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== Steiners Aussagen ==
Das '''Superpositionsprinzip''' („Überlagerungsprinzip“; von [[lat.]] ''super'' „über“ und  ''positio'' „Lage, Setzung, Stellung“) beschreibt in der [[Mathematik]] eine grundlegende Eigenschaft [[Homogene Gleichung|homogener]] [[Lineare Gleichung|linearer Gleichungen]], nachdem auch jede [[Linearkombination]] ihrer Lösungen weitere gültige Lösungen liefert. Superpositionen erfüllen zwei einfache Bedingungen:


Es fürfte klar sein, dass diese Aussgen Steiners einen doppelten Boden haben... Sie bezeihen sich gleich Maßen auf das 20. wie auf das 21. Jahrhundert...
{| width="450px" style="margin-left:20px"
|-
| <math>f(x) = f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n) = \sum_{i=1}^{n}{f(x_i)}</math> || Additivität
|-
| <math>f(ax) = a f(x)</math> || Homogenität
|}


== Rechtschreibung ==
Eine '''Superposition''' („Überlagerung“) lässt sich daher in folgender allgemeiner Form darstellen:


Arbeite erst mal an Deiner Rechtschreibung, bevor Du hier Forderungen aufstellst, bzw. Zweifel säst.
: <math>f(x) = \sum_{i=1}^{n}{a_i f(x_i)}</math>


: Tue ich doch gar nicht.. Ich stelle lediglich fest... Gruß [[Benutzer:Joachim Stiller|Joachim Stiller]] ([[Benutzer Diskussion:Joachim Stiller|Diskussion]]) 16:39, 14. Jan. 2018 (CET)
== Physik ==
 
In der [[Physik]] lässt sich das Superpositionsprinzip für die Überlagerung gleicher [[Physikalische Größe|physikalischer Größen]] anwenden, die sich sich gegenseitig nicht stören, d.h. wenn sie mathematisch durch [[Lineare Gleichung|linearer Gleichungen]] bzw. [[Lineare Differentialgleichung|lineare Differentialgleichungen]] beschrieben werden können.
 
=== Überlagerung von Kräften in der klassischen Mechanik ===
[[Datei:Kraefteparallelogramm.svg|miniatur|Kräfteparallelogramm]]
Ein einfaches Beispiel aus der [[Klassische Mechanik|klassischen Mechanik]] ist die ungestörte Überlagerung von mehreren Kräften <math>\vec F_i</math> zu einer resultierenden Gesamtkraft <math>\vec F_R</math>, die sich im einfachsten Fall von zwei wirkenden Kräften auch grafisch durch ein '''Kräfteparallelogramm''' veranschaulichen lässt:
 
:<math>\vec F_R = \sum_{i=1}^{n} \vec F_i</math>
 
=== Interferenz ===
 
[[Interferenz (Physik)|Interferenzerscheinungen]] werden in der Physik durch die Überlagerung von [[Welle]]n (z.B. [[Schallwelle]]n, [[Wasserwelle]]n, [[elektromagnetische Welle]]n) beschrieben. Die resultierende Wellenfunktion <math>\psi(\vec x, t)</math> ergibt sich dabei aus der Summe der überlagerten Wellen <math>\psi_i(\vec x, t)</math>, d.h.:
 
:<math>\psi(\vec x, t) = \sum_{i=1}^n \psi_i(\vec x, t)</math>
 
=== Quantenphysik ===
 
Dieses Prinzip lässt sich auch in der [[Quantenmechanik]] anwenden, da [[Quantenzustand|Quantenzustände]] auch durch eine spezielle [[Wellenfunktion]], die [[Schrödingergleichung]], beschrieben werden können. In der von [[w:Paul Dirac|Paul Dirac]] eingeführten [[Bra-Ket]]-Notation lässt sich der resultiernde Gesamtzustand <math>|\psi\rangle</math> als Summe der orthonormierten Einzelzustände <math>|\varphi_i\rangle</math> formal einfach wie folgt darstellen:
 
:<math>|\psi\rangle=\sum\limits_{i=1}^n c_i|\varphi_i\rangle</math>
 
== Siehe auch ==
 
* {{WikipediaDE|Superposition (Mathematik)}}
* {{WikipediaDE|Superposition (Physik)}}
 
[[Kategorie:Mathematik]] [[Kategorie:Physik]]

Version vom 19. April 2019, 11:43 Uhr

Das Superpositionsprinzip („Überlagerungsprinzip“; von lat. super „über“ und positio „Lage, Setzung, Stellung“) beschreibt in der Mathematik eine grundlegende Eigenschaft homogener linearer Gleichungen, nachdem auch jede Linearkombination ihrer Lösungen weitere gültige Lösungen liefert. Superpositionen erfüllen zwei einfache Bedingungen:

Additivität
Homogenität

Eine Superposition („Überlagerung“) lässt sich daher in folgender allgemeiner Form darstellen:

Physik

In der Physik lässt sich das Superpositionsprinzip für die Überlagerung gleicher physikalischer Größen anwenden, die sich sich gegenseitig nicht stören, d.h. wenn sie mathematisch durch linearer Gleichungen bzw. lineare Differentialgleichungen beschrieben werden können.

Überlagerung von Kräften in der klassischen Mechanik

Kräfteparallelogramm

Ein einfaches Beispiel aus der klassischen Mechanik ist die ungestörte Überlagerung von mehreren Kräften zu einer resultierenden Gesamtkraft , die sich im einfachsten Fall von zwei wirkenden Kräften auch grafisch durch ein Kräfteparallelogramm veranschaulichen lässt:

Interferenz

Interferenzerscheinungen werden in der Physik durch die Überlagerung von Wellen (z.B. Schallwellen, Wasserwellen, elektromagnetische Wellen) beschrieben. Die resultierende Wellenfunktion ergibt sich dabei aus der Summe der überlagerten Wellen , d.h.:

Quantenphysik

Dieses Prinzip lässt sich auch in der Quantenmechanik anwenden, da Quantenzustände auch durch eine spezielle Wellenfunktion, die Schrödingergleichung, beschrieben werden können. In der von Paul Dirac eingeführten Bra-Ket-Notation lässt sich der resultiernde Gesamtzustand als Summe der orthonormierten Einzelzustände formal einfach wie folgt darstellen:

Siehe auch