Der Binomialkoeffizient , kurz auch „n über k “ genannt, ist eine mathematische Funktion , mit der sich die Koeffizienten der Potenzen eines Binoms
x
+
y
{\displaystyle x+y}
Binomischer Lehrsatz Für natürliche Exponenten
n
∈
N
0
{\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}
reelle oder komplexe Zahlen
x
,
y
{\displaystyle x,y}
binomische Lehrsatz in folgender Form:
(
x
+
y
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
n
−
k
y
k
{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\quad }
Für die Binomialkoeffizienten des resultierenden Polynoms gilt dabei:
(
n
k
)
=
n
⋅
(
n
−
1
)
⋯
(
n
−
k
+
1
)
1
⋅
2
⋯
k
=
n
!
(
n
−
k
)
!
⋅
k
!
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n\cdot (n-1)\dotsm (n-k+1)}{1\cdot 2\dotsm k}}={\frac {n!}{(n-k)!\cdot {k!}}}}
Pascalsches Dreieck Das Pascalsche Dreieck ist eine grafische Darstellung der Binomialkoeffizienten, die auch deren einfache Berechnung erlaubt. Dabei ergibt sich jeder Koeffizient aus der Summe der beiden darüber stehenden Koeffizienten entsprechend der Gleichung:
(
n
+
1
k
+
1
)
=
(
n
k
)
+
(
n
k
+
1
)
{\displaystyle {\binom {n+1}{k+1}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k+1}}}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
2
{\displaystyle 2}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
3
{\displaystyle 3}
3
{\displaystyle 3}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
4
{\displaystyle 4}
6
{\displaystyle 6}
4
{\displaystyle 4}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
5
{\displaystyle 5}
10
{\displaystyle 10}
10
{\displaystyle 10}
5
{\displaystyle 5}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
6
{\displaystyle 6}
15
{\displaystyle 15}
20
{\displaystyle 20}
15
{\displaystyle 15}
6
{\displaystyle 6}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
7
{\displaystyle 7}
21
{\displaystyle 21}
35
{\displaystyle 35}
35
{\displaystyle 35}
21
{\displaystyle 21}
7
{\displaystyle 7}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
8
{\displaystyle 8}
28
{\displaystyle 28}
56
{\displaystyle 56}
70
{\displaystyle 70}
56
{\displaystyle 56}
28
{\displaystyle 28}
8
{\displaystyle 8}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
9
{\displaystyle 9}
36
{\displaystyle 36}
84
{\displaystyle 84}
126
{\displaystyle 126}
126
{\displaystyle 126}
84
{\displaystyle 84}
36
{\displaystyle 36}
9
{\displaystyle 9}
1
{\displaystyle 1}
1
{\displaystyle 1}
10
{\displaystyle 10}
45
{\displaystyle 45}
120
{\displaystyle 120}
210
{\displaystyle 210}
252
{\displaystyle 252}
210
{\displaystyle 210}
120
{\displaystyle 120}
45
{\displaystyle 45}
10
{\displaystyle 10}
1
{\displaystyle 1}
Beispiele
n
=
2
:
(
x
+
y
)
2
=
(
2
0
)
x
2
+
(
2
1
)
x
y
+
(
2
2
)
y
2
=
x
2
+
2
x
y
+
y
2
{\displaystyle n=2:\,(x+y)^{2}={\binom {2}{0}}\,x^{2}+{\binom {2}{1}}\,xy+{\binom {2}{2}}\,y^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}
n
=
3
:
(
x
+
y
)
3
=
(
3
0
)
x
3
+
(
3
1
)
x
2
y
+
(
3
2
)
x
y
2
+
(
3
3
)
y
3
=
x
3
+
3
x
2
y
+
3
x
y
2
+
y
3
{\displaystyle n=3:\,(x+y)^{3}={\binom {3}{0}}\,x^{3}+{\binom {3}{1}}\,x^{2}y+{\binom {3}{2}}\,xy^{2}+{\binom {3}{3}}\,y^{3}=x^{3}+3\,x^{2}y+3\,xy^{2}+y^{3}}
Kombinatorik In der Kombinatorik lässt sich mithilfe des Binomialkoeffizenten ausrechnen, auf wie viele verschiedene Arten man
k
{\displaystyle k}
Menge von insgesamt
n
{\displaystyle n}
Österreich beliebte Lotto -Spiel „6 aus 45“ diese Anzahl für 6 Richtige:
(
45
6
)
=
45
!
(
45
−
6
)
!
⋅
6
!
=
45
!
39
!
⋅
6
!
=
8.145.060
{\displaystyle {\binom {45}{6}}={\frac {45!}{(45-6)!\cdot {6!}}}={\frac {45!}{39!\cdot {6!}}}=8.145.060}
Die Chance, sechs Richtige zu tippen, liegt also bei 1 / 8.145.060, d.h. bei rund 0,0000123 %.
Siehe auch 
anthrowiki.at, 
anthro.world, 
biodyn.wiki und 
steiner.wiki
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