Pendel und Kreis: Unterschied zwischen den Seiten

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Neben dem [[Tarot]] wird in der zeitgenössischen [[Esoterik]] auch das '''Pendel''' als Hilfsmittel eingesetzt, etwa um geisteswissenschaftliche Forschungsergebnisse verifizieren oder erhärten zu können. In diesem Sinne wurde das '''Pendel''' z. B. von dem deutschen, mittlerweile verstorbenen, [[Anthroposoph]]en [[Willi Seiß]] eingesetzt.
[[Datei:KreisMittelpunktRadius.svg|mini|Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r]]


Das '''Pendel''' kann auch eingesetzt werden, um den spirituellen Entwicklungszustand eines Menschen beurteilen zu können:
Ein '''Kreis''' ist eine ebene [[geometrische Figur]]. Er wird definiert als die [[Menge (Mathematik)|Menge]] aller Punkte einer [[Ebene (Mathematik)|Ebene]], die einen [[Konstante Funktion|konstanten]] [[Abstand]] zu einem vorgegebenen Punkt dieser Ebene (dem ''Mittelpunkt'') haben. Der Abstand der Kreispunkte zum Mittelpunkt ist der '''Radius''' (von {{laS|radius}}, wörtlich „Stab“, „Speiche“ oder „Strahl“) oder ''Halbmesser'' des Kreises, er ist eine [[Positive Zahl|positive]] [[reelle Zahl]]. Ein Kreis mit dem Radius 1 wird als '''Einheitskreis''' bezeichnet. Der Kreis gehört zu den klassischen und [[Mathematisches Objekt|grundlegenden Objekten]] der [[Euklidische Geometrie|euklidischen Geometrie]]. Er lässt sich aber auch anders als nach dieser klassischen Definition beschreiben, nämlich als [[Apollonius-Kreis]]. Benannt ist er nach antiken Mathematiker [[Apollonios von Perge]]. Er ist definiert als die [[Menge (Mathematik)|Menge]] aller [[Punkt (Geometrie)|Punkte]], für die das [[Verhältnis (Mathematik)|Verhältnis]] (d.h. der [[Quotient]]) der Entfernungen zu zwei gegebenen Punkten einen vorgegebenen konstanten Wert hat. Er wird deshalb gelegentlich auch als [[Quotientenkreis]] bezeichnet.
[[Datei:Wegmarken.jpg]]


Hier kann der spirituelle Fortschritt für einen geübten Pendler - nicht aber für den Anfänger - sicher beurteilt werden.
== Kreiszahl ==


[[Datei:Entwicklungsrichtung.jpg]]
Schon die [[Altes Ägypten|alten Ägypter]] und [[Babylonier]] versuchten, den [[Flächeninhalt]] des Kreises näherungsweise zu bestimmen. Besonders in der griechischen [[Antike]] war der Kreis wegen seiner Vollkommenheit von großem Interesse. Beispielsweise versuchte [[Archimedes]] erfolglos, mit den Werkzeugen [[Zirkel]] und [[Lineal]] den Kreis in ein [[Quadrat (Geometrie)|Quadrat]] mit gleichem Flächeninhalt zu überführen, um so den Flächeninhalt des Kreises bestimmen zu können. Ein solches Verfahren zur Berechnung des Flächeninhalts nennt man die [[Quadratur des Kreises]]. Erst 1882 konnte [[w:Ferdinand von Lindemann|Ferdinand von Lindemann]] durch Nachweis einer besonderen Eigenschaft der Kreiszahl zeigen, dass diese Aufgabe unlösbar ist.


Hier kann die individuelle Entwicklungsrichtung für einen geübten Pendler - nicht aber für den Anfänger - sicher beurteilt werden.
[[Datei:area of a circle.svg|mini|hochkant=1.7|Eine Näherung für die Kreisfläche]]
Die '''Kreiszahl''' <math>\pi = 3{,}1415926\ldots,</math> ist eine [[irrationale Zahl]], die als das aufgrund der [[Ähnlichkeit]] für alle Kreise gleiche Verhältnis ihres Umfangs <math>U</math> zu deren [[Durchmesser]] <math>d</math> definiert ist. Daraus ergibt sich die bekannte [[Formel]] für den Kreisumfang:


Darüber hinaus sind für den sehr versierten, also außergewöhnlich geübten Pendler auch Aussagen über [[Ichlose Menschen]] ([[Heuschreckenmenschen]]) möglich. Vorausgesetzt wird hierbei, dass die Person über welche eine Aussage getroffen werden soll um einiges älter als 21 Jahre ist. Das Pendel bleibt in dem Falle bei der Pendelkarte "Wegmarken..." auf der Nulllinie, während es auf der Pendelkarte der "Seelisch-geistigen Entwicklungsstufen" auf der Skala unterhalb bis maximal unmittelbar auf der 7-er Linie bleibt. Voraussetzung dazu ist, dass man sich ganz tief meditativ in die jeweils zu beurteilende Person versenkt. Ein Photo dieser Person erleichtert das ganze Prozedere.
:<math>U = d \pi = 2r \pi</math>


Die ersten Keime eines [[Geistselbst]] ([[Manas]]) lassen sich für den geübten Pendler ebenfalls feststellen. Das Pendel bewegt sich in diesem Falle über die Stufe 14 der Pendelkarte "Seelisch-geistige Entwicklungsstufen" hinaus. Auch hier gilt: Voraussetzung dazu ist, dass man sich ganz tief meditativ in die jeweils zu beurteilende Person versenkt. Ein Photo ist gleichfalls von Vorteil.
Die Flächenformel lässt sich anschaulich aus der nebenstehenden Zeichnung verstehen. Der Kreis wird dabei in immer feinere Sektoren zerlegt, die sich zu einem Rechteck mit der Breite <math>r \pi</math> und der Höhe <math>r</math> zusammenstellen lassen. Daraus ergibt sich die Formel für die Kreisfläche <math>A</math>:


:<math>A = r^2 \pi</math>


Nicht jeder [[Pendler]] darf das Gebiet des geistigen oder spirituellen Pendelns betreten. Die rein geistige [[Radiästhesie]] ist einerseits dem Könner und andererseits nur geistig hochstehenden Menschen vorbehalten. Das spirituelle [[Pendeln]] verlangt hohe ethische und moralische Eigenschaften, Religiosität, innere Harmonie, eine gute Konzentration und eine straffe Willensschulung. Jeder, der sich mit dem geistigen Pendeln befassen will sollte zuerst das hervorragende Buch <<Geistiges Pendeln>> von Rudolf Mlaker studieren" (Lit.: Gertrud I. Hürlimann, S. 343), daneben ist die Durcharbeitung von [[GA 10]] unerlässlich.
== Worterklärungen ==
"Beim geistigen Pendeln stammen Auskünfte, die weder ein lebender noch ein abgeschiedener Mensch geben kann, von jenseitigen [[Meister]]n." (Lit.: Getrud I. Hürlimann, S. 343).
=== Kreisflächen ===
Nach der eingangs genannten Definition ist ein Kreis eine [[Kurve (Mathematik)|Kurve]], also ein [[Dimension (Mathematik)|eindimensionales]] Gebilde, und keine zweidimensionale [[Fläche (Mathematik)|Fläche]]. Da das Wort „Kreis“ aber oft ungenau auch für die eingeschlossene Fläche benutzt wird, verwendet man zur Verdeutlichung häufig die Begriffe ''Kreislinie, Kreisrand'' oder ''Kreisperipherie''<ref>Ilja Nikolajewitsch Bronštein: ''Taschenbuch der Mathematik.'' Verlag Harri Deutsch, 5. Auflage, Thun und Frankfurt 2001, S.&nbsp;143.</ref> anstatt Kreis&nbsp;– im Gegensatz zur ''Kreisfläche'' oder ''Kreisscheibe.'' Mathematiker unterscheiden dann noch zwischen der ''abgeschlossenen'' Kreisfläche oder -scheibe und der ''[[Offene Menge|offenen]]'' (oder dem ''Kreisinneren''), je nachdem ob die Kreislinie dazugehört oder nicht.


=== Bogen, Sehne, Sektor, Segment und Ring ===
[[Datei:BogenSektorSegment.svg|mini|hochkant=2|Kreisbogen, Kreissektor und Kreissegment]]
[[Datei:Couronne.svg|mini|hochkant=1.0|Kreisring]]
Eine zusammenhängende Teilmenge des Kreises (also der Kreislinie) ist ein '''Kreisbogen'''. Eine [[Strecke (Geometrie)|Verbindungsstrecke]] von zwei Punkten auf der Kreislinie bezeichnet man als '''Kreissehne''' Zu jeder Sehne gehören zwei Kreisbögen. Die längsten Kreissehnen sind diejenigen, die durch den Mittelpunkt verlaufen, also die '''Durchmesser'''. Die zugehörigen Kreisbögen heißen Halbkreise. Ist die Kreissehne kein Durchmesser, so sind die Kreisbögen unterschiedlich lang.
Ein '''Kreissektor''' (Kreisausschnitt) ist eine Fläche, die von zwei Radien und einem dazwischen liegenden Kreisbogen begrenzt wird. Bilden die zwei Radien einen Durchmesser, wird der Sektor auch als Halbkreis bezeichnet.
'''Kreissegmente''' (Kreisabschnitte)'' werden von einem Kreisbogen und einer Kreissehne eingeschlossen.
Ein '''Kreisring''' entsteht, wenn man aus einem Kreis einen kleineren Kreis mit demselben Mittelpunkt herausschneidet.
=== Tangente, Passante und Sekante ===
Für die Lage einer [[Gerade]]n in Bezug auf einen gegebenen Kreis gibt es drei Möglichkeiten:
[[Datei:SekTangPass.svg|mini|links|Beziehung von Kreis zu Tangente, Passante und Sekante]]
* Ist der Abstand zwischen Mittelpunkt und Gerade kleiner als der Kreisradius, so haben Kreis und Gerade zwei (verschiedene) Schnittpunkte und man nennt die Gerade [[Sekante]] (lateinisch ''secare'' = schneiden). Manchmal bezeichnet man den Spezialfall einer Sekante, die durch den Mittelpunkt eines Kreises verläuft, als ''Zentrale.''
* Stimmt der Abstand des Mittelpunkts zu der Geraden mit dem Radius überein, so gibt es genau einen gemeinsamen Punkt. Man sagt, dass die Gerade den Kreis berührt, und nennt die Gerade eine [[Tangente]] (lateinisch ''tangere'' = berühren). Eine Tangente steht im Berührpunkt senkrecht ([[Orthogonalität|orthogonal]], normal) zum entsprechenden Radius.
* Wenn der Abstand des Kreismittelpunkts von der Geraden größer ist als der Kreisradius, dann haben Kreis und Gerade keinen Punkt gemeinsam. In diesem Fall bezeichnet man die Gerade als [[Passante]]. Diese Bezeichnung hat keinen unmittelbaren lateinischen Ursprung, sondern wurde wohl nach franz. oder ital. ''passante'' = Vorbeigehende gebildet. Die lat. Wurzel ist ''passus'' = Schritt.
Die zweidimensionale Entsprechung der Tangente ist die '''Tangentialebene''', die ein dreidimensionales Objekt (z.&nbsp;B. eine [[Kugel]]) in einem Punkt berührt.
{{Absatz}}
== Formale Definition ==
[[Datei:Kreis.svg|mini|Ein Kreis mit Mittelpunkt <math>M</math>, Radius <math>r</math> und Durchmesser <math>d</math>.]]
In einer Ebene <math>E</math> ist ein Kreis <math>k</math> mit Mittelpunkt <math>\mathrm{M} \in E</math> und Radius <math>r > 0</math> die Punktmenge
:<math>k = \left\{\mathrm{X} \in E ~ \vert ~ \overline{\mathrm{MX}} = r \right\}.</math><ref>Max Koecher, Aloys Krieg: ''Ebene Geometrie.'' 3. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg New York 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S.&nbsp;143.</ref>
Dabei ist der Radius <math>r</math> eine positive reelle Zahl, und <math>\overline{\mathrm{MX}}</math> bezeichnet die Länge der [[Strecke (Geometrie)|Strecke]] <math>[\mathrm{MX}]</math>.
Der doppelte Radius heißt '''Durchmesser''' und wird oft mit <math>d</math> bezeichnet. Radius <math>r</math> und Durchmesser <math>d</math> sind durch die Beziehungen <math>d = 2r</math> oder <math>r = d/2</math> miteinander verknüpft.
Manchmal wird auch jede ''Strecke,'' die den Mittelpunkt mit einem Punkt auf der Kreislinie verbindet, als ''Radius'' bezeichnet, und jede Strecke, die durch den Mittelpunkt geht, und deren beide Endpunkte auf der Kreislinie liegen, als ''Durchmesser.'' Bei dieser Sprechweise ist die ''Zahl'' <math>r</math> die ''Länge'' jedes Radius und die Zahl <math>d</math> die Länge jedes Durchmessers.
Die offene Kreisfläche ist formal definiert als die Punktmenge
<math>\left\{\mathrm{X} \in E ~ \vert ~ \overline{\mathrm{MX}} < r \right\},</math>
die abgeschlossene Kreisscheibe als
<math>\left\{\mathrm{X} \in E ~ \vert ~ \overline{\mathrm{MX}} \le r \right\}.</math>
== Zu etlichen weiteren Themen siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Kreis}}
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Kategorie:Kreisgeometrie}}
* {{WikipediaDE|Kategorie:Kreis}}
* {{WikipediaDE|Kreis}}
* {{WikipediaDE|Kleinkreis}}
* {{WikipediaDE|Großkreis}}
* {{WikipediaDE|Kreisgruppe}}
* {{WikipediaDE|Kreistreue}}
* {{WikipediaDE|Zindlerkurve}}


== Literatur ==
== Literatur ==
* [[Dietrich Mahnke]]: ''Unendliche Sphäre und Allmittelpunkt - Beiträge zur Genealogie der mathematischen Mystik'', Niemeyer, Halle (Saale) 1937 [http://ophen.org/pub-134581 online]
* Ilka Agricola, Thomas Friedrich: ''Elementargeometrie.'' 3. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1385-5.
* Christian Bär: ''Elementare Differentialgeometrie.'' 2. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2010, ISBN 978-3-11-022458-0.
* Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: ''Elementargeometrie. Eine aufgabenorientierte Einführung.'' Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0856-1.
* [[Renatus Ziegler]]: ''Mathematik und Geisteswissenschaft: Mathematische Einführung in die Philosophie als Geisteswissenschaft in Anknüpfung an Plato, Cusanus, Goethe, Hegel und Steiner'', Verlag am Goetheanum, Dornach 1992, ISBN 978-3723506455


* Rudolf Mlaker: ''Geistiges Pendeln. Forschungsergebnisse'', Vlg. Richard Schikowski, Berlin 1974
== Weblinks ==
* Anton Stangl: ''Das grosse Pendelbuch'', Econ Vlg., München 2002
{{Commonscat|Circle geometry|Kreis}}
* Gertrud I. Hürlimann: ''Rute und Pendel'', Oesch Vlg., Zürich 2003
{{Wikibooks|Beweisarchiv: Algebra: Körper: Transzendenz von e und π|Beweis der Transzendenz von e und π|im Beweisarchiv}}
* Karl Haas: ''Pendelbuch. Anleitung zum geistigen pendeln. Esoterisches Grundwissen'', Anna Pichler Verlag, Wien 1992
{{Wiktionary}}
* Markus Schirner: ''Pendel - Welten. Das große Pendel-Arbeitsbuch für Anfänger und Fortgeschrittene'', Schirner Vlg., Darmstadt 1995
* [http://www.mathematische-basteleien.de/kreis.htm „Mathematische Basteleien“ zum Kreis]
* Markus Schirner: ''Pendel-Set'', Schirner Vlg., Darmstadt 2000
* [https://www.youtube.com/watch?v=x-YAkyNIr3g Der Kreis - Geometrie einfach erklärt] YouTube
* Rudolf Steiner: ''Wie erlangt man Erkenntnisse der höheren Welten?'', ([[GA 10]]), Dornach 1993
* Harro Rückner: ''Siderischer Pendel als Kontrolluhr für das Gelingen einer Meditation''. In: Die Christengemeinschaft, 6. Jahrgang (1929), S. 286
* Michael Heinen-Anders: ''Aus anthroposophischen Zusammenhängen Band II'', BOD, Norderstedt 2013


== Weblinks ==
== Einzelnachweise ==
<references />
 
{{Normdaten|TYP=s|GND=4032962-8}}
 
[[Kategorie:Urphänomene der Geometrie]]
[[Kategorie:Geometrische Figur]]
[[Kategorie:Kreisgeometrie]]
[[Kategorie:Formsymbol]]
[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Einheit]]
[[Kategorie:Kreis|!]]


* [http://www.transwelten.de/Praxis_Pendeln.htm Grundkurs Pendeln]
{{Wikipedia}}

Version vom 10. April 2020, 09:45 Uhr

Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r

Ein Kreis ist eine ebene geometrische Figur. Er wird definiert als die Menge aller Punkte einer Ebene, die einen konstanten Abstand zu einem vorgegebenen Punkt dieser Ebene (dem Mittelpunkt) haben. Der Abstand der Kreispunkte zum Mittelpunkt ist der Radius (von lat. radius, wörtlich „Stab“, „Speiche“ oder „Strahl“) oder Halbmesser des Kreises, er ist eine positive reelle Zahl. Ein Kreis mit dem Radius 1 wird als Einheitskreis bezeichnet. Der Kreis gehört zu den klassischen und grundlegenden Objekten der euklidischen Geometrie. Er lässt sich aber auch anders als nach dieser klassischen Definition beschreiben, nämlich als Apollonius-Kreis. Benannt ist er nach antiken Mathematiker Apollonios von Perge. Er ist definiert als die Menge aller Punkte, für die das Verhältnis (d.h. der Quotient) der Entfernungen zu zwei gegebenen Punkten einen vorgegebenen konstanten Wert hat. Er wird deshalb gelegentlich auch als Quotientenkreis bezeichnet.

Kreiszahl

Schon die alten Ägypter und Babylonier versuchten, den Flächeninhalt des Kreises näherungsweise zu bestimmen. Besonders in der griechischen Antike war der Kreis wegen seiner Vollkommenheit von großem Interesse. Beispielsweise versuchte Archimedes erfolglos, mit den Werkzeugen Zirkel und Lineal den Kreis in ein Quadrat mit gleichem Flächeninhalt zu überführen, um so den Flächeninhalt des Kreises bestimmen zu können. Ein solches Verfahren zur Berechnung des Flächeninhalts nennt man die Quadratur des Kreises. Erst 1882 konnte Ferdinand von Lindemann durch Nachweis einer besonderen Eigenschaft der Kreiszahl zeigen, dass diese Aufgabe unlösbar ist.

Eine Näherung für die Kreisfläche

Die Kreiszahl ist eine irrationale Zahl, die als das aufgrund der Ähnlichkeit für alle Kreise gleiche Verhältnis ihres Umfangs zu deren Durchmesser definiert ist. Daraus ergibt sich die bekannte Formel für den Kreisumfang:

Die Flächenformel lässt sich anschaulich aus der nebenstehenden Zeichnung verstehen. Der Kreis wird dabei in immer feinere Sektoren zerlegt, die sich zu einem Rechteck mit der Breite und der Höhe zusammenstellen lassen. Daraus ergibt sich die Formel für die Kreisfläche :

Worterklärungen

Kreisflächen

Nach der eingangs genannten Definition ist ein Kreis eine Kurve, also ein eindimensionales Gebilde, und keine zweidimensionale Fläche. Da das Wort „Kreis“ aber oft ungenau auch für die eingeschlossene Fläche benutzt wird, verwendet man zur Verdeutlichung häufig die Begriffe Kreislinie, Kreisrand oder Kreisperipherie[1] anstatt Kreis – im Gegensatz zur Kreisfläche oder Kreisscheibe. Mathematiker unterscheiden dann noch zwischen der abgeschlossenen Kreisfläche oder -scheibe und der offenen (oder dem Kreisinneren), je nachdem ob die Kreislinie dazugehört oder nicht.

Bogen, Sehne, Sektor, Segment und Ring

Kreisbogen, Kreissektor und Kreissegment
Kreisring

Eine zusammenhängende Teilmenge des Kreises (also der Kreislinie) ist ein Kreisbogen. Eine Verbindungsstrecke von zwei Punkten auf der Kreislinie bezeichnet man als Kreissehne Zu jeder Sehne gehören zwei Kreisbögen. Die längsten Kreissehnen sind diejenigen, die durch den Mittelpunkt verlaufen, also die Durchmesser. Die zugehörigen Kreisbögen heißen Halbkreise. Ist die Kreissehne kein Durchmesser, so sind die Kreisbögen unterschiedlich lang.

Ein Kreissektor (Kreisausschnitt) ist eine Fläche, die von zwei Radien und einem dazwischen liegenden Kreisbogen begrenzt wird. Bilden die zwei Radien einen Durchmesser, wird der Sektor auch als Halbkreis bezeichnet.

Kreissegmente (Kreisabschnitte) werden von einem Kreisbogen und einer Kreissehne eingeschlossen.

Ein Kreisring entsteht, wenn man aus einem Kreis einen kleineren Kreis mit demselben Mittelpunkt herausschneidet.

Tangente, Passante und Sekante

Für die Lage einer Geraden in Bezug auf einen gegebenen Kreis gibt es drei Möglichkeiten:

Beziehung von Kreis zu Tangente, Passante und Sekante
  • Ist der Abstand zwischen Mittelpunkt und Gerade kleiner als der Kreisradius, so haben Kreis und Gerade zwei (verschiedene) Schnittpunkte und man nennt die Gerade Sekante (lateinisch secare = schneiden). Manchmal bezeichnet man den Spezialfall einer Sekante, die durch den Mittelpunkt eines Kreises verläuft, als Zentrale.
  • Stimmt der Abstand des Mittelpunkts zu der Geraden mit dem Radius überein, so gibt es genau einen gemeinsamen Punkt. Man sagt, dass die Gerade den Kreis berührt, und nennt die Gerade eine Tangente (lateinisch tangere = berühren). Eine Tangente steht im Berührpunkt senkrecht (orthogonal, normal) zum entsprechenden Radius.
  • Wenn der Abstand des Kreismittelpunkts von der Geraden größer ist als der Kreisradius, dann haben Kreis und Gerade keinen Punkt gemeinsam. In diesem Fall bezeichnet man die Gerade als Passante. Diese Bezeichnung hat keinen unmittelbaren lateinischen Ursprung, sondern wurde wohl nach franz. oder ital. passante = Vorbeigehende gebildet. Die lat. Wurzel ist passus = Schritt.

Die zweidimensionale Entsprechung der Tangente ist die Tangentialebene, die ein dreidimensionales Objekt (z. B. eine Kugel) in einem Punkt berührt.

Formale Definition

Ein Kreis mit Mittelpunkt , Radius und Durchmesser .

In einer Ebene ist ein Kreis mit Mittelpunkt und Radius die Punktmenge

[2]

Dabei ist der Radius eine positive reelle Zahl, und bezeichnet die Länge der Strecke .

Der doppelte Radius heißt Durchmesser und wird oft mit bezeichnet. Radius und Durchmesser sind durch die Beziehungen oder miteinander verknüpft.

Manchmal wird auch jede Strecke, die den Mittelpunkt mit einem Punkt auf der Kreislinie verbindet, als Radius bezeichnet, und jede Strecke, die durch den Mittelpunkt geht, und deren beide Endpunkte auf der Kreislinie liegen, als Durchmesser. Bei dieser Sprechweise ist die Zahl die Länge jedes Radius und die Zahl die Länge jedes Durchmessers.

Die offene Kreisfläche ist formal definiert als die Punktmenge

die abgeschlossene Kreisscheibe als

Zu etlichen weiteren Themen siehe auch

Siehe auch

Literatur

  • Dietrich Mahnke: Unendliche Sphäre und Allmittelpunkt - Beiträge zur Genealogie der mathematischen Mystik, Niemeyer, Halle (Saale) 1937 online
  • Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementargeometrie. 3. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1385-5.
  • Christian Bär: Elementare Differentialgeometrie. 2. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2010, ISBN 978-3-11-022458-0.
  • Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie. Eine aufgabenorientierte Einführung. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0856-1.
  • Renatus Ziegler: Mathematik und Geisteswissenschaft: Mathematische Einführung in die Philosophie als Geisteswissenschaft in Anknüpfung an Plato, Cusanus, Goethe, Hegel und Steiner, Verlag am Goetheanum, Dornach 1992, ISBN 978-3723506455

Weblinks

Commons: Kreis - Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema
 Wiktionary: Kreis – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

  1. Ilja Nikolajewitsch Bronštein: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, 5. Auflage, Thun und Frankfurt 2001, S. 143.
  2. Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg New York 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 143.


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