Eine freie Initiative von Menschen bei anthrowiki.at, anthro.world, biodyn.wiki und steiner.wiki mit online Lesekreisen, Übungsgruppen, Vorträgen ... |
Wie Sie die Entwicklung von AnthroWiki durch Ihre Spende unterstützen können, erfahren Sie hier. |
Use Google Translate for a raw translation of our pages into more than 100 languages. Please note that some mistranslations can occur due to machine translation. |
Solidarität und Fibonacci-Folge: Unterschied zwischen den Seiten
imported>Joachim Stiller |
imported>Joachim Stiller |
||
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
[[Datei: | [[Datei:FibonacciBlocks.svg|mini|Kachelmuster aus Quadraten, deren Kantenlängen der Fibonacci-Folge entsprechen]] | ||
''' | Die '''Fibonacci-Folge''' ist die unendliche [[Folge (Mathematik)|Folge]] von [[Natürliche Zahl|natürlichen Zahlen]], die (ursprünglich) mit zweimal der Zahl 1 beginnt oder (häufig, in moderner Schreibweise) zusätzlich mit einer führenden Zahl 0 versehen ist.<ref name=OESI2C>{{OEIS|A000045}}</ref> Im Anschluss ergibt jeweils die Summe zweier aufeinanderfolgender Zahlen die unmittelbar danach folgende Zahl: | ||
{| | |||
| [[Datei:Fibonacci sequence - optional starting with zero.jpg|links|0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …]] | |||
|} | |||
Die darin enthaltenen Zahlen heißen '''Fibonacci-Zahlen.''' Benannt ist die Folge nach [[Leonardo Fibonacci]], der damit im Jahr 1202 das Wachstum einer Kaninchenpopulation beschrieb. Die Folge war aber schon in der Antike sowohl den [[Antikes Griechenland|Griechen]] als auch den [[Indien|Indern]] bekannt.<ref>{{Cite journal |first=Parmanand |last=Singh |title=The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India |journal=Historia Mathematica |volume=12 |issue=3 |pages=229–244 |year=1985 |doi=10.1016/0315-0860(85)90021-7}}</ref> | |||
Weitere Untersuchungen zeigten, dass die Fibonacci-Folge auch noch zahlreiche andere [[#Fibonacci-Folgen in der Natur|Wachstumsvorgänge der Pflanzen]] beschreibt. Es scheint, als sei sie eine Art Wachstumsmuster in der Natur.<ref name=GoSecEu>Ruben Stelzner (in Zusammenarbeit mit Wolfgang Schad): ''[http://www.golden-section.eu/kapitel5.html Der Goldene Schnitt. Das Mysterium der Schönheit.]'' In: ''golden-section.eu.'' Abgerufen am 26. Oktober 2015.</ref> | |||
Die Fibonacci-Zahlen weisen einige bemerkenswerte mathematische Besonderheiten auf: | |||
* | * Aufgrund der [[#Beziehungen zwischen den Folgegliedern|Beziehung zur vorherigen und zur folgenden Zahl]] scheint Wachstum in der Natur einem Additionsgesetz zu folgen. | ||
* Die Fibonacci-Folge steht in einem unmittelbaren [[#Verwandtschaft mit dem Goldenen Schnitt|Zusammenhang zum Goldenen Schnitt]]. Je weiter man in der Folge fortschreitet, desto mehr nähert sich der [[Quotient]] aufeinanderfolgender Zahlen dem [[Goldener Schnitt|Goldenen Schnitt]] (1,618033…) an (beispielsweise 13:8=1,6250; 21:13≈1,6154; 34:21≈1,6190; 55:34≈1,6176; etc). | |||
* | * Diese Annäherung ist alternierend, d. h. die Quotienten sind abwechselnd kleiner und größer als der Goldene Schnitt.<ref name=GoSecEu /> | ||
== Definition der Fibonacci-Folge == | |||
Die Fibonacci-Folge <math>f_1,\,f_2,\,f_3,\ldots</math> ist durch das [[Rekursion|rekursive]] Bildungsgesetz | |||
: <math>f_n = f_{n-1} + f_{n-2}</math> für <math>n > 2</math> | |||
mit den Anfangswerten | |||
: <math>f_1 = f_2 = 1</math> | |||
definiert. Das bedeutet in Worten: | |||
* Für die beiden ersten Zahlen wird der Wert ''eins'' vorgegeben. | |||
* Jede weitere Zahl ist die Summe ihrer beiden Vorgänger in der Folge. | |||
Daraus ergibt sich: | |||
:{| class="wikitable" style="text-align:right" | |||
! n | |||
! ''f''<sub>n</sub> | |||
! style="border-left:medium solid" |n | |||
! ''f''<sub>n</sub> | |||
! style="border-left:medium solid" |n | |||
! ''f''<sub>n</sub> | |||
! style="border-left:medium solid" |n | |||
! ''f''<sub>n</sub> | |||
! style="border-left:medium solid" |n | |||
! ''f''<sub>n</sub> | |||
|- | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 1 || style="border-right:medium solid" | 1 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 11 || style="border-right:medium solid" | 89 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 21 || style="border-right:medium solid" | 10 946 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 31 || style="border-right:medium solid" | 1 346 269 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 41 || 165 580 141 | |||
|- | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 2 || style="border-right:medium solid" | 1 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 12 || style="border-right:medium solid" | 144 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 22 || style="border-right:medium solid" | 17 711 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 32 || style="border-right:medium solid" | 2 178 309 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 42 || 267 914 296 | |||
|- | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 3 || style="border-right:medium solid" | 2 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 13 || style="border-right:medium solid" | 233 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 23 || style="border-right:medium solid" | 28 657 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 33 || style="border-right:medium solid" | 3 524 578 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 43 || 433 494 437 | |||
|- | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 4 || style="border-right:medium solid" | 3 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 14 || style="border-right:medium solid" | 377 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 24 || style="border-right:medium solid" | 46 368 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 34 || style="border-right:medium solid" | 5 702 887 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 44 || 701 408 733 | |||
|- | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 5 || style="border-right:medium solid" | 5 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 15 || style="border-right:medium solid" | 610 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 25 || style="border-right:medium solid" | 75 025 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 35 || style="border-right:medium solid" | 9 227 465 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 45 || 1 134 903 170 | |||
|- | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 6 || style="border-right:medium solid" | 8 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 16 || style="border-right:medium solid" | 987 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 26 || style="border-right:medium solid" | 121 393 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 36 || style="border-right:medium solid" | 14 930 352 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 46 || 1 836 311 903 | |||
|- | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 7 || style="border-right:medium solid" | 13 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 17 || style="border-right:medium solid" | 1 597 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 27 || style="border-right:medium solid" | 196 418 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 37 || style="border-right:medium solid" | 24 157 817 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 47 || 2 971 215 073 | |||
|- | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 8 || style="border-right:medium solid" | 21 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 18 || style="border-right:medium solid" | 2 584 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 28 || style="border-right:medium solid" | 317 811 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 38 || style="border-right:medium solid" | 39 088 169 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 48 || 4 807 526 976 | |||
|- | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 9 || style="border-right:medium solid" | 34 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 19 || style="border-right:medium solid" | 4 181 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 29 || style="border-right:medium solid" | 514 229 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 39 || style="border-right:medium solid" | 63 245 986 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 49 || 7 778 742 049 | |||
|- | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 10 || style="border-right:medium solid" | 55 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 20 || style="border-right:medium solid" | 6 765 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 30 || style="border-right:medium solid" | 832 040 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 40 || style="border-right:medium solid" | 102 334 155 | |||
| style="padding:0ex 2ex 0ex 1ex;"| 50 || 12 586 269 025 | |||
|- | |||
|} | |||
Aus der Forderung, dass die Rekursion | |||
: <math>f_n = f_{n-1} + f_{n-2}</math> | |||
auch für ganze Zahlen <math>n \leq 2</math> gelten soll, erhält man eine eindeutige Fortsetzung auf den Index 0 und auf negative Indizes. Es gilt: | |||
== | : <math>f_0 = 0</math> | ||
: <math>f_{-n} = (-1)^{n+1} f_n</math> für alle <math>n > 0</math> | |||
Die so erweiterte Fibonacci-Folge lautet dann | |||
: <math>\ldots,\;-8,\;5,\;-3,\;2,\;-1,\;1,\;0,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;\ldots</math> | |||
Darüber hinaus ist eine [[Verallgemeinerte Fibonacci-Folge|Verallgemeinerung der Fibonacci-Zahlen]] auf [[komplexe Zahl]]en, [[proendliche Zahl]]en<ref>Hendrik Lenstra: [http://www.math.leidenuniv.nl/~hwl/papers/fibo.pdf ''Profinite Fibonacci numbers''.] (PDF)</ref> und auf [[Vektorraum|Vektorräume]] möglich. | |||
== Eigenschaften == | |||
==== | === Beziehungen zwischen den Folgegliedern === | ||
[[Identitätsgleichung|Identitäten]]: | |||
* <math>f_{m+n} = f_{n+1} \; f_m + f_n \; f_{m-1}</math> | |||
* <math>f_{m+n} = f_n\; L_m + (-1)^{m+1} \; f_{n-m}</math> mit der [[Lucas-Folge]] <math>L_m=f_{m+1}+\;f_{m-1}=\Phi^m+\Psi^m</math>, insbesondere: | |||
* <math>f_{2n} = f_n\; L_n = f_n\; (f_{n+1}+f_{n-1})</math> | |||
* <math>f_{2n+1} = f_n^2 + f_{n+1}^2</math> | |||
* <math>f_{n}^2 - f_{n+k} \; f_{n-k}=(-1)^{n-k} f_{k}^2</math> (Identität von [[Eugène Charles Catalan|Catalan]]) | |||
* <math>f_{n+1} \; f_{n-1} - f_{n}^2=(-1)^{n} </math> (Identität von [[Giovanni Domenico Cassini|Cassini]], Spezialfall der Catalan-Identität) | |||
* <math>f_{m} \; f_{n+1} - f_{n} \; f_{m+1}=(-1)^{n} f_{m-n} </math> (Identität von [[Philbert Maurice d’Ocagne|d’Ocagne]]) | |||
= | [[Teilbarkeit]]: | ||
* | * <math>\operatorname{ggT}(f_m,f_n)=f_{\operatorname{ggT}(m,n)}</math> | ||
* | * Je zwei benachbarte Fibonaccizahlen sind teilerfremd, d. h. <math>\operatorname{ggT}(f_n,f_{n+1})=1</math>. | ||
* | * <math>m\mid n\Rightarrow f_m\mid f_n</math>; für <math>m>2</math> gilt auch die Umkehrung. Insbesondere kann <math>f_n</math> für <math>n>4</math> nur dann eine [[Primzahl]] sein, wenn <math>n</math> eine Primzahl ist. | ||
* | * <math>2 \mid f_n \Leftrightarrow 3 \mid n</math> (Genau jede dritte Fibonacci-Zahl ist durch 2 teilbar.) | ||
* <math>3 \mid f_n \Leftrightarrow 4 \mid n</math> (Genau jede vierte Fibonacci-Zahl ist durch 3 teilbar.) | |||
* <math>4 \mid f_n \Leftrightarrow 6 \mid n</math> (Genau jede sechste Fibonacci-Zahl ist durch 4 teilbar.) | |||
* <math>5 \mid f_n \Leftrightarrow 5 \mid n</math> (Genau jede fünfte Fibonacci-Zahl ist durch 5 teilbar.) | |||
* <math>7 \mid f_n \Leftrightarrow 8 \mid n</math> (Genau jede achte Fibonacci-Zahl ist durch 7 teilbar.) | |||
* <math>16 \mid f_n \Leftrightarrow 12 \mid n</math> (Genau jede zwölfte Fibonacci-Zahl ist durch 16 teilbar.)<ref>Nicolai N. Vorobiev: ''Fibonacci Numbers.'' Birkhäuser, Basel 2002. ISBN 3-7643-6135-2. S. 59, [http://books.google.de/books?id=uVE_LiXbSpoC&pg=PA59#v=onepage&q&f=false Online-Version].</ref> | |||
:Für die Teilbarkeit durch Primzahlen <math>p</math> gilt unter Verwendung des [[Quadratischer Rest#Legendre- und Jacobi-Symbol|Jacobi-Symbols]]: | |||
* <math>p \mid f_{p-1} \Leftrightarrow \left(\frac{5}{p}\right)=1</math> | |||
* <math>p \mid f_{p+1} \Leftrightarrow \left(\frac{5}{p}\right)=-1</math><ref>[http://sternenreise.com/Verschiedenes/Fibonacci-Teilbarkeit.pdf PDF.] Bei: ''sternenreise.com.''</ref> | |||
[[Reihe (Mathematik)|Reihen]]: | |||
* <math>\sum_{i=0}^{n} f_i = f_{n+2}-1</math> | |||
* <math>\sum_{i=1}^{2n} (-1)^{i-1} \; f_i = -f_{2n-1}+1</math> | |||
* <math>\sum_{i=1}^{2n+1} (-1)^{i-1} \; f_i = f_{2n}+1</math> | |||
* <math>\sum_{i=1}^{n} f_i^2 = f_n \; f_{n+1}</math> | |||
* <math>\sum_{i=1}^{n} f_{2i-1} = f_{2n}</math> | |||
* <math>\sum_{i=1}^{n} f_{2i} = f_{2n+1}-1</math> | |||
Es gibt noch zahlreiche weitere derartige Formeln. | |||
=== Verwandtschaft mit dem Goldenen Schnitt === | |||
Wie von [[Johannes Kepler]] festgestellt wurde, nähert sich der [[Quotient]] zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen dem [[Goldener Schnitt|Goldenen Schnitt]] <math>\Phi</math> an. Dies folgt unmittelbar aus der [[Fibonacci-Folge#Näherungsformel für große Zahlen|Näherungsformel]] für große <math>n:</math> | |||
:<math>\lim_{n \to \infty}\frac {f_{n+1}}{f_n} = \lim_{n \to \infty}{\Phi^{n+1}\over\Phi^n} = \Phi \approx 1{,}618\ldots</math> | |||
Diese Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen haben eine bemerkenswerte [[Kettenbruch]]darstellung: | |||
:<math>\frac{1}{1} = 1 \qquad \frac{2}{1} = 1+\frac{1}{1} \qquad \frac{3}{2} = 1+\frac{1}{1+ \frac{1}{1}} \qquad \frac{5}{3} = 1+\frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1}}} \qquad \frac{8}{5} = 1+\frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1}}}}</math> | |||
Da diese Quotienten im Grenzwert gegen den goldenen Schnitt konvergieren, lässt sich dieser als der unendliche Kettenbruch | |||
:<math>\Phi = 1+\cfrac{1}{1+ \cfrac{1}{1+ \cfrac{1}{1+ \cfrac{1}{1+\dotsb}}}}</math> | |||
darstellen. | |||
Die Zahl <math>\Phi</math> ist [[irrationale Zahl|irrational]]. Das bedeutet, dass sie sich nicht durch ein Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellen lässt. Am besten lässt sich <math>\Phi</math> durch Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen approximieren. Dies gilt auch für verallgemeinerte Fibonaccifolgen, bei denen <math>f_0</math> und <math>f_1</math> beliebige natürliche Zahlen annehmen. | |||
=== Zeckendorf-Theorem === | |||
Das nach [[Edouard Zeckendorf]] benannte Zeckendorf-Theorem besagt, dass jede natürliche Zahl <math>n > 0</math> eindeutig als Summe voneinander verschiedener, nicht direkt aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen geschrieben werden kann. Das heißt, es gibt für jedes <math>n \in \mathbb{N}, n > 0</math> eine eindeutige Darstellung der Form | |||
:<math>n = \sum_{i=2}^{k} c_i f_i</math> mit <math>c_i\in \{0, 1\}</math> und <math>c_ic_{i+1}=0</math> für alle <math>i</math>. | |||
Die entstehende Folge <math>(c)_i</math> von Nullen und Einsen wird Zeckendorf-Sequenz genannt. Da aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen ausgeschlossen sind, können keine zwei Einsen in einer Zeckendorf-Sequenz unmittelbar hintereinander stehen. | |||
Allgemeiner ist die verwandte Aussage, dass sich jede ''ganze'' Zahl ''z'' eindeutig als Summe verschiedener, nicht direkt aufeinanderfolgender ''negaFibonacci''-Zahlen (<math>f_{-k}</math> mit <math>k\geq 1</math>) darstellen lässt: | |||
:<math>z = \sum_{i=1}^{k} c_i f_{-i}</math> mit <math>c_i\in \{0, 1\}</math> und <math>c_ic_{i+1}=0</math> für alle <math>i</math>. | |||
So wäre zum Beispiel <math>-2 = f_{-1} + f_{-4} = 1-3</math> als Binärsequenz <code>1001</code> darstellbar.<ref>{{Literatur |Autor=Donald E. Knuth |Titel=The Art Of Computer Programming Vol. IV}}</ref> | |||
== Zu weiteren Themen siehe auch == | |||
* {{WikipediaDE|Fibonacci-Folge}} | |||
== Siehe auch == | == Siehe auch == | ||
* {{WikipediaDE| | * {{WikipediaDE|Fibonacci-Folge}} | ||
== Literatur == | == Literatur == | ||
* | * John H. Conway, Richard K. Guy: ''The Book of Numbers.'' Copernicus NY 1996, ISBN 0-387-97993-X. | ||
* | * Richard A. Dunlap: ''The Golden Ratio and Fibonacci Numbers.'' 2. Auflage. World Scientific, Singapur, 1999, ISBN 981-02-3264-0. | ||
* Huberta Lausch: ''Fibonacci und die Folge(n).'' Oldenbourg 2010, ISBN 978-3-486-58910-8. | |||
* Paulo Ribenboim: ''The New Book of Prime Number Records.'' Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94457-5. | |||
* | * [http://www.fq.math.ca/list-of-issues.html ''The Fibonacci Quarterly.''] Seit 1963 vierteljährlich erscheinende Zeitschrift, die sich der Fibonacci- und verwandten Folgen widmet. | ||
* | |||
* | |||
== Weblinks == | == Weblinks == | ||
{{ | {{Wikibooks|Algorithmensammlung: Zahlentheorie: Fibonacci-Folge}} | ||
{{ | {{Commonscat|Fibonacci numbers}} | ||
* [http://www.ijon.de/mathe/fibonacci/index.html Fibonacci-Zahlen] – sehr ausführliche Seite mit weiterführenden Themen | |||
* [http://www. | * [http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html Fibonacci Numbers and the Golden Section] (englisch) | ||
* [ | * [http://chorgiessen.altervista.org/jab/goldfibo/goldfibo.pdf Fibonacci und der Goldene Schnitt] (PDF; 1,22 MB) | ||
* | * Video: [https://www.br.de/fernsehen/ard-alpha/sendungen/mathematik-zum-anfassen/mathematik-zum-anfassen-fibonacci-zahlen100.html Die Fibonacci-Zahlen] (aus der Fernsehsendung ''Mathematik zum Anfassen'' des Senders BR-alpha) von Albrecht Beutelspacher | ||
* [http://milan.milanovic.org/math/ Fibonacci Numbers and the Pascal Triangle] (englisch, deutsch, serbisch) | |||
* [https://www.youtube.com/watch?v=R8w4l3f3g58 Die Fibonacci-Zahlen und ihre Bedeutung in der Natur] YouTube | |||
== Einzelnachweise == | == Einzelnachweise == | ||
<references /> | <references /> | ||
{{SORTIERUNG:Fibonaccifolge}} | |||
[[Kategorie:Folgen und Reihen]] | |||
{{SORTIERUNG: | [[Kategorie:Zahlentheorie]] | ||
[[Kategorie: | [[Kategorie:Biologie]] | ||
[[Kategorie: | [[Kategorie:Goldener Schnitt]] | ||
[[Kategorie: | [[Kategorie:Rekursionsgleichungen und -folgen]] | ||
[[Kategorie: | |||
[[Kategorie: | |||
{{Wikipedia}} | {{Wikipedia}} |
Version vom 19. Juni 2022, 01:07 Uhr
Die Fibonacci-Folge ist die unendliche Folge von natürlichen Zahlen, die (ursprünglich) mit zweimal der Zahl 1 beginnt oder (häufig, in moderner Schreibweise) zusätzlich mit einer führenden Zahl 0 versehen ist.[1] Im Anschluss ergibt jeweils die Summe zweier aufeinanderfolgender Zahlen die unmittelbar danach folgende Zahl:
Die darin enthaltenen Zahlen heißen Fibonacci-Zahlen. Benannt ist die Folge nach Leonardo Fibonacci, der damit im Jahr 1202 das Wachstum einer Kaninchenpopulation beschrieb. Die Folge war aber schon in der Antike sowohl den Griechen als auch den Indern bekannt.[2]
Weitere Untersuchungen zeigten, dass die Fibonacci-Folge auch noch zahlreiche andere Wachstumsvorgänge der Pflanzen beschreibt. Es scheint, als sei sie eine Art Wachstumsmuster in der Natur.[3]
Die Fibonacci-Zahlen weisen einige bemerkenswerte mathematische Besonderheiten auf:
- Aufgrund der Beziehung zur vorherigen und zur folgenden Zahl scheint Wachstum in der Natur einem Additionsgesetz zu folgen.
- Die Fibonacci-Folge steht in einem unmittelbaren Zusammenhang zum Goldenen Schnitt. Je weiter man in der Folge fortschreitet, desto mehr nähert sich der Quotient aufeinanderfolgender Zahlen dem Goldenen Schnitt (1,618033…) an (beispielsweise 13:8=1,6250; 21:13≈1,6154; 34:21≈1,6190; 55:34≈1,6176; etc).
- Diese Annäherung ist alternierend, d. h. die Quotienten sind abwechselnd kleiner und größer als der Goldene Schnitt.[3]
Definition der Fibonacci-Folge
Die Fibonacci-Folge ist durch das rekursive Bildungsgesetz
- für
mit den Anfangswerten
definiert. Das bedeutet in Worten:
- Für die beiden ersten Zahlen wird der Wert eins vorgegeben.
- Jede weitere Zahl ist die Summe ihrer beiden Vorgänger in der Folge.
Daraus ergibt sich:
n fn n fn n fn n fn n fn 1 1 11 89 21 10 946 31 1 346 269 41 165 580 141 2 1 12 144 22 17 711 32 2 178 309 42 267 914 296 3 2 13 233 23 28 657 33 3 524 578 43 433 494 437 4 3 14 377 24 46 368 34 5 702 887 44 701 408 733 5 5 15 610 25 75 025 35 9 227 465 45 1 134 903 170 6 8 16 987 26 121 393 36 14 930 352 46 1 836 311 903 7 13 17 1 597 27 196 418 37 24 157 817 47 2 971 215 073 8 21 18 2 584 28 317 811 38 39 088 169 48 4 807 526 976 9 34 19 4 181 29 514 229 39 63 245 986 49 7 778 742 049 10 55 20 6 765 30 832 040 40 102 334 155 50 12 586 269 025
Aus der Forderung, dass die Rekursion
auch für ganze Zahlen gelten soll, erhält man eine eindeutige Fortsetzung auf den Index 0 und auf negative Indizes. Es gilt:
- für alle
Die so erweiterte Fibonacci-Folge lautet dann
Darüber hinaus ist eine Verallgemeinerung der Fibonacci-Zahlen auf komplexe Zahlen, proendliche Zahlen[4] und auf Vektorräume möglich.
Eigenschaften
Beziehungen zwischen den Folgegliedern
- mit der Lucas-Folge , insbesondere:
- (Identität von Catalan)
- (Identität von Cassini, Spezialfall der Catalan-Identität)
- (Identität von d’Ocagne)
- Je zwei benachbarte Fibonaccizahlen sind teilerfremd, d. h. .
- ; für gilt auch die Umkehrung. Insbesondere kann für nur dann eine Primzahl sein, wenn eine Primzahl ist.
- (Genau jede dritte Fibonacci-Zahl ist durch 2 teilbar.)
- (Genau jede vierte Fibonacci-Zahl ist durch 3 teilbar.)
- (Genau jede sechste Fibonacci-Zahl ist durch 4 teilbar.)
- (Genau jede fünfte Fibonacci-Zahl ist durch 5 teilbar.)
- (Genau jede achte Fibonacci-Zahl ist durch 7 teilbar.)
- (Genau jede zwölfte Fibonacci-Zahl ist durch 16 teilbar.)[5]
- Für die Teilbarkeit durch Primzahlen gilt unter Verwendung des Jacobi-Symbols:
Es gibt noch zahlreiche weitere derartige Formeln.
Verwandtschaft mit dem Goldenen Schnitt
Wie von Johannes Kepler festgestellt wurde, nähert sich der Quotient zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen dem Goldenen Schnitt an. Dies folgt unmittelbar aus der Näherungsformel für große
Diese Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen haben eine bemerkenswerte Kettenbruchdarstellung:
Da diese Quotienten im Grenzwert gegen den goldenen Schnitt konvergieren, lässt sich dieser als der unendliche Kettenbruch
darstellen.
Die Zahl ist irrational. Das bedeutet, dass sie sich nicht durch ein Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellen lässt. Am besten lässt sich durch Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen approximieren. Dies gilt auch für verallgemeinerte Fibonaccifolgen, bei denen und beliebige natürliche Zahlen annehmen.
Zeckendorf-Theorem
Das nach Edouard Zeckendorf benannte Zeckendorf-Theorem besagt, dass jede natürliche Zahl eindeutig als Summe voneinander verschiedener, nicht direkt aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen geschrieben werden kann. Das heißt, es gibt für jedes eine eindeutige Darstellung der Form
- mit und für alle .
Die entstehende Folge von Nullen und Einsen wird Zeckendorf-Sequenz genannt. Da aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen ausgeschlossen sind, können keine zwei Einsen in einer Zeckendorf-Sequenz unmittelbar hintereinander stehen.
Allgemeiner ist die verwandte Aussage, dass sich jede ganze Zahl z eindeutig als Summe verschiedener, nicht direkt aufeinanderfolgender negaFibonacci-Zahlen ( mit ) darstellen lässt:
- mit und für alle .
So wäre zum Beispiel als Binärsequenz 1001
darstellbar.[7]
Zu weiteren Themen siehe auch
- Fibonacci-Folge - Artikel in der deutschen Wikipedia
Siehe auch
- Fibonacci-Folge - Artikel in der deutschen Wikipedia
Literatur
- John H. Conway, Richard K. Guy: The Book of Numbers. Copernicus NY 1996, ISBN 0-387-97993-X.
- Richard A. Dunlap: The Golden Ratio and Fibonacci Numbers. 2. Auflage. World Scientific, Singapur, 1999, ISBN 981-02-3264-0.
- Huberta Lausch: Fibonacci und die Folge(n). Oldenbourg 2010, ISBN 978-3-486-58910-8.
- Paulo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records. Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94457-5.
- The Fibonacci Quarterly. Seit 1963 vierteljährlich erscheinende Zeitschrift, die sich der Fibonacci- und verwandten Folgen widmet.
Weblinks
- Fibonacci-Zahlen – sehr ausführliche Seite mit weiterführenden Themen
- Fibonacci Numbers and the Golden Section (englisch)
- Fibonacci und der Goldene Schnitt (PDF; 1,22 MB)
- Video: Die Fibonacci-Zahlen (aus der Fernsehsendung Mathematik zum Anfassen des Senders BR-alpha) von Albrecht Beutelspacher
- Fibonacci Numbers and the Pascal Triangle (englisch, deutsch, serbisch)
- Die Fibonacci-Zahlen und ihre Bedeutung in der Natur YouTube
Einzelnachweise
- ↑ Folge A000045 in OEIS
- ↑ Parmanand Singh: The So-called Fibonacci numbers in ancient and medieval India. In: Historia Mathematica. 12, Nr. 3, 1985, S. 229–244. doi:10.1016/0315-0860(85)90021-7.
- ↑ 3,0 3,1 Ruben Stelzner (in Zusammenarbeit mit Wolfgang Schad): Der Goldene Schnitt. Das Mysterium der Schönheit. In: golden-section.eu. Abgerufen am 26. Oktober 2015.
- ↑ Hendrik Lenstra: Profinite Fibonacci numbers. (PDF)
- ↑ Nicolai N. Vorobiev: Fibonacci Numbers. Birkhäuser, Basel 2002. ISBN 3-7643-6135-2. S. 59, Online-Version.
- ↑ PDF. Bei: sternenreise.com.
- ↑ Donald E. Knuth: The Art Of Computer Programming Vol. IV.
Dieser Artikel basiert (teilweise) auf dem Artikel Fibonacci-Folge aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Lizenz Creative Commons Attribution/Share Alike. In Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar. |