Darstellende Geometrie und Neurophysiologe: Unterschied zwischen den Seiten

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'''Darstellende Geometrie''' ist der Teilbereich der [[Geometrie]], der sich mit den geometrisch-konstruktiven Verfahren von Projektionen dreidimensionaler Objekte auf eine zweidimensionale Darstellungsebene befasst. Die Anwendungsbereiche ihrer Methoden sind breit gefächert und erstrecken sich neben den heute bekanntesten Anwendungen in der Technik- und Architekturdarstellung auch auf Kunst, Malerei, Kartenwesen und Computergraphik. Die Darstellende Geometrie beschränkt sich nicht nur auf das Darstellen von räumlichen Objekten, sondern bietet auch Möglichkeiten raumgeometrische Probleme zeichnerisch zu lösen: z. B. die Bestimmung des Schnittpunktes einer Gerade mit einer Ebene oder die Schnittkurve zweier Flächen oder den Schatten eines Objektes.
#WEITERLEITUNG [[Neurophysiologie]]
[[Datei:Haus-p1-p2-s.svg|mini|Auf- und Seitenriss eines Hauses]]
[[Datei:Haus-p3-z1-s.svg|mini|a) senkr. Parallelprojektion<br />b) Zentralprojektion eines Hauses]]
[[Datei:Cube-parallel-proj-s.svg|250px|mini|Parallelprojektion eines Würfels: a) orthogonal, b) schief]]
[[Datei:Cube-central-proj-s.svg|200px|mini|Zentralprojektion eines Würfels]]
[[Datei:Haeuserreihe-s.svg|250px|mini|Parallelprojektion bzw. Zentralprojektion einer Häuserreihe]]
 
Im Gegensatz zu früher (s. [[#Weblinks|Weblink ''Gangolf Delabar'']]) ist die Darstellende Geometrie nicht mehr das einzige Mittel, um räumliche Objekte anschaulich darzustellen oder raumgeometrische Probleme zu lösen. Hierfür verwendet man heute Computer (s. [[#Weblinks|Weblinks]] und [[Geometrische Modellierung]]). Die Bedeutung der Darstellenden Geometrie liegt heute vielmehr im Training der Benutzer geometrischer Software, damit sie verstehen, was eine Software kann und an Eingaben verlangt. Für erste Skizzen einer (räumlichen) Idee oder Interpretationen und Ergänzungen von Computerzeichnungen ist das Zeichnen mit Zirkel und Lineal eine hervorragende Übung.
 
Bei der Darstellung räumlicher Objekte in einer Zeichenebene spielen zwei konkurrierende Gesichtspunkte eine wesentliche Rolle. Will man Maßgenauigkeit erreichen, so ist dies meistens nur unter Verlust von Anschaulichkeit möglich. Z.&nbsp;B. lassen die beiden folgenden Bilder eines Hauses leicht auf Länge, Breite und Höhe schließen; sie sind aber nicht sehr anschaulich.
Dagegen bringen die nächsten beiden Bilder den räumlichen Eindruck mehr zur Geltung. Genaue Abmessungen lassen sich aber (insbesondere aus dem rechten Bild) nur schwer ablesen.
 
== Abbildungsverfahren ==
In der Darstellenden Geometrie bedient man sich im Wesentlichen zweier Abbildungsverfahren. Dabei werden Punkte und Kurven eines Objektes mit Hilfe von Strahlen (Geraden) auf eine Bildtafel (Ebene) projiziert:
 
=== Parallelprojektion ===
Die Abbildungsstrahlen sind parallel, wie z.&nbsp;B. beim Sonnenlicht. Dabei unterscheidet man noch die beiden Fälle:
* Die Strahlen stehen ''senkrecht'' auf der Bildtafel (''senkrechte Parallelprojektion'' oder [[Orthogonalprojektion]] oder Normalprojektion).
* Die Strahlen stehen ''nicht senkrecht'' zur Bildtafel (''schiefe'' oder ''schräge Parallelprojektion'').
[[Parallelprojektion]]en werden gerne von Ingenieuren verwendet wegen ihrer [[Teilverhältnis|Teilverhältnistreue]] (Teilverhältnisse auf Geraden bleiben invariant). Der Spezialfall [[Axonometrie|Vogelperspektive]] ist eine schiefe Parallelprojektion, die insbesondere zur Veranschaulichung von Stadtplänen verwendet wird. Sie lässt sich relativ einfach von Hand herstellen. Parallelprojektionen lassen sich schnell als [[Axonometrie|axonometrische Bilder]] oder bei umfangreicheren Objekten mit Hilfe des [[Einschneideverfahren|Einschneideverfahrens]] herstellen.
 
Für fast alle Konstruktionen in der Darstellenden Geometrie verwendet man Grund- und Aufriss eines Objektes. Das sind senkrechte Parallelprojektionen auf eine horizontale (Grundriss) bzw. senkrechte Ebene (Aufriss) (s. [[Zweitafelprojektion]]). Durch sie ist (mit den entsprechenden Bezeichnungen) ein Objekt räumlich eindeutig beschrieben.
 
=== Zentralprojektion ===
Alle Abbildungsstrahlen gehen durch einen Punkt, dem Projektionszentrum oder ''Augpunkt'' <math>O</math>. Bei Parallelprojektion sind die Bilder paralleler Geraden i.&nbsp;A. wieder parallel. Bei [[Zentralprojektion]]en schneiden sich die Bilder paralleler Geraden i.&nbsp;A. in einem Punkt, dem ''Fluchtpunkt'' des Parallelbüschels.
 
Dass eine Zentralprojektion den besten optischen Eindruck verschafft, zeigen die Bilder mit einer Häuserreihe. Bei dem Bild in Parallelprojektion erscheint das hintere Haus größer als das erste. Dies liegt an einer optischen Täuschung. Das Auge erkennt das Haus als räumliches Objekt und erwartet, dass ein gleich großes, entferntes Haus kleiner ist, was bei Parallelprojektion aber nicht der Fall ist.
 
=== Darstellung realer Objekte ===
Um Objekte wie Häuser, Brücken, ... in einer handlichen Zeichenebene oder auf einem Bildschirm darstellen zu können, werden die Abmessungen der Objekte üblicherweise vor einer Projektion geeignet skaliert (verkleinert), z.B. mit Faktoren 1/10, 1/50 oder 1/100.
 
== Hilfsmittel ==
=== Technische Hilfsmittel ===
Klassische Hilfsmittel bei der Erstellung von Zeichnungen sind: Papier als ebene Zeichenfläche, [[Bleistift]], [[Zirkel]], [[Lineal]], [[Geodreieck]] und [[Kurvenlineal]] als Zeichengeräte. [[Computer]] mit geeigneter [[Software]] (z.&nbsp;B. [[Cinderella (Software)|Cinderella]], [[GeoGebra]], [[Inkscape]], [[Xfig]],&nbsp;…) können heute all diese Hilfsmittel ersetzen. Manuell steuert man solch einen graphikfähigen Computer mit einer [[Maus (Computer)|Computer-Maus]]. Will man das Ergebnis ''schwarz auf weiß'' auf Papier vor sich haben, verwendet man einen computergesteuerten [[Drucker (Gerät)|Drucker]]. Allerdings werden die klassischen Hilfsmittel (ohne Computer) auch heute noch als Grundlage bei der Ausbildung von Architekten und Ingenieuren verwendet.
 
=== Theoretische Hilfsmittel ===
Als theoretische Hilfsmittel verwendet man grundlegende Aussagen aus der klassischen Geometrie: [[Strahlensätze]], die Sätze von [[Satz von Pythagoras|Pythagoras]] und [[Thaleskreis|Thales]], Sätze über [[Dreieck]]e, Sätze über [[Kegelschnitt]]e ([[Ellipse]]n,&nbsp;…), Eigenschaften von [[Quadrik]]en ([[Kugel]], [[Kegel (Geometrie)|Kegel]], [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]],&nbsp;…).
 
[[Datei:Zp-bruecke-frontal.svg|250px|mini|Zentralprojektion einer Brücke in Frontalperspektive]]
[[Datei:Zp-bruecke.svg|250px|mini|Zentralprojektion einer Brücke mit Spiegelung]]
[[Datei:Zp-schatten-lagerh.svg|250px|mini|Zentralprojektion mit Schatten bei parallelem (Sonnen-) Licht]]
[[Datei:Kegelzylinder-mantellinienverf.svg|300px|mini|Schnitt Kegel-Zylinder: [[Mantellinienverfahren]]]]
 
== Methoden der Darstellenden Geometrie ==
=== Projektionen: Zweitafelprojektion, Axonometrie, Architektenanordnung, Frontalperspektive ===
Die wichtigsten Arbeitsmittel in der Darstellenden Geometrie sind Grund- und Aufriss und deren Zuordnungen. Sie liefern die räumlichen Informationen für spezielle Darstellungen und Konstruktionen. Das Wissen darüber lernt man in
* [[Zweitafelprojektion]]: Gelegentlich ist es nötig, weitere Risse einzuführen. Man spricht dann auch von ''Umprojektionen'' und ''Mehrtafelprojektionen.''
 
Mit Grund- und Aufriss lassen sich dann mit Hilfe von
* [[Axonometrie]],
* [[Einschneideverfahren]],
* [[Orthogonale Axonometrie|Orthogonaler Axonometrie]] und
* [[Umrisskonstruktion]] (für gekrümmte Flächen; siehe hierzu auch [[Kanalfläche]]n)
anschauliche Bilder von räumlichen Objekten in Parallelprojektion herstellen.
 
Bilder in Zentralprojektion konstruiert man am besten mit der
* [[Architektenanordnung]] (ähnlich dem Einschneideverfahren für Parallelprojektionen) und der
* [[Frontalperspektive]] (Perspektive mit ''einem'' wesentlichen Fluchtpunkt, dem Hauptpunkt).
Um verzerrt wirkende Bildteile zu vermeiden, sollte man nach der Wahl der Lage von Bildtafel, Hauptpunkt und Augpunkt zunächst den
* [[Sehkreis]]
einzeichnen. Denn nur Bildteile innerhalb des Sehkreises erscheinen im perspektiven Bild unverzerrt.
 
=== Durchdringungen: Schnittpunkte und Schnittkurven ===
Eine wichtige Grundaufgabe der Darstellenden Geometrie ist die (zeichnerische) Bestimmung des Schnittpunktes einer Gerade und einer Ebene. Das Verfahren hierzu heißt
* [[Schnittpunkt (Darstellende Geometrie)#Schnittpunkt einer Gerade mit einer Ebene|Durchstoßpunkt]]-Verfahren.
: (''Rechnerische'' Verfahren zur Bestimmung eines Schnittpunktes findet man [[Schnittpunkt|hier]].)
Durchstoßpunkte werden z.&nbsp;B. benötigt bei der
* [[Schattenkonstruktion]].
 
Zu den Grundaufgaben gehören auch die Bestimmung der
* [[Schnittpunkt (Darstellende Geometrie)|Schnittpunkte einer Gerade mit Kugel, Kegel oder Zylinder]].
 
Für die Konstruktion von Punkten der Schnittkurve zweier Flächen (Zylinder, Kegel, Kugel, Torus, Rotationsfläche) gibt es vier Standardverfahren:
* das [[Hilfsebenenverfahren]],
* das [[Mantellinienverfahren]],
* das [[Pendelebenenverfahren]] und
* das [[Hilfskugelverfahren]].
: (''Rechnerische'' Verfahren zur Bestimmung einer Schnittkurve findet man [[Schnittkurve|hier]].)
 
Bei der Herstellung von Modellen sich durchdringender Zylinder und/oder Kegel werden oft aufgewickelte Abwicklungen dieser Flächen verwendet. Wie man Zylinder und Kegel abwickelt, wird in
* [[Abwicklung (Darstellende Geometrie)|Abwicklung]]
beschrieben.
 
=== Eintafelprojektionen: kotierte Projektion, Dachausmittlung ===
[[Datei:kotaufgabe01-w.svg|mini|Kotierte Projektion einer Straße mit einem Teil einer Böschungsfläche]]
Neben den Zwei- und Mehrtafelprojektionen gibt es noch spezielle [[Eintafelprojektion]]en. Dabei handelt es sich um Grundrisse mit Zusatzinformationen, die die Objekte räumlich beschreiben. Im Straßenbau verwendet man die
* [[Kotierte Projektion]], um
* [[Böschungsfläche|Böschungsflächen]] zu konstruieren und darzustellen.
Mit der Konstruktion von Grat-, Kehl- und Firstlinien (Schnittgeraden) von ebenen Dachflächen befasst sich die
* [[Dachausmittlung]].
 
=== Wahre Länge, wahre Gestalt und Rekonstruktion ===
Geneigte Strecken oder ebene Figuren in Parallelprojektionen entzerrt man mit
* [[Wahre Länge (darstellende Geometrie)|wahrer Länge]] und [[Wahre Gestalt|wahrer Gestalt]].
Analoge Methoden für Zentralprojektionen (Fotos) bietet die
* [[Rekonstruktion (Darstellende Geometrie)|Rekonstruktion]].
 
[[Datei:Zp-turm-tor.svg|mini|Zentralprojektion eines Turmes mit einem Tor (Kreise)]]
[[Datei:Zentralproj-kugel-tuerme.svg|mini|Zentralprojektion zweier Kugeln]]
=== Kreis und Kugel ===
[[Kreis]]e und [[Ellipse]]n spielen insbesondere als Berandungskurven von Objekten wie Zylindern, Kegeln und Rotationsflächen eine wichtige Rolle (s. Bilder: Turm mit Tor, Brücke in Frontalperspektive). Wie man sie mit Parallelprojektion und Zentralprojektion abbildet und anschließend zeichnet, wird in
* [[Ellipse (Darstellende Geometrie)]]
beschrieben. Wichtige Hilfsmittel dabei sind
* [[Konjugierte Durchmesser]] einer Ellipse und die
* [[Rytzsche Achsenkonstruktion]], mit der man die Hauptachsen einer Ellipse rekonstruiert, um die Ellipse schließlich mit der
* [[Ellipse (Darstellende Geometrie)#Parallelprojektion einer Ellipse|Scheitelkrümmungskreismethode]] zu zeichnen.
 
Die Darstellung einer [[Kugel]] ist bei senkrechter Parallelprojektion sehr einfach. Ihr Umriss ist ein Kreis mit dem Radius der Kugel. Bei allen anderen wesentlichen Projektionsarten, wie Vogelperspektive, Kavalierperspektive und Zentralprojektion, erscheint der Umriss einer Kugel, von Sonderfällen abgesehen, als Ellipse. Wie man die Umrissellipse einer Kugel konstruiert, wird in
* [[Kugel (Darstellende Geometrie)]]
erklärt.
[[Datei:Spiegel-zp-zimmer-tuer.svg|mini|Zimmer in Zentralprojektion mit Wandspiegel]]
 
=== Spiegelungen ===
Wie man in vorhandenen Bildern (Axonometrien oder Zentralprojektionen) Spiegelbilder von Objekten, die durch Reflexion an Wasseroberflächen oder Wandspiegeln entstehen, einzeichnet, wird in
* [[Spiegelung (Darstellende Geometrie)]]
erklärt.
 
== Spezielle Perspektiven (Ansichten) ==
[[Datei:Haus-pp-kavalier-vogel-s.svg|300px|mini|Parallelprojektion:<br />a) Grund- und Aufriss<br />b) Kavalierperspektive<br />c) Vogelperspektive]]
[[Datei:Haus-zp-frosch-vogel-s.svg|220px|mini|Zentralprojektion:<br />a) Froschperspektive<br />b) Vogelperspektive]]
[[Datei:Zp-haus-fluchtpunkte-s.svg|300px|mini|Haus mit zwei Fluchtpunkten (oben) bzw. einem Fluchtpunkt (Frontalperspektive, unten)]]
Die Grundlage für fast alle Darstellungen und Konstruktionen in der Darstellenden Geometrie sind
* '''[[Zweitafelprojektion|Grund- und Aufriss]]:''' ''Senkrechte'' Parallelprojektionen auf eine horizontale bzw. senkrechte Bildtafel.
Das Wort ''Perspektive'' wird in der Darstellenden Geometrie vielfach benutzt, um besondere anschauliche Ansichten eines räumlichen Objektes zu benennen:
* Die '''Kavalierperspektive''' oder '''Kabinettperspektive''' ist eine ''schiefe'' Parallelprojektion (s. [[Axonometrie]]) auf eine senkrechte Bildtafel. Alle ebenen Figuren, die parallel zur Bildtafel sind, werden unverzerrt abgebildet (s. Bild).
* Die '''Vogelperspektive''' oder '''Militärperspektive''' ist
: im einen Fall eine ''schiefe Parallelprojektion'' (s. [[Axonometrie]]), deren Bildtafel horizontal ist, d.&nbsp;h., alle ebenen horizontalen Figuren werden unverzerrt abgebildet (s. Bild) und
: im anderen Fall ist die Vogelperspektive eine ''Zentralprojektion,'' deren Augpunkt deutlich höher liegt als die größte Höhe des Objektes, und deren Bildtafel geneigt ist.
* Eine '''Ingenieurprojektion''' ist ein axonometrisches Bild mit einfachen Verkürzungen (0.5,&nbsp;1,&nbsp;1). Die Bilder der x- bzw. y-Achse schließen mit dem Bild der z-Achse Winkel von 132° bzw. 97° ein (s. [[Axonometrie#Ingenieurprojektion|Axonometrie]]). Ihre Vorteile sind: a)&nbsp;einfache Verkürzungen, b)&nbsp;gute Bildwirkung, c)&nbsp;(skalierte) Orthogonalprojektion, d)&nbsp;Umrisse von Kugeln sind Kreise.
* Eine '''Isometrie''' ist ein [[Axonometrie|axonometrisches Bild]], bei dem die Verzerrungen in x-, y- und z-Richtung alle gleich sind. Bei der Standardisometrie gilt außerdem: Die Bilder der Koordinatenachsen schneiden einander im Winkel von 120°. Eine typische Eigenschaft ist: In der Projektion eines achsenparallelen Würfels fallen zwei Punkte zusammen.
* Die '''[[Froschperspektive]]''' ist eine ''Zentralprojektion,'' deren Augpunkt nahe der Standebene liegt (s. Bild).
* '''Zentralperspektive''' ist eine Zentralprojektion.
* '''Perspektive''' wird oft als Kurzform für Zentralperspektive verwendet.
* '''[[Frontalperspektive]]''' ist eine Zentralprojektion eines Objektes mit drei wesentlichen zueinander orthogonalen Richtungen (z.&nbsp;B. Quader, Haus), wobei zwei dieser Richtungen parallel zur Bildtafel verlaufen und damit deren Fluchtpunkte im „Unendlichen“ liegen. Man nennt so eine Ansicht auch '''Perspektive mit einem Fluchtpunkt''' (s. Bild). Der eine besondere Fluchtpunkt ist in der Regel der Hauptpunkt. Der Vorteil einer Frontalperspektive: Alle ebenen Figuren in Ebenen parallel zur Bildtafel werden nur skaliert, aber unverzerrt, abgebildet (s. Beispiele: Brücke und Haus in Frontalperspektive).
* '''Perspektive mit zwei Fluchtpunkten''' ist eine Zentralprojektion, bei der die Fluchtpunkte zu zwei zueinander senkrechten orthogonalen Richtungen (meist horizontal) eine wesentliche Rolle spielen (s. Bild).
* '''Perspektive mit drei Fluchtpunkten''' ist eine Zentralprojektion bei der drei Fluchtpunkte eine wesentliche Rolle spielen. Hier ist die Bildtafel geneigt (s. Haus in Vogelperspektive der Zentralprojektion).
* '''Parallelperspektive''' ist eine Parallelprojektion.
* '''Polarperspektive ''' ist eine frühere Bezeichnung für Zentralprojektion (s. [[#Weblinks|Weblink ''Gangolf Delabar'']]).
 
== Ausbildung ==
[[Datei:Tower Bridge Vraneon.JPG|mini|250px|Eine Nachmodellierung der [[Tower Bridge]] mit Hilfe eines [[Computer-aided design|CAD]]-Programms]]
 
Darstellende Geometrie ist heute ein [[Unterrichtsfach]] in [[technisch]]-[[Berufsbildende Schule|berufsbildenden Schulen]] und ein grundlegendes Fach in der Ausbildung von Ingenieuren an einer [[Technische Universität|Technischen Universität]] oder [[Fachhochschule]].
 
Thema ist die Erfassung und [[Darstellung (Wiedergabe)|Darstellung]] von [[3D|räumlichen]], insbesondere technischen Strukturen (geometrische [[Körper (Geometrie)|Körper]], [[Bauwerk]]e, Darstellung des [[Gelände (Kartografie)|Geländes]] usw).
 
Wichtigste Hilfsmittel sind [[Konstruktion (Technik)|Konstruktionszeichnungen]], [[Perspektive]] (Zentralprojektion), [[Axonometrie]], [[Kotierte Projektion]] und Ähnliches. Neben dem Erlernen von [[Zeichentechnik]]en sollen die räumliche [[Vorstellungskraft]] und Ausdrucksweise gefördert sowie Querverbindungen zu [[Mathematik]], zur [[Technik]] und zur [[Bildende Kunst|Bildenden Kunst]] hergestellt werden.
 
Noch bis in die 2000er Jahre ein rein graphisches Fach (angewandtes [[geometrisches Zeichnen]]), ist es heute in weiten Bereichen eines der [[Computergrafik]].
In den letzten Jahren hatte die Bedeutung des Faches zwar nicht generell, aber in der Ausbildung abgenommen, weil die computergestützte Konstruktion (CAD) andere Fertigkeiten verlangt als die zeichnerische Darstellung von Hand.<ref>[http://www.igpm.rwth-aachen.de/puetz/pub/igpm203.pdf PDF] bei: ''igpm.rwth-aachen.de.''</ref> Seit auch Schulen gut mit Computern im Unterricht ausgestattet sind, gehört das Fach wieder zu den bedeutendsten technischen Grundlagenausbildungen überhaupt und umfasst auch das Erlernen zugehöriger Programme&nbsp;– im Allgemeinen marktführender Spezial-CAD-Anwendungen der Branche.
 
Die eigentliche Denkarbeit, das Umsetzen der 2D-Darstellung (ob Papier oder Bildschirm) in ein 3D-(Denk-)Modell bleibt auch bei Benutzung von CAD dem Konstrukteur oder Entwerfer erhalten. Dagegen wird es schwieriger, räumliche Konstruktionsprobleme (z.&nbsp;B. Anschlussprofile bei schrägen Anschnitten) zu erkennen, wenn (und weil) man sich auf die Software verlässt.
 
{{Zitat|Darstellende Geometrie ist nicht in einem oberflächlichen Sinn Voraussetzung, ein CAD-Programm zu beherrschen. Sie zu üben, ist vielmehr eine Primärerfahrung, indem die räumliche Vorstellungskraft, das Abschätzen und Auswählen von Lösungsstrategien und die Präzision des Denkens trainiert werden.||Prof. Horst Sondermann, Hochschule für Technik Stuttgart}}
 
== Zur Geschichte der Darstellenden Geometrie ==
[[Datei:Greekhse1.jpg|mini|[[Vitruv]]ius: Grundriss eines griechischen Hauses]]
[[Datei:Durer foot.jpg|mini|A. Dürer: Grund-, Auf- und Kreuzriss eines Fußes]]
[[Datei:Dürer-Hieronymus-im-Gehäus.jpg|mini|A. Dürer: Hieronymus-im-Gehäus (Frontalperspektive)]]
Bei der systematischen Errichtung von Bauwerken spielen Pläne mit konkreten Vorgaben eine wichtige Rolle. Schon im Altertum wurden ''Grund- und Aufrisse'' verwendet. Der älteste schriftliche Beleg dafür ist das Werk ''[[Vitruv#Werk|Zehn Bücher über Architektur]]'' des römischen Baumeisters [[Vitruv]]ius. Aber erst [[Albrecht Dürer]] (1471–1528) schrieb in der Frühen Neuzeit das erste wirkliche Lehrbuch der Darstellenden Geometrie: ''Underweysung mit dem Zirkel und Richtscheydt''<ref>Wikisource: [[s:Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, in Linien, Ebenen unnd gantzen corporen|''Underweysung mit dem Zirkel und Richtscheydt.'']]</ref> (Nürnberg 1525). Auf den Seiten 34–37 des ersten Buches treten auch schon die Kegelschnitte Ellipse, Parabel und Hyperbel auf. [[Gaspard Monge]] (1746–1818) führte in seinem Buch ''Geometrie descriptive''<ref>''[http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABN3249 Geometrie descriptive.]''</ref> zum ersten Mal die strenge Zuordnung von Grund- und Aufriss ein, um räumliche Probleme zeichnerisch zu lösen. Die Grundaufgaben der Darstellenden Geometrie sind dort schon in der noch heute gebräuchlichen Fassung zu finden.
 
Die Grundlagen der ''Zentralprojektion'' waren schon den Griechen und Römern bekannt. Aber erst in der [[Renaissance]] wurde diese Art der Darstellung räumlicher Gegebenheiten durch die Malerei wiederentdeckt und zur Blüte weiterentwickelt. Siehe hierzu ''[[Leon Battista Alberti#De Pictura (Über die Malkunst) 1435/1436|De pictura]]'' von [[Leon Battista Alberti]] (1404). Die Meister dieser Zeit waren [[Albrecht Dürer]] (1471–1528), [[Leonardo da Vinci]] (1452–1519) und [[Michelangelo]] (1475–1564).
 
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Darstellende Geometrie}}
 
== Literatur ==
* Heinrich Brauner: ''Lehrbuch der Konstruktiven Geometrie.'' Springer-Verlag, Wien/ New York 1986, ISBN 3-211-81833-2.
* H. Brauner, W. Kickinger: ''Baugeometrie I, II.'' Bauverlag, Wiesbaden/ Berlin 1977, 1982, ISBN 3-7625-0825-9, ISBN 3-7625-2690-7.
* P.B. Fischer: ''Darstellende Geometrie'', Springer Fachmedien, Wiesbaden, 1921, ISBN 978-3-663-15478-5.
* R. Fucke, K. Kirch, H. Nickel: ''Darstellende Geometrie.'' Fachbuch-Verlag, Leipzig 1998, ISBN 3-446-00778-4.
* O. Giering, H. Seybold: ''Konstruktive Ingenieurgeometrie.'' C. Hanser Verlag, München/ Wien 1979, 1987, ISBN 3-446-14842-6.
* Ulrich Graf, Martin Barner: ''Darstellende Geometrie.'' Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9.
* Fritz Hohenberg: ''Konstruktive Geometrie in der Technik.'' Springer-Verlag, Wien 1966, ISBN 3-211-80763-2.
* J. Hoschek, G. Spreitzer: ''Aufgaben zur darstellenden Geometrie.'' BI-Verlag, 1974, ISBN 3-411-01451-2.
* C. Leopold: ''Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung.'' Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X.
* Gino Loria: [http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ACM7608  ''Vorlesungen über Darstellende Geometrie''], 2 Bände, Leipzig: B.G. Teubner, 1907.
* Emil Müller: ''Lehrbuch der Darstellenden Geometrie für Technische Hochschulen.''
** ''[http://name.umdl.umich.edu/ABN1821.0001.001 Erster Band.]'' B. G. Teubner, Leipzig Berlin 1908.
** ''[http://name.umdl.umich.edu/ABN1821.0002.001 Zweiter Band.]'' 2. Auflage. B. G. Teubner, Leipzig Berlin 1920.
* E. Müller: ''Vorlesungen über Darstellende Geometrie.'' 3 Bände. Franz Deuticke, Leipzig/ Wien 1923 1931.
* Karl Wilhelm Pohlke: ''Zehn Tafeln zur darstellenden Geometrie.'' Gaertner-Verlag, Berlin 1876 [https://books.google.com/books?id=V17kAAAAMAAJ&dq=Karl+Pohlke&source=gbs_navlinks_s (Google Books.)]
* A. Pumann: ''Darstellende Geometrie.'' Teil 1 und Teil 2, Pumann, Coburg 1998, ISBN 3-9800531-0-5, ISBN 3-9800531-1-3.
* Fritz Rehbock: ''Darstellende Geometrie.'' Springer-Verlag, Berlin/ Göttingen/ Heidelberg 1969, ISBN 3-540-04557-0.
* F. Rehbock: ''Geometrische Perspektive.'' Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg/ New York 1980, ISBN 3-642-67542-5.
* F. Reutter: ''Darstellende Geometrie.'' I und II, Verlag G. Braun, Karlsruhe 1979, ISBN 3-7650-1201-7, ISBN 3-7650-2021-4.
* Karl Rohn, Erwin Papperitz: [http://www.archive.org/details/lehrbuchderdars06pappgoog ''Lehrbuch der Darstellenden Geometrie.''] 2 Bände, Leipzig 1893, 1896.
* Eduard Stiefel: ''Lehrbuch der Darstellenden Geometrie.'' Springer-Verlag, Basel 1947, ISBN 978-3-03-48-4098-9.
* Karl Strubecker: ''Vorlesungen der Darstellenden Geometrie.'' Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1967.
* K. Ulshöfer, D. Tilp: ''Darstellende Geometrie in systematischen Beispielen.'' Arbeitsblätter. Buchner, 2015, ISBN 978-3-7661-6092-8.
* Christian Wiener: ''Lehrbuch der darstellenden Geometrie.'' 2 Bände. Teubner, Leipzig 1884, 1887, online auf ''archiv.org:'' [http://www.archive.org/details/lehrbuchderdars00wiengoog Band 1], [http://www.archive.org/details/lehrbuchderdars01wiengoog Band 2.]
* Walter Wunderlich: ''Darstellende Geometrie I'' (= Hochschultaschenbuch. 96/96a). Bibliograph. Inst., Mannheim 1966.
* W. Wunderlich: ''Darstellende Geometrie II'' (= Hochschultaschenb. 133/133a). Bibliograph. Inst., Mannheim 1967.
* U. Kurz, H. Wittel: ''Böttcher/Forberg Technisches Zeichnen.'' Springer-Vieweg, Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-8348-1806-5.
* J. Hoschek, D. Lasser: ''Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung.'' Teubner-Verlag, Stuttgart 1989, ISBN 3-519-02962-6.
 
== Weblinks ==
{{Commonscat|Descriptive geometry|Darstellende Geometrie}}
* [http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/dga-incl-loes.pdf ''Darstellende Geometrie für Architekten.''] (PDF; 1,5&nbsp;MB). Skript (Uni Darmstadt).
* [http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/darg15.pdf ''Darstellende Geometrie für Bauingenieure.''] (PDF; 1,2&nbsp;MB). Skript (Uni Darmstadt).
* {{Webarchiv | url=http://material.htlwien10.at/wissensspeicher/Darstellende_Geometrie_und_geometrisches_Zeichnen/Projektionsarten-Axonometrie-3D.pdf | wayback=20130810144627 | text=''Grundlagen und Elemente der Verkehrsmaschinentechnik.''}}. (PDF; 493&nbsp;kB). TU Dresden.
* [http://www.uni-stuttgart.de/iek/all/download/skripte/gruda/1_Einfuehrung-Skript.pdf ''Darstellende Geometrie.''] Skript (Uni Stuttgart).
* [http://www.geometrie.tuwien.ac.at/dglehramt/ Lehramtstudium an der TU Wien]
* [http://www1.uni-ak.ac.at/geom/prfg_1.php Liste 1], [http://www1.uni-ak.ac.at/geom/prfg_2.php Liste 2] der Fragen in mündlichen Prüfungen.
* [http://geometrie.eduhi.at/data/AK/grundkursdg05.pdf ''Darstellende Geometrie''], (PDF; 4,26 MB), TU Wien
* Gangolf Delabar: [http://goobipr2.uni-weimar.de/viewer/image/PPN665538855/1/LOG_0003/ ''Die Polar- und Parallelperspektive.''] 1893.
* [http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/cdg-skript-1998.pdf ''COMPUTERunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie.''] Uni Darmstadt (PDF; 3,4&nbsp;MB).
* [http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/cdgen0104.pdf ''Geometry and Algorithms for COMPUTER AIDED DESIGN.'']
* [http://www.pharmawiki.ch/perspektive Anschauliche Flash-Tutorials zum perspektivischen Zeichnen und Betrachten.]
* [http://www.rikkyo.ne.jp/~nagasima/mat/zugaku/zugaku.html Aufgaben mit Lösungen in 2-Tafel-Projektion] (englisch).
* {{Webarchiv | url=http://fma2.math.uni-magdeburg.de/~eid/Skript_DG_09-10.pdf | wayback=20151208182503 | text=''Darstellende Geometrie.''}}. Uni Magdeburg.
* [http://abel.math.harvard.edu/~knill/history/darstellend/Strubecker.pdf Strubecker: ''Vorlesungen über Darstellende Geometrie.''] TH Karlsruhe.
* G. Monge: ''[http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABN3249 Darstellende Geometrie.]'' Volltext der deutschen Ausgabe von 1900.
 
== Einzelnachweise ==
<references />
 
{{Normdaten|TYP=s|GND=4128330-2}}
 
[[Kategorie:Geometrie]]
 
{{Wikipedia}}

Version vom 22. März 2018, 16:40 Uhr

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