Hill-Sphäre

Konturplot des effektiven Potentials des Systems aus Erde und Sonne. Die Größenverhältnisse entsprechen nicht der Realität. Die Hill-Sphäre der Erde wird in etwa durch die kreisförmige Linie, die die Lagrange-Punkte L1 und L2 berührt, beschrieben.

Als Hill-Sphäre, auch Hill-Raum, wird die Umgebung eines Körpers bezeichnet, in der seine Gravitationskraft wirkungsvoller ist als die eines anderen, massereichen Körpers, den er umkreist. Das etwa kugelförmige Gebiet wurde nach dem in der theoretischen Astronomie wirkenden Mathematiker George William Hill benannt. Seine Arbeit beruhte vor allem auf den Schriften von Édouard Roche.

Parameter

Vergleich der Hill-Sphären und der Roche-Grenzen des Systems Sonne-Erde-Mond (nicht maßstabsgetreu), wobei die schattierten Bereiche die stabilen Bahnen der Satelliten der einzelnen Körper kennzeichnen.

Die äußere Grenze der Hill-Sphäre hängt ab von:

• der Gravitationskraft, die durch den Zentralkörper verursacht wird,
• der Gravitationskraft, die durch den umkreisenden Körper verursacht wird und
• der Zentrifugalkraft in einem mit dem umkreisenden Körper mitbewegten Bezugssystem.

Innerhalb der Hill-Sphäre ist die Summe dieser drei Kräfte zu dem umkreisenden Körper hin gerichtet. Dabei entspricht die Grenze der Hill-Sphäre, der Hill-Radius, der Entfernung bis zum ersten bzw. zweiten Lagrange-Punkt:

$r_{\mathrm {H} }\approx a(1-e){\sqrt[{3}]{\frac {m}{3M}}}$

Wenn die Exzentrizität vernachlässigbar ist, was der günstigste Fall für die Stabilität der Umlaufbahn ist, wird daraus:

$r_{\mathrm {H} }\approx a\cdot {\sqrt[{3}]{\frac {m}{3M}}}$

wobei

• a die Entfernung der Massezentren der beiden Körper,
• e die Exzentrizität der Bahn des umkreisenden Körpers,
• m die Masse des umkreisenden Körpers und
• M die Masse des Zentralkörpers ist.

Herleitung

Der Ausdruck für den Hill-Radius kann gefunden werden, indem man die Gravitations- und Zentrifugalkräfte gleichsetzt, die auf ein Testteilchen (mit einer Masse viel kleiner als $m$) wirken, das den Sekundärkörper umkreist. Nehmen wir an, dass der Abstand zwischen den Massen $M$ und $m$ $r$ beträgt (was obigem $a$ entspricht), und dass das Testteilchen in einem Abstand $r_{\mathrm {H} }$ vom Sekundärkörper kreist. Wenn sich das Testteilchen auf der Verbindungslinie zwischen dem Primär- und dem Sekundärkörper befindet, erfordert die Kraftbilanz

${\frac {Gm}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {GM}{(r-r_{\mathrm {H} })^{2}}}+\Omega ^{2}(r-r_{\mathrm {H} })=0,$

wobei $G$ die Gravitationskonstante ist und $\Omega ={\sqrt {\frac {GM}{r^{3}}}}$ die (Keplersche) Winkelgeschwindigkeit des Sekundärkörpers um den Primärkörper ist (unter der Annahme, dass $m\ll M$). Die obige Gleichung kann auch geschrieben werden als

${\frac {m}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)^{-2}+{\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)=0,$

was durch eine Binomialentwicklung nach $r_{\mathrm {H} }/r$ geschrieben werden kann als

${\frac {m}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {M}{r^{2}}}\left(1+2{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)+{\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)={\frac {m}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {M}{r^{2}}}\left(3{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)\approx 0.$

Daraus folgt (wenn man $r$ wieder durch $a$ ersetzt) die oben genannte Beziehung

${\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\approx {\sqrt[{3}]{\frac {m}{3M}}}.$

Wenn die Umlaufbahn des Sekundärkörpers um den Primärkörper elliptisch ist, ist der Hill-Radius im Apozentrum, wo $r$ am größten ist, maximal und im Perizentrum der Umlaufbahn minimal. Daher muss für die Stabilität von Testteilchen (z. B. von kleinen Satelliten) der Hill-Radius in der Perizentrenentfernung berücksichtigt werden. Der Hill-Radius $r_{\mathrm {H} }$ entspricht dann der Entfernung des Lagrange-Punktes L1 vom Sekundärkreis.

Bahnstabilität

Die Bahn eines kleinen Körpers („Mond“), der sich innerhalb der Hill-Sphäre des um den Zentralkörper („Sonne“) laufenden Objekts („Planet“) befindet, ist im äußeren Bereich der Sphäre äußerst instabil, so dass er die Hill-Sphäre mit hoher Wahrscheinlichkeit in kurzer Zeit verlassen kann. Nur innerhalb einer Stabilitätszone kann die Bahn des „Mondes“ sinnvoll als eine gestörte Ellipsenbahn mit zeitlich veränderlichen Bahnelementen dargestellt werden. Die Größe dieser Zone stabiler Orbits hängt von der Umlaufrichtung des „Mondes“ ab:

• für prograde Bahnen, also solche, die dieselbe Umlaufrichtung haben, in der auch der „Planet“ die „Sonne“ umkreist, erstreckt sie sich bis zu einem Abstand von knapp 50 % des Hill-Radius;
• für retrograde Bahnen liegt die Grenze etwas weiter außen bei knapp 70 % des Hill-Radius.

Beispiele

Hill-Radius (in km) der Planeten und dreier Zwerg­planeten des Sonnensystems

Für die Erde mit einer Masse von m = 5,97·10²⁴ kg im Orbit um die Sonne mit einer Masse M = 1,99·10³⁰ kg in einer Entfernung von a = 1 AE = 149,6·10⁶ km ergibt sich ein Hill-Radius von ungefähr 1,5·10⁶ km = 0,01 AE.

Da der Mond ungefähr 0,37·10⁶ km von der Erde entfernt ist, befindet er sich weit innerhalb der Hill-Sphäre.

Die Hill-Sphäre von Jupiter hat einen mittleren Radius von 0,35 Astronomischen Einheiten. Damit ist sie fast so groß wie die große Bahnhalbachse von Merkur und nimmt von der Erde aus gesehen mehr als das Fünfzehnfache des Vollmonddurchmessers ein. Der äußerste bekannte Jupitermond S/2003 J 2 hat eine große Halbachse, die knapp 60 % des Hill-Radius entspricht, und umläuft den Planeten retrograd. Sein jupiterfernster Bahnpunkt, die Apoapsis, liegt mit 68 % des Hill-Radius allerdings am äußersten Rand der Stabilitätszone. Der äußerste bekannte Mond, der den Planeten prograd umläuft, ist Carpo, dessen Halbachse etwa 32 % des Hill-Radius ausmacht und dessen Apoapsis bei knapp 48 % liegt. Die Bahn dieses Mondes ist allerdings in vielerlei Hinsicht ungewöhnlich und möglicherweise über längere Zeiträume instabil. Die Monde der Himalia-Gruppe, die etwas kleinere Bahnachsen von etwa 22 % des Hill-Radius besitzen, erreichen an den fernsten Bahnpunkten etwa 30 % des Hill-Radius. Die am weitesten entfernten Jupitermonde erreichen sogar bis zu 50 % des Hill-Radius; ihre Bahnen verlaufen dabei nahezu retrograd. Beispiele hier sind etwa die Carme-Gruppe und der Satellit (Mond) S/2003 J 2.

Unter Einbeziehung der Bahnexzentrizität ergeben sich die Hill-Radien der Planeten und Zwergplaneten unseres Sonnensystems wie folgt.

Hill-Radien der Planeten und Zwergplaneten

Planet / Zwergplanet	Hill-Radius (Millionen km)	a (Millionen km)	Exzentrizität	Masse (kg)
Merkur	0,1753	57,909	0,2056	3,301 · 1023
Venus	1,0042	108,208	0,0068	4,875 · 1024
Erde	1,4716	149,597	0,0167	5,974 · 1024
Mars	0,9826	227,936	0,0934	6,417 · 1023
Ceres	0,2067	413,94	0,0757	9,394 ⋅ 1020
Jupiter	50,5503	778,412	0,0489	1,899 · 1027
Saturn	61,9239	1.426,725	0,0542	5,683 · 1026
Uranus	66,8205	2.870,972	0,0472	8,683 · 1025
Neptun	114,9660	4.498,252	0,00859	1,0243 · 1026
Pluto	5,7565	5.906	0,2488	1,303 · 1022
Haumea	4,5653	6.475,6	0,192	4,01 · 1021
Makemake	4,6147	6.773,8	0,1654	3,1 ⋅ 1021
Eris	4,7747	10.134	0,4421	1,67 ⋅ 1022

Die Hill-Sphären der Monde sind in aller Regel sehr klein und damit auch die Wahrscheinlichkeit, dass darin Mondtrabanten über lange Zeit auf stabilen Umlaufbahnen kreisen können. Am ehesten ist das bei großen Monden möglich, die sich in großem Abstand zu ihrem Planeten bewegen. Die größte Hill-Sphäre unter den natürlichen Satelliten des Sonnensystems besitzt der Erdmond mit einem Radius von 9,2 Erdradien, gefolgt vom Saturnmond Titan (Hill-Radius 8,2 Erdradien) und Jupitermond Kallisto (7,9 Erdradien).

Siehe auch

• Dreikörperproblem
• Roche-Grenze
• Trojaner (Astronomie)
• Einflusssphäre (Astronomie)

Weblinks

• Axel M. Quetz: Zum Nachdenken: Die Hill-Sphäre der Erde. In: spektrum.de. 18. Mai 2012, abgerufen am 23. Januar 2016.