imported>Odyssee |
imported>Joachim Stiller |
| Zeile 1: |
Zeile 1: |
| [[Datei:Mug and Torus morph.gif|mini|Tasse und Volltorus sind zueinander homöomorph.<br /> ''Bemerkung'': Ein Homöomorphismus wäre eine direkte Abbildung zwischen den Punkten der Tasse und des Volltorus, die Zwischenstufen im zeitlichen Verlauf dienen nur der Illustration der Stetigkeit dieser Abbildung.]] | | [[Kategorie:Vertreter der Philosophie der Mathematik als Thema]] |
| Die '''Topologie''' ({{elS|τόπος|tópos|de=Ort, Platz}} und [[-logie]]) ist ein fundamentales [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet der Mathematik]]. Sie entstand gegen Ende des 19. Jahrhunderts als eigenständige Disziplin und beschäftigt sich mit den Eigenschaften mathematischer Strukturen, die unter stetigen Verformungen erhalten bleiben, wobei der Begriff der Stetigkeit durch die Topologie in sehr allgemeiner Form definiert wird. Die Topologie ging aus den Konzepten der [[Geometrie]] und [[Mengenlehre]] hervor.
| | [[Kategorie:Mathematiker als Thema (20. Jahrhundert)]] |
| | | [[Kategorie:Mitglied des Wiener Kreises als Thema]] |
| Neben der [[Algebra]] kann sie als zweiter Stützpfeiler für eine große Anzahl anderer Felder der Mathematik angesehen werden. Sie ist besonders wichtig für die [[Geometrie]], die [[Analysis]], die [[Wikipedia:Funktionalanalysis|Funktionalanalysis]] und die Theorie der [[Wikipedia:Lie-Gruppe|Lie-Gruppe]]n und hat auch die [[Mengenlehre]] und [[Wikipedia:Kategorientheorie|Kategorientheorie]] befruchtet.
| | [[Kategorie:Wissenschaftler als Thema]] |
| | | [[Kategorie:Mathematiker als Thema]] |
| == Topologischer Raum ==
| | [[Kategorie:Philosoph als Thema]] |
| Der grundlegende Begriff der Topologie ist der des '''topologischen Raums''' bzw. der '''topologischen Struktur''', welcher eine weitreichende Abstraktion der Vorstellung von „Nähe“ darstellt und damit weitreichende Verallgemeinerungen mathematischer Konzepte wie [[Stetigkeit (Mathematik)|Stetigkeit]] und [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] erlaubt. Viele mathematische Strukturen lassen sich als topologische Räume auffassen.
| | [[Kategorie:Logiker als Thema]] |
| | | [[Kategorie:Hempel|!]] |
| == Stetigkeit ==
| |
| Ein wichtiger Begriff der Topologie ist die '''Stetigkeit'''. Stetige Abbildungen entsprechen in der Topologie dem, was man in anderen mathematischen Kategorien meist [[Wikipedia:Homomorphismus|Homomorphismen]] nennt.
| |
| | |
| == Homöomorphismus ==
| |
| Eine umkehrbare, in beiden Richtungen stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen heißt ein '''Homöomorphismus''' und entspricht dem, was in anderen Kategorien meist Isomorphismus heiß: Homöomorphe Räume sind mit topologischen Mitteln nicht zu unterscheiden. Ein grundlegendes Problem dieser Disziplin ist es, zu entscheiden, ob zwei Räume homöomorph sind, oder allgemeiner, ob stetige Abbildungen mit bestimmten Eigenschaften existieren.
| |
| | |
| ''Topologische Eigenschaften'' einer Struktur werden solche genannt, die nur von der Struktur des zugrundeliegenden topologischen Raumes abhängen. Dies sind gerade solche Eigenschaften, die durch „Verformungen“ oder durch Homöomorphismen nicht verändert werden. Dazu gehört in anschaulichen Fällen das Dehnen, Stauchen, Verbiegen, Verzerren und Verdrillen einer geometrischen Figur. Zum Beispiel sind eine Kugel und ein Würfel aus Sicht der Topologie nicht zu unterscheiden; sie sind homöomorph.
| |
| Ebenso sind ein [[Wikipedia:Donut|Donut]] (dessen Form in der Mathematik als [[Wikipedia:Torus|Volltorus]] bezeichnet wird) und eine einhenkelige Tasse homöomorph, da eine in die andere ohne Schnitt transformiert werden kann (siehe Animation rechts). Dagegen ist die Oberfläche des Torus von der Kugelfläche topologisch verschieden: Auf der Kugel lässt sich jede geschlossene Kurve ''stetig auf einen Punkt zusammenziehen'' (die anschauliche Sprache lässt sich präzisieren), auf dem Torus nicht jede.
| |
| | |
| == Teilgebiete ==
| |
| | |
| Die Topologie gliedert sich in Teilgebiete. Hierzu zählen die [[Wikipedia:algebraische Topologie|algebraische Topologie]], die [[Wikipedia:geometrische Topologie|geometrische Topologie]] sowie die [[Wikipedia:Topologische Graphentheorie|topologische Graphen-]] und die [[Wikipedia:Knotentheorie|Knotentheorie]]. Die [[Wikipedia:mengentheoretische Topologie|mengentheoretische Topologie]] kann als Grundlage für all diese Teildisziplinen angesehen werden. In dieser werden insbesondere auch topologische Räume betrachtet, deren Eigenschaften sich besonders weit von denen geometrischer Figuren unterscheiden.
| |
| | |
| == Siehe auch ==
| |
| * {{WikipediaDE|Kategorie:Topologie}}
| |
| * {{WikipediaDE|Topologie (Mathematik)}}
| |
| | |
| [[Kategorie:Topologie|!]] | |
| [[Kategorie:Teilgebiet der Mathematik]]
| |
anthrowiki.at, 
anthro.world, 
biodyn.wiki und 
steiner.wiki
Wie Sie die Entwicklung von AnthroWiki durch Ihre Spende unterstützen können, erfahren Sie hier.
