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Als '''Matrix''' ([[Wikipedia:Plural|pl.]] ''Matrizen''; von [[lat.]] ''matrix'' „Gebärmutter“, eigentlich „Muttertier“) wird in der [[Mathematik]] eine tabellarische, aus Zeilen und Spalten bestehende Anordnung von Elementen (z.B. [[Zahl]]en, [[Variable]]n usw.) bezeichnet, die namentlich in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] zur einfachen Beschreibung [[Lineare Abbildung|linearer Abbildungen]] und in Form der '''Koeffizientenmatrix''' zur Lösung [[Lineares Gleichungssystem|linearer Gleichungssysteme]] verwendet wird. Die Anzahl der Zeilen <math>m</math> und der Spalten <math>n</math> bezeichnet dabei den '''Typ''' (<math>m \times n</math>) der Matrix. Die Bezeichnung „Matrix“ wurde erstmals [[1850]] von dem englichen Mathematiker [[w:James Joseph Sylvester|James Joseph Sylvester]] (1814-1897) verwendet.
Die '''Brennnesseln''' (''Urtica'') bilden eine [[Gattung (Biologie)|Pflanzengattung]] in der [[Familie (Biologie)|Familie]] der [[Wikipedia:Brennesselgewächse|Brennnesselgewächse]] (Urticaceae). Sie kommen fast weltweit vor. In Deutschland nahezu überall anzutreffen sind die [[Wikipedia:Große Brennessel|Große Brennnessel]] und die [[Wikipedia:Kleine Brennessel|Kleine Brennnessel]], nur selten auch die [[Wikipedia:Röhricht-Brennessel|Röhricht-Brennnessel]] sowie die [[Wikipedia:Pillen-Brennessel|Pillen-Brennnessel]].
== Schreibweise ==
== Beschreibung ==
Die <math>m \times n</math> Elemente der Matrix werden in runden oder eckigen Klammern wie folgt aufgelistet:
=== Vegetative Merkmale ===
<math>\boldsymbol A= (a_{ij}) =\begin{pmatrix}
Brennnessel-Arten wachsen als einjährige oder ausdauernde [[krautige Pflanze]]n, selten auch [[Halbstrauch|Halbsträucher]]. Sie erreichen je nach Art, Standort und Nährstoffsituation Wuchshöhen von 10 bis 300 Zentimetern bei den in Mitteleuropa vertretenen Arten. Die ausdauernden Arten bilden [[Rhizom]]e als Ausbreitungs- und Überdauerungsorgane. Die grünen Pflanzenteile sind mit [[Wikipedia:Brennhaar|Brenn-]] sowie [[Wikipedia:Borstenhaar:Borstenhaar]]en besetzt. Ihre oft vierkantigen [[Sprossachse|Stängel]] sind verzweigt oder unverzweigt, aufrecht, aufsteigend oder ausgebreitet.
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{pmatrix} =\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{bmatrix}</math>
Die meist [[Wikipedia:Phyllotaxis#Gegenständig|kreuz-gegenständig]] am Stängel angeordneten [[Blatt (Pflanze)|Laubblätter]] sind gestielt. Die Blattspreiten sind elliptisch, lanzettlich, eiförmig oder kreisförmig. Die Blattspreiten besitzen meist drei bis fünf, (bis sieben) [[Blattader]]n. Der Blattrand ist meist gezähnt bis mehr oder weniger grob gezähnt. Die oft haltbaren [[Nebenblatt|Nebenblätter]] sind frei oder untereinander verwachsen. Die [[Zystolith]]en sind gerundet bis mehr oder weniger verlängert.
== Quadratische Matrix ==
[[Datei:Matrix diagonals qtl1.svg|miniatur|Hauptdiagonale (rot) und Nebendiagonalen (blau) einer (4×4)-Matrix]]
=== Brennhaare ===
Eine '''quadratische Matrix''' hat <math>n \times n</math> Elemente, d.h. die Zahl der Zeilen ist gleich der Zahl der Spalten ( <math>m = n</math> ).
[[Datei:Urtica dioica stinging hair.jpg|mini|Brennhaare am Blattstiel einer Brennnessel, die Köpfchen sind erahnbar]]
[[Datei:Urtica dioica hairs.jpg|mini|Brennhaare (groß) und normale Haare (klein) auf einem Blatt]]
[[Datei:Formic acid.svg|mini|Strukturformel der Ameisensäure]]
[[Datei:Brennnessel Quaddeln.jpg|mini|Quaddeln nach Hautkontakt mit Brennnesseln]]
Bekannt und unbeliebt sind die Brennnesseln wegen der schmerzhaften [[Quaddel]]n (Schwellungen), die auf der Haut nach Berührung der [[Brennhaar]]e entstehen. Je nach Brennnesselart unterscheiden sich die Folgen, so ist beispielsweise die Brennflüssigkeit der Kleinen Brennnessel (''Urtica urens'') wesentlich schmerzhafter als die der Großen Brennnessel (''Urtica dioica'').
Die '''Hauptdiagonale''' einer quadratischen Matrix umfasst alle Elemente, die auf der von ''links oben'' nach ''rechts'' unten verlaufenden Diagonalen der Matrix liegen (siehe Zeichnung). Parallel dazu liegen die '''Nebendiagonalen'''. Die '''Gegendiagonale''' verläuft entsprechend von rechts oben nach links unten.
Diese Brennhaare wirken als [[Pflanzliche Abwehr von Herbivoren|Schutzmechanismus gegen Fraßfeinde]] und sind überwiegend auf der Blattoberseite vorhanden. Es sind lange, einzellige Röhren, deren Wände im oberen Teil durch eingelagerte [[Kieselsäuren|Kieselsäure]] hart und spröde wie Glas sind. Das untere, flexiblere Ende ist stark angeschwollen, mit Brennflüssigkeit gefüllt und in einen Zellbecher eingesenkt, die Spitze besteht aus einem seitwärts gerichteten Köpfchen, unter dem durch die hier sehr dünne Wand eine Art [[Sollbruchstelle]] vorhanden ist.
== Einheitsmatrix ==
Das Köpfchen kann schon bei einer leichten Berührung abbrechen und hinterlässt eine schräge, scharfe Bruchstelle, ähnlich der einer medizinischen Spritzen[[kanüle]]. Bei Kontakt sticht das Härchen in die Haut des Opfers, sein [[ameisensäure]]haltiger Inhalt spritzt mit Druck in die Wunde und verursacht sofort einen kurzen, brennenden [[Schmerz]] und dann die erwähnten Quaddeln mit Brennen oder Juckreiz.
Die '''Eiheitsmatrix''' oder '''Identitätsmatrix''' ist eine quadratische Matrix, deren Hauptdiagonalelemente gleich [[eins]] und alle anderen Elemente gleich [[null]] sind:
Weitere Wirkstoffe der Brennflüssigkeit sind [[Serotonin]], [[Histamin]], [[Acetylcholin]] und [[Natriumformiat]]. Bereits 100 Nanogramm dieser Brennflüssigkeit reichen aus, um die bekannte Wirkung zu erzielen. Histamin erweitert die Blutkapillaren und kann Reaktionen hervorrufen, die allergischen Reaktionen ähneln (diese werden unter anderem durch Freisetzung körpereigenen Histamins verursacht). Acetylcholin ist auch die Überträgersubstanz vieler Nervenendungen und für den brennenden Schmerz verantwortlich. Brennnesseln lassen sich relativ gefahrlos anfassen, wenn man sie von unten nach oben überstreicht, da fast alle Stacheln nach oben gerichtet sind.
Auch ohne Eindringen der Brennhaare kann allein Hautkontakt zur Brennflüssigkeit Folgen haben: Frischer Brennnessel-Schnitt verursacht bei Hautkontakt (z. B. beim [[Mähen#Rasenmähen|Rasenmähen]]) zuerst keine Schmerzen, weil gebrochene Brennhaare nicht in die Haut stechen können und nur noch wenig Gift enthalten. Die spröden Brennhaare brechen bereits bei Mähmesser-Rotation, und die Brennflüssigkeit fließt frei aus. Bei Benetzung empfindlicher Hautschichten mit Brennflüssigkeit (Knöchel- und Spannbereich) erfolgt eine späte Schmerzreaktion, da die Brennflüssigkeit nach Kontakt auf nervenloser Oberhaut ([[Epidermis (Wirbeltiere)|Epidermis]]) durch Poren in die darunterliegende Lederhaut ([[Dermis]]) eindringt. Dort erreicht sie erst nach Stunden freie Nervenendigungen ([[Nozizeptor]]en). Dagegen schmerzen Hauteinstiche spröder, ungebrochener Brennhaare schon in Sekundenbruchteilen. Die relativ lange Gift-Kontaktzeit ist zur späteren Verätzungsintensität direkt proportional. Nur langsam unter stechenden Schmerzen mit Schwellungen wird das in die Lederhaut eingedrungene Gift abgebaut und die großflächig verätzte Oberhaut durch eine neue ersetzt.
== Spur einer Matrix ==
Die Brennnessel hat damit einer Reaktion der Haut ihren Namen gegeben, der [[Nesselsucht]] oder Urtikaria. Genau wie bei einer Reizung durch Brennnesseln verursacht sie juckende Quaddeln und es wird Histamin aus [[Mastzelle]]n der Haut freigesetzt. Die Ursachen können aber sehr unterschiedlich sein.
Die '''Spur''' ({{EnS}} ''Trace'') einer quadratischen <math>m \times n</math>-Matrix ist die Summe ihrer Hauptdiagonalelemente. Für eine Matrix
[[Datei:Urtica dioica flowers.jpg|mini|Männlicher Blütenstand einer Großen Brennnessel kurz vor dem Aufblühen]]
<math>A=\begin{pmatrix}
[[Datei:Urtica flowerdiagram.png|mini|links|hochkant|[[Blütendiagramm]]e von ''Urtica'':<br /> A männliche, B weibliche Blüte]]
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
[[Datei:Urtica dioica male-2.jpg|mini|hochkant|links|Ausschnitt eines Teilblütenstandes: Nahaufnahme einer männlichen Blüte, bei der Blüte in der Bildmitte sind die Blütenhüllblätter bereits geöffnet, die Staubblätter aber noch gespannt]]
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix}</math>
=== Generative Merkmale ===
ergibt sich also
Sie sind je nach Art einhäusig ([[Monözie|monözisch]]) oder zweihäusig ([[Diözie|diözisch]]) getrenntgeschlechtig. In den Blattachseln stehen in verzweigten, [[Rispe|rispigen]], [[Ähre|ährigen]], [[Traube|traubigen]] oder kopfigen Gesamtblütenständen viele [[Sympodium|zymöse]] [[Blütenstand|Teilblütenstände]] mit jeweils vielen Blüten zusammen. Die relativ kleinen, unauffälligen, immer eingeschlechtigen [[Blüte]]n sind (zwei- bis) vier- bis fünf- (bis sechs-)zählig.
Die eingeschlechtigen Blüten sind etwas reduziert. Es sind (zwei bis) vier (bis fünf) [[Blütenhülle|Blütenhüllblätter]] vorhanden. Die männlichen Blüten enthalten meist (zwei bis) vier (bis fünf) [[Staubblatt|Staubblätter]]. Die weiblichen Blüten enthalten einen [[Fruchtknoten]], der zentral in der Blüte liegt und aus nur einem [[Fruchtblatt]] gebildet wird.
Brennnessel-Arten sind windbestäubt. Wenn sich bei den männlichen Blüten die Blütenhüllblätter öffnen, schnellen ihre Staubblätter hervor; dabei wird explosionsartig eine Wolke von [[Pollen]] in die Luft geschleudert. Der Wind überträgt anschließend den Pollen auf die weiblichen Blüten.
== Transponierte Matrix ==
[[Datei:Matrix transpose.gif|mini|Animation zur Transponierung einer Matrix]]
Aus einer Matrix <math>A</math>
Die sitzenden, in den haltbaren inneren Blütenhüllblättern locker eingehüllten [[Nussfrucht|Nüsschen]] sind gerade, seitlich abgeflacht, eiförmig oder deltoid. Die aufrechten Samen enthalten wenig [[Endosperm]] und zwei fleischige, fast kreisförmige Keimblätter ([[Kotyledonen]]).
Die [[Chromosom]]engrundzahl beträgt x = 12 oder 13.
ergibt sich die '''transponierte Matrix''' <math>A^\mathrm{T}</math> durch Vertauschung der Zeilen und Spalten (was ihrer Spiegelung an der Hauptdiagonalen entspricht):
Die Arten der – mit den Brennnesseln nicht verwandten – Gattung der [[Taubnesseln]] (''Lamium''), sehen den Brennnesseln in Wuchs und Blattform sehr ähnlich, besitzen aber keine Brennhaare und auch sehr viel größere und auffälligere Blüten. Die ebenfalls ähnlichen Blätter der [[Nesselblättrige Glockenblume|Nesselblättrigen Glockenblume]] (''Campanula trachelium'') sind wechselständig.
== Schmetterlingsweide ==
== Determinante ==
[[Datei:KleinerFuchs(Raupe).jpg|mini|Raupe des [[Kleiner Fuchs|Kleinen Fuchses]] auf Brennnessel]]
[[Datei:Sarrusovo_pravidlo.png|mini|Regel von Sarrus]]
Für die [[Raupe (Schmetterling)|Raupen]] von rund 50 [[Schmetterlinge|Schmetterlingsarten]] sind bestimmte Brennnessel-Arten eine Futterpflanze.
Die '''Determinante''' (von [[lat.]] ''determinare'' „bestimmen“) ist ein [[Skalar]], d.h. eine [[Zahl]], die aus den Elementen einer quadratischen Matrix errechnet werden kann und hilfreich bei der Lösung [[Lineares Gleichungssystem|linearer Gleichungssysteme]] ist. Diese sind lösbar, wenn die Determinante der '''Koeffizientenmatrix''' ungleich [[null]] ist. Die Determinante einer 2 x 2-Matrix errechnet sich wie folgt:
Die Schmetterlingsarten [[Admiral (Schmetterling)|Admiral]], [[Tagpfauenauge]], [[Kleiner Fuchs]] (auch als Nesselfalter bekannt), [[Silbergraue Nessel-Höckereule]], [[Dunkelgraue Nessel-Höckereule]], [[Brennnessel-Zünslereule]] (''Hypena obesalis'') und das [[Landkärtchen]] sind dafür sogar auf die Brennnessel angewiesen, andere Pflanzen kommen für diese Arten nicht in Betracht ([[Monophagie]]).
<math>\det A=\det \begin{pmatrix}
Trotzdem scheinen sich diese Schmetterlingsarten kaum gegenseitig [[Konkurrenz (Ökologie)|Konkurrenz]] zu machen, denn sie bevorzugen jeweils andere Wuchsorte der Brennnessel oder sind relativ selten.
* Die Raupen des Kleinen Fuchses sind an trockenen und sonnigen Stellen zu finden
Für 3 x 3-Matrizen ist die '''Regel von Sarrus''' hilfreich (siehe nebenstehendes Schema):
* Das Tagpfauenauge mag es zwar gleichfalls sonnig, aber dennoch luftfeucht und bevorzugt daher Plätze an Gewässern.
Beide Arten benötigen überdies größere Brennnesselbestände.
* Der Admiral dagegen gibt sich schon mit Ansammlungen einiger weniger Pflanzen zufrieden und bevorzugt eher kümmerliche Brennnesseln.
* Das Landkärtchen sucht sich die schattigsten Wuchsorte der Brennnessel aus, die oft großen und dichten Bestände in den fluss- und bachbegleitenden Auwäldern.
Auf fast jeder Brennnessel sind Fraßspuren einzelner Insekten zu sehen. Dabei müssen diese eine Strategie entwickelt haben, mit der sie die Brennhaare umgehen. Sie fressen sich um die Haare herum und bevorzugen dabei die Wege entlang der [[Blattader]]n und der Blattränder, da sich dort keine Brennhaare befinden. Vorteilhaft für die Insekten: Das Gift dringt nicht aus der Spitze, wenn das Haar unten an der Wurzel angefressen wird.
Die Gattung ''Urtica'' ist fast weltweit verbreitet. Nur in der [[Antarktis]] kommt keine Art vor. Von den etwa 30 ''Urtica''-Arten kommen 14 in China vor. Hauptsächlich gedeihen sie in den gemäßigten Gebieten, sowohl auf der Nord- als auch auf der Südhalbkugel. Es gibt aber auch Arten in den Gebirgen der Tropen.
[[Datei:Matrix addition qtl1.svg|miniatur|Bei der Matrizenaddition müssen alle beteiligten Matrizen die gleiche Spalten- und Zeilenzahl haben. Die Elemente der Summenmatrix entstehen durch Addition der entsprechenden Elemente der Summandenmatrizen: <math>c_{ij) = a_{ij} + b_{ij}</math>]]
Im deutschsprachigen Raum kommen vier Brennnessel-Arten vor: Die bekanntesten sind die zweihäusige [[Große Brennnessel]] (''Urtica dioica'') und die einhäusige [[Kleine Brennnessel]] (''Urtica urens''); außerdem existieren hier noch die [[Röhricht-Brennnessel]] (''Urtica kioviensis'') und die aus dem Mittelmeerraum eingeschleppte [[Pillen-Brennnessel]] (''Urtica pilulifera''), deren gelegentliche mitteleuropäische Vorkommen auf die Kulturflucht aus Kräutergärten zurückzuführen ist, in denen sie wegen ihrer schleimigen Samen kultiviert wurde.
Die '''Matrizenaddition''' ist die [[Addition|additive]] [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] von Matrizen gleicher größer, d.h. gleicher Spalten- und Zeilenanzahl. Die '''Summenmatrix''' (auch '''Matrixsumme''' oder '''Matrizensumme''') wird durch die komponentenweise [[Addition]] der einander entsprechenden Matrixelemente gebildet, d.h.:
Einige Arten sind sehr anspruchslos und besiedeln deshalb ein breites Spektrum an Habitaten.
Ein starker Brennnesselwuchs gilt allgemein als [[Wikipedia:Zeigerpflanzen|Zeiger]] für einen stickstoffreichen Boden und bildet sich oft als [[Wikipedia:Ruderalvegetation|Ruderalpflanze]] auf früher besiedelten Stellen aus. Eine große Anzahl Brennnesseln in einem Gebiet erlaubt es somit, auch ohne chemische Untersuchungen Rückschlüsse auf die Bodenbeschaffenheit zu ziehen.
== Zur Systematik siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Brennesseln}}
== Zur Verwendung siehe auch ==
Die '''Matrixaddition''' gehorcht dem [[Assoziativgesetz]], dem [[Kommutativgesetz]] und bezüglich der Matrizenmultiplikation dem [[Distributivgesetz]]. Zusammen mit der Matrizenaddition bilden die Matrizen eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]], deren [[neutrales Element]] die '''Nullmatrix''' ist, deren Elemente alle gleich [[Null]] sind:
[[Datei:Matrix multiplication qtl1.svg|mini|Bei der Matrizenmultiplikation werden die Zeilenelemente der ersten Matrix mit den Spaltenelementen der zweiten Matrix multipliziert und die Ergebnisse summiert. Die Ergebnismatrix hat die Zeilenzahl der ersten und die Spaltenzahl der zweiten Matrix.]]
Die [[Multiplikation|multiplikative]] [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] von Matrizen wird als '''Matrizenmultiplikation''' oder '''Matrixmultiplikation''' bezeichnet. Sie ist nur dann ausführbar, wenn die Spaltenanzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix übereinstimmt. Das '''Matrizenprodukt''' bzw. '''Matrixprodukt''' ist wiederum eine Matrix, welche die Zeilenzahl der ersten und die Spaltenzahl der zweiten Matrix hat. Die Elemente der '''Produktmatrix''' <math>C</math> werden errechnet, indem die Zeilenelemente der ersten Matrix <math>A</math> komponentenweise mit den entsprechenden Spaltenelemente der zweiten Matrix <math>B</math> [[Multiplikation|multipliziert]] und die Ergebnisse [[Summe|summiert]] werden, d.h.:
Die Matrizenmultiplikation gehorcht dem [[Assoziativgesetz]], aber - von speziellen Fällen abgesehen - nicht dem [[Kommutativgesetz]], d.h. <math>\mathbf A \cdot \mathbf B \not= \mathbf B \cdot \mathbf A</math>. Bezüglich der Matrizenaddition ist die Matrizenmultiplikation [[Distributivgesetz|distributiv]].
* Chen Jiarui (陈家瑞), Ib Friis, C. Melanie Wilmot-Dear: ''Urtica.''
* David E. Boufford: ''Urtica.''
* P. W. Ball, D. V. Geltman: ''Urtica''
* Walter Erhardt, Erich Götz, Nils Bödeker, Siegmund Seybold: ''Der große Zander. Enzyklopädie der Pflanzennamen. Band 2. Arten und Sorten.'' Eugen Ulmer, Stuttgart 2008, ISBN 978-3-8001-5406-7.
* Eva Hanke, Ernst Wegner: ''Die Heilkraft der Brennessel.'' Droemer Knaur, München 2000, ISBN 3-426-87041-X.
* Heidelore Kluge: ''Brennessel: Heilpflanze und mehr.'' Haug, Heidelberg 1999, ISBN 3-7760-1751-1.
* Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel: ''Mathematik'', 4. Auflage, Springer Spektrum 2018, ISBN 978-3662567401, eBook ISBN 978-3-662-56741-8
[[Kategorie:Heilpflanzen]]
{{Wikipedia}}
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Lineare Algebra]]
Version vom 17. August 2019, 08:03 Uhr
Als Matrix (pl.Matrizen; von lat.matrix „Gebärmutter“, eigentlich „Muttertier“) wird in der Mathematik eine tabellarische, aus Zeilen und Spalten bestehende Anordnung von Elementen (z.B. Zahlen, Variablen usw.) bezeichnet, die namentlich in der linearen Algebra zur einfachen Beschreibung linearer Abbildungen und in Form der Koeffizientenmatrix zur Lösung linearer Gleichungssysteme verwendet wird. Die Anzahl der Zeilen und der Spalten bezeichnet dabei den Typ () der Matrix. Die Bezeichnung „Matrix“ wurde erstmals 1850 von dem englichen Mathematiker James Joseph Sylvester (1814-1897) verwendet.
Die Elemente der Matrix werden in runden oder eckigen Klammern wie folgt aufgelistet:
Quadratische Matrix
Eine quadratische Matrix hat Elemente, d.h. die Zahl der Zeilen ist gleich der Zahl der Spalten ( ).
Die Hauptdiagonale einer quadratischen Matrix umfasst alle Elemente, die auf der von links oben nach rechts unten verlaufenden Diagonalen der Matrix liegen (siehe Zeichnung). Parallel dazu liegen die Nebendiagonalen. Die Gegendiagonale verläuft entsprechend von rechts oben nach links unten.
Einheitsmatrix
Die Eiheitsmatrix oder Identitätsmatrix ist eine quadratische Matrix, deren Hauptdiagonalelemente gleich eins und alle anderen Elemente gleich null sind:
.
Spur einer Matrix
Die Spur (eng.Trace) einer quadratischen -Matrix ist die Summe ihrer Hauptdiagonalelemente. Für eine Matrix
ergibt sich also
Transponierte Matrix
Aus einer Matrix
ergibt sich die transponierte Matrix durch Vertauschung der Zeilen und Spalten (was ihrer Spiegelung an der Hauptdiagonalen entspricht):
Determinante
Die Determinante (von lat.determinare „bestimmen“) ist ein Skalar, d.h. eine Zahl, die aus den Elementen einer quadratischen Matrix errechnet werden kann und hilfreich bei der Lösung linearer Gleichungssysteme ist. Diese sind lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich null ist. Die Determinante einer 2 x 2-Matrix errechnet sich wie folgt:
Für 3 x 3-Matrizen ist die Regel von Sarrus hilfreich (siehe nebenstehendes Schema):
Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \det A &= \det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = \\ \\&= a_{11} a_{22} a_{33} +a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{13} a_{22} a_{31} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{11} a_{23} a_{32}}
Matrizenaddition
Die Matrizenaddition ist die additiveVerknüpfung von Matrizen gleicher größer, d.h. gleicher Spalten- und Zeilenanzahl. Die Summenmatrix (auch Matrixsumme oder Matrizensumme) wird durch die komponentenweise Addition der einander entsprechenden Matrixelemente gebildet, d.h.:
Die multiplikativeVerknüpfung von Matrizen wird als Matrizenmultiplikation oder Matrixmultiplikation bezeichnet. Sie ist nur dann ausführbar, wenn die Spaltenanzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix übereinstimmt. Das Matrizenprodukt bzw. Matrixprodukt ist wiederum eine Matrix, welche die Zeilenzahl der ersten und die Spaltenzahl der zweiten Matrix hat. Die Elemente der Produktmatrix werden errechnet, indem die Zeilenelemente der ersten Matrix komponentenweise mit den entsprechenden Spaltenelemente der zweiten Matrix multipliziert und die Ergebnisse summiert werden, d.h.:
Die Matrizenmultiplikation gehorcht dem Assoziativgesetz, aber - von speziellen Fällen abgesehen - nicht dem Kommutativgesetz, d.h. . Bezüglich der Matrizenaddition ist die Matrizenmultiplikation distributiv.
Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel: Mathematik, 4. Auflage, Springer Spektrum 2018, ISBN 978-3662567401, eBook ISBN 978-3-662-56741-8