Spiegelung (Geometrie) und Datei:GA320 147.gif: Unterschied zwischen den Seiten

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[[Datei:Punktspiegelung inkscape.svg|mini|hochkant=1.3|Die Punktspiegelung entspricht einer Drehung um 180° umd das Zentrum Z.]]
Zeichnung aus [[GA 320]], S. 147
[[Datei:Achsenspiegelung2 inkscape.svg|mini|hochkant=1.3|Achsenspiegelung]]
[[Datei:Glide reflection.svg|mini||hochkant=1.3|Gleitspiegelung]]
 
Als '''Spiegelung''' werden in der [[Geometrie]] bestimmte [[Kongruenzabbildung]]en bezeichnet, zu denen [[#Punktspiegelung|Punktspiegelungen]], [[#Achsenspiegelung|Achsenspiegelungen]] und im  [[Raum (Mathematik)|Raum]] auch [[#Ebenenspiegelung|Ebenenspiegelungen]] gehören. In einem n-dimensionalen Raum sind ganz allgemein n Arten von Spiegelungen möglich, deren Fixelemente (Spiegelemente) 0,1, ... (n-1)-dimensionale Teilräume dieses Raumes sind.
 
Eine '''Gleitspiegelung''' oder '''Schubspiegelung''' entsteht durch [[Hintereinanderausführung]] einer Spiegelung und einer [[Parallelverschiebung]]. Eine [[Drehspiegelung]] setzt sich zusammen aus der [[#Ebenenspiegelung|Spiegelung]] an einer [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] und einer [[Drehung]] um eine Drehachse, die diese Ebene im [[Rechter Winkel|rechten Winkel]] schneidet.
 
[[Schrägspiegelung]]en, deren rechtwinkeliger Sonderfall die Achsenspiegelung ist, und [[Kreisspiegelung]]en sind hingegen ''keine'' Kongruenzabbildungen und zählen daher nicht zu den Spiegelungen im engeren Sinn.
 
== Punktspiegelung ==
 
Eine '''Punktspiegelung''' oder '''Zentralspiegelung''' ist eine Spiegelung an einem [[Fixpunkt]] <math>Z</math>, der als 0-dimensionaler Teilraum des zu spiegelnden Raumes das Zentrum der Spiegelung bildet. Sie ordnet jedem Punkt <math>P</math> des Raumes bzw. der Ebene einen Bildpunkt <math>P'</math> zu, der auf der Verbindungsgeraden <math>PZ</math> liegt, wobei <math>Z</math> die Verbindungsstrecke <math>\overline{PP'}</math> genau halbiert.
 
Die Punktspiegelung entspricht einer [[Zentrische Streckung|zentrischen Streckung]] mit dem [[Streckungsfaktor]] '''m'''&nbsp;=&nbsp;-1 bzw. einer [[Drehung]] von 180° um das Drehzentrum <math>Z</math>. Weiters lässt sich jede Punktspiegelung durch zwei Achsenspiegelungen ersetzen, deren Achsen durch <math>Z</math> gehen und senkrecht zueinander stehen.
 
== Achsenspiegelung ==
 
Bei einer '''Achsenspiegelung''' oder '''Geradenspiegelung''' erfolgt die Spieglung an einer [[Fixpunktgerade]]n <math>a</math>, die die ''Spiegelachse'' bildet. Dabei wird jedem Punkt <math>P</math> des Raumes bzw. der Ebene ein Bildpunkt <math>P'</math> so zugeordnet, dass die Verbindungsgerade <math>PP'</math> im [[Rechter Winkel|rechten Winkel]] zur Spiegelachse steht und von dieser genau halbiert wird. Alle [[Gerade]]n, die im rechten Winkel zur Spiegelachse stehen, sind [[Fixgerade]] dieser Abbildung (aber keine Fix''punkt''gerade). Wie aus der Zeichnung rechts ersichtlich ist, wird durch die Spiegelung der [[Umlaufsinn]] des [[Dreieck]]s, also dessen [[Orientierung (Mathematik)|Orientierung]] umgekehrt.
 
Jede [[Kongruenzabbildung]] kann durch die [[Hintereinanderausführung]] von maximal drei Achsenspiegelungen dargestellt werden<ref>{{Literatur|Autor=[[w:Harold Scott MacDonald Coxeter|H. S. M. Coxeter]]|Titel=Unvergängliche Geometrie|Verlag=Birkhäuser Verlag|Ort=Basel / Stuttgart|Seiten=60–61|Datum=1963|Kommentar=Ins Deutsche übersetzt von J. J. Burckhardt}}</ref><ref>[[w:Friedrich Bachmann (Mathematiker)|Friedrich Bachmann]]: ''Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff.'' 2. Auflage, Berlin; Göttingen; Heidelberg 1973 (Zusammenfassung: [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=59579 ''Zur Begründung der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff.''] Mathematische Annalen, Bd. 123, 1951, S. 341ff)</ref> Bei einer ungeraden Anzahl von Achsenspiegelungen wird die [[Orientierung (Mathematik)|Orientierung]] umgekehrt, bei einer geraden Anzahl bleibt sie erhalten.
 
== Ebenenspiegelung ==
 
Im [[dreidimensional]]en und höherdimensionalen [[Raum (Mathematik)|Räumen]] ist auch eine '''Ebenenspiegelung''' möglich, deren [[Fixelement]] eine [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] <math>\alpha</math> ist, die alle [[Fixpunkt]]e dieser Abbildung enthält und daher eine [[Fixpunktebene]] ist. Gerade, die im rechten Winkel zur Spiegelebene stehen, sind [[Fixgerade]], und Ebenen, die rechtwinkelig zur Spiegelebene stehen, entsprechend [[Fixebene]]n.
 
== Siehe auch ==
 
* {{WikipediaDE|Spiegelung (Geometrie)}}
 
== Literatur ==
 
* H. Schupp: ''Elementargeometrie''. UTB Schöningh 1977, ISBN 3-506-99189-2
* Wendelin Degen, Lothar Profke: ''Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie.'' Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8
*Louis Locher-Ernst: ''Urphänomene der Geometrie'', Verlag am Goetheanum, Dornach 1980, ISBN 978-3723502334
*[[Renatus Ziegler]]: ''Mathematik und Geisteswissenschaft: Mathematische Einführung in die Philosophie als Geisteswissenschaft in Anknüpfung an Plato, Cusanus, Goethe, Hegel und Steiner'', Verlag am Goetheanum, Dornach 1992, ISBN 978-3723506455
 
== Einzelnachweise ==
 
<references />
 
[[Kategorie:Geometrie]]

Version vom 11. August 2022, 11:02 Uhr

Zeichnung aus GA 320, S. 147