisteswissenschaft in Anknüpfung an Plato, Cusanus, Goethe, Hegel und Steiner'', Verlag am Goetheanum, Dornach 1992, ISBN 978-3723506455


* [[John Searle]], Harvey P. Gavagai (Übers.): ''Die Wiederentdeckung des Geistes'', Artemis und Winkler, München 1993, ISBN 3-7608-1944-3
== Weblinks ==
* [[Rudolf Steiner]]: ''Der irdische und der kosmische Mensch'', [[GA 133]] (1989), ISBN 3-7274-1330-1 {{Vorträge|133}}
{{Commonscat|Circle geometry|Kreis}}
 
{{Wikibooks|Beweisarchiv: Algebra: Körper: Transzendenz von e und π|Beweis der Transzendenz von e und π|im Beweisarchiv}}
{{GA}}
{{Wiktionary}}
* [http://www.mathematische-basteleien.de/kreis.htm „Mathematische Basteleien“ zum Kreis]
* [https://www.youtube.com/watch?v=x-YAkyNIr3g Der Kreis - Geometrie einfach erklärt] YouTube


== Einzelnachweise ==
== Einzelnachweise ==
<references />
<references />


[[Kategorie:Philosophie]]
{{Normdaten|TYP=s|GND=4032962-8}}
 
[[Kategorie:Urphänomene der Geometrie]]
[[Kategorie:Geometrische Figur]]
[[Kategorie:Kreisgeometrie]]
[[Kategorie:Formsymbol]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Einheit]]
[[Kategorie:Kreis|!]]
 
{{Wikipedia}}

Version vom 10. April 2020, 09:45 Uhr

Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r

Ein Kreis ist eine ebene geometrische Figur. Er wird definiert als die Menge aller Punkte einer Ebene, die einen konstanten Abstand zu einem vorgegebenen Punkt dieser Ebene (dem Mittelpunkt) haben. Der Abstand der Kreispunkte zum Mittelpunkt ist der Radius (von lat. radius, wörtlich „Stab“, „Speiche“ oder „Strahl“) oder Halbmesser des Kreises, er ist eine positive reelle Zahl. Ein Kreis mit dem Radius 1 wird als Einheitskreis bezeichnet. Der Kreis gehört zu den klassischen und grundlegenden Objekten der euklidischen Geometrie. Er lässt sich aber auch anders als nach dieser klassischen Definition beschreiben, nämlich als Apollonius-Kreis. Benannt ist er nach antiken Mathematiker Apollonios von Perge. Er ist definiert als die Menge aller Punkte, für die das Verhältnis (d.h. der Quotient) der Entfernungen zu zwei gegebenen Punkten einen vorgegebenen konstanten Wert hat. Er wird deshalb gelegentlich auch als Quotientenkreis bezeichnet.

Kreiszahl

Schon die alten Ägypter und Babylonier versuchten, den Flächeninhalt des Kreises näherungsweise zu bestimmen. Besonders in der griechischen Antike war der Kreis wegen seiner Vollkommenheit von großem Interesse. Beispielsweise versuchte Archimedes erfolglos, mit den Werkzeugen Zirkel und Lineal den Kreis in ein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt zu überführen, um so den Flächeninhalt des Kreises bestimmen zu können. Ein solches Verfahren zur Berechnung des Flächeninhalts nennt man die Quadratur des Kreises. Erst 1882 konnte Ferdinand von Lindemann durch Nachweis einer besonderen Eigenschaft der Kreiszahl zeigen, dass diese Aufgabe unlösbar ist.

Eine Näherung für die Kreisfläche

Die Kreiszahl ist eine irrationale Zahl, die als das aufgrund der Ähnlichkeit für alle Kreise gleiche Verhältnis ihres Umfangs zu deren Durchmesser definiert ist. Daraus ergibt sich die bekannte Formel für den Kreisumfang:

Die Flächenformel lässt sich anschaulich aus der nebenstehenden Zeichnung verstehen. Der Kreis wird dabei in immer feinere Sektoren zerlegt, die sich zu einem Rechteck mit der Breite und der Höhe zusammenstellen lassen. Daraus ergibt sich die Formel für die Kreisfläche :

Worterklärungen

Kreisflächen

Nach der eingangs genannten Definition ist ein Kreis eine Kurve, also ein eindimensionales Gebilde, und keine zweidimensionale Fläche. Da das Wort „Kreis“ aber oft ungenau auch für die eingeschlossene Fläche benutzt wird, verwendet man zur Verdeutlichung häufig die Begriffe Kreislinie, Kreisrand oder Kreisperipherie[1] anstatt Kreis – im Gegensatz zur Kreisfläche oder Kreisscheibe. Mathematiker unterscheiden dann noch zwischen der abgeschlossenen Kreisfläche oder -scheibe und der offenen (oder dem Kreisinneren), je nachdem ob die Kreislinie dazugehört oder nicht.

Bogen, Sehne, Sektor, Segment und Ring

Kreisbogen, Kreissektor und Kreissegment
Kreisring

Eine zusammenhängende Teilmenge des Kreises (also der Kreislinie) ist ein Kreisbogen. Eine Verbindungsstrecke von zwei Punkten auf der Kreislinie bezeichnet man als Kreissehne Zu jeder Sehne gehören zwei Kreisbögen. Die längsten Kreissehnen sind diejenigen, die durch den Mittelpunkt verlaufen, also die Durchmesser. Die zugehörigen Kreisbögen heißen Halbkreise. Ist die Kreissehne kein Durchmesser, so sind die Kreisbögen unterschiedlich lang.

Ein Kreissektor (Kreisausschnitt) ist eine Fläche, die von zwei Radien und einem dazwischen liegenden Kreisbogen begrenzt wird. Bilden die zwei Radien einen Durchmesser, wird der Sektor auch als Halbkreis bezeichnet.

Kreissegmente (Kreisabschnitte) werden von einem Kreisbogen und einer Kreissehne eingeschlossen.

Ein Kreisring entsteht, wenn man aus einem Kreis einen kleineren Kreis mit demselben Mittelpunkt herausschneidet.

Tangente, Passante und Sekante

Für die Lage einer Geraden in Bezug auf einen gegebenen Kreis gibt es drei Möglichkeiten:

Beziehung von Kreis zu Tangente, Passante und Sekante
  • Ist der Abstand zwischen Mittelpunkt und Gerade kleiner als der Kreisradius, so haben Kreis und Gerade zwei (verschiedene) Schnittpunkte und man nennt die Gerade Sekante (lateinisch secare = schneiden). Manchmal bezeichnet man den Spezialfall einer Sekante, die durch den Mittelpunkt eines Kreises verläuft, als Zentrale.
  • Stimmt der Abstand des Mittelpunkts zu der Geraden mit dem Radius überein, so gibt es genau einen gemeinsamen Punkt. Man sagt, dass die Gerade den Kreis berührt, und nennt die Gerade eine Tangente (lateinisch tangere = berühren). Eine Tangente steht im Berührpunkt senkrecht (orthogonal, normal) zum entsprechenden Radius.
  • Wenn der Abstand des Kreismittelpunkts von der Geraden größer ist als der Kreisradius, dann haben Kreis und Gerade keinen Punkt gemeinsam. In diesem Fall bezeichnet man die Gerade als Passante. Diese Bezeichnung hat keinen unmittelbaren lateinischen Ursprung, sondern wurde wohl nach franz. oder ital. passante = Vorbeigehende gebildet. Die lat. Wurzel ist passus = Schritt.

Die zweidimensionale Entsprechung der Tangente ist die Tangentialebene, die ein dreidimensionales Objekt (z. B. eine Kugel) in einem Punkt berührt.

Formale Definition

Ein Kreis mit Mittelpunkt , Radius und Durchmesser .

In einer Ebene ist ein Kreis mit Mittelpunkt und Radius die Punktmenge

[2]

Dabei ist der Radius eine positive reelle Zahl, und bezeichnet die Länge der Strecke .

Der doppelte Radius heißt Durchmesser und wird oft mit bezeichnet. Radius und Durchmesser sind durch die Beziehungen oder miteinander verknüpft.

Manchmal wird auch jede Strecke, die den Mittelpunkt mit einem Punkt auf der Kreislinie verbindet, als Radius bezeichnet, und jede Strecke, die durch den Mittelpunkt geht, und deren beide Endpunkte auf der Kreislinie liegen, als Durchmesser. Bei dieser Sprechweise ist die Zahl die Länge jedes Radius und die Zahl die Länge jedes Durchmessers.

Die offene Kreisfläche ist formal definiert als die Punktmenge

die abgeschlossene Kreisscheibe als

Zu etlichen weiteren Themen siehe auch

Siehe auch

Literatur

  • Dietrich Mahnke: Unendliche Sphäre und Allmittelpunkt - Beiträge zur Genealogie der mathematischen Mystik, Niemeyer, Halle (Saale) 1937 online
  • Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementargeometrie. 3. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1385-5.
  • Christian Bär: Elementare Differentialgeometrie. 2. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2010, ISBN 978-3-11-022458-0.
  • Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie. Eine aufgabenorientierte Einführung. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0856-1.
  • Renatus Ziegler: Mathematik und Geisteswissenschaft: Mathematische Einführung in die Philosophie als Geisteswissenschaft in Anknüpfung an Plato, Cusanus, Goethe, Hegel und Steiner, Verlag am Goetheanum, Dornach 1992, ISBN 978-3723506455

Weblinks

Commons: Kreis - Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema
 Wiktionary: Kreis – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

  1. Ilja Nikolajewitsch Bronštein: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, 5. Auflage, Thun und Frankfurt 2001, S. 143.
  2. Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg New York 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 143.


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