Rotationshyperboloid und Rotationsparaboloid: Unterschied zwischen den Seiten

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[[Datei:Ruled hyperboloid.jpg|miniatur|hochkant|Rotationshyperboloid]]
[[Bild:Paraboloid.png|300px|mini|Eine rotierte Parabel ergibt einen Rotationsparaboloid]]
[[Datei:MaeWestTram.jpg|miniatur|hochkant|Mae West mit Tram]]
Ein '''Rotationsparaboloid''' ist in der [[Mathematik]] eine [[Rotationsfläche]], die durch Rotation einer [[Parabel (Mathematik)|Parabel]] um ihre [[Symmetrieachse]] entsteht.


Das einschalige '''Rotationshyperboloid''' ist eine [[Fläche zweiter Ordnung]], die man sich durch Rotation einer [[Gerade]]n um eine zu ihr [[windschief]]e Gerade ''(Achse)'' entstanden vorstellen kann. Es ist ein Spezialfall des einschaligen [[Hyperboloid]]s. Seine [[gaußsche Krümmung]] ist in jedem Punkt negativ; es handelt sich also um eine [[antiklastisch]] gekrümmte Fläche.
Beispiele aus dem täglichen Leben sind [[Hohlspiegel|Reflektoren]] von [[Scheinwerfer]]n oder [[Parabolspiegel]] der [[Astronomie]].


Man beachte: Es gibt auch ein ''zweischaliges'' Rotationshyperboloid (siehe [[Hyperboloid#Zweischaliges Hyperboloid|Hyperboloid]]).
Wenn man eine Flüssigkeit gleichmäßig um eine senkrechte [[Rotationsachse|Achse]] dreht, überlagern sich [[Gravitation|Schwerkraft]] und [[Fliehkraft]], und die Flüssigkeitsoberfläche nimmt die Form eines Rotationsparaboloids an. So funktioniert das [[Flüssiger Spiegel|Quecksilber-Teleskop]]. Auf diese Weise kann man auch Parabolspiegel für Spiegelteleskope gießen, um danach nicht so viel Material abschleifen zu müssen, da die beim Guss erhaltene Oberfläche bereits ein Rotationsparaboloid darstellt.


== Anwendung ==
Zur Verwendung von Rotationsparaboloiden als Spiegel siehe im Artikel über die sog. [[Parabolspiegel]].  
Die Form des Rotationshyperboloids wird unter anderem im [[Bauwesen]] bei [[Hyperboloidkonstruktion]]en angewendet. Den ersten Turm der Welt in dieser Form baute [[Wladimir Grigorjewitsch Schuchow|Wladimir Schuchow]] für die [[Allrussische Industrie- und Handwerksausstellung 1896]].


Der Architekt [[Antoni Gaudí]] verwendete die Form als gestalterisches Konstruktionsprinzip. Auch das Kunstwerk [[Mae West (Kunstwerk)|Mae West]] in [[München]] ist ein 52 Meter hoher Rotationshyperboloid aus [[kohlenstofffaserverstärkter Kunststoff|CFK]].
Das Rotationsparaboloid ist der rotationssymmetrische Spezialfall des [[Paraboloid|elliptischen Paraboloids]].


== Gleichung ==
== Mathematische Darstellung ==
Die Gleichung für das Rotationshyperboloid mit kreisförmigem Querschnitt ergibt sich aus der Gleichung  
Die Formeln gelten für ein Rotationsparaboloid, das von einer zur [[z-Achse]] senkrechten Ebene in der Höhe <math>h</math> abgeschnitten wird und dort den Radius <math>r</math> hat.
 
; Gleichung: <math>z=\frac{h}{r^2}(x^2+y^2)\ ,0\le z\le h\  </math>
<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1</math>
; Brennpunkt (s. [[Parabel (Mathematik)#Parabel als Funktions-Graph|Parabel]]): <math>(0,0,\frac{r^2}{4h}) </math>  
 
; [[Volumen]] : <math>V = \frac{\pi}{2} \cdot r^2 \cdot h </math>
eines einschaligen Hyperboloids mit allgemein elliptischem Querschnitt durch Einsetzen von <math>\ {a = b} </math>.
; [[Flächeninhalt|Oberfläche]] (ohne Deckkreisfläche): <math> A_O = \frac{\pi r}{6 h^2} \cdot \left[ \left( r^2+4 h^2\right)^{\frac{3}{2}} - r^3 \right] </math>
 
; Höhe des [[Geometrischer Schwerpunkt|Schwerpunkts]]: <math>h_S = \frac{2}{3}\cdot h </math>
Die Gerade mit der Parametergleichung
 
<math>\vec{x} = \begin{pmatrix} r\\0\\0 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} 0\\ \cos(\gamma)\\ \sin(\gamma) \end{pmatrix} \quad (r\ und\ \gamma\ const.)</math>  
 
erzeugt bei Rotation um die z-Achse das Rotationshyperboloid
 
<math>\vec{x} = \begin{pmatrix} r \cos(v)\\ r \sin(v)\\ 0 \end{pmatrix} + u \begin{pmatrix} - \cos(\gamma) \sin (v)\\ \cos(\gamma) \cos(v)\\ \sin(\gamma) \end{pmatrix} </math>.


== Siehe auch ==
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Rotationshyperboloid}}
* {{WikipediaDE|Rotationsellipsoid}}
* {{WikipediaDE|Rotationsparaboloid}}
* {{WikipediaDE|Hyperboloid}}
* {{WikipediaDE|Ellipsoid}}
* {{WikipediaDE|Paraboloid}}
== Literatur ==
* ''Rotationshyperboloid.'' In: Klaus-Jürgen Schneider, Rüdiger Wormuth (Hrsg.): ''Baulexikon. Erläuterung wichtiger Begriffe des Bauwesens.'' 2., erweiterte Auflage. Bauwerk u. a., Berlin 2009, ISBN 978-3-89932-159-3.


[[Kategorie:Rotationskörper]]
[[Kategorie:Raumgeometrie]]
[[Kategorie:Fläche (Mathematik)]]
[[Kategorie:Fläche (Mathematik)]]


{{Wikipedia}}
{{Wikipedia}}

Version vom 10. April 2018, 14:03 Uhr

Eine rotierte Parabel ergibt einen Rotationsparaboloid

Ein Rotationsparaboloid ist in der Mathematik eine Rotationsfläche, die durch Rotation einer Parabel um ihre Symmetrieachse entsteht.

Beispiele aus dem täglichen Leben sind Reflektoren von Scheinwerfern oder Parabolspiegel der Astronomie.

Wenn man eine Flüssigkeit gleichmäßig um eine senkrechte Achse dreht, überlagern sich Schwerkraft und Fliehkraft, und die Flüssigkeitsoberfläche nimmt die Form eines Rotationsparaboloids an. So funktioniert das Quecksilber-Teleskop. Auf diese Weise kann man auch Parabolspiegel für Spiegelteleskope gießen, um danach nicht so viel Material abschleifen zu müssen, da die beim Guss erhaltene Oberfläche bereits ein Rotationsparaboloid darstellt.

Zur Verwendung von Rotationsparaboloiden als Spiegel siehe im Artikel über die sog. Parabolspiegel.

Das Rotationsparaboloid ist der rotationssymmetrische Spezialfall des elliptischen Paraboloids.

Mathematische Darstellung

Die Formeln gelten für ein Rotationsparaboloid, das von einer zur z-Achse senkrechten Ebene in der Höhe abgeschnitten wird und dort den Radius hat.

Gleichung
Brennpunkt (s. Parabel)
Volumen
Oberfläche (ohne Deckkreisfläche)
Höhe des Schwerpunkts

Siehe auch


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