Formelsammlung Astronomie: Unterschied zwischen den Versionen

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== [[w:Scheinbare Helligkeit|Scheinbare Helligkeit eines Sterns]] ==
== [[w:Scheinbare Helligkeit|Scheinbare Helligkeit eines Sterns]] ==
   
   
Für die Lichtstärke <math> I_v </math> gilt:
Die scheinbare Helligkeit eines Sterns bestimmt sich wei folgt:
Die scheinbare Helligkeit eines Sterns bestimmt sich wei folgt:
:<math> m_1 - m_2 = - 2,5 \ lg \cdot \frac {\Phi_{V,1}}{\Phi_{V,2}} </math>
:<math> I_v = \frac {d \Phi_v}{d \Omega} </math>
   
   
:<math> m_1 - m_2 = - 2,5 \ lg \cdot \frac {\Phi_{v,1}}{\Phi_{v,2}} </math>
oder vereinfacht:
:*<math> \Phi_V </math> = Lichtstrom
:*<math> m_2 </math> = Bezugshelligkeit
:<math> I_v = \frac {\Phi_v}{\Omega} </math>
oder:
Zwei Sterne mögen die "scheinbare Helligkeit" <math> m_1</math> und <math> m_2 </math> besitzen und ihre Strahlung im Empfänger die [[w:Beleuchtungsstärke|Beleuchtungsstärke]]n <math> B_1 </math> und <math> B_2 </math> erzeugen. Dann gilt für das Verhältnis de rBeleuchtungsstärken:
:<math> \frac{B_1}{B_2} = 2,512^{m_2 - m_1}. </math>
:<math> I_v \cdot \Omega = \Phi_v </math>
mit:
Somit entspricht der physikalsichem Größe "Beleuchtungsstärke" im astronomischen Sprachgebrauch die "scheinbare Helligkeit" 
:*<math> I_v </math> = Lichtstärke in Candela (cd)
== [[w:Absolute Helligkeit|Absolute Helligkeit]] und [[w:Entfernungsmessung|Entfernungsmessung]] ==
:*<math> \Omega </math> = Raumwinkel Omega
:*<math> \Phi_v </math> = Lichtstrom Phi
== [[w:Beleuchtungsstärke|Beleuchtungsstärke]] ==
Für die Beleuchtungsstärke <math> E_v </math> gilt:
:<math> E_v = \frac {d \Phi_v}{d \A} </math>
oder vereinfacht:
:<math> E_v = \frac {\Phi_v}{\A} </math>
oder:
:<math> E_v \cdot \A = \Phi_v </math>
mit:
:*<math> I_v </math> = Lichtstärke in Candela (cd)
:*<math> \Omega </math> = Raumwinkel Omega
:*<math> \Phi_v </math> = Lichtstrom Phi
== [[w:Beleuchtungsstärke#Fotometrisches Entfernungsgesetz|Fotometrisches Entfernungsgesetz]]==
Wir können schreiben:
:<math> I_v \cdot \Omega = E_v \cdot A </math>
oder:
:<math> I_v = E_v \cdot \frav A \Omega.</math>
Außerdem gilt:
:<math> I_v  = E_v \cdot r^2 .</math>
Somit ist:
:<math> \frav A \Omega = r^2 .</math>
oder:
:<math> \Omega = \frac {A}{r^2} .</math>
== [[w:Lichtstärke|Verhältnis von Lichtstärke]] zu [[w:Beleuctungsstärke|Beleuchtungsstärke]]==
Zwei Lichtquellen gleicher Strahlungsintensität <math> I </math> mögen sich in den Entfernungen <math> r_1</math> und <math> r_2 </math> vom Empfänger befinden. Jede der beiden Strahlungsquellen erzeugt am Ort des Empfängers eine [[w:Beleuchtungsstärke|Beleuchtungsstärke]] <math> B </math>. Dabei besteht zwischen <math> I </math> und <math> B </math> der folgende Zusammenahng:
Zwei Lichtquellen gleicher Strahlungsintensität <math> I </math> mögen sich in den Entfernungen <math> r_1</math> und <math> r_2 </math> vom Empfänger befinden. Jede der beiden Strahlungsquellen erzeugt am Ort des Empfängers eine [[w:Beleuchtungsstärke|Beleuchtungsstärke]] <math> B </math>. Dabei besteht zwischen <math> I </math> und <math> B </math> der folgende Zusammenahng:
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:<math> \dfrac {B_1} {B_2} = \dfrac {r_1^2} {r_2^2}</math>
:<math> \dfrac {B_1} {B_2} = \dfrac {r_1^2} {r_2^2}</math>
== [[w:Scheinbare Helligkeit|Scheinbare Helligkeit eines Sterns]] ==
Zwei Sterne mögen die "scheinbare Helligkeit" <math> m_1</math> und <math> m_2 </math> besitzen und ihre Strahlung im Empfänger die [[w:Beleuchtungsstärke|Beleuchtungsstärke]]n <math> B_1 </math> und <math> B_2 </math> erzeugen. Dann gilt für das Verhältnis de rBeleuchtungsstärken:
:<math> \frac{B_1}{B_2} = 2,512^{m_2 - m_1}. </math>
Somit entspricht der physikalsichem Größe "Beleuchtungsstärke" im astronomischen Sprachgebrauch die "scheinbare Helligkeit" 
== [[w:Absolute Helligkeit|Absolute Helligkeit und Entfernungsmodul]] ==
== [[w:Absolute Helligkeit|Absolute Helligkeit und Entfernungsmodul]] ==
 
 


== [[w:Absolute Helligkeit|Absolute Helligkeit und Entfernungsmessung]] ==
== [[w:Absolute Helligkeit|Absolute Helligkeit und Entfernungsmessung]] ==

Version vom 28. Dezember 2020, 03:23 Uhr

Astronomie

Entfernungseinheiten

Astronomische Einheit................1 au..........= 149,6 * 10^6 km

Lichtjahr......................................1 Ly...........= 63240 au = 9,46 * 10^12 km

Parsec........................................1 pc...........= 3,26 Ly

Kiloparsec...................................1 kpc.........= 1000 pc = 3260 Ly

Megaparsec................................1 Mpc........= 1000 kpc = 3,26 * 10^6 Ly

Konstanten

Lichtgeschwindigkeit....................c...............= 2,99798 * 10^6 km / s

Gravitationskonstante.................G...............= 6,670 * 10^-11 m³ / (kg * s²)

Bolzmannkonstante.....................k................= 1,38 * 10^-23 Nm / K

Sonnenmasse.............................Ms.............= 1,989 * 10^30 Kg

Sonnenradius..............................Rs.............= 6,960 * 10^8 m

Erstes Keplersches Gesetz

Die Bahnen der Planeten sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

Zweites Keplersches Gesetz

Die Verbindungslinie Sonne - Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen (Flächensatz).

Drites Keplersches Gesetz

Drittes Keplersches Gesetz für das Sonnensystem

Eine Näheurngsformel für das 3. Keplersche Gesetz für das Sonnensystem lautet:

Gravitation

Gravitationsgesetz

Das Gravitationsgesetz lautet:

Hubarbeit

Für die Hubarbeit im Gravitationsfeld ergibt sich:

Daraus folgt:

oder:

oder:

Potentielle Energie

Für die potentielle Energie in einem Gravitationsfeld gilt:

mit:

  • Gravitationskraft
  • Massen der sich anziehenden Körper: und
  • Abstand der sich anziehenden Körper:
  • Richtung zwischen den sich anziehenden Körpern:
  • Gravitationskonstante:

Auf der Erde gilt:

Kraft = Masse · Erdbeschleunigung

Die Erdbeschleunigung g hängt von der geografischen Breite und der Höhe über Meeresniveau ab und ist am Äquator ca. g = 9,780 m/s² und an den Polen ca. g = 9,832 m/s².

Erdbeschleunigung:

mit

  • Erdmasse:
  • Erdradius:
  • Gravitationskonstante:

Diese Formel liefert etwa 9,82 m/s².

Kosmische Geschwindigkeiten

1. kosmische Geschwindigkeit (Kreisbahngeschwindigkeit)

Die 1. kosmologische Geschwindigkeit berechnet sich wie folgt:

  • = Masse des Zentralkörpers (Erde)
  • = Bahnradius des Zentralkörpers (Erde)

Herleitung:

Bei einer Kreisbewegung eines Probekörpers um eine Zentralmasse ist die Zentrifugalkraft gerade gleich der Gravitationskraft .

Zentrifugalkraft = Gravitationskraft .

Daraus folgt:

.

Umstellen nach ergibt:

.

2. kosmische Geschwindigkeit (Fluchtgeschwindigkeit)

Die 2. kosmologische Geschwindigkeit berechnet sich wie folgt:

Herleitung:

Bei der minimalen Fluchtgeschwindigkeit ist die kinetische Energie eines Probekörpers gerade gleich der Gravitationsenergie.

Kinetische Energie = Gravitationsenergie .

Daraus folgt:

.

Umstellen nach ergibt:

Die Masse der Sonne berechnen

Die Bahngeschwindigkeit v(r) auf der Ellipse

Für die jeweilige Bahngeschwindigketi einer Masse auf einer elliptischen Bahn um die Masse ergibt sich:

oder noch etwas genauer:

Radius R eines Himmelskörpers

Der Radius eines Himmelskörpers lässt sich wie folgt bestimmen:

Mittlere Dichte eines kugelförmigen Himmelskörpers

Die mittlere Dichte eines Himmelskörpers bestimmt sich wie folgt:

Leuchtkraft L der Sonne

Die Leuchtkraft der Sonne bestimmt sich wie folgt:

Leuchtkraft L eines Sterns

Die Leuchtkraft eines Sterns bestimmt sich wie folgt:

Scheinbare Helligkeit eines Sterns

Für die Lichtstärke gilt: Die scheinbare Helligkeit eines Sterns bestimmt sich wei folgt:

oder vereinfacht:

  • = Lichtstrom
  • = Bezugshelligkeit

oder: Zwei Sterne mögen die "scheinbare Helligkeit" und besitzen und ihre Strahlung im Empfänger die Beleuchtungsstärken und erzeugen. Dann gilt für das Verhältnis de rBeleuchtungsstärken:

mit: Somit entspricht der physikalsichem Größe "Beleuchtungsstärke" im astronomischen Sprachgebrauch die "scheinbare Helligkeit"


  • = Lichtstärke in Candela (cd)

Absolute Helligkeit und Entfernungsmessung

  • = Raumwinkel Omega
  • = Lichtstrom Phi


Beleuchtungsstärke

Für die Beleuchtungsstärke gilt:


Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_v = \frac {d \Phi_v}{d \A} }


oder vereinfacht:


Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\A“): {\displaystyle E_v = \frac {\Phi_v}{\A} }


oder:


Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_v \cdot \A = \Phi_v }


mit:


  • = Lichtstärke in Candela (cd)
  • = Raumwinkel Omega
  • = Lichtstrom Phi


Fotometrisches Entfernungsgesetz

Wir können schreiben:



oder:


Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\frav“): {\displaystyle I_v = E_v \cdot \frav A \Omega.}


Außerdem gilt:



Somit ist:


Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\frav“): {\displaystyle \frav A \Omega = r^2 .}


oder:



Verhältnis von Lichtstärke zu Beleuchtungsstärke

Zwei Lichtquellen gleicher Strahlungsintensität mögen sich in den Entfernungen und vom Empfänger befinden. Jede der beiden Strahlungsquellen erzeugt am Ort des Empfängers eine Beleuchtungsstärke . Dabei besteht zwischen und der folgende Zusammenahng: Zwei Lichtquellen gleicher Strahlungsintensität mögen sich in den Entfernungen und vom Empfänger befinden. Jede der beiden Strahlungsquellen erzeugt am Ort des Empfängers eine Beleuchtungsstärke . Dabei besteht zwischen und der folgende Zusammenahng: Zeile 276: Zeile 322:


Scheinbare Helligkeit eines Sterns

Zwei Sterne mögen die "scheinbare Helligkeit" und besitzen und ihre Strahlung im Empfänger die Beleuchtungsstärken und erzeugen. Dann gilt für das Verhältnis de rBeleuchtungsstärken:



Somit entspricht der physikalsichem Größe "Beleuchtungsstärke" im astronomischen Sprachgebrauch die "scheinbare Helligkeit"

Absolute Helligkeit und Entfernungsmodul

Absolute Helligkeit und Entfernungsmodul

Absolute Helligkeit und Entfernungsmessung

Zwei Lichtquellen gleicher Strahlungsintensität mögen sich in den Entfernungen und vom Empfänger befinden. Jede der beiden Strahlungsquellen erzeugt am Ort des Empfängers eine Beleuchtungsstärke . Dabei besteht zwischen und der folgende Zusammenahng:

Danach gilt:

und:

Entfernungsmodul

Das Entfernungsmodul bestimmt sich wie folgt:

  • = absolute Helligkeit
  • = scheinbare Helligkeit
  • = entfernung des Sterns

Zusammenhang von Leuchtkraft, Radius und Temperatur

Leuchtkraft L der Sonne

  • = Bezugshelligkeit

Zwei Sterne mögen die "scheinbare Helligkeit" und besitzen und ihre Strahlung im Empfänger die Beleuchtungsstärken und erzeugen. Dann gilt für das Verhältnis de rBeleuchtungsstärken:

Somit entspricht der physikalsichem Größe "Beleuchtungsstärke" im astronomischen Sprachgebrauch die "scheinbare Helligkeit"

Absolute Helligkeit und Entfernungsmessung

Zwei Lichtquellen gleicher Strahlungsintensität mögen sich in den Entfernungen und vom Empfänger befinden. Jede der beiden Strahlungsquellen erzeugt am Ort des Empfängers eine Beleuchtungsstärke . Dabei besteht zwischen und der folgende Zusammenahng:

Kosmologie

  • = Parallaxe in Bogensekunden

Der Hubble-Parameter

für den Hubble-Parameter ergibt sich:

Für H wird heute zumeist 70 km / (s Mpc) angenommen. Es handelt sich bei der Größe H allerdings nur um einen Parameter, der von v und von r abhängt... Außerdem muss berücksichtigt werden, dass das Weltall in der Vergangenheit noch nicht so weit ausgebreitet war... Dadurch werden die Radien aber kleiner, so dass der Hubbelparameter für große Entfernungen, also in der Vergangenheit, eigentlich größer werden müsste... Tut er aber nicht... H bleibt bei ziemlich einheitlichen 70 km / (s Mpc)... Das könnte den Effekt der Beschleunigung der Expansion um ein Vielfaches vergrößern...

Berechnung des Weltalters

Das Weltalter erhalten wir durch Umkehrung des Hubble-Parameters:

Rotverschiebung z

Die Rotverschiebung bestimmt sich wie folgt:

  • = Bezugswellenlänge

Zusammenhang zwischen Rotverschiebung z und Fluchtgeschwindigkeit v

Es besteht der folgende Zusammenhang zwischen der Rotverschiebung und der Fluchtgeschwindigkeit

  • = Lichtgeschwindigkeit

Absolute Helligkeit und Entfernungsmodul

Das Entfernungsmodul bestimmt sich wie folgt:

  • = Bezugswellenlänge

Linienverschiebung durch Dopplereffekt (nicht-relativistisch):

Linienverschiebung durch Dopplereffekt (relativistisch):

Gravitationslinsen und Lichtablenkung im Schwerefeld

Der Ablenkwinkel (Einsteinwinkel) des Lichtes im Schwerefeld berechnet sich:

Ereignishorizont

Hauptartikel: Ereignishorizont

Schwarzschildradius

Für den Schwarzschildradius (Ereignishorizont von nicht rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Schwarzschild) ergibt sich:

Gravitationsradius

Für den Gravitationsradius (Ereignishorizont von maximal rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Kerr) ergibt sich:

Friedmanngleichungen (korrekt)

sowie die Beschleunigungsgleichung

Für H wird heute zumeist 70 km / (s Mpc) angenommen. Es handelt sich bei der Größe H allerdings nur um einen Parameter, der von v und von r abhängt... Außerdem muss berücksichtigt werden, dass das Weltall in der Vergangenheit noch nicht so weit ausgebreitet war... Dadurch werden die Radien aber kleiner, so dass der Hubbelparameter für große Entfernungen, also in der Vergangenheit, eigentlich größer werden müsste... Tut er aber nicht... H bleibt bei ziemlich einheitlichen 70 km / (s Mpc)... Das könnte den Effekt der Beschleunigung der Expansion um ein Vielfaches vergrößern...

Anhang

Literaturhinweise

dtv ist für seine guten Glossars bekannt... Empfehlen möchte ich folgendes Werk mit einem wirklich tollen mathematischen Anhangsteil mit Formelsammlung:

- Steven Weinberg: Die ersten drei Minuten - Der Ursprung des Universums (dtv), S.175-187

- dtv-Atlas zur Astronomie

- H. R. Henkel: Astronomie - Ein Grundkurs für Schulen, Volkshochschulen und zum Selbststudium

- Humboldt-Astronomie-Lexikon

Weblinks

Quelle

Diese Formelsammlung basiert einzig auf den Arbeiten von Joachim Stiller und ist uhrheberrechtsfrei.