Zahlentheorie und Südostasien: Unterschied zwischen den Seiten

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Die '''Zahlentheorie''' ist ein [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet]] der [[Mathematik]], das sich mit den Eigenschaften der [[Wikipedia:Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] beschäftigt. Teilgebiete sind beispielsweise die elementare oder arithmetische Zahlentheorie – eine Verallgemeinerung der [[Arithmetik]], die Lehre von den [[Wikipedia:Diophantische Gleichung|Diophantischen Gleichungen]], die [[Wikipedia:Analytische Zahlentheorie|analytische Zahlentheorie]] und die [[Wikipedia:Algebraische Zahlentheorie|algebraische Zahlentheorie]].
#WEITERLEITUNG [[Asien]]
 
== Teilgebiete ==
Die verschiedenen Teilgebiete der Zahlentheorie werden gemeinhin nach den Methoden unterschieden, mit denen zahlentheoretische Fragestellungen bearbeitet werden.
 
=== Elementare oder arithmetische Zahlentheorie ===
Von der Antike bis in das siebzehnte Jahrhundert behauptete sich die Zahlentheorie als grundständige Disziplin und kam ohne andere mathematische Teilgebiete aus. Ihre einzigen Hilfsmittel waren die Eigenschaften der [[Ganze Zahlen|ganzen Zahlen]], insbesondere [[Primfaktorzerlegung]] ([[Fundamentalsatz der Arithmetik]]), [[Teilbarkeit]] und das Rechnen mit [[Kongruenz (Zahlentheorie)|Kongruenzen]]. Eine solche ''reine'' Herangehensweise wird auch als ''elementare Zahlentheorie'' bezeichnet. Wichtige Resultate, die sich mit Hilfe elementarer Methoden erzielen lassen, sind der [[Kleiner Fermatscher Satz|kleine Satz von Fermat]] und dessen Verallgemeinerung, der [[Satz von Euler]], der [[Chinesischer Restsatz|Chinesische Restsatz]], der [[Satz von Wilson]] und der [[Euklidischer Algorithmus|Euklidische Algorithmus]].
 
Auch heute noch wird in einzelnen Fragen zu Teilbarkeit, Kongruenzen und Ähnlichem mit elementaren zahlentheoretischen Methoden geforscht. Ebenso wird versucht, Beweise zur Zahlentheorie, die sich weitergehender Methoden bedienen, in elementare Begriffe zu „übersetzen“, woraus sich neue Erkenntnisse ergeben können. Ein Beispiel ist die elementare Betrachtung [[Zahlentheoretische Funktion|zahlentheoretischer Funktionen]] wie der [[Möbiusfunktion]] und der [[Eulersche Phi-Funktion|Eulerschen Phi-Funktion]].
 
=== Analytische Zahlentheorie ===
* {{WikipediaDE|Analytische Zahlentheorie}}
 
Als Erster wurde [[Leonhard Euler|Euler]] darauf aufmerksam, dass man Methoden der [[Analysis]] und [[Funktionentheorie]] benutzen kann, um zahlentheoretische Fragestellungen zu lösen. Eine solche Herangehensweise bezeichnet man als analytische Zahlentheorie. Wichtige Probleme, die mit analytischen Methoden gelöst wurden, betreffen meist statistische Fragen nach der Verteilung von [[Primzahl]]en und deren Asymptotik. Dazu gehören zum Beispiel der von [[Carl Friedrich Gauß|Gauß]] vermutete, aber erst Ende des 19.&nbsp;Jahrhunderts bewiesene [[Primzahlsatz]] und der [[Dirichletscher Primzahlsatz|dirichletsche Satz über Primzahlen in arithmetischen Progressionen]]. Daneben dienen analytische Methoden auch dazu, die [[Transzendente Zahlen|Transzendenz]] von Zahlen wie der [[Kreiszahl]] <math>\pi</math> oder der [[Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] <math>e</math> nachzuweisen. Im Zusammenhang mit dem Primzahlsatz wurde erstmals die [[Riemannsche Zeta-Funktion]] untersucht, die heute zusammen mit ihren [[Zeta-Funktion|Verallgemeinerungen]] Gegenstand sowohl analytischer als auch algebraischer Forschung und Ausgangspunkt der [[Riemannsche Vermutung|Riemannschen Vermutung]] ist.
 
=== Algebraische Zahlentheorie und arithmetische Geometrie ===
* {{WikipediaDE|Algebraische Zahlentheorie}}
 
Einen der großen Meilensteine der Zahlentheorie bildete die Entdeckung des [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz|quadratischen Reziprozitätsgesetzes]]. Das Gesetz zeigt, dass man Fragen der Lösbarkeit diophantischer Gleichungen in den ganzen Zahlen durch den Übergang zu anderen Zahlbereichen einfacher lösen kann ([[Quadratischer Zahlkörper|quadratische Zahlkörper]], [[gaußsche Zahlen]]). Hierzu betrachtet man endliche [[Körpererweiterung|Erweiterungen]] der rationalen Zahlen, sogenannte algebraische [[Zahlkörper]] (woher auch der Name ''algebraische Zahlentheorie'' stammt). Elemente von Zahlkörpern sind [[Nullstelle]]n von [[Polynom]]en mit rationalen Koeffizienten. Diese Zahlkörper enthalten den ganzen Zahlen analoge Teilmengen, die [[Ganzheitsring]]e. Sie verhalten sich in vieler Hinsicht wie der [[Ring (Algebra)|Ring]] der ganzen Zahlen. Die eindeutige Zerlegung in Primzahlen gilt allerdings nur noch in Zahlkörpern der [[Klassenzahl]] 1. Allerdings sind Ganzheitsringe [[Dedekindring]]e und jedes [[Gebrochenes Ideal|gebrochene Ideal]] besitzt daher eine eindeutige Zerlegung in [[Primideal]]e. Die Analyse dieser algebraischen Zahlkörper ist sehr kompliziert und erfordert Methoden nahezu aller Teilgebiete der reinen Mathematik, insbesondere der [[Algebra]], [[Topologie (Mathematik)|Topologie]], [[Analysis]], [[Funktionentheorie]] (insbesondere der Theorie der [[Modulform]]en), [[Geometrie]] und [[Darstellungstheorie]]. Die algebraische Zahlentheorie beschäftigt sich weiterhin mit dem Studium [[Funktionenkörper|algebraischer Funktionenkörper]] über [[Endlicher Körper|endlichen Körpern]], deren Theorie weitgehend analog zur Theorie der Zahlkörper verläuft. Algebraische Zahl- und Funktionenkörper werden unter dem Namen [[Globaler Körper|„globale Körper“]] zusammengefasst. Oft stellt es sich als fruchtbar heraus, Fragen „lokal“, d.&nbsp;h. für jede Primzahl ''p'' einzeln zu betrachten. Dieser Vorgang benutzt im Fall der ganzen Zahlen die [[P-adische Zahlen|p-adischen Zahlen]], allgemein [[Lokaler Körper|lokale Körper]].
 
Für die Formulierung der modernen algebraischen Zahlentheorie sind die Sprache der [[Homologische Algebra|homologischen Algebra]] und insbesondere die ursprünglich topologischen Konzepte der [[Kohomologie]], [[Homotopie]] und der [[Abgeleiteter Funktor|abgeleiteten Funktoren]] unerlässlich. Höhepunkte der algebraischen Zahlentheorie sind die [[Klassenkörpertheorie]] und die [[Iwasawa-Theorie]].
 
Nach der Neuformulierung der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]] durch [[Alexander Grothendieck|Grothendieck]] und insbesondere nach Einführung der [[Schema (algebraische Geometrie)|Schemata]] stellte es sich (in der zweiten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts) heraus, dass die Zahlentheorie als ein Spezialfall der algebraischen Geometrie betrachtet werden kann. Die moderne algebraische Zahlentheorie wird daher auch als geometrische Zahlentheorie oder arithmetische Geometrie bezeichnet, in der der Begriff des Schemas eine zentrale Rolle spielt.
 
Zu jedem Zahlkörper gehört eine [[Dedekindsche Zeta-Funktion|Zeta-Funktion]], deren analytisches Verhalten die Arithmetik des Zahlkörpers widerspiegelt. Auch für die Dedekindschen Zeta-Funktionen ist die Riemannsche Vermutung im Allgemeinen unbewiesen. Für endliche Körper ist ihre Aussage in den berühmten [[Weil-Vermutungen]] enthalten und wurde von [[Pierre Deligne]] mit Mitteln der algebraischen Geometrie gelöst, wofür er 1978 die [[Fields-Medaille]] bekam.
 
=== Algorithmische Zahlentheorie ===
 
Die [[Wikipedia:Algorithmische Zahlentheorie|algorithmische Zahlentheorie]] ist ein Zweig der Zahlentheorie, der mit dem Aufkommen von Computern auf breites Interesse stieß. Dieser Zweig der Zahlentheorie beschäftigt sich damit, wie zahlentheoretische Probleme [[Algorithmus|algorithmisch]] effizient umgesetzt werden können. Wichtige Fragestellungen sind, ob eine große Zahl [[Primzahl|prim]] ist, die [[Faktorisierungsverfahren|Faktorisierung]] großer Zahlen und die eng damit verbundene Frage nach einer effizienten Berechnung des [[Diskreter Logarithmus|diskreten Logarithmus]]. Außerdem gibt es inzwischen Algorithmen zur Berechnung von Klassenzahlen, Kohomologiegruppen und zur [[K-Theorie]] algebraischer Zahlkörper.
 
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Kategorie:Zahlentheorie}}
* {{WikipediaDE|Zahlentheorie}}
 
[[Kategorie:Zahlentheorie|!]]

Version vom 29. Dezember 2018, 13:25 Uhr

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