imported>Odyssee |
imported>Joachim Stiller |
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| Eine unendliche '''Reihe''' ist [[Mathematik|mathematisch]] definiert als [[Folge (Mathematik)|Folge]] der '''Partialsummen''' <math>\left(s_n\right)</math> einer anderen Folge <math>\left(a_i\right)</math>:
| | {{Vorlage:Seitenkategorien}} |
| | | [[Kategorie:Die inneren Strukturen der Anthroposophie|W102]] |
| Für eine beliebige Folge <math>\left(a_i\right)</math> ist die <math>n</math>-te Partialsumme ist die Summe ihrer ersten <math>n</math> Glieder:
| | [[Kategorie:Viergliederung des Menschen|!]] |
| | | [[Kategorie:Wesensglieder|601]] |
| :<math>s_n = a_0 + a_1 + \ldots + a_n = \sum_{i=0}^n a_i</math>
| | [[Kategorie:Vierheit|W]] |
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| == Konvergenz ==
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| Falls die Reihe, d.h. die Folge der Partialsummen, [[Konvergenz|konvergiert]], so ist ihr [[Grenzwert]] die ''Summe'' oder der ''Wert'' der Reihe:
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| :<math>\lim_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^n a_i</math> | |
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| Eine Reihe ist genau dann '''absolut konvergent''', wenn die Reihe ihrer Absolutbeträge <math>\sum_{n=1}^\infty |s_n|</math> konvergiert.
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| ''Konvergente'' Reihen können gliedweise [[Addition|addiert]], [[Subtraktion|subtrahiert]] oder mit einem [[konstante]]n Faktor [[Multiplikation|multipliziert]] werden. ''Absolut konvergierende'' Reihen können auch gliedweise miteinander multipliziert werden. Die resultierende Reihe ist dann ebenfalls konvergent.
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| == Beispiele ==
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| === Arithmetische Reihe ===
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| Eine '''arithmetische Reihe''' ist die Reihe einer [[Arithmetische Folge|arithmetischen Folge]]. Die Summe einer endlichen arithmetischen Reihe ergibt auf einfache Weise aus dem [[Arithmetisches Mittel|arithmetischen Mittel]] des ersten und des letzten Gliedes:
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| :<math>s_n = \sum_{i=0}^n(a_0 + i \cdot d) = n \cdot \frac{a_0 + a_n}{2}</math> | |
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| === Geometrische Reihe ===
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| Eine '''geometrische Reihe''' ist die Reihe einer [[Geometrische Folge|geometrischen Folge]]. Für eine [[Konvergenz|konvergente]] geometrische Reihe mit <math>|q|<1</math> ergibt sich dann:
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| :<math>s_n = \sum_{i=0}^{n} a_0 q^i = a_0\frac{q^{n+1}-1}{q-1} = a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}</math>
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| bzw.
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| :<math>\lim_{n \to \infty} s_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n} a_0 q^i = \frac{a_0}{1-q}</math>
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| So hat z.B. die Reihe <math>s_n = \sum_{i=0}^{n} \frac1{2^n} = (1, 1 + \frac12, 1 + \frac12 + \frac14, 1 + \frac12 + \frac14 + \frac18, \dots) = (1, \frac32, \frac74, \frac{15}8, \dots) =</math> mit <math>a_0=1</math> und <math>q=\frac12</math> den Grenzwert <math>\lim_{n \to \infty} s_n = \frac1{1 - \frac12} = \frac1{\frac12} = 2</math>
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| == Siehe auch ==
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| * {{WikipediaDE|Reihe (Mathematik)}}
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| [[Kategorie:Mathematik]] | |