Formelsammlung Astronomie

Astronomie

Entfernungseinheiten

Astronomische Einheit................1 au..........= 149,6 * 10^6 km

Lichtjahr......................................1 Ly...........= 63240 au = 9,46 * 10^12 km

Parsec........................................1 pc...........= 3,26 Ly

Kiloparsec...................................1 kpc.........= 1000 pc = 3260 Ly

Megaparsec................................1 Mpc........= 1000 kpc = 3,26 * 10^6 Ly

Konstanten

Lichtgeschwindigkeit....................c...............= 2,99798 * 10^6 km / s

Gravitationskonstante.................G...............= 6,670 * 10^-11 m³ / (kg * s²)

Bolzmannkonstante.....................k................= 1,38 * 10^-23 Nm / K

Sonnenmasse.............................Ms.............= 1,989 * 10^30 Kg

Sonnenradius..............................Rs.............= 6,960 * 10^8 m

Erstes Keplersches Gesetz

Die Bahnen der Planeten sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

Zweites Keplersches Gesetz

Die Verbindungslinie Sonne - Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen (Flächensatz).

Drites Keplersches Gesetz

Drittes Keplersches Gesetz für das Sonnensystem

Eine Näheurngsformel für das 3. Keplersche Gesetz für das Sonnensystem lautet:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C = \frac {a^3}{T^2} = \frac {G \cdot (M_S + M_P)}{ 4 \cdot \pi^2} }

$M_{S}={\frac {4\cdot \pi ^{2}\cdot r^{3}}{G\cdot T^{2}}}$

$C=3,31\cdot 10^{18}\,{\frac {m^{3}}{s^{2}}}$

Gravitation

Gravitationsgesetz

Das Gravitationsgesetz lautet:

${\vec {F}}=G\cdot {\frac {m_{1}\cdot m_{2}}{r^{2}}}$

Hubarbeit

Für die Hubarbeit im Gravitationsfeld ergibt sich:

$W_{H}=F_{G}\cdot h.$

Daraus folgt:

$W_{H}=G\cdot {\frac {M\cdot m}{r^{2}}}\cdot h$

oder:

$W_{H}=m\cdot {\frac {G\cdot M}{r^{2}}}\cdot h$

oder:

$W_{H}=m\cdot g\cdot h.$

Potentielle Energie

Für die potentielle Energie in einem Gravitationsfeld gilt:

$E_{\mathrm {pot} }=-G\cdot {\frac {m_{1}\cdot m_{2}}{r}}$

mit:

• Gravitationskraft $F$
• Massen der sich anziehenden Körper: Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m_1 } und $m_{2}$
• Abstand der sich anziehenden Körper: $r$
• Richtung zwischen den sich anziehenden Körpern: ${\vec {e}}_{r}$
• Gravitationskonstante: $G=(6{,}6742\pm 0{,}0010)\cdot 10^{-11}\;\mathrm {\frac {m^{3}}{kg\,s^{2}}}$

Auf der Erde gilt:

Kraft = Masse · Erdbeschleunigung

$F=m\cdot g$

Die Erdbeschleunigung g hängt von der geografischen Breite und der Höhe über Meeresniveau ab und ist am Äquator ca. g = 9,780 m/s² und an den Polen ca. g = 9,832 m/s².

Erdbeschleunigung:

$g={\frac {G\cdot M}{r^{2}}}$

mit

• Erdmasse: $M=5{,}972\cdot 10^{24}\,\mathrm {kg}$
• Erdradius: $r=6371\,\mathrm {km}$
• Gravitationskonstante: $G=6{,}674\cdot 10^{-11}\,{\frac {\mathrm {m^{3}} }{\mathrm {kg\,s^{2}} }}$

Diese Formel liefert etwa 9,82 m/s².

Kosmische Geschwindigkeiten

1. kosmische Geschwindigkeit (Kreisbahngeschwindigkeit)

Die 1. kosmologische Geschwindigkeit berechnet sich wie folgt:

$v_{K}={\sqrt {\frac {G\cdot M}{r}}}$

• $M$ = Masse des Zentralkörpers (Erde)
• $r$ = Bahnradius des Zentralkörpers (Erde)

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_{K, Erde} = 7,9 \ \frac {km}{s} }

Herleitung:

Bei einer Kreisbewegung eines Probekörpers $m$ um eine Zentralmasse $M$ ist die Zentrifugalkraft $F_{Zf}$ gerade gleich der Gravitationskraft $F_{G}$.

Zentrifugalkraft $F_{Zf}$ = Gravitationskraft $F_{G}$.

Daraus folgt:

${\frac {v^{2}\cdot m}{r}}={\frac {G\cdot M\cdot m}{r^{2}}}$.

Umstellen nach $v$ ergibt:

$v={\sqrt {\frac {G\cdot M}{r}}}$.

2. kosmische Geschwindigkeit (Fluchtgeschwindigkeit)

Die 2. kosmologische Geschwindigkeit berechnet sich wie folgt:

$v_{F}={\sqrt {\frac {\,2\cdot G\cdot M}{r}}}$

$v_{F,Erde}=11,2\ {\frac {km}{s}}$

Herleitung:

Bei der minimalen Fluchtgeschwindigkeit ist die kinetische Energie eines Probekörpers gerade gleich der Gravitationsenergie.

Kinetische Energie $E_{kin}$ = Gravitationsenergie $E_{G}$.

Daraus folgt:

${\frac {1}{2}}\cdot m\cdot v^{2}=G\cdot {\frac {M\cdot m}{r}}$.

Umstellen nach Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v} ergibt:

$v={\sqrt {\frac {2\cdot G\cdot M}{r}}}.$

Die Masse der Sonne berechnen

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M_S = \frac {4 \cdot \pi^2 \cdot r ^3}{G \cdot T^2} }

Die Bahngeschwindigkeit v(r) auf der Ellipse

Für die jeweilige Bahngeschwindigketi $v(r)$ einer Masse $M_{2}$ auf einer elliptischen Bahn um die Masse $M_{1}$ ergibt sich:

$v(r)={\sqrt {\,2\cdot G\cdot M_{1}\cdot \left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{2\cdot a}}\right)}}$

oder noch etwas genauer:

$v(r)={\sqrt {\,2\cdot G\cdot (M_{1}+M_{2})\cdot \left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{2\cdot a}}\right)}}$

Radius R eines Himmelskörpers

Der Radius $R$ eines Himmelskörpers lässt sich wie folgt bestimmen:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R = r \cdot sin \ 0,5 \ d'}

Mittlere Dichte eines kugelförmigen Himmelskörpers

Die mittlere Dichte ${\overline {\rho }}$ eines Himmelskörpers bestimmt sich wie folgt:

${\overline {\rho }}={\frac {m}{v}}={\frac {6\cdot m}{\pi \cdot D^{3}}}$

Leuchtkraft L der Sonne

Die Leuchtkraft $L$ der Sonne bestimmt sich wie folgt:

$L=4\cdot \pi \cdot r^{2}\cdot S$

Leuchtkraft L eines Sterns

Die Leuchtkraft $L$ eines Sterns bestimmt sich wie folgt:

$L={\frac {E}{t}}$

Scheinbare Helligkeit eines Sterns

Die scheinbare Helligkeit eines Sterns bestimmt sich wei folgt:

$m_{1}-m_{2}=-2,5\ lg\cdot {\frac {\Phi _{v,1}}{\Phi _{v,2}}}$

Absolute Helligkeit und Entfernungsmessung

Zwei Lichtquellen gleicher Strahlungsintensität $I$ mögen sich in den Entfernungen $r_{1}$ und $r_{2}$ vom Empfänger befinden. Jede der beiden Strahlungsquellen erzeugt am Ort des Empfängers eine Beleuchtungsstärke $B$. Dabei besteht zwischen $I$ und $B$ der folgende Zusammenahng:

$I=B\cdot r^{2}$

Danach gilt:

$B_{1}\cdot B_{2}=r_{1}^{2}\cdot r_{2}^{2}$

und:

${\dfrac {B_{1}}{B_{2}}}={\dfrac {r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}}$

Entfernungsmodul

Das Entfernungsmodul bestimmt sich wie folgt:

$m-M=5\ lgr-5$

$m-M=5\cdot lg\cdot r-5$

• $M$ = absolute Helligkeit

• $m$ = scheinbare Helligkeit

• $r$ = entfernung des Sterns

Leuchtkraft L der Sonne

• $m_{2}$ = Bezugshelligkeit

Zwei Sterne mögen die "scheinbare Helligkeit" $m_{1}$ und $m_{2}$ besitzen und ihre Strahlung im Empfänger die Beleuchtungsstärken $B_{1}$ und $B_{2}$ erzeugen. Dann gilt für das Verhältnis de rBeleuchtungsstärken:

${\frac {B_{1}}{B_{2}}}=2,512^{m_{2}-m_{1}}.$

Somit entspricht der physikalsichem Größe "Beleuchtungsstärke" im astronomischen Sprachgebrauch die "scheinbare Helligkeit"

Absolute Helligkeit und Entfernungsmessung

Zwei Lichtquellen gleicher Strahlungsintensität $I$ mögen sich in den Entfernungen $r_{1}$ und $r_{2}$ vom Empfänger befinden. Jede der beiden Strahlungsquellen erzeugt am Ort des Empfängers eine Beleuchtungsstärke $B$. Dabei besteht zwischen $I$ und $B$ der folgende Zusammenahng:

$I=B\cdot r^{2}$

${\dfrac {B_{1}}{B_{2}}}={\dfrac {r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}}$

Kosmologie

• $p$ = Parallaxe in Bogensekunden

Der Hubble-Parameter

für den Hubble-Parameter ergibt sich:

$R={\frac {c}{H}}$

Für H wird heute zumeist 70 km / (s Mpc) angenommen. Es handelt sich bei der Größe H allerdings nur um einen Parameter, der von v und von r abhängt... Außerdem muss berücksichtigt werden, dass das Weltall in der Vergangenheit noch nicht so weit ausgebreitet war... Dadurch werden die Radien aber kleiner, so dass der Hubbelparameter für große Entfernungen, also in der Vergangenheit, eigentlich größer werden müsste... Tut er aber nicht... H bleibt bei ziemlich einheitlichen 70 km / (s Mpc)... Das könnte den Effekt der Beschleunigung der Expansion um ein Vielfaches vergrößern...

Berechnung des Weltalters

Das Weltalter erhalten wir durch Umkehrung des Hubble-Parameters:

$T={\frac {1}{H}}$

Rotverschiebung z

Die Rotverschiebung $z$ bestimmt sich wie folgt:

$z={\frac {\Delta \lambda }{\lambda _{0}}}$

• $\lambda _{0}$ = Bezugswellenlänge

Zusammenhang zwischen Rotverschiebung z und Fluchtgeschwindigkeit v

Es besteht der folgende Zusammenhang zwischen der Rotverschiebung $z$ und der Fluchtgeschwindigkeit $v$

$z={\frac {c+v}{c-v}}$

• $c$ = Lichtgeschwindigkeit

Gravitationslinsen und Lichtablenkung im Schwerefeld

Der Ablenkwinkel (Einsteinwinkel) des Lichtes im Schwerefeld berechnet sich:

$\alpha \approx {\frac {4\cdot G\cdot M}{r\cdot c^{2}}}=2\cdot {\frac {r_{S}}{r}}$

Ereignishorizont

→ Hauptartikel: Ereignishorizont

Schwarzschildradius

Für den Schwarzschildradius (Ereignishorizont von nicht rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Schwarzschild) ergibt sich:

$r_{S}={\frac {2\cdot G\cdot M}{c^{2}}}$

Gravitationsradius

Für den Gravitationsradius (Ereignishorizont von maximal rotierenden ungeladenen Schwarzen Löchern nach Kerr) ergibt sich:

$r_{G}={\frac {r_{S}}{2}}={\frac {G\cdot M}{c^{2}}}$

Friedmanngleichungen (korrekt)

$H^{2}=\left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -{\frac {kc^{2}}{a^{2}}}\$

sowie die Beschleunigungsgleichung

${\dot {H}}+H^{2}={\frac {\ddot {a}}{a}}=-{\frac {4\pi G}{3c^{2}}}\left(\rho c^{2}+3p\right)$

Für H wird heute zumeist 70 km / (s Mpc) angenommen. Es handelt sich bei der Größe H allerdings nur um einen Parameter, der von v und von r abhängt... Außerdem muss berücksichtigt werden, dass das Weltall in der Vergangenheit noch nicht so weit ausgebreitet war... Dadurch werden die Radien aber kleiner, so dass der Hubbelparameter für große Entfernungen, also in der Vergangenheit, eigentlich größer werden müsste... Tut er aber nicht... H bleibt bei ziemlich einheitlichen 70 km / (s Mpc)... Das könnte den Effekt der Beschleunigung der Expansion um ein Vielfaches vergrößern...

Anhang

Literaturhinweise

dtv ist für seine guten Glossars bekannt... Empfehlen möchte ich folgendes Werk mit einem wirklich tollen mathematischen Anhangsteil mit Formelsammlung:

- Steven Weinberg: Die ersten drei Minuten - Der Ursprung des Universums (dtv), S.175-187

- dtv-Atlas zur Astronomie

- H. R. Henkel: Astronomie - Ein Grundkurs für Schulen, Volkshochschulen und zum Selbststudium

- Humboldt-Astronomie-Lexikon

Weblinks

• Astronomie und Astrophysik

• Formelsammlung Astronomie auf Formel-Sammlung.de
• Formelsammlung Astronomie auf Formel-Sammlung.de

• Formelsammlung Astronomie - von Joachim Stiller

Quelle

Diese Formelsammlung basiert einzig auf den Arbeiten von Joachim Stiller und ist uhrheberrechtsfrei.