Zahlentheorie und Fertigungstechnik: Unterschied zwischen den Seiten

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Die '''Zahlentheorie''' ist ein [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet]] der [[Mathematik]], das sich mit den Eigenschaften der [[Wikipedia:Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] beschäftigt. Teilgebiete sind beispielsweise die elementare oder arithmetische Zahlentheorie – eine Verallgemeinerung der [[Arithmetik]], die Lehre von den [[Wikipedia:Diophantische Gleichung|Diophantischen Gleichungen]], die [[Wikipedia:Analytische Zahlentheorie|analytische Zahlentheorie]] und die [[Wikipedia:Algebraische Zahlentheorie|algebraische Zahlentheorie]].
[[Datei:Maker Faire 2008 San Mateo 110.JPG|mini|Fertigung von Möbelbauteilen: das Bohren von Holzplatten mit einer mittelgroßen Portalbohrmaschine]]


== Teilgebiete ==
'''Fertigungstechnik''' ist ein Gebiet der [[Produktionstechnik]] und des [[Maschinenbau]]s. Sie ist die Lehre von der (wirtschaftlichen) Herstellung von [[Werkstück]]en und anderen geometrisch definierten festen Körpern ([[Stückgüter]]n).<ref>[https://wirtschaftslexikon.gabler.de/definition/produktionstechnik-42489 Produktionstechnik - Definition]</ref>
Die verschiedenen Teilgebiete der Zahlentheorie werden gemeinhin nach den Methoden unterschieden, mit denen zahlentheoretische Fragestellungen bearbeitet werden.
Ausgangspunkt sind dabei die Konstruktionsunterlagen, die die Form der Werkstücke, die zulässigen Maß- und Formabweichungen (sogenannte [[Toleranz (Technik)|Toleranzen]]), die [[Rauheit|Oberflächenrauheit]] und den [[Werkstoff]] festlegen, sowie die zu verwendenden [[Messmittel|Mess-]] und [[Prüfmittel]]. In der Fertigungstechnik werden somit immer Stückgüter hergestellt. Dabei kann es sich um Produkte für den Endverbraucher handeln oder um welche, die noch weiterverarbeitet werden müssen wie [[Blech]]e. Gefertigt werden auch Kunstgegenstände und Fertigungsmittel, also Werkzeuge, Maschinen und Anlagen, die zur Fertigung benötigt werden.


=== Elementare oder arithmetische Zahlentheorie ===
Zentraler Betrachtungsgegenstand der Fertigungstechnik sind die zahlreichen [[Fertigungsverfahren]], die in der [[DIN 8580]] zu Hauptgruppen und Gruppen zusammengefasst werden. Weitere Teilgebiete sind [[Werkzeugmaschine]]n, die [[Werkzeug]]e, die [[Fertigungsmesstechnik]], die [[Fertigungsplanung und -steuerung]], die [[Fertigungstyp|Organisationsformen der Fertigung]] wie die Werktstattfertigung oder die Serienfertigung und das [[Qualitätsmanagement]]. Grenzgebiete zu nahestehenden Wissenschaften sind die [[Logistik]] (insbesondere die [[Produktionslogistik]]), die [[Fabrikplanung]] und die [[Fertigungswirtschaft]].
Von der Antike bis in das siebzehnte Jahrhundert behauptete sich die Zahlentheorie als grundständige Disziplin und kam ohne andere mathematische Teilgebiete aus. Ihre einzigen Hilfsmittel waren die Eigenschaften der [[Ganze Zahlen|ganzen Zahlen]], insbesondere [[Primfaktorzerlegung]] ([[Fundamentalsatz der Arithmetik]]), [[Teilbarkeit]] und das Rechnen mit [[Kongruenz (Zahlentheorie)|Kongruenzen]]. Eine solche ''reine'' Herangehensweise wird auch als ''elementare Zahlentheorie'' bezeichnet. Wichtige Resultate, die sich mit Hilfe elementarer Methoden erzielen lassen, sind der [[Kleiner Fermatscher Satz|kleine Satz von Fermat]] und dessen Verallgemeinerung, der [[Satz von Euler]], der [[Chinesischer Restsatz|Chinesische Restsatz]], der [[Satz von Wilson]] und der [[Euklidischer Algorithmus|Euklidische Algorithmus]].


Auch heute noch wird in einzelnen Fragen zu Teilbarkeit, Kongruenzen und Ähnlichem mit elementaren zahlentheoretischen Methoden geforscht. Ebenso wird versucht, Beweise zur Zahlentheorie, die sich weitergehender Methoden bedienen, in elementare Begriffe zu „übersetzen“, woraus sich neue Erkenntnisse ergeben können. Ein Beispiel ist die elementare Betrachtung [[Zahlentheoretische Funktion|zahlentheoretischer Funktionen]] wie der [[Möbiusfunktion]] und der [[Eulersche Phi-Funktion|Eulerschen Phi-Funktion]].
== Geschichte ==
{{Siehe auch|Geschichte der Produktionstechnik}}
Die Fertigungstechnik beeinflusst die Wandlung eines Werkstücks vom Rohzustand bis zum Fertigungszustand. Insofern ist ihre Geschichte so alt wie die Menschheit. Jedoch erst seit dem Beginn der industriellen Revolution Mitte des 18. Jahrhunderts wurde die Fertigungstechnik mit wissenschaftlichen Methoden untersucht.


=== Analytische Zahlentheorie ===
Aus der Steinzeit sind viele [[zerspanen]]de Verfahren wie Sägen, Bohren und Schleifen bekannt. In der Bronzezeit kamen das [[Schmieden]], [[Gießen (Metall)|Gießen]] und [[Feuerschweißen]] hinzu. Ab der Industrialisierung wurden [[Werkzeugmaschine]]n gebaut, die bekannte Verfahren maschinisierten oder neue wie das [[Fräsen]] erst ermöglichten. Die meisten Schweißverfahren stammen aus dem 20. Jahrhundert.
* {{WikipediaDE|Analytische Zahlentheorie}}


Als Erster wurde [[Leonhard Euler|Euler]] darauf aufmerksam, dass man Methoden der [[Analysis]] und [[Funktionentheorie]] benutzen kann, um zahlentheoretische Fragestellungen zu lösen. Eine solche Herangehensweise bezeichnet man als analytische Zahlentheorie. Wichtige Probleme, die mit analytischen Methoden gelöst wurden, betreffen meist statistische Fragen nach der Verteilung von [[Primzahl]]en und deren Asymptotik. Dazu gehören zum Beispiel der von [[Carl Friedrich Gauß|Gauß]] vermutete, aber erst Ende des 19.&nbsp;Jahrhunderts bewiesene [[Primzahlsatz]] und der [[Dirichletscher Primzahlsatz|dirichletsche Satz über Primzahlen in arithmetischen Progressionen]]. Daneben dienen analytische Methoden auch dazu, die [[Transzendente Zahlen|Transzendenz]] von Zahlen wie der [[Kreiszahl]] <math>\pi</math> oder der [[Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] <math>e</math> nachzuweisen. Im Zusammenhang mit dem Primzahlsatz wurde erstmals die [[Riemannsche Zeta-Funktion]] untersucht, die heute zusammen mit ihren [[Zeta-Funktion|Verallgemeinerungen]] Gegenstand sowohl analytischer als auch algebraischer Forschung und Ausgangspunkt der [[Riemannsche Vermutung|Riemannschen Vermutung]] ist.
[[Johann Beckmann (Ökonom)|Johann Beckmann]] begründete die [[Allgemeine Technologie|allgemeine technologische]] [[Wissenschaft]]. Er führte den Begriff [[Technologie]] schon 1769 ein. [[Frederick Winslow Taylor]] verwendete um 1900 den Begriff [[Betriebswissenschaft]] und begründete den [[Taylorismus]]. [[Henry Ford]] setzte mit der [[Fließbandfertigung]] auf [[Klassifikation|Typisierung]] und [[Massenfertigung]].


=== Algebraische Zahlentheorie und arithmetische Geometrie ===
Im 20. Jahrhundert wurden viele Fertigungsverfahren und die zugehörigen Maschinen immer häufiger mit wissenschaftlichen Methoden weiterentwickelt. Dazu zählt beispielsweise das [[Laserschneiden|Laser-]] und [[Wasserstrahlschneiden]], das [[Laserschweißen|Laser-]] und [[Elektronenstrahlschweißen]], das [[3D-Druck]]en, das [[Präzisionsschmieden]], das [[Thixogießen]], [[CNC-Maschine|CNC-gesteuerte Maschinen]]. Seit der Wende zum 21. Jahrhundert spielen auch wieder vermehrt Organisation und Informationstechnik eine Rolle wie in der [[Industrie 4.0]], der [[Digitale Fabrik|Digitalen Fabrik]], dem [[Lean Manufacturing]] oder dem [[Mass Customization]].
* {{WikipediaDE|Algebraische Zahlentheorie}}


Einen der großen Meilensteine der Zahlentheorie bildete die Entdeckung des [[Quadratisches Reziprozitätsgesetz|quadratischen Reziprozitätsgesetzes]]. Das Gesetz zeigt, dass man Fragen der Lösbarkeit diophantischer Gleichungen in den ganzen Zahlen durch den Übergang zu anderen Zahlbereichen einfacher lösen kann ([[Quadratischer Zahlkörper|quadratische Zahlkörper]], [[gaußsche Zahlen]]). Hierzu betrachtet man endliche [[Körpererweiterung|Erweiterungen]] der rationalen Zahlen, sogenannte algebraische [[Zahlkörper]] (woher auch der Name ''algebraische Zahlentheorie'' stammt). Elemente von Zahlkörpern sind [[Nullstelle]]n von [[Polynom]]en mit rationalen Koeffizienten. Diese Zahlkörper enthalten den ganzen Zahlen analoge Teilmengen, die [[Ganzheitsring]]e. Sie verhalten sich in vieler Hinsicht wie der [[Ring (Algebra)|Ring]] der ganzen Zahlen. Die eindeutige Zerlegung in Primzahlen gilt allerdings nur noch in Zahlkörpern der [[Klassenzahl]] 1. Allerdings sind Ganzheitsringe [[Dedekindring]]e und jedes [[Gebrochenes Ideal|gebrochene Ideal]] besitzt daher eine eindeutige Zerlegung in [[Primideal]]e. Die Analyse dieser algebraischen Zahlkörper ist sehr kompliziert und erfordert Methoden nahezu aller Teilgebiete der reinen Mathematik, insbesondere der [[Algebra]], [[Topologie (Mathematik)|Topologie]], [[Analysis]], [[Funktionentheorie]] (insbesondere der Theorie der [[Modulform]]en), [[Geometrie]] und [[Darstellungstheorie]]. Die algebraische Zahlentheorie beschäftigt sich weiterhin mit dem Studium [[Funktionenkörper|algebraischer Funktionenkörper]] über [[Endlicher Körper|endlichen Körpern]], deren Theorie weitgehend analog zur Theorie der Zahlkörper verläuft. Algebraische Zahl- und Funktionenkörper werden unter dem Namen [[Globaler Körper|„globale Körper“]] zusammengefasst. Oft stellt es sich als fruchtbar heraus, Fragen „lokal“, d.&nbsp;h. für jede Primzahl ''p'' einzeln zu betrachten. Dieser Vorgang benutzt im Fall der ganzen Zahlen die [[P-adische Zahlen|p-adischen Zahlen]], allgemein [[Lokaler Körper|lokale Körper]].
== Grundbegriffe ==
Die sechs Hauptgruppen der Fertigungsverfahren sind laut DIN 8580:
*''[[Fertigungsverfahren]]'': Verfahren zur Herstellung geometrisch bestimmter fester Körper
*''Werkstück'': Einzelteil eines technischen Gebildes in der Fertigung
*''[[Wirkmedium]]'': formloser, fester, flüssiger oder gasförmiger Stoff, der durch verschiedene Energieformen sowie durch chemische Reaktionen Veränderungen am Werkstück hervorruft
*''Wirkpaar'': gebildet aus Werkstücken einerseits und Werkzeug beziehungsweise Wirkmedium/-medien andererseits
*''[[Urformen]]'': Es wird ein fester Körper aus formlosem Stoff (flüssig, pulvriger Rohstoff oder plastische Masse) durch Herstellen des Zusammenhalts geschaffen z.&nbsp;B. durch Gießen, Sintern, Brennen oder Backen.
*''[[Umformen]]'': Umformen ist das Fertigen durch bildsames (plastisches) Ändern der Form eines Körpers, ohne dass die Werkstoffmenge geändert wird, z.&nbsp;B. durch Biegen, Schmieden, Ziehen, Pressen, Drücken oder Walzen.
*''[[Fügen (Fertigungstechnik)|Fügen]]'': das Einbringen von zuvor getrennten Werkstücken in eine feste Verbindung an dafür vorgesehenen Fügestellen, z.&nbsp;B. durch Schweißen, Löten oder Kleben
*''[[Trennen (Fertigungstechnik)|Trennen]]'': das Ändern der Form eines festen Körpers, in dem der Zusammenhalt örtlich aufgehoben wird, z.&nbsp;B. durch Zerteilen, Spanen oder Abtragen


Für die Formulierung der modernen algebraischen Zahlentheorie sind die Sprache der [[Homologische Algebra|homologischen Algebra]] und insbesondere die ursprünglich topologischen Konzepte der [[Kohomologie]], [[Homotopie]] und der [[Abgeleiteter Funktor|abgeleiteten Funktoren]] unerlässlich. Höhepunkte der algebraischen Zahlentheorie sind die [[Klassenkörpertheorie]] und die [[Iwasawa-Theorie]].
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Kategorie:Fertigungstechnik}}
* {{WikipediaDE|Fertigungstechnik}}


Nach der Neuformulierung der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]] durch [[Alexander Grothendieck|Grothendieck]] und insbesondere nach Einführung der [[Schema (algebraische Geometrie)|Schemata]] stellte es sich (in der zweiten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts) heraus, dass die Zahlentheorie als ein Spezialfall der algebraischen Geometrie betrachtet werden kann. Die moderne algebraische Zahlentheorie wird daher auch als geometrische Zahlentheorie oder arithmetische Geometrie bezeichnet, in der der Begriff des Schemas eine zentrale Rolle spielt.
== Literatur ==
* ''Welt der Fertigung'', Zeitschrift
* Alfred Herbert Fritz, Günter Schulze (Hrsg.): ''Fertigungstechnik.'' 11., neu bearb. Aufl., Springer, Berlin 2015, ISBN 978-3-662-46555-4.
* Westkämper, Warnecke: ''Einführung in die Fertigungstechnik''. 8. aktualisierte und erweiterte Auflage, Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0835-6.
* Europa Lehrmittel (Hrsg.): ''Industrielle Fertigung.'' Europa-Lehrmittel, Nourney, 5. Auflage, 2011, ISBN 978-3-8085-5355-8.
* Günter Spur: ''Vom Wandel der industriellen Welt durch Werkzeugmaschinen – Eine kulturgeschichtliche Betrachtung der Fertigungstechnik.'' Carl Hanser Verlag, München/Wien 1991, ISBN 3-446-16242-9.
* Ulrich Fischer, Max Heinzler, u.&nbsp;a.: Tabellenbuch Metall. Verlag Europa Lehrmittel, 43. Auflage, 2005, ISBN 3-8085-1723-9.


Zu jedem Zahlkörper gehört eine [[Dedekindsche Zeta-Funktion|Zeta-Funktion]], deren analytisches Verhalten die Arithmetik des Zahlkörpers widerspiegelt. Auch für die Dedekindschen Zeta-Funktionen ist die Riemannsche Vermutung im Allgemeinen unbewiesen. Für endliche Körper ist ihre Aussage in den berühmten [[Weil-Vermutungen]] enthalten und wurde von [[Pierre Deligne]] mit Mitteln der algebraischen Geometrie gelöst, wofür er 1978 die [[Fields-Medaille]] bekam.
== Weblinks ==
{{Wikibooks|Überblick zu den Fertigungstechniken}}
{{Wiktionary}}
* [http://www.produktionsforschung.de/ Produktionsforschung]


=== Algorithmische Zahlentheorie ===
== Einzelnachweise ==
<references />


Die [[Wikipedia:Algorithmische Zahlentheorie|algorithmische Zahlentheorie]] ist ein Zweig der Zahlentheorie, der mit dem Aufkommen von Computern auf breites Interesse stieß. Dieser Zweig der Zahlentheorie beschäftigt sich damit, wie zahlentheoretische Probleme [[Algorithmus|algorithmisch]] effizient umgesetzt werden können. Wichtige Fragestellungen sind, ob eine große Zahl [[Primzahl|prim]] ist, die [[Faktorisierungsverfahren|Faktorisierung]] großer Zahlen und die eng damit verbundene Frage nach einer effizienten Berechnung des [[Diskreter Logarithmus|diskreten Logarithmus]]. Außerdem gibt es inzwischen Algorithmen zur Berechnung von Klassenzahlen, Kohomologiegruppen und zur [[K-Theorie]] algebraischer Zahlkörper.
{{Normdaten|TYP=s|GND=4329079-6}}
 
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Kategorie:Zahlentheorie}}
* {{WikipediaDE|Zahlentheorie}}


[[Kategorie:Mathematik nach Teilgebiet]]
[[Kategorie:Produktionstechnik]]
[[Kategorie:Mathematisches Teilgebiet]]
[[Kategorie:Fertigungstechnik|!]]
[[Kategorie:Zahlentheorie|!]]
[[Kategorie:Maschinenbau]]


{{Wikipedia}}
{{Wikipedia}}

Version vom 26. Februar 2019, 16:26 Uhr

Fertigung von Möbelbauteilen: das Bohren von Holzplatten mit einer mittelgroßen Portalbohrmaschine

Fertigungstechnik ist ein Gebiet der Produktionstechnik und des Maschinenbaus. Sie ist die Lehre von der (wirtschaftlichen) Herstellung von Werkstücken und anderen geometrisch definierten festen Körpern (Stückgütern).[1] Ausgangspunkt sind dabei die Konstruktionsunterlagen, die die Form der Werkstücke, die zulässigen Maß- und Formabweichungen (sogenannte Toleranzen), die Oberflächenrauheit und den Werkstoff festlegen, sowie die zu verwendenden Mess- und Prüfmittel. In der Fertigungstechnik werden somit immer Stückgüter hergestellt. Dabei kann es sich um Produkte für den Endverbraucher handeln oder um welche, die noch weiterverarbeitet werden müssen wie Bleche. Gefertigt werden auch Kunstgegenstände und Fertigungsmittel, also Werkzeuge, Maschinen und Anlagen, die zur Fertigung benötigt werden.

Zentraler Betrachtungsgegenstand der Fertigungstechnik sind die zahlreichen Fertigungsverfahren, die in der DIN 8580 zu Hauptgruppen und Gruppen zusammengefasst werden. Weitere Teilgebiete sind Werkzeugmaschinen, die Werkzeuge, die Fertigungsmesstechnik, die Fertigungsplanung und -steuerung, die Organisationsformen der Fertigung wie die Werktstattfertigung oder die Serienfertigung und das Qualitätsmanagement. Grenzgebiete zu nahestehenden Wissenschaften sind die Logistik (insbesondere die Produktionslogistik), die Fabrikplanung und die Fertigungswirtschaft.

Geschichte

Die Fertigungstechnik beeinflusst die Wandlung eines Werkstücks vom Rohzustand bis zum Fertigungszustand. Insofern ist ihre Geschichte so alt wie die Menschheit. Jedoch erst seit dem Beginn der industriellen Revolution Mitte des 18. Jahrhunderts wurde die Fertigungstechnik mit wissenschaftlichen Methoden untersucht.

Aus der Steinzeit sind viele zerspanende Verfahren wie Sägen, Bohren und Schleifen bekannt. In der Bronzezeit kamen das Schmieden, Gießen und Feuerschweißen hinzu. Ab der Industrialisierung wurden Werkzeugmaschinen gebaut, die bekannte Verfahren maschinisierten oder neue wie das Fräsen erst ermöglichten. Die meisten Schweißverfahren stammen aus dem 20. Jahrhundert.

Johann Beckmann begründete die allgemeine technologische Wissenschaft. Er führte den Begriff Technologie schon 1769 ein. Frederick Winslow Taylor verwendete um 1900 den Begriff Betriebswissenschaft und begründete den Taylorismus. Henry Ford setzte mit der Fließbandfertigung auf Typisierung und Massenfertigung.

Im 20. Jahrhundert wurden viele Fertigungsverfahren und die zugehörigen Maschinen immer häufiger mit wissenschaftlichen Methoden weiterentwickelt. Dazu zählt beispielsweise das Laser- und Wasserstrahlschneiden, das Laser- und Elektronenstrahlschweißen, das 3D-Drucken, das Präzisionsschmieden, das Thixogießen, CNC-gesteuerte Maschinen. Seit der Wende zum 21. Jahrhundert spielen auch wieder vermehrt Organisation und Informationstechnik eine Rolle wie in der Industrie 4.0, der Digitalen Fabrik, dem Lean Manufacturing oder dem Mass Customization.

Grundbegriffe

Die sechs Hauptgruppen der Fertigungsverfahren sind laut DIN 8580:

  • Fertigungsverfahren: Verfahren zur Herstellung geometrisch bestimmter fester Körper
  • Werkstück: Einzelteil eines technischen Gebildes in der Fertigung
  • Wirkmedium: formloser, fester, flüssiger oder gasförmiger Stoff, der durch verschiedene Energieformen sowie durch chemische Reaktionen Veränderungen am Werkstück hervorruft
  • Wirkpaar: gebildet aus Werkstücken einerseits und Werkzeug beziehungsweise Wirkmedium/-medien andererseits
  • Urformen: Es wird ein fester Körper aus formlosem Stoff (flüssig, pulvriger Rohstoff oder plastische Masse) durch Herstellen des Zusammenhalts geschaffen z. B. durch Gießen, Sintern, Brennen oder Backen.
  • Umformen: Umformen ist das Fertigen durch bildsames (plastisches) Ändern der Form eines Körpers, ohne dass die Werkstoffmenge geändert wird, z. B. durch Biegen, Schmieden, Ziehen, Pressen, Drücken oder Walzen.
  • Fügen: das Einbringen von zuvor getrennten Werkstücken in eine feste Verbindung an dafür vorgesehenen Fügestellen, z. B. durch Schweißen, Löten oder Kleben
  • Trennen: das Ändern der Form eines festen Körpers, in dem der Zusammenhalt örtlich aufgehoben wird, z. B. durch Zerteilen, Spanen oder Abtragen

Siehe auch

Literatur

  • Welt der Fertigung, Zeitschrift
  • Alfred Herbert Fritz, Günter Schulze (Hrsg.): Fertigungstechnik. 11., neu bearb. Aufl., Springer, Berlin 2015, ISBN 978-3-662-46555-4.
  • Westkämper, Warnecke: Einführung in die Fertigungstechnik. 8. aktualisierte und erweiterte Auflage, Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0835-6.
  • Europa Lehrmittel (Hrsg.): Industrielle Fertigung. Europa-Lehrmittel, Nourney, 5. Auflage, 2011, ISBN 978-3-8085-5355-8.
  • Günter Spur: Vom Wandel der industriellen Welt durch Werkzeugmaschinen – Eine kulturgeschichtliche Betrachtung der Fertigungstechnik. Carl Hanser Verlag, München/Wien 1991, ISBN 3-446-16242-9.
  • Ulrich Fischer, Max Heinzler, u. a.: Tabellenbuch Metall. Verlag Europa Lehrmittel, 43. Auflage, 2005, ISBN 3-8085-1723-9.

Weblinks

 Wikibooks: Überblick zu den Fertigungstechniken – Lern- und Lehrmaterialien
 Wiktionary: Fertigungstechnik – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise


Dieser Artikel basiert (teilweise) auf dem Artikel Fertigungstechnik aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Lizenz Creative Commons Attribution/Share Alike. In Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar.