Lokale Gruppe und Lorentzkraft: Unterschied zwischen den Seiten

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[[Datei:Lokale gruppe.svg|mini|Räumliche Darstellung der Galaxien in der Lokalen Gruppe. Es sind Zentren zu erkennen – eines um die [[Andromedagalaxie]] und ein zweites um die Milchstraße.]]
[[Datei:Cyclotron motion wider view.jpg|mini|Das [[Fadenstrahlrohr]] demonstriert die Wirkung der Lorentzkraft auf bewegte Ladungen (Elektronen).]]
Die '''Lokale Gruppe''' ist der [[Galaxienhaufen]], dem die [[Milchstraße]] angehört. Sie hat einen Durchmesser von 5 bis 8 Millionen [[Lichtjahr]]en.
[[Datei:Leiterschaukelversuch.ogv|mini|Der Leiterschaukelversuch zeigt die Lorentzkraft auf einen stromdurchflossenen Leiter.]]
Die '''Lorentzkraft''' ist die [[Kraft]], die eine Ladung in einem [[Elektromagnetische Wechselwirkung|magnetischen oder elektrischen]] Feld erfährt. Ein Magnetfeld übt dabei Kraft auf [[Elektrischer Strom|bewegte Ladungen]] aus, während ein elektrisches Feld auf bewegte und unbewegte Ladungen gleichermaßen wirkt. Sie ist nach dem niederländischen Mathematiker und Physiker [[Hendrik Antoon Lorentz]] benannt.


Die Milchstraße und die [[Andromedagalaxie]] sind die beiden größten Galaxien der Lokalen Gruppe. In ihrer direkten Nachbarschaft befinden sich etwa sechzig [[Zwerggalaxie]]n. Außerdem enthält die Lokale Gruppe einige kleinere Galaxien, die keinem der beiden Zentren zugeordnet werden können.
Die magnetische Komponente der Kraft ist am größten, wenn die Bewegungsrichtung der Ladung senkrecht zu den magnetischen [[Feldlinie]]n verläuft, und gleich Null, wenn die Ladung sich entlang einer Feldlinie bewegt. Sie wirkt immer senkrecht zur Bewegungsrichtung der Ladung und zu den Magnetfeldlinien. Ihre Wirkungsrichtung kann mit der [[Drei-Finger-Regel]] bestimmt werden. Für negative Ladungen verwendet man die linke, für positive Ladungen die rechte Hand.


== Eigenschaften ==
Eine Erklärung der Lorentzkraft, die letztlich auf die elektrostatische Anziehung zurückgeführt wird, liefert die [[Spezielle Relativitätstheorie#Lorentzkraft|Spezielle Relativitätstheorie]].
[[Datei:Local.group.arp.600pix.jpg|mini|[[Sextans A]] ist eines der am weitesten entfernten Mitglieder der Lokalen Gruppe (4.400.000 Lj) und zugleich eine der kleinsten (irreguläre Zwerggalaxie).]]
[[Datei:IC10 BVHa.jpg|mini|[[IC 10]] – sehr junge Galaxie mit hochaktiver [[Sternentstehung]]; der Erde am nächsten gelegene [[Starburstgalaxie]]]]
Zur Lokalen Gruppe werden Objekte im Umkreis von fünf bis sieben Millionen [[Lichtjahr]]en gezählt. Es wird davon ausgegangen, dass die Mitglieder dieser Gruppe [[Gravitation|gravitativ]] aneinander gebunden sind, so dass die Zugehörigkeit zur Lokalen Gruppe einer echten physikalischen Bindung entspringt und nicht nur eine zufällige geometrische Struktur im Universum darstellt. Die Mitglieder der Lokalen Gruppe bilden annähernd einen ellipsoiden Haufen. Der größte Teil der sichtbaren Masse befindet sich in der Milchstraßen-Galaxie und der [[Andromedagalaxie]] (etwa 95 %).  


Die Mitglieder der Gruppe sind nicht gleichmäßig im Haufen verteilt. Sie sammeln sich je nach gravitativer Bindung zu mehreren Untergruppen. Dazu zählen die ''Milchstraßen-Untergruppe'', mit der Milchstraße und ihren Satellitengalaxien, und die ''Andromeda-Untergruppe'', mit der Andromedagalaxie und ihren Satelliten. Der [[Dreiecksnebel]] gehört wahrscheinlich zur Andromeda-Untergruppe oder bildet mit ihrer Satellitengalaxie LGS 3 eine eigene Untergruppe. Eine dritte (bzw. vierte) mögliche Untergruppe ist um die Galaxie [[NGC 3109]] geschart, es ist aber nicht sicher, ob diese noch zur Lokalen Gruppe gehört. Weitere Galaxien, die keiner dieser Untergruppen zugeordnet werden können, bilden die ''Lokale-Gruppen-Wolke'' (''Local Group Cloud''). Diese Galaxien bewegen sich in dem gemeinsamen Gravitationsfeld, das von den großen Galaxien gebildet wird.
== Geschichte ==
Die Form des Induktionsgesetzes in ''On physical lines of force'' (1861) oder ''[[Eine dynamische Theorie des elektromagnetischen Feldes]]'' (1864) von [[James Clerk Maxwell]] enthält aus heutiger Sicht einen Anteil, der als Vorläufer der Lorentzkraft betrachtet werden kann. Die eigentliche Behandlung der Kräfte auf bewegte Punktladungen in Magnetfeldern erfolgte erst 1881 durch [[J. J. Thomson]].<ref>Thomson, On the electric and magnetic effect produced by the motion of electrified bodies, Philosophical Magazine, Band 11, 1881, S. 229–249</ref> Er hatte noch einen fehlerhaften Vorfaktor <math>\frac {1}{2}</math>, die korrekte Form der Lorentzkraft leiteten [[Oliver Heaviside]] (1889)<ref>Heaviside, On the Electromagnetic Effects due to the Motion of Electrification through a Dielectric, Philosophical Magazine, 1889, 324</ref> und Lorentz (1895)<ref>Lorentz, Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern, 1895</ref> ab.<ref>Darrigol, Electrodynamics from Ampère to Einstein, Oxford UP, 2000, S. 429ff</ref>


Genauere Untersuchungen der Galaxiendynamik weisen darauf hin, dass sich die beiden großen Untergruppen die Gesamtmasse der Lokalen Gruppe fast gleichmäßig aufteilen. Orbitalberechnungen ergeben ein Verhältnis von 0,95·10<sup>12</sup> [[Sonnenmasse|M<sub>&#x2609;</sub>]] für die Milchstraßengruppe zu 1,11·10<sup>12</sup> M<sub>&#x2609;</sub> für die Andromedagruppe. Die Gesamtmasse der Gruppe beträgt danach (und auch durch andere Rechnungen bestätigt) etwa 2·10<sup>12</sup> M<sub>&#x2609;</sub>.<ref name="karachentsev2005">{{cite journal
== Allgemeine Definition ==
  | author=I. D. Karachentsev
[[Datei:Lorentzkraft positiv negativ de.svg|mini|a) Lorentzkraft bei Bewegung negativer bzw. positiver Ladungsträger<br />b) Störung des magnetischen Feldes durch die bewegten Ladungsträger. Die Teilchen bewegen sich hier in die Zeichenebene hinein, das Feld und die Kraft liegen in der Zeichenebene.]]
  | title=The Local Group and Other Neighboring Galaxy Groups
Bewegt sich eine elektrische Ladung <math>q</math> mit der Geschwindigkeit <math>\vec v</math> durch ein [[Elektromagnetische Wechselwirkung|elektromagnetisches]] Feld, ist die insgesamt auf die Ladung wirkende ''Lorentzkraft im weiteren Sinne:''
  | journal=Astronomical Journal
  | year=2005
  | volume=129
  | pages=178-188
  | bibcode=2005AJ....129..178K}}.</ref><ref name="Courteau-vandenBergh1999">Courteau, S. & van den Bergh, S. (1999), Astron. Journal. vol. 118, S. 337</ref>


Computersimulationen zufolge müsste die Lokale Gruppe etwa 300 bis 500 Zwerggalaxien enthalten. Bekannt sind zurzeit aber nur etwa 70. Einige Astronomen gehen daher davon aus, dass die bislang unentdeckten Galaxien größtenteils aus [[Dunkle Materie|dunkler Materie]] bestehen und kaum Sterne enthalten und damit sogenannte [[Dunkle Galaxie]]n wären.
:<math>\vec F = \vec {F_\text{E}} + \vec {F_\text{B}} = q \vec E + q\vec v \times \vec B</math>


== Untergruppen und bekannte Objekte der Lokalen Gruppe ==
<math>\vec {F_\text{E}}</math> und <math>\vec {F_\text{B}}</math> sind dabei die elektrische und magnetische Komponente der ''Lorentzkraft im weiteren Sinne,'' <math>\vec E</math> die [[elektrische Feldstärke]], <math>\vec B</math> die [[magnetische Flussdichte]] und das Zeichen <math>\times</math> das des [[Vektorprodukt|Vektor- oder Kreuzprodukts]] der beteiligten Vektoren.


:''Siehe auch: [[Wikipedia:Liste der Galaxien der Lokalen Gruppe|Liste der Galaxien der Lokalen Gruppe]]''
Der resultierende Vektor eines Kreuzprodukts steht stets senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren, und das [[Skalarprodukt]] [[orthogonal]]er Vektoren ist gleich 0. Daraus ergibt sich für den Fall eines nicht vorhandenen äußeren elektrischen Felds (<math>E=0</math>):


[[Datei:ESO - Milky Way.jpg|mini|Die Milchstraße vom irdischen Himmel aus gesehen. Das Panoramabild aus Fotos von der gesamten Himmelskugel kondensiert Beobachtungen mehrerer Wochen.]]
* Bei der Ablenkung eines Teilchens der Ladung <math>q</math> im räumlich und zeitlich konstanten Magnetfeld wird ''im Gegensatz zur Ablenkung im elektrischen Feld'' keinerlei Arbeit verrichtet, die kinetische Energie und damit die [[Geschwindigkeit|Bahngeschwindigkeit]] bleiben also unverändert, denn
:<math>\frac{\mathrm d W_\text{kin}}{\mathrm d t}= \frac{m}{2}\,\frac{\mathrm d \vec v^2}{\mathrm d t}= m \vec v\cdot\frac{\mathrm d \vec v}{\mathrm d t}= \vec v\cdot m \cdot \vec a=\vec v\cdot \vec F= q \,\vec v \cdot \bigl (\vec v \times \vec B\bigr)=0</math>.


=== Milchstraßen-Untergruppe ===
: Dies gilt auch für [[relativistisch]]e Teilchen. Tatsächlich jedoch emittieren die Teilchen wegen ihrer Ablenkung [[Bremsstrahlung]] und geben dadurch Energie ab.
* Verlaufen die Vektoren <math>\vec v</math> und <math>\vec B</math> parallel oder antiparallel zueinander, wird <math>\vec F</math> gleich 0. Bewegt sich eine Ladung <math>q</math> in Feldlinienrichtung eines Magnetfelds oder genau entgegengerichtet, findet also keinerlei Ablenkung statt.


[[Datei:Magellanic Clouds ― Irregular Dwarf Galaxies.jpg|mini|Die zwei Magellanschen Wolken]]
Betrachtet man dagegen, wie in älteren Physik-Lehrbüchern üblich, als ''Lorentzkraft im engeren Sinne'' allein die magnetische Komponente der obigen Gesamtkraft <math>\vec F</math>, gilt für ihre Berechnung entsprechend die Formel:
: ''Siehe auch [[Wikipedia:Liste der Satellitengalaxien der Milchstraße|Liste der Satellitengalaxien der Milchstraße]]''


Die Milchstraßen-Untergruppe umfasst mindestens 28 Galaxien.
:<math>\vec F_\text{L} = q \vec v \times \vec B</math>


* die [[Milchstraße]]
Die in solchem Fall ebenfalls separat betrachtete elektrische Komponente der ''Lorentzkraft im weiteren Sinne'' wird dann als [[Coulombkraft]] bezeichnet und wie folgt berechnet:
* die [[Große Magellansche Wolke]] (ESO&nbsp;56-115)
:<math>\vec F_\text{C} = q \vec E</math>
* die [[Kleine Magellansche Wolke]] (NGC&nbsp;292)
* die elliptische [[Sagittarius-Zwerggalaxie]] (SagDEG)
* die [[Sculptor-Zwerggalaxie]]
* die [[Canis-Major-Zwerggalaxie]]
* die [[Fornax-Zwerggalaxie]]
* die [[Draco-Zwerggalaxie]]
* die [[Carina-Zwerggalaxie]]
* die [[Phoenix-Zwerggalaxie]]
* die [[Ursa-Minor-Zwerggalaxie]]
* die [[Hercules-Zwerggalaxie]]
* die [[Sextans-Zwerggalaxie]]
* die [[Pisces-I-Zwerggalaxie]]
* die [[Pisces-II-Zwerggalaxie]]
* die [[Coma-Berenices-Zwerggalaxie]]
* die Zwerggalaxien [[Ursa-Major-I-Zwerggalaxie|Ursa-Major-I]] und [[Ursa-Major-II-Zwerggalaxie|Ursa-Major-II]], sowie [[Canes-Venatici-I-Zwerggalaxie|Canes-Venatici-I]] und [[Canes-Venatici-II-Zwerggalaxie|Canes-Venatici-II]]
* die Zwerggalaxien [[Leo-I-Zwerggalaxie|Leo I]], [[Leo-II-Zwerggalaxie|Leo II]], [[Leo-IV-Zwerggalaxie|Leo IV]], [[Leo-V-Zwerggalaxie|Leo V]] und [[Leo-T-Zwerggalaxie|Leo T]], sowie [[Bootes-I-Zwerggalaxie|Bootes I]], [[Bootes-II-Zwerggalaxie|Bootes II]] und [[Bootes-III-Zwerggalaxie|Bootes III]]
* die Zwerggalaxie [[Segue 2]]


=== Andromeda-Untergruppe ===
Die Formelzeichen <math>\vec {F_\text{B}}</math> und <math>\vec {F_\text{L}}</math> bzw. <math>\vec {F_\text{E}}</math> und <math>\vec {F_\text{C}}</math> bezeichnen dabei jeweils einander Entsprechendes, wobei man der Klarheit der Schreibweise wegen nach Möglichkeit die eine ''oder'' die andere Konvention beibehalten sollte.
[[Datei:Andromeda Galaxy (with h-alpha).jpg|mini|Die Andromedagalaxie ist die größte der Galaxien der Lokalen Gruppe.]]
[[Datei:M33.jpg|mini|Der [[Dreiecksnebel]] (M33) ist die drittgrößte Galaxie der Lokalen Gruppe.]]
:''Siehe auch: [[Wikipedia:Liste der Satellitengalaxien von Andromeda|Liste der Satellitengalaxien von Andromeda]]''


Die Andromeda-Untergruppe umfasst mindestens 37 Galaxien.
=== Formulierung der Lorentzkraft im cgs-System ===
Im Unterschied zu der obigen Schreibweise der Formel für die Lorentzkraft <math>\vec {F_\text{L}}</math>, die auf dem in der Elektrotechnik und den experimentellen Naturwissenschaften üblichen [[Internationales Einheitensystem|Internationalen Maßsystem]] basiert, schreibt man in der theoretischen Physik und allgemeiner besonders in England und den USA für dieselbe Kraft in den äquivalenten, aber leicht verschiedenen [[cgs-Einheit]]en


* die [[Andromedagalaxie]] (Andromedanebel, M&nbsp;31)
:<math>\vec F_L = q_\text{cgs}\left(\frac{\vec v}{c}\times \vec B_\text{cgs}\right),</math>
* [[Messier 110|M110]] (NGC&nbsp;205, Andro-Alpha)
* [[Messier 32|M32]] (NGC&nbsp;221, Andro-Beta)
* die Zwerggalaxien And I bis And XXIX (darunter die sphäroiden [[Pegasus-Zwerggalaxie|Pegasus-]] und [[Cassiopeia-Zwerggalaxie]])
* [[NGC 147]] und [[NGC 185]]
* [[IC 10]]
* der [[Dreiecksnebel]] (M&nbsp;33, NGC 598, Triangulumgalaxie)
* die [[Pisces-Zwerggalaxie]] (LGS 3)


=== NGC-3109-Untergruppe ===
bzw. für die Lorentzkraft im weiteren Sinn<ref>''[https://www.thphys.uni-heidelberg.de/~ewerz/scriptum/script_ed_ce.pdf Klassische Elektrodynamik.]'' Vorlesung an der Universität Heidelberg, abgerufen am 18. Dezember 2016.</ref>


[[Datei:NGC 3109 GALEX WikiSky.jpg|mini|NGC 3109 ist die dominierende Galaxie der kleinsten Untergruppe.]]
:<math>\vec F = q_\text{cgs}\left(\vec E_\text{cgs} + \frac{\vec v}{c}\times \vec B_\text{cgs}\right),</math>


Die NGC-3109-Untergruppe umfasst mindestens vier Galaxien:
wobei die Größen <math>q_\text{cgs}</math> und <math>\vec B_\text{cgs}</math> sowie <math>\vec E_\text{cgs}</math> den entsprechenden SI-Größen weitgehend äquivalent sind, man sie also der Einfachheit halber meist ohne spezielle Indizes ebenfalls als <math>q</math> und <math>\vec B</math> sowie <math>\vec E</math> bezeichnet. Es gelten jedoch die [[Gaußsches Einheitensystem#Transformationsformeln|Transformationsformeln]]:


* [[NGC 3109]]
:<math>q_\mathrm{cgs} = q_\mathrm{SI}/\sqrt{4\pi\varepsilon_0}</math>
* [[Sextans A]]
:<math>\vec E_\text{cgs} = \sqrt{4\pi\varepsilon_0} \cdot\vec E_\mathrm{SI}</math>
* [[Sextans B]]
:<math>\vec B_\mathrm{cgs}=\vec B_\mathrm{SI}\cdot c\cdot\sqrt{4\pi\varepsilon_0}=\vec B_\mathrm{SI}\cdot{\sqrt{\frac{4\pi}{\mu_0}}}</math>
* die [[Antlia-Zwerggalaxie]]


=== Lokale-Gruppen-Wolke ===
mit der ''dimensionsbehafteten'' [[Dielektrizitätskonstante]]n im Vakuum <math>\varepsilon_0</math> (für die systematische Umrechnung von Größen in SI-Einheiten ins cgs-System und umgekehrt siehe den entsprechenden Abschnitt im Artikel über die [[Maxwell-Gleichungen#Maxwell-Gleichungen in cgs-Systemen|Maxwellschen Gleichungen]]).
* [[Barnards Galaxie]] (NGC&nbsp;6822)
* die [[Aquarius-Zwerggalaxie]]
* die [[Cetus-Zwerggalaxie]]
* [[IC 1613]]
* [[Wolf-Lundmark-Melotte-Galaxie|Wolf-Lundmark-Melotte]]
* die [[Irreguläre Sagittarius-Zwerggalaxie]] (SagDIG)
* die [[Leo-III-Zwerggalaxie]] (Leo A)
* die [[Tucana-Zwerggalaxie]]


== Umgebung ==
== Doppeldeutige Bezeichnung ==
[[Datei:Lokale Gruppe 3D Nachbarschaft.svg|mini|Die Lokale Gruppe und benachbarte Galaxienhaufen]]
Die Bezeichnung „Lorentzkraft“ wird nicht einheitlich verwendet. Ältere Lehrwerke<ref>{{Literatur|Autor=Dieter Meschede|Titel=Gerthsen Physik|Auflage=23.|Verlag=Springer|Ort=Berlin|Datum=2006|ISBN=978-3-540-25421-8}}</ref> unterscheiden meist zwischen der ''Lorentzkraft im engeren Sinne'' <math>\vec{F_\text{L}}</math> und der [[Coulombkraft]] <math>\vec{F_\text{C}}</math>. Erstere wird von magnetischen Feldern auf bewegte Ladungen ausgeübt, letztere von elektrischen Feldern auf bewegte oder unbewegte Ladungen. Die neuere Literatur fasst beide Kräfte meist als magnetische Komponente <math>\vec{F_\text{B}}</math> und elektrische Komponente <math>\vec{F_\text{E}}</math> der ''Gesamt''kraft <math>\vec{F_\text{B}} + \vec{F_\text{E}}</math>, der ''Lorentzkraft im weiteren Sinne,'' auf.
Die Lokale Gruppe ist Bestandteil des [[Virgo-Superhaufen]]s, der nach dem [[Virgohaufen]] in seinem Zentrum benannt ist. Innerhalb dieses Superhaufens grenzt die Lokale Gruppe an die [[Maffei-Gruppe|Maffei-]], die [[Sculptor-Gruppe|Sculptor-]], die [[M81-Gruppe|M81-]], [[Canes-Venatici-I-Gruppe|CVn-I-]] und die [[M83-Gruppe]].
Der Virgo-Superhaufen wiederum ist aufgrund seiner Position und Bewegungsrichtung Teil des Super-Clusters [[Laniakea]].


Der Massereichtum des zentralen Virgohaufens führt zu einer gravitativen Anziehung der Lokalen Gruppe, die sich mit dem allgemeinen kosmologischen [[Hubble-Konstante|Hubblefluss]] der allgemeinen [[Expansion des Universums]] – überlagert. Die kosmologische Rotverschiebung der Galaxien des Virgohaufens ist daher mit etwa 1000&nbsp;km/s deutlich geringer, als man es bei der gegebenen Entfernung erwarten würde.<ref>{{internetquelle|url=http://nedwww.ipac.caltech.edu/cgi-bin/nph-objsearch?objname=virgo+cluster&extend=no&out_csys=Equatorial&out_equinox=J2000.0&obj_sort=RA+or+Longitude&of=pre_text&zv_breaker=30000.0&list_limit=5&img_stamp=YES|werk=Results for Virgo Cluster|titel=NASA/IPAC Extragalactic Database|zugriff=2007-10-14}}</ref><ref name="combes">F. Combes et al.: ''Galaxies and Cosmology'', Springer A&A Library (1995), Kapitel 11.6: ''Large Scale Motions. Virgo Infall''</ref> Mit einem modernen Wert für die Hubble-Konstante H<sub>0</sub>&nbsp;=&nbsp;73&nbsp;km/s/Mpc wären etwa 1400&nbsp;km/s zu erwarten – dieser Wert wird z.&nbsp;B. vom mit etwa 60 Mio. Lichtjahre fast gleich weit entfernten masseärmeren [[Fornax-Galaxienhaufen]] ziemlich genau erreicht. Die Differenzgeschwindigkeit zwischen dem Hubblefluss und der tatsächlichen Geschwindigkeit der Lokalen Gruppe entspricht einer relativen Bewegung auf den Virgo-Haufen zu und trägt die englische Bezeichnung ''Virgo Infall''.
== Lorentzkraft auf bewegte Punktladungen ==
[[Datei:Lorentz force.svg|miniatur|Bewegung einer Punktladung&nbsp;''q'' in einem senkrecht zu ihrer Bahn (in diesem Fall aus der Zeichenebene heraus) verlaufenden Magnetfeld: Negative Ladungen (q&nbsp;<&nbsp;0) werden dabei im Bild nach oben, positive (q&nbsp;>&nbsp;0) nach unten und neutrale (q&nbsp;=&nbsp;0) überhaupt nicht abgelenkt.]]
Als bewegte [[Punktladung]]en werden kleine freie Ladungen wie etwa [[Elektron]]en, [[Proton]]en oder andere geladene [[Elementarteilchen]], z.&nbsp;B. [[α-Teilchen]], aber auch [[Ion]]en betrachtet, die sich frei im Raum, z.&nbsp;B. im [[Vakuum]] oder in einer [[Salzlösung]], bewegen können.
 
Da die Richtung der Lorentzkraft vom Vorzeichen der Ladung <math>q</math> abhängt, werden entgegengesetzt geladene Punktladungen gleicher Bewegungsrichtung in entgegengesetzte Richtungen abgelenkt. Bewegen sich die entgegengesetzt geladenen Punktladungen dagegen außerdem (z.&nbsp;B. in einer Salzlösung, an die man eine elektrische Spannung gelegt hat) in entgegengesetzte Richtungen, ist die Richtung ihrer magnetischen Ablenkung wieder dieselbe<ref>Vladimir Dyakonov: {{Webarchiv|url=http://www.physik.uni-wuerzburg.de/EP6/Vorlesung-SS07/VL_24_2007.pdf |wayback=20131219054158 |text=''Einführung in die Physik II für Studierende der Naturwissenschaften und Zahnheilkunde, Sommersemester 2007.'' |archiv-bot=2019-04-28 07:11:50 InternetArchiveBot }} Abschnitt ''Erinnerung: Rotierender Elektrolyt.'' (PDF; 317&nbsp;kB).</ref> (siehe nebenstehende Abbildungen).
 
Der Betrag der Lorentzkraft ergibt sich dabei aus
:<math>|\vec v \times \vec B| = |\vec v|\,|\vec B| \, \sin \alpha</math>
 
zu
 
:<math>|\vec F_\text{L}| = |q| \, |\vec v|\,|\vec B| \, \sin \alpha</math>
 
mit <math>\alpha</math> als dem [[Winkel]] zwischen der Bewegungsrichtung von ''q'' und der Richtung des Magnetfelds bzw. seiner Flussdichte <math>\vec B</math>.
 
Bewegt sich die Punktladung genau senkrecht zum Magnetfeld, gilt <math>\sin \alpha = 1</math>, also:
:<math>|\vec F_\text{L}| = |q| \, |\vec v|\,|\vec B|</math>
 
<gallery>
  Magnetic deflection of ions in a circular electrolytic cell 2.svg|Magnetische Ablenkung der Ionen versetzt eine Salzlösung in Rotation.
  Geschwindigkeitsfilter nach Wien.svg|Der [[Geschwindigkeitsfilter|Geschwindigkeits&shy;filter]] nach Wien beruht auf Kräftegleichgewicht zwischen Lorentzkraft und Coulombkraft.
</gallery>
 
== Lorentzkraft am stromdurchflossenen Leiter ==
[[Datei:Versuch Stromwaage.svg|mini|Die [[Stromwaage]] misst die Lorentzkraft am stromdurchflossenen Leiter.]]
Die Lorentzkraft ist das zentrale Bindeglied zwischen [[Elektrizität]] und [[Mechanik]]. Fließt Strom durch einen Leiter, der quer oder schräg zu den Feldlinien eines ihn umgebenden Magnetfelds liegt, dann lässt sich eine Kraftwirkung auf den Leiter feststellen. Die Auslenkung im [[Leiterschaukel]]versuch oder die Messungen beim Stromwaagen-Experiment verdeutlichen dies. Die Kraftwirkung leitet sich dabei aus der auf eine bewegte Punktladung wirkenden Lorentzkraft her; diese wirkt auf die einzelnen Ladungsträger im Leiter.
[[Datei:Lorentzkraft auf Leiterstueck.svg|miniatur|Lorentzkraft am Leiterstück]]
 
Um die genannten Vorgänge rechnerisch zu erfassen, werde der Einfachheit halber zunächst ein gerades Stück Draht der gerichteten Länge <math>\vec \ell</math> betrachtet, das in einem zeitlich konstanten homogenen äußeren Magnetfeld der Flussdichte <math>B</math> liegt. Durch den Draht fließe ein ebenfalls zeitlich konstanter Strom der Stärke <math>I</math>, sodass seine Leitungselektronen sich mit der gleichbleibenden Geschwindigkeit <math>\vec v</math> durch den Draht bewegen und dabei in der Laufzeit <math>t</math> die Gesamtladung
:<math>q = I\,t</math>
mit der Geschwindigkeit
:<math>\vec{v} = \frac {\vec{\ell}}{t}</math>
transportieren. Wegen <math>q\,\vec{v}=I\,\vec{\ell}</math> ist damit die Summe der Lorentzkräfte auf alle am Stromfluss beteiligten Leitungselektronen und damit auf das Drahtstück als Ganzes
:<math>\vec{F_\text{L}}= q\, (\vec{v}\times \vec{B})=I\, (\vec{\ell}\times \vec{B}).</math>
 
Die zugehörige Betragsgleichung lautet dann
:<math>|\vec F_\text{L}| = |I| \, |\vec {\ell}|\,|\vec B| \, \sin \alpha</math>
 
mit <math>\alpha</math> als dem [[Winkel]] zwischen der Längsrichtung des Drahtes und der Richtung der magnetischen Flussdichte <math>\vec B</math>.
 
Verläuft der Draht genau senkrecht zum Magnetfeld, ist <math>\sin \alpha = 1</math> und die Gleichung vereinfacht sich zu
:<math>|\vec F_\text{L}| = |I| \, |\vec {\ell}|\,|\vec B|.</math>
 
Für gekrümmte Leiter muss die Kraftwirkung durch Integration berechnet werden, indem das Magnetfeld nur für infinitesimal kleine Stücke <math>\mathrm{d}\boldsymbol{\vec {\ell}}</math> des Leiters als konstant angesehen wird. Damit ergibt sich folgende Formel:
 
:<math>\vec{F_\text{L}} = I\int \mathrm{d}\boldsymbol{\vec {\ell}}\times \vec{B}</math>
 
== Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern ==
{{WikipediaDE|Ampèresches Kraftgesetz}}
 
Verknüpft man die Formel für die Lorentzkraft ''auf'' stromdurchflossene Leiter mit dem [[Biot-Savart-Gesetz]] für das Magnetfeld ''um'' stromdurchflossene Leiter, so ergibt sich eine Formel für die Kraft, die zwei stromdurchflossene dünne Leiter aufeinander ausüben, was in der Literatur auch als ampèresches ''Kraftgesetz'' (nicht zu verwechseln mit dem [[Ampèresches Gesetz|ampèreschen Gesetz]]) bezeichnet wird.<ref>Der deutschsprachige Ausdruck „Ampèresches Kraftgesetz“ kommt in der aktuellen Literatur und Lehre vor, siehe z.&nbsp;B. Dietmar Petrascheck, Franz Schwabl: ''[https://books.google.de/books?id=eSA3CwAAQBAJ&pg=PA619&lpg=PA619&dq=%22Amp%C3%A8re%27sches+Kraftgesetz%22&source=bl&ots=PJVBS7Uw_B&sig=_XvWZ2uQhY0aUfDQMOD6PxXQvVI&hl=de&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q=%22Amp%C3%A8re%27sches%20Kraftgesetz%22&f=false Elektrodynamik.]'' (Springer, 2. Auflage, 2014) oder ''[http://people.physik.hu-berlin.de/~mitdank/dist/scripten/amperesches-gesetz.pdf Das Ampere’sche Gesetz.]'' (Skript auf der Webseite der Humboldt-Universität zu Berlin), allerdings vergleichsweise selten, denn eine Google-Suche nach dem Begriff ergab z.&nbsp;B. nur 58 Treffer. Das englische Pendant „Ampère’s force law“ dagegen ist viel gebräuchlicher, der Ausdruck liefert über 2000 Treffer und hat einen eigenen (englischen) Wikipedia-Artikel. Jeweils abgerufen am 19.&nbsp;Mai 2016.</ref>
 
Wenn die beiden Leiter dünn sind und einander parallel gegenüberliegen wie die gegenüberliegenden Seiten eines [[Rechteck]]s, dann ergibt sich die schon von der [[#Definition der Maßeinheit Ampere|Ampère-Definition]] her bekannte einfache Formel für den Kraftbetrag <math>F_{12}</math> der aufeinander wirkenden (nach dem [[Wechselwirkungsprinzip]] gleich großen) Kräfte:
:<math>F_{12} =\ell \cdot \frac{\mu_0}{2\pi} \frac {I_1 I_2 } {r}</math>
Dabei ist <math>\ell</math> die (bei beiden Leitern gleich große) Länge der Leiter, <math>r</math> ihr gegenseitiger Abstand und <math>I_1, \, I_2</math> sind die Stromstärken in den beiden Leitern.
 
== Elektromagnetische Induktion ==
[[Datei:Lorentzkraft und Induktion.svg|mini|Lorentzkraft und Induktion]]
{{Hauptartikel|Elektromagnetische Induktion}}Des Weiteren erklärt die Lorentzkraft die Umwandlung mechanischer Bewegung in elektrische Spannung. Dabei ergibt sich mittels der Lorentzkraft eine alternative Herleitung der elektromagnetischen Induktion statt über die Flussänderung.<ref>{{Literatur
| Autor=Paul A. Tipler, Gene Mosca
| Titel=Physik für Wissenschaftler und Ingenieure
| Auflage=2
| Verlag=Spektrum Akademischer Verlag
| Datum=2004
| ISBN=3-8274-1164-5
| Seiten=907&nbsp;ff.
}}</ref>
Der Einfachheit halber sei wieder ein gerades Stück Draht der Länge <math>l</math> betrachtet, das nun mit der konstanten Geschwindigkeit <math>\vec v</math> ''quer'' durch ein senkrecht zu ihm verlaufendes zeitlich konstantes homogenes äußeres Magnetfeld der Flussdichte <math>B</math> geschoben werde, also so, dass die Längsrichtung des Drahtes dabei außerdem senkrecht auf <math>\vec v</math> steht.
 
Wie weiter oben erläutert, halten sich in diesem Fall zwei Kräfte die Waage, zum einen die Lorentzkraft <math>\vec {F_\text{L}}</math>, die die Leitungselektronen des Drahtes in Richtung eines seiner beiden Enden verschiebt, zum anderen die auf die Leitungselektronen wirkende Coulombkraft <math>\vec {F_\text{C}}</math> aufgrund der durch die Ladungstrennung zwischen beiden Leiterenden induzierten elektrischen Spannung:
 
:<math>\vec F_\text{L} + \vec F_\text{C} = 0 \Leftrightarrow \vec F_\text{C} = -\vec F_\text{L} \Leftrightarrow q\, \vec E = -q\, (\vec{v}\times \vec{B})</math>
 
Herauskürzen der, wie zu sehen, hier gänzlich unerheblichen Gesamtladung <math>q</math> und [[skalare Multiplikation]] mit dem Vektor der gerichteten Leiterlänge <math>\vec {\ell}</math> liefert schlussendlich die Gleichung für die gesuchte Induktionsspannung <math>U_\text{ind}</math>:
 
:<math>U_\mathrm{ind} = \vec {\ell} \cdot \vec E = -\vec {\ell} \cdot (\vec{v}\times \vec{B}) = (\vec {\ell} \times \vec{B}) \cdot \vec{v}</math>
 
Sind die drei Vektoren, wie eingangs verlangt, paarweise senkrecht zueinander, vereinfacht sich das [[Spatprodukt]] ''l·(v×B),'' sodass sich die bekannte Formel
 
:<math>U_\text{ind} = -|\vec \ell | \, |\vec v| \, |\vec B|</math>
 
ergibt (siehe dazu auch den Artikel [[Leiterschaukel]]).
 
== Lenzsche Regel ==
[[Datei:Bewegter Leiter im Feld Res.svg|miniatur|Stromkreis demonstriert Lenzsche Regel.]]
[[Datei:Lorentzkraft und Lenzsche Regel.svg|miniatur|Lorentzkraft erklärt Lenzsche Regel.]]
{{Hauptartikel|Lenzsche Regel}}Überbrückt man nun beide Enden des bewegten Leiters mit einem ohmschen Widerstand der Größe R, der dagegen nicht gegenüber dem Magnetfeld bewegt wird, entsteht eine geschlossene Leiterschleife, über die sich die Induktionsspannung ausgleichen kann, sodass diese und das Produkt <math>I_\text{ind}\cdot R</math> also gemäß der [[Kirchhoffsche Regeln|Kirchhoffschen Maschenregel]] die Summe 0 liefern:
:<math>U_\mathrm{ind} + I_\text{ind} \cdot R = 0 \Leftrightarrow</math>
:<math>{I_\text{ind}} = \frac {-U_\text{ind}}{R} = \frac {\vec {\ell} \cdot (\vec{v}\times \vec{B})}{R} = \frac {-(\vec {\ell} \times \vec{B}) \cdot \vec{v}}{R}</math>
 
Der durch den geschlossenen Stromkreis fließende Strom erzeugt nun wieder eine Lorentzkraft, die der Bewegungsrichtung entgegenwirkt. Die Lorentzkraft erklärt somit nicht nur die Ladungstrennung, mit der die Induktionsspannung entsteht, sondern zudem die Gegenkraft, die Teil der Lenzschen Regel ist.<ref>{{Internetquelle
| autor=Grüninger, Landesbildungsserver
| url=http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/physik/online_material/e_lehre_2/lenz/lenzregel.htm
| datum=2011
| titel=Die lenzsche Regel
| zugriff=2013-12-18
}}</ref>
 
In gleicher Weise erzeugen [[Elektrischer Generator|Generatoren]] Spannung und lassen Ströme fließen, wodurch sie mechanische in elektrische Leistung umformen. Beim [[Elektromotor]] sind Spannung und Strom so gerichtet, dass er elektrische Leistung aufnimmt und als verrichtete Arbeit abgibt.
 
== Wirkungsprinzip ==
Die Lorentzkraft ergibt sich in der lagrangeschen Formulierung der Bewegung eines geladenen Teilchens der Ladung <math>q</math> und der Masse <math>m</math> aus der [[Lagrangefunktion]]
 
:<math>\mathcal{L}(\vec{x},\vec{v},t)=-mc^{2}\sqrt{1-\frac{\vec{v}^{2}}{c^{2}}}+q\,\vec{v}\cdot\vec{A}-q\,\Phi</math>.
 
Hierbei sind <math>\Phi(\vec{x},t)</math> und <math>\vec{A}(\vec{x},t)</math> das skalare Potential und das [[Vektorpotential]], die zu der elektrischen Feldstärke
:<math>\vec{E} = -\nabla \Phi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}</math>
und der magnetischen Flussdichte
:<math>\vec{B} = \nabla \times\vec{A}</math>
gehören.
 
Das Prinzip der stationären Wirkung führt auf die [[Euler-Lagrange-Gleichungen]]
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\nabla_{\vec{v}}\mathcal{L}-\nabla_{\vec{x}}\mathcal{L}=0</math>.
 
Die Auswertung der in den [[Nabla-Operator]]en vorkommenden [[Partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]] liefert:
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{m\,\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{\vec{v}^{2}}{c^{2}}}}+q\,\vec{A}\right)-q\,\nabla\left(\vec{v}\cdot\vec{A}\right)+q\,\nabla\Phi=0</math>
 
Dabei ist der erste Term in den runden Klammern der (kinetische) [[Relativistischer Impuls|Impuls]] (während der gesamte Ausdruck in den ersten runden Klammern den [[Generalisierter Impuls|generalisierten Impuls]] beschreibt) eines sich mit der Geschwindigkeit <math>\vec{v}</math> bewegenden Teilchens:
:<math>\vec{p}=\frac{m\,\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{\vec{v}^{2}}{c^{2}}}}</math>
 
Die [[Totale Ableitung|totale zeitliche Ableitung]] des Vektorpotentials, das explizit von der Zeit und von allen Ortskoordinaten abhängig ist, lautet unter Benutzung der Vektorrelation <math>\vec{v}\times(\nabla\times\vec{A})=\nabla(\vec{v}\cdot\vec{A})-(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{A}</math>:
 
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{A}=\sum_{i}\frac{\partial\vec{A}}{\partial x_{i}}\frac{\mathrm{d}x_{i}}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}=(\vec{v}\cdot\nabla)\mathbf{A}+\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}=-\vec{v}\times(\nabla\times\vec{A})+\nabla(\vec{v}\cdot\vec{A})+\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}</math>
 
Eingesetzt ergibt sich:
 
:<math>\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}-\underbrace{q\,\vec{v}\times\left(\nabla\times\vec{A}\right)}_{q\,\vec{v}\times\vec{B}} +\underbrace {q\,\nabla\Phi+q\,\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}}_{-q\,\vec{E}}=0</math>
 
Somit erhält man die Bewegungsgleichung in Abhängigkeit von E und B:
 
:<math>\frac{\mathrm d\vec{p}}{\mathrm dt} = \vec F = q\,(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B})</math>


== Siehe auch ==
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Lokale Gruppe}}
* {{WikipediaDE|Lorentzkraft}}
* {{WikipediaDE|Struktur des Kosmos}}
* {{WikipediaDE|Induktionsgesetz}}
* {{WikipediaDE|Position der Erde im Universum}}
* {{WikipediaDE|Reluktanzkraft}}
* {{WikipediaDE|Andromeda-Milchstraßen-Kollision}}
* {{WikipediaDE|Maffei-Gruppe}}
* {{WikipediaDE|M81-Gruppe}}
* {{WikipediaDE|M83-Gruppe}}
* {{WikipediaDE|Sculptor-Gruppe}}
* {{WikipediaDE|Canes-Venatici-I-Gruppe}}
 
== Literatur ==
* Sidney Van den Bergh: ''Galaxies of the local group.'' Cambridge Univ. Press, Cambridge 2000, ISBN 0-521-65181-6
* Andrew Layden: ''The local group.'' ESO, Garching 1994, ISBN 3-923524-54-4


== Weblinks ==
== Weblinks ==
{{Commonscat|Local Group|Lokale Gruppe}}
{{Commons|Lorentz force|Lorentzkraft}}
* [http://messier.seds.org/more/local.html Die Lokale Gruppe bei SEDS] (englisch)
{{Wiktionary|Lorentz-Kraft}}
* [http://www.atlasoftheuniverse.com/localgr.html Lokale Gruppe@atlasoftheuniverse.com]: Eine Übersicht über die Mitglieder der Lokalen Gruppe (englisch)
* [http://www.walter-fendt.de/ph14d/lorentzkraft.htm Java-Applet zum Experimentieren mit der Lorentzkraft]
* [http://heise.de/tp/deutsch/special/raum/16151/1.html Infos zu Canis Major]
* [http://lectureonline.cl.msu.edu/~mmp/kap21/cd533capp.htm Ein weiteres Modell, bei dem <math>q,\,v</math> und <math>B</math> variiert werden können]
* {{Webarchiv | url=http://www.sternwarte-kreuznach.de/lokale_gruppe.htm | wayback=20080125113956 | text=Eine Zusammenstellung der Mitglieder der Lokalen Gruppe}}
* [http://www.leifiphysik.de/themenbereiche/bewegte-ladungen-feldern#Lorentzkraft%20-%20Richtung Versuche und Aufgaben zur Lorentzkraft] (LEIFI)
* [http://web.mit.edu/newsoffice/2012/needleless-injections-0524.html MIT-News-Artikel über Lorentzkraft-Injektor]


== Einzelnachweise ==
== Einzelnachweise ==
<references />
<references />


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Version vom 6. Februar 2020, 14:22 Uhr

Das Fadenstrahlrohr demonstriert die Wirkung der Lorentzkraft auf bewegte Ladungen (Elektronen).
Der Leiterschaukelversuch zeigt die Lorentzkraft auf einen stromdurchflossenen Leiter.

Die Lorentzkraft ist die Kraft, die eine Ladung in einem magnetischen oder elektrischen Feld erfährt. Ein Magnetfeld übt dabei Kraft auf bewegte Ladungen aus, während ein elektrisches Feld auf bewegte und unbewegte Ladungen gleichermaßen wirkt. Sie ist nach dem niederländischen Mathematiker und Physiker Hendrik Antoon Lorentz benannt.

Die magnetische Komponente der Kraft ist am größten, wenn die Bewegungsrichtung der Ladung senkrecht zu den magnetischen Feldlinien verläuft, und gleich Null, wenn die Ladung sich entlang einer Feldlinie bewegt. Sie wirkt immer senkrecht zur Bewegungsrichtung der Ladung und zu den Magnetfeldlinien. Ihre Wirkungsrichtung kann mit der Drei-Finger-Regel bestimmt werden. Für negative Ladungen verwendet man die linke, für positive Ladungen die rechte Hand.

Eine Erklärung der Lorentzkraft, die letztlich auf die elektrostatische Anziehung zurückgeführt wird, liefert die Spezielle Relativitätstheorie.

Geschichte

Die Form des Induktionsgesetzes in On physical lines of force (1861) oder Eine dynamische Theorie des elektromagnetischen Feldes (1864) von James Clerk Maxwell enthält aus heutiger Sicht einen Anteil, der als Vorläufer der Lorentzkraft betrachtet werden kann. Die eigentliche Behandlung der Kräfte auf bewegte Punktladungen in Magnetfeldern erfolgte erst 1881 durch J. J. Thomson.[1] Er hatte noch einen fehlerhaften Vorfaktor , die korrekte Form der Lorentzkraft leiteten Oliver Heaviside (1889)[2] und Lorentz (1895)[3] ab.[4]

Allgemeine Definition

a) Lorentzkraft bei Bewegung negativer bzw. positiver Ladungsträger
b) Störung des magnetischen Feldes durch die bewegten Ladungsträger. Die Teilchen bewegen sich hier in die Zeichenebene hinein, das Feld und die Kraft liegen in der Zeichenebene.

Bewegt sich eine elektrische Ladung mit der Geschwindigkeit durch ein elektromagnetisches Feld, ist die insgesamt auf die Ladung wirkende Lorentzkraft im weiteren Sinne:

und sind dabei die elektrische und magnetische Komponente der Lorentzkraft im weiteren Sinne, die elektrische Feldstärke, die magnetische Flussdichte und das Zeichen das des Vektor- oder Kreuzprodukts der beteiligten Vektoren.

Der resultierende Vektor eines Kreuzprodukts steht stets senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren, und das Skalarprodukt orthogonaler Vektoren ist gleich 0. Daraus ergibt sich für den Fall eines nicht vorhandenen äußeren elektrischen Felds ():

  • Bei der Ablenkung eines Teilchens der Ladung im räumlich und zeitlich konstanten Magnetfeld wird im Gegensatz zur Ablenkung im elektrischen Feld keinerlei Arbeit verrichtet, die kinetische Energie und damit die Bahngeschwindigkeit bleiben also unverändert, denn
.
Dies gilt auch für relativistische Teilchen. Tatsächlich jedoch emittieren die Teilchen wegen ihrer Ablenkung Bremsstrahlung und geben dadurch Energie ab.
  • Verlaufen die Vektoren und parallel oder antiparallel zueinander, wird gleich 0. Bewegt sich eine Ladung in Feldlinienrichtung eines Magnetfelds oder genau entgegengerichtet, findet also keinerlei Ablenkung statt.

Betrachtet man dagegen, wie in älteren Physik-Lehrbüchern üblich, als Lorentzkraft im engeren Sinne allein die magnetische Komponente der obigen Gesamtkraft , gilt für ihre Berechnung entsprechend die Formel:

Die in solchem Fall ebenfalls separat betrachtete elektrische Komponente der Lorentzkraft im weiteren Sinne wird dann als Coulombkraft bezeichnet und wie folgt berechnet:

Die Formelzeichen und bzw. und bezeichnen dabei jeweils einander Entsprechendes, wobei man der Klarheit der Schreibweise wegen nach Möglichkeit die eine oder die andere Konvention beibehalten sollte.

Formulierung der Lorentzkraft im cgs-System

Im Unterschied zu der obigen Schreibweise der Formel für die Lorentzkraft , die auf dem in der Elektrotechnik und den experimentellen Naturwissenschaften üblichen Internationalen Maßsystem basiert, schreibt man in der theoretischen Physik und allgemeiner besonders in England und den USA für dieselbe Kraft in den äquivalenten, aber leicht verschiedenen cgs-Einheiten

bzw. für die Lorentzkraft im weiteren Sinn[5]

wobei die Größen und sowie den entsprechenden SI-Größen weitgehend äquivalent sind, man sie also der Einfachheit halber meist ohne spezielle Indizes ebenfalls als und sowie bezeichnet. Es gelten jedoch die Transformationsformeln:

mit der dimensionsbehafteten Dielektrizitätskonstanten im Vakuum (für die systematische Umrechnung von Größen in SI-Einheiten ins cgs-System und umgekehrt siehe den entsprechenden Abschnitt im Artikel über die Maxwellschen Gleichungen).

Doppeldeutige Bezeichnung

Die Bezeichnung „Lorentzkraft“ wird nicht einheitlich verwendet. Ältere Lehrwerke[6] unterscheiden meist zwischen der Lorentzkraft im engeren Sinne und der Coulombkraft . Erstere wird von magnetischen Feldern auf bewegte Ladungen ausgeübt, letztere von elektrischen Feldern auf bewegte oder unbewegte Ladungen. Die neuere Literatur fasst beide Kräfte meist als magnetische Komponente und elektrische Komponente der Gesamtkraft , der Lorentzkraft im weiteren Sinne, auf.

Lorentzkraft auf bewegte Punktladungen

Bewegung einer Punktladung q in einem senkrecht zu ihrer Bahn (in diesem Fall aus der Zeichenebene heraus) verlaufenden Magnetfeld: Negative Ladungen (q < 0) werden dabei im Bild nach oben, positive (q > 0) nach unten und neutrale (q = 0) überhaupt nicht abgelenkt.

Als bewegte Punktladungen werden kleine freie Ladungen wie etwa Elektronen, Protonen oder andere geladene Elementarteilchen, z. B. α-Teilchen, aber auch Ionen betrachtet, die sich frei im Raum, z. B. im Vakuum oder in einer Salzlösung, bewegen können.

Da die Richtung der Lorentzkraft vom Vorzeichen der Ladung abhängt, werden entgegengesetzt geladene Punktladungen gleicher Bewegungsrichtung in entgegengesetzte Richtungen abgelenkt. Bewegen sich die entgegengesetzt geladenen Punktladungen dagegen außerdem (z. B. in einer Salzlösung, an die man eine elektrische Spannung gelegt hat) in entgegengesetzte Richtungen, ist die Richtung ihrer magnetischen Ablenkung wieder dieselbe[7] (siehe nebenstehende Abbildungen).

Der Betrag der Lorentzkraft ergibt sich dabei aus

zu

mit als dem Winkel zwischen der Bewegungsrichtung von q und der Richtung des Magnetfelds bzw. seiner Flussdichte .

Bewegt sich die Punktladung genau senkrecht zum Magnetfeld, gilt , also:

Lorentzkraft am stromdurchflossenen Leiter

Die Stromwaage misst die Lorentzkraft am stromdurchflossenen Leiter.

Die Lorentzkraft ist das zentrale Bindeglied zwischen Elektrizität und Mechanik. Fließt Strom durch einen Leiter, der quer oder schräg zu den Feldlinien eines ihn umgebenden Magnetfelds liegt, dann lässt sich eine Kraftwirkung auf den Leiter feststellen. Die Auslenkung im Leiterschaukelversuch oder die Messungen beim Stromwaagen-Experiment verdeutlichen dies. Die Kraftwirkung leitet sich dabei aus der auf eine bewegte Punktladung wirkenden Lorentzkraft her; diese wirkt auf die einzelnen Ladungsträger im Leiter.

Lorentzkraft am Leiterstück

Um die genannten Vorgänge rechnerisch zu erfassen, werde der Einfachheit halber zunächst ein gerades Stück Draht der gerichteten Länge betrachtet, das in einem zeitlich konstanten homogenen äußeren Magnetfeld der Flussdichte liegt. Durch den Draht fließe ein ebenfalls zeitlich konstanter Strom der Stärke , sodass seine Leitungselektronen sich mit der gleichbleibenden Geschwindigkeit durch den Draht bewegen und dabei in der Laufzeit die Gesamtladung

mit der Geschwindigkeit

transportieren. Wegen ist damit die Summe der Lorentzkräfte auf alle am Stromfluss beteiligten Leitungselektronen und damit auf das Drahtstück als Ganzes

Die zugehörige Betragsgleichung lautet dann

mit als dem Winkel zwischen der Längsrichtung des Drahtes und der Richtung der magnetischen Flussdichte .

Verläuft der Draht genau senkrecht zum Magnetfeld, ist und die Gleichung vereinfacht sich zu

Für gekrümmte Leiter muss die Kraftwirkung durch Integration berechnet werden, indem das Magnetfeld nur für infinitesimal kleine Stücke des Leiters als konstant angesehen wird. Damit ergibt sich folgende Formel:

Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern

Ampèresches Kraftgesetz - Artikel in der deutschen Wikipedia

Verknüpft man die Formel für die Lorentzkraft auf stromdurchflossene Leiter mit dem Biot-Savart-Gesetz für das Magnetfeld um stromdurchflossene Leiter, so ergibt sich eine Formel für die Kraft, die zwei stromdurchflossene dünne Leiter aufeinander ausüben, was in der Literatur auch als ampèresches Kraftgesetz (nicht zu verwechseln mit dem ampèreschen Gesetz) bezeichnet wird.[8]

Wenn die beiden Leiter dünn sind und einander parallel gegenüberliegen wie die gegenüberliegenden Seiten eines Rechtecks, dann ergibt sich die schon von der Ampère-Definition her bekannte einfache Formel für den Kraftbetrag der aufeinander wirkenden (nach dem Wechselwirkungsprinzip gleich großen) Kräfte:

Dabei ist die (bei beiden Leitern gleich große) Länge der Leiter, ihr gegenseitiger Abstand und sind die Stromstärken in den beiden Leitern.

Elektromagnetische Induktion

Lorentzkraft und Induktion

Des Weiteren erklärt die Lorentzkraft die Umwandlung mechanischer Bewegung in elektrische Spannung. Dabei ergibt sich mittels der Lorentzkraft eine alternative Herleitung der elektromagnetischen Induktion statt über die Flussänderung.[9]

Der Einfachheit halber sei wieder ein gerades Stück Draht der Länge betrachtet, das nun mit der konstanten Geschwindigkeit quer durch ein senkrecht zu ihm verlaufendes zeitlich konstantes homogenes äußeres Magnetfeld der Flussdichte geschoben werde, also so, dass die Längsrichtung des Drahtes dabei außerdem senkrecht auf steht.

Wie weiter oben erläutert, halten sich in diesem Fall zwei Kräfte die Waage, zum einen die Lorentzkraft , die die Leitungselektronen des Drahtes in Richtung eines seiner beiden Enden verschiebt, zum anderen die auf die Leitungselektronen wirkende Coulombkraft aufgrund der durch die Ladungstrennung zwischen beiden Leiterenden induzierten elektrischen Spannung:

Herauskürzen der, wie zu sehen, hier gänzlich unerheblichen Gesamtladung und skalare Multiplikation mit dem Vektor der gerichteten Leiterlänge liefert schlussendlich die Gleichung für die gesuchte Induktionsspannung :

Sind die drei Vektoren, wie eingangs verlangt, paarweise senkrecht zueinander, vereinfacht sich das Spatprodukt l·(v×B), sodass sich die bekannte Formel

ergibt (siehe dazu auch den Artikel Leiterschaukel).

Lenzsche Regel

Stromkreis demonstriert Lenzsche Regel.
Lorentzkraft erklärt Lenzsche Regel.

Überbrückt man nun beide Enden des bewegten Leiters mit einem ohmschen Widerstand der Größe R, der dagegen nicht gegenüber dem Magnetfeld bewegt wird, entsteht eine geschlossene Leiterschleife, über die sich die Induktionsspannung ausgleichen kann, sodass diese und das Produkt also gemäß der Kirchhoffschen Maschenregel die Summe 0 liefern:

Der durch den geschlossenen Stromkreis fließende Strom erzeugt nun wieder eine Lorentzkraft, die der Bewegungsrichtung entgegenwirkt. Die Lorentzkraft erklärt somit nicht nur die Ladungstrennung, mit der die Induktionsspannung entsteht, sondern zudem die Gegenkraft, die Teil der Lenzschen Regel ist.[10]

In gleicher Weise erzeugen Generatoren Spannung und lassen Ströme fließen, wodurch sie mechanische in elektrische Leistung umformen. Beim Elektromotor sind Spannung und Strom so gerichtet, dass er elektrische Leistung aufnimmt und als verrichtete Arbeit abgibt.

Wirkungsprinzip

Die Lorentzkraft ergibt sich in der lagrangeschen Formulierung der Bewegung eines geladenen Teilchens der Ladung und der Masse aus der Lagrangefunktion

.

Hierbei sind und das skalare Potential und das Vektorpotential, die zu der elektrischen Feldstärke

und der magnetischen Flussdichte

gehören.

Das Prinzip der stationären Wirkung führt auf die Euler-Lagrange-Gleichungen

.

Die Auswertung der in den Nabla-Operatoren vorkommenden partiellen Ableitungen liefert:

Dabei ist der erste Term in den runden Klammern der (kinetische) Impuls (während der gesamte Ausdruck in den ersten runden Klammern den generalisierten Impuls beschreibt) eines sich mit der Geschwindigkeit bewegenden Teilchens:

Die totale zeitliche Ableitung des Vektorpotentials, das explizit von der Zeit und von allen Ortskoordinaten abhängig ist, lautet unter Benutzung der Vektorrelation :

Eingesetzt ergibt sich:

Somit erhält man die Bewegungsgleichung in Abhängigkeit von E und B:

Siehe auch

Weblinks

Commons: Lorentzkraft - Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema
 Wiktionary: Lorentz-Kraft – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise

  1. Thomson, On the electric and magnetic effect produced by the motion of electrified bodies, Philosophical Magazine, Band 11, 1881, S. 229–249
  2. Heaviside, On the Electromagnetic Effects due to the Motion of Electrification through a Dielectric, Philosophical Magazine, 1889, 324
  3. Lorentz, Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern, 1895
  4. Darrigol, Electrodynamics from Ampère to Einstein, Oxford UP, 2000, S. 429ff
  5. Klassische Elektrodynamik. Vorlesung an der Universität Heidelberg, abgerufen am 18. Dezember 2016.
  6.  Dieter Meschede: Gerthsen Physik. 23. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-25421-8.
  7. Vladimir Dyakonov: Einführung in die Physik II für Studierende der Naturwissenschaften und Zahnheilkunde, Sommersemester 2007. (Memento vom 19. Dezember 2013 im Internet Archive) i Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft (bitte prüfe den Link gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis) Abschnitt Erinnerung: Rotierender Elektrolyt. (PDF; 317 kB).
  8. Der deutschsprachige Ausdruck „Ampèresches Kraftgesetz“ kommt in der aktuellen Literatur und Lehre vor, siehe z. B. Dietmar Petrascheck, Franz Schwabl: Elektrodynamik. (Springer, 2. Auflage, 2014) oder Das Ampere’sche Gesetz. (Skript auf der Webseite der Humboldt-Universität zu Berlin), allerdings vergleichsweise selten, denn eine Google-Suche nach dem Begriff ergab z. B. nur 58 Treffer. Das englische Pendant „Ampère’s force law“ dagegen ist viel gebräuchlicher, der Ausdruck liefert über 2000 Treffer und hat einen eigenen (englischen) Wikipedia-Artikel. Jeweils abgerufen am 19. Mai 2016.
  9.  Paul A. Tipler, Gene Mosca: Physik für Wissenschaftler und Ingenieure. 2 Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 2004, ISBN 3-8274-1164-5, S. 907 ff..
  10. Grüninger, Landesbildungsserver: Die lenzsche Regel. 2011, abgerufen am 18. Dezember 2013.


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