Menge

Eine Menge von Polygonen

Die Menge (von mhd. manic „viel“) fasst eine endliche oder unendliche Anzahl beliebiger, wohlunterschiedener Elemente zu einer Gesamtheit zusammen und ist heute eines der grundlegendsten Konzepte der Mathematik.

Vereinbarungsgemäß werden die Elemente einer Menge entweder explizit oder durch eine geeignete Definition innerhalb geschwungener Klammern angegeben, z.B. für die abzählbar unendliche Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb {N} =\{1;2;3;\ldots \}$. Eine Menge, die keine Elemente enthält, wird als leere Menge $\emptyset$ oder auch $\{\}$ bezeichnet. Wird bei einer Menge auch die Reihenfolge der Elemente berücksichtigt, spricht man von einer Folge

Die Mengenlehre wurde in der Zeit von 1874 bis 1897 von Georg Cantor (1845-1918) begründet. Er definierte den Begriff „Menge“ wie folgt:

„Unter einer „Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen.“

– Georg Cantor

Die Mächtigkeit oder Kardinalität einer Menge wird durch die Kardinalzahl angegeben. Für endliche Menge ist sie gleich der Anzahl ihrer Elemente. Unendliche Mengen können unterschiedliche Mächtigkeiten haben, die durch den hebräischen Buchstaben $\aleph$ und einen Index bezeichnet werden. Für die abzählbar unendliche Menge der natürlichen Zahlen, die unter den unendlichen Mengen die geringste Mächtigkeit haben, schreibt man entsprechend $\aleph _{0}$. Die überabzählbare unendliche Menge der reellen Zahlen hat unter Annahme der Kontinuumshypothese die Mächtigkeit $\aleph _{1}$, andernfalls gilt zumindest $\aleph _{1}\leq \left\vert \mathbb {R} \right\vert$.