Neuronales Netz und Gruppe (Mathematik): Unterschied zwischen den Seiten

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[[Datei:Cajal actx inter.jpg|mini|Zeichnung der neuronalen Vernetzung im [[Wikipedia:Auditiver Cortex|auditiven Cortex]] ([[Wikipedia:Santiago Ramón y Cajal|Santiago Ramón y Cajal]], 1898)]]
[[Datei:Rubik's cube.svg|mini|Auch die Drehungen eines [[Wikipedia:Zauberwürfel|Zauberwürfel]]s ({{EnS|Rubik’s Cube}}) bilden eine Gruppe.]]


Ein '''neuronales Netz''' besteht aus einer Vielzahl miteinander über [[Synapse]]n vernetzter [[Neuron]]en, die innerhalb des [[Nervensystem]]s einen funktionellen Zusammenhang bilden. Eine erste Darstellung gab 1894 der österreichischer Physiologe [[Wikipedia:Sigmund Exner|Sigmund Exner]] in seinem ''Entwurf zu einer physiologischen Erklärung der psychischen Erscheinungen''<ref>Olaf Breidbach: ''Hirn, Hirnforschung.'' In: Werner E. Gerabek, Bernhard D. Haage, Gundolf Keil, Wolfgang Wegner (Hrsg.): ''Enzyklopädie Medizingeschichte.'' De Gruyter, Berlin/New York 2005, ISBN 3-11-015714-4, S. 600 f.; hier: S. 600 (und S. 1543).</ref>. Üblicherweise verfügen neuronale Netze über eine Vielzahl von Eingängen und einen einzigen Ausgang. Durch ihre dynamische funktionelle und strukturelle ''neuronale Plastizität'', durch die die [[Synapse|synaptischen Verbindungen]] der [[Nervenzelle]]n tätigkeitsabhängig beständig umgebildet werden, sind neuronale Netze hochgradig [[Lernen|lernfähig]]. Sie folgen dadurch nicht fix vorgegebenen Regeln, sondern entwickeln eine eigenständige Art von neuronaler [[Intelligenz]]. Hervorstechend ist insbesondere ihre Fähigkeit, komplexe [[Muster]] zu erkennen und zu speichern.
Als '''Gruppe''' wird in der [[Mathematik]] eine [[Menge (Mathematik)|Menge]] von [[Element (Mathematik)|Elementen]] zusammen mit einer zweistelligen [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] (z.B. Addition, Multiplikation), durch die jeweils zwei Elementen ein drittes Element derart zugeodnet wird, dass dabei folgende drei '''Gruppenaxiome''' erfüllt sind:


Der [[Technik|technische]] Nachbau neuronaler Netze durch '''künstliche neuronale Netze''' ist für die Entwicklung der [[Künstliche Intelligenz|künstlichen Intelligenz]] von hervorragender Bedeutung.  
# Es gilt das [[Assoziativgesetz]], d.h. <math> a \star \left( b \star c \right) = \left( a \star b \right) \star c </math>
# Es existiert ein '''neutrales Element''' <math>e</math>, sodass <math>e \star a = a</math> (linksneutral) oder <math>a \star e = a</math> (rechtsneutral). Wird auch das [[Kommutativgesetz]] erfüllt, ist <math>e \star a = a \star e = a</math>.
# Es gibt '''inverse Elemente''' <math>a^{-1}</math>, sodass <math>a^{-1} \star a = e</math> und/oder <math>a \star a^{-1} = e</math>


== Hebbsche Lernregel ==
[[Wikipedia:|1949]] formulierte der kanadische [[Kognitionspsychologe]] [[Wikipedia:Donald O. Hebb|Donald O. Hebb]] (1904-1985) in seinem Buch ''The Organization of Behavior'' die mittlerweile experimentell gut belegte grundlegende und einfachste neuronale Lernregel, die sog. '''Hebbsche Lernregel''', die kurz gefasst besagt: „''what fires together, wires together''“, d.h. je öfter Neuronen gleichzeitig feuern, umso bevorzugter werden sie auch künftig durch Ausbildung entsprechender synaptischer Verbindungen miteinander aktiv werden. In künstlichen neuronalen Netzen wird sie durch die Gewichtsänderung <math>\Delta w_{ij}</math> des neuronalen Graphen abgebildet. Sie ist proportional zu der als passende Konstante gewählten ''Lernrate'' <math>\eta</math> und zur Aktivitätsrate <math>a_i</math> des Neurons&nbsp;i und dem Output des mit ihm verbundenen Neurons&nbsp;j, d.h.:


:<math>\Delta w_{ij} = \eta \cdot a_{i} \cdot o_{j}</math>
== Abelsche Gruppe ==
Für eine '''abelsche Gruppe''' ist zusätzlich auch das [[Kommutativgesetz]] erfüllt, d.h. <math>a \star b = b \star a</math>. Die wichtigste und bekannteste abelsche Gruppe ist <math> (\mathbb Z,+,0) </math>, die aus der Menge der [[Ganze Zahlen|ganzen Zahlen]] <math>\{\ldots, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, \ldots\}</math> und der gewöhnlichen Addition <math> + </math> besteht.


== Siehe auch ==
== Halbgruppe ==
Eine '''Halbgruppe''' erfüllt nur die beiden ersten Bedingungen. So bildet etwa die Menge der [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]] <math>\mathbb N_0 = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}</math> zusammen mit der gewöhnlichen Addition die kommutative (abelsche) Halbgruppe <math>(\mathbb N_0,+,0)</math>. Im Gegensatz zur der abelschen Gruppe <math>(\mathbb Z,+,0)</math> der [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] <math>\mathbb Z = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}</math> fehlt hier die ganze „Hälfte“ der ''negativen Zahlen'' und damit die inversen Elemente.


* {{WikipediaDE|Neuronales Netz}}
== Gruppentheorie ==
* {{WikipediaDE|Künstliches neuronales Netz}}
{{WikipediaDE|Gruppentheorie}}


== Literatur ==
Die mathematische Disziplin, die sich mit den Gruppen beschäftigt, heißt '''Gruppentheorie'''.


* [[Wikipedia:Sigmund Exner|Sigmund Exner]]: ''[https://archive.org/details/entwurfzueinerph00exne Entwurf zu einer physiologischen Erklärung der psychischen Erscheinungen von Dr. Sigmund Exner: I. Theil]'', F. Deuticke, Leipzig Wien 1894
== Siehe auch ==
* Donald Olding Hebb: ''The organization of behavior. A neuropsychological theory''. Erlbaum Books, Mahwah, N.J. 2002, ISBN 0-8058-4300-0
* [[Wikipedia:Manfred Spitzer|Manfred Spitzer]]: ''Geist im Netz''. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1996, ISBN 3-8274-0109-7, S. 148–182
* Norman Doidge, Jürgen Neubauer (Übers.): ''Neustart im Kopf: wie sich unser Gehirn selbst repariert''. Campus-Verlag, Frankfurt am Main / New York 2008, ISBN 978-3-593-38534-1


== Weblinks ==
* {{WikipediaDE|Gruppentheorie}}
{{Commons|Neural network}}
* {{WikipediaDE|Gruppe (Mathematik)}}
* [http://www.neuronalesnetz.de/ Einführung in die Grundlagen und Anwendungen neuronaler Netze]
* {{WikipediaDE|Abelsche Gruppe}}
* {{Webarchiv | url=http://wwwmath.uni-muenster.de/SoftComputing/lehre/material/wwwnnscript/startseite.html | wayback=20010515082546 | text=Einführung in Neuronale Netze}}
* {{WikipediaDE|Halbgruppe}}
* {{Webarchiv | url=http://neurocomputing.org/History/body_history.html | wayback=20060203191836 | text=Geschichte der Neuronalen Netze bis 1960}} (engl.)
* [[Ring (Algebra)]]
* [http://www.dkriesel.com/science/neural_networks Ein kleiner Überblick über Neuronale Netze (D. Kriesel)] - Ausführliche, illustrierte Arbeit zu Neuronalen Netzen; Themen sind u.&nbsp;a. Perceptrons, Backpropagation, Radiale Basisfunktionen, Rückgekoppelte Netze, Self Organizing Maps, Hopfield-Netze.
* [[Körper (Algebra)]]
* [http://www.mpg.de/100045/HM09_NeuronalePlastizitaet.pdf ''Neuronale Plastizität: Das formbare Gehirn''] (PDF) In: [http://www.mpg.de/perspektiven Forschungsperspektiven 2010+], [[Wikipedia:Max-Planck-Gesellschaft|Max-Planck-Gesellschaft]].
* Ulrich Kraft: [http://www.mpg.de/932978/F004_Fokus_038_043.pdf ''Altern mit Köpfchen''.] (PDF; 2,6&nbsp;MB) In: ''[[Wikipedia:MaxPlanckForschung|MaxPlanckForschung]]'', Heft 1/2007
* {{Scholarpedia|http://www.scholarpedia.org/article/Models_of_synaptic_plasticity|Models of Synaptic Plasticity}}
* {{Scholarpedia|http://www.scholarpedia.org/article/Maintenance_of_synaptic_plasticity|Maintenance of synaptic plasticity|Harel Z. Shouval}}


[[Kategorie:Nervensystem]] [[Kategorie:Informatik]]
[[Kategorie:Mathematischer Grundbegriff]]
[[Kategorie:Gruppentheorie]]

Version vom 19. August 2019, 21:15 Uhr

Auch die Drehungen eines Zauberwürfels (eng. Rubik’s Cube) bilden eine Gruppe.

Als Gruppe wird in der Mathematik eine Menge von Elementen zusammen mit einer zweistelligen Verknüpfung (z.B. Addition, Multiplikation), durch die jeweils zwei Elementen ein drittes Element derart zugeodnet wird, dass dabei folgende drei Gruppenaxiome erfüllt sind:

  1. Es gilt das Assoziativgesetz, d.h.
  2. Es existiert ein neutrales Element , sodass (linksneutral) oder (rechtsneutral). Wird auch das Kommutativgesetz erfüllt, ist .
  3. Es gibt inverse Elemente , sodass und/oder


Abelsche Gruppe

Für eine abelsche Gruppe ist zusätzlich auch das Kommutativgesetz erfüllt, d.h. . Die wichtigste und bekannteste abelsche Gruppe ist , die aus der Menge der ganzen Zahlen und der gewöhnlichen Addition besteht.

Halbgruppe

Eine Halbgruppe erfüllt nur die beiden ersten Bedingungen. So bildet etwa die Menge der natürlichen Zahlen zusammen mit der gewöhnlichen Addition die kommutative (abelsche) Halbgruppe . Im Gegensatz zur der abelschen Gruppe der ganzen Zahlen fehlt hier die ganze „Hälfte“ der negativen Zahlen und damit die inversen Elemente.

Gruppentheorie

Gruppentheorie - Artikel in der deutschen Wikipedia

Die mathematische Disziplin, die sich mit den Gruppen beschäftigt, heißt Gruppentheorie.

Siehe auch