Fraktal und Kategorie:Homosexualität: Unterschied zwischen den Seiten

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[[Datei:Mandelbrot set with coloured environment.png|miniatur|Berühmtes Fraktal:<br />die [[Mandelbrot-Menge]] (sogenanntes „Apfelmännchen“)]]
[[Kategorie:Sexuelle Orientierung]]
 
[[Kategorie:Homosexualität|!]]
'''Fraktal''' ist ein vom Mathematiker [[Benoît Mandelbrot]] 1975 geprägter Begriff ({{laS|''fractus''}} ‚gebrochen‘, von {{laS|''frangere''}}‚ (in Stücke zer-)‚brechen‘), der bestimmte natürliche oder künstliche Gebilde oder geometrische [[Muster (Struktur)|Muster]] bezeichnet.
[[Kategorie:Sexualität]]
 
Diese Gebilde oder Muster besitzen im Allgemeinen keine ganzzahlige [[Hausdorff-Dimension]], sondern eine gebrochene – daher der Name – und weisen zudem einen hohen Grad von [[Skaleninvarianz]] bzw. [[Selbstähnlichkeit]] auf. Das ist beispielsweise der Fall, wenn ein Objekt aus mehreren verkleinerten Kopien seiner selbst besteht. Geometrische Objekte dieser Art unterscheiden sich in wesentlichen Aspekten von gewöhnlichen glatten Figuren.
 
== Begriff und Umfeld ==
 
Der Begriff Fraktal kann sowohl [[substantiv]]isch als auch [[adjektiv]]isch verwendet werden. Das Gebiet der [[Mathematik]], in dem Fraktale und ihre Gesetzmäßigkeiten untersucht werden, heißt ''fraktale Geometrie'' und ragt in mehrere andere Bereiche hinein, wie [[Funktionentheorie]], [[Berechenbarkeitstheorie]] und [[Dynamisches System|dynamische Systeme]]. Wie der Name schon andeutet, wird der klassische Begriff der [[Euklidische Geometrie|euklidischen Geometrie]] erweitert, was sich auch in den gebrochenen und nicht [[Natürliche Zahl|natürlichen]] [[Fraktale Dimension|Dimensionen]] vieler Fraktale widerspiegelt. Neben Mandelbrot gehören [[Wacław Sierpiński]] und [[Gaston Maurice Julia]] zu den namensgebenden Mathematikern.
 
== Fraktale Dimension; Selbstähnlichkeit ==
[[Datei:Mandel zoom 14 satellite julia island.jpg|mini|rechts|Ein kleiner Ausschnitt vom Rand der [[Mandelbrotmenge]]. Hier zeigt sie Ähnlichkeit mit einer [[Julia-Menge]]]]
 
In der traditionellen Geometrie ist eine Linie eindimensional, eine Fläche zweidimensional und ein räumliches Gebilde dreidimensional. Für die ''fraktalen Mengen'' lässt sich die Dimensionalität nicht unmittelbar angeben: Führt man beispielsweise eine Rechenoperation für ein fraktales Linienmuster tausende von Malen fort, so füllt sich mit der Zeit die gesamte Zeichenfläche (etwa der Bildschirm des Computers) mit Linien, und das eindimensionale Gebilde nähert sich einem zweidimensionalen.
 
Mandelbrot benutzte den Begriff der verallgemeinerten [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] nach [[Felix Hausdorff|Hausdorff]] und stellte fest, dass fraktale Gebilde meist eine nicht-ganzzahlige Dimension aufweisen. Sie wird auch als [[fraktale Dimension]] bezeichnet. Daher führte er folgende Definition ein:
 
:Ein Fraktal ist eine Menge, deren [[Hausdorff-Dimension]] größer ist als ihre [[Lebesgue’sche Überdeckungsdimension]].
 
Jede Menge mit nicht-ganzzahliger Dimension ist also ein Fraktal. Die Umkehrung gilt nicht, Fraktale können auch ganzzahlige Dimension besitzen, beispielsweise die [[Peano-Kurve]] oder die [[Sierpinski-Pyramide]].
 
Besteht ein Fraktal aus einer bestimmten Anzahl von verkleinerten Kopien seiner selbst und ist dieser Verkleinerungsfaktor für alle Kopien derselbe, so verwendet man die [[Fraktale Dimension|Ähnlichkeitsdimension]] <math>D</math>, die in solchen einfachen Fällen der anschaulichen Berechnung der Hausdorff-Dimension entspricht.
 
:<math> D = \frac{\log(\text{Anzahl selbstähnlicher Teile})} {\log(\text{Verkleinerungsfaktor})} </math>
 
== Beispiele ==
[[Datei:SierpinskiTriangle.svg|mini|[[Sierpinski-Dreieck]] in der siebten [[Iteration]]sstufe]]
[[Datei:Pythagoras baum Filled.png|mini|[[Pythagoras-Baum]]]]
[[Datei:Menger-Schwamm-einfarbig.jpg|mini|[[Menger-Schwamm]] nach der 4. Iterationsstufe]]
 
Die einfachsten Beispiele für selbstähnliche Objekte sind Strecken, Parallelogramme (u.&nbsp;a. Quadrate) und Würfel, denn sie können durch zu ihren Seiten parallele Schnitte in verkleinerte Kopien ihrer selbst zerlegt werden. Diese sind jedoch keine Fraktale, weil ihre Ähnlichkeitsdimension und ihre Lebesgue’sche Überdeckungsdimension übereinstimmen. Ein Beispiel für ein selbstähnliches Fraktal ist das [[Sierpinski-Dreieck]], welches aus drei auf die halbe Seitenlänge verkleinerten Kopien seiner selbst aufgebaut ist. Es hat somit die Ähnlichkeitsdimension <math> \tfrac{\log 3}{\log 2}\approx 1{,}585</math>, während die Lebesgue’sche Überdeckungsdimension gleich 1 ist.
 
Die Selbstähnlichkeit muss nicht perfekt sein, wie die erfolgreiche Anwendung der Methoden der fraktalen Geometrie auf natürliche Gebilde wie Bäume, Wolken, Küstenlinien usw. zeigt. Die genannten Objekte sind in mehr oder weniger starkem Maß selbstähnlich strukturiert (ein Baumzweig sieht ungefähr so aus wie ein verkleinerter Baum), die Ähnlichkeit ist jedoch nicht streng, sondern [[Stochastik|stochastisch]]. Im Gegensatz zu Formen der [[Euklidische Geometrie|euklidischen Geometrie]], die bei einer Vergrößerung oft flacher und damit einfacher werden (etwa ein Kreis), können bei Fraktalen immer komplexere und neue Details auftauchen.
 
Fraktale Muster werden oft durch [[Rekursion|rekursive]] Operationen erzeugt. Auch einfache Erzeugungsregeln ergeben nach wenigen Rekursionsschritten schon komplexe Muster.
 
Dies ist zum Beispiel am [[Pythagoras-Baum]] zu sehen. Ein solcher Baum ist ein Fraktal, welches aus [[Quadrat (Geometrie)|Quadraten]] aufgebaut ist, die so angeordnet sind wie im [[Satz des Pythagoras]] definiert.
 
Ein weiteres Fraktal ist das [[Newton-Fraktal]], erzeugt über das zur [[Nullstelle]]nberechnung verwendete [[Newton-Verfahren]].
 
Beispiele für Fraktale im dreidimensionalen Raum sind der [[Menger-Schwamm]] und die [[Sierpinski-Pyramide]] auf Basis des Tetraeders (so wie das [[Sierpinski-Dreieck]] auf dem gleichseitigen Dreieck basiert). Entsprechend lassen sich auch in höheren Dimensionen Fraktale nach Sierpinski bilden – bspw. basierend auf dem [[Pentachoron]] im vierdimensionalen Raum.
 
== Anwendungen ==
Durch ihren Formenreichtum und den damit verbundenen ästhetischen Reiz spielen sie in der [[Digitale Kunst|digitalen Kunst]] eine Rolle und haben dort das Genre der [[Fraktalkunst]] hervorgebracht. Ferner werden sie bei der computergestützten Simulation formenreicher Strukturen, beispielsweise realitätsnaher Landschaften, eingesetzt. Um in der [[Funktechnik]] verschiedene [[Frequenz]]bereiche zu empfangen, werden [[Fraktalantenne]]n genutzt.
 
== Fraktale in der Natur ==
[[Datei:Romanesco.jpg|mini|[[Blumenkohl#Formen und Typen|Romanesco]]]]
 
Fraktale Erscheinungsformen findet man auch in der Natur. Dabei ist jedoch die Anzahl der Stufen von selbstähnlichen Strukturen begrenzt und beträgt oft nur drei bis fünf. Typische Beispiele aus der Biologie sind die fraktalen Strukturen bei der grünen Blumenkohlzüchtung [[Blumenkohl#Formen und Typen|Romanesco]] und bei den [[Farne]]n. Auch der [[Blumenkohl]] hat einen fraktalen Aufbau, wobei man es diesem Kohl auf den ersten Blick häufig gar nicht ansieht. Es gibt aber immer wieder einige Blumenkohlköpfe, die dem Romanesco im fraktalen Aufbau sehr ähnlich sehen.
 
Weit verbreitet sind fraktale Strukturen ohne strenge, aber mit statistischer Selbstähnlichkeit. Dazu zählen beispielsweise Bäume, Blutgefäße, Flusssysteme und Küstenlinien. Im Fall der Küstenlinie ergibt sich als Konsequenz die Unmöglichkeit einer exakten Bestimmung der [[Küstenlänge]]: Je genauer man die Feinheiten des Küstenverlaufes misst, umso größer ist die Länge, die man erhält. Im Falle eines mathematischen Fraktals, wie beispielsweise der [[Kochkurve]], wäre sie unbegrenzt.
 
Fraktale finden sich auch als Erklärungsmodelle für chemische Reaktionen. Systeme wie die Oszillatoren (Standardbeispiel [[Belousov-Zhabotinsky-Reaktion]]) lassen sich einerseits als Prinzipbild verwenden, andererseits aber auch als Fraktale erklären. Ebenso findet man fraktale Strukturen auch im [[Kristallwachstum]] und bei der Entstehung von [[Gemisch|Mischungen]], z.&nbsp;B. wenn man einen Tropfen Farblösung in ein Glas Wasser gibt. Die [[Lichtenberg-Figur]] zeigt ebenfalls fraktale Struktur.
 
Das Auffasern von Bast lässt sich über die fraktale Geometrie von Naturfaserfibrillen erklären. Insbesondere ist die [[Gemeiner Lein|Flachsfaser]] eine fraktale Faser.
 
== Verfahren zur Erzeugung von Fraktalen ==
Fraktale können auf viele verschiedene Arten erzeugt werden, doch alle Verfahren enthalten ein [[Rekursion|rekursives]] Vorgehen:
 
* Die [[Iteration]] von Funktionen ist die einfachste und bekannteste Art, Fraktale zu erzeugen; die [[Mandelbrot-Menge]] entsteht so. Eine besondere Form dieses Verfahrens sind [[Iteriertes Funktionen-System|IFS]]–Fraktale ([[Iteriertes Funktionen-System|Iterierte Funktionensysteme]]), bei denen mehrere Funktionen kombiniert werden. So lassen sich natürliche Gebilde erstellen.
* [[Dynamisches System|Dynamische Systeme]] erzeugen fraktale Gebilde, sogenannte [[Seltsamer Attraktor|seltsame Attraktoren]].
* [[Lindenmayer-System|L-Systeme]], die auf wiederholter Textersetzung beruhen, eignen sich gut zur Modellierung natürlicher Gebilde wie Pflanzen und Zellstrukturen.
 
Es gibt fertige Programme, sogenannte [[Fraktalgenerator]]en, mit denen Computeranwender auch ohne Kenntnis der mathematischen Grundlagen und Verfahren Fraktale darstellen lassen können.
 
== „Einfache und regelmäßige“ Fraktale ==
{| border="2" cellspacing="0" cellpadding="4" rules="all" style="border-collapse:collapse; empty-cells:show; margin: 2ex 2em; border: solid 1px #aaaaaa; font-size: 95%;"
|- style="text-align: center" class="hintergrundfarbe6"
|Fraktal || L-System || Winkel || Strecken-Verhältnis || Visualisierung
|-
|[[Drachenkurve]]
|
F → R oder F → L
R → +R--L+
L → -R++L-
| <math>45^\circ</math> ||<math>1:1/\sqrt{2}</math>
|[[Datei:Drachenkurve.png|ohne|150px|Drachenkurve]]
|-
|[[Gosper-Kurve]]
|
F → R oder F → L
R → R+L++L-R--RR-L+
L → -R+LL++L+R--R-L
| <math>60^\circ</math> ||<math>1:1/\sqrt{7}</math>
|[[Datei:gosper curve 3.svg|ohne|150px|Gosper-Kurve]]
|-
|[[Hilbert-Kurve]]
|
X
X → -YF+XFX+FY-
Y → +XF-YFY-FX+
| <math>90^\circ</math> ||<math>1:1/2</math>
|[[Datei:Hilbert7.png|ohne|150px|Hilbert-Kurve]]
|-
|[[Koch-Kurve|Koch-Flocke]]
|
F--F--F
F → F+F--F+F
| <math>60^\circ</math> ||<math>1:1/3</math>
| [[Datei:Koch Snowflake 7th iteration.svg|ohne|150px|Kochsche Schneeflocke]]
|-
|[[Peano-Kurve]]
|
X
X → XFYFX+F+YFXFY-F-XFYFX
Y → YFXFY-F-XFYFX+F+YFXFY
| <math>90^\circ</math> ||
| [[Datei:Peanokurve.png|ohne|150px|Peano-Kurve]]
|-
|[[Peano-Kurve]]
|
F
F → F-F+F+F+F-F-F-F+F
| <math>90^\circ</math> ||<math>1:1/3</math>
| [[Datei:Peano 2.GIF|ohne|150px|Peano-Kurve]]
|-
|[[Roger Penrose|Penta Plexity]]
|
F++F++F++F++F
F → F++F++F<nowiki>|</nowiki>F-F++F
| <math>36^\circ</math> ||<math>1:1/\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)^2</math>
||[[Datei:Penta plexity.png|ohne|150px|Penta Plexity]]
|-
|[[Sierpinski-Dreieck|Pfeilspitze]]
|
F → R oder F → L
R → -L+R+L-
L → +R-L-R+
| <math>60^\circ</math> ||<math>1:1/2</math>
|[[Datei:PfeilspitzenFraktal.PNG|ohne|150px|Pfeilspitzen-Fraktal]]
|-
|[[Sierpinski-Dreieck]]
|
FXF--FF--FF
X → --FXF++FXF++FXF--
F → FF
| <math>60^\circ</math> ||
|[[Datei:SierpinskiTriangle.svg|ohne|150px|Sierpinski-Dreieck]]
|-
|[[Sierpinski-Dreieck]],<br>2.&nbsp;Variante
|
F--F--F
F → F--F--F--ff
f → ff
| <math>60^\circ</math> ||<math>1:1/3</math>
|[[Datei:SierpinskiTriangle.svg|ohne|150px|Sierpinski-Dreieck]]
|-
|[[Sierpinski-Teppich]]
|
F
F → F+F-F-FF-F-F-fF
f → fff
| <math>90^\circ</math> ||<math>1:1/3</math>
| [[Datei:Menger5.png|ohne|150px|Sierpinski-Teppich]]
|-
|[[Lévy-C-Kurve]]
|
F
F → +F--F+
| <math>45^\circ</math> ||<math>1:1/~1{,}45</math>
| [[Datei:C kurve.png|ohne|150px|C-Kurve]]
 
|}
 
;Erklärung des L-Systems:
Das ''optionale'', also nicht notwendige ''F'' wird im Allgemeinen als Strecke benutzt, die durch eine Anweisungsfolge ersetzt wird. Wie das ''F'' stehen auch andere groß geschriebene Buchstaben wie ''R'' und ''L'' für einen Streckenabschnitt, der ersetzt wird. ''+'' und ''−'' stehen für einen bestimmten Winkel, der im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn läuft. Das Symbol ''|'' bezeichnet eine Kehrtwendung des Zeichenstiftes, also eine Drehung um 180°. Gegebenenfalls setzt man dafür ein entsprechendes Vielfaches des Drehwinkels ein.
 
;Beispiel Drachenkurve:
  F → R
  R → +R--L+
  L → -R++L-
 
F ist eine einfache Strecke zwischen zwei Punkten. F → R heißt, dass die Strecke F durch R ersetzt wird. Dieser Schritt ist notwendig, da es zwei rekursive Ersetzungen R und L besitzt, die sich gegenseitig enthalten. Im Weiteren wird wie folgt ersetzt:
 
  R
  +R--L+
  +(+R--L+)--(-R++L-)+
  +(+(+R--L+)--(-R++L-)+)--(-(+R--L+)++(-R++L-)-)+
  .
  .
  .
 
Ab einem bestimmten Abschnitt muss dieser Ersetzungsprozess abgebrochen werden, um eine Grafik zu bekommen:
 
  +(+(+r--l+)--(-r++l-)+)--(-(+r--l+)++(-r++l-)-)+
 
Dabei stellen r und l jeweils eine fest vorgegebene Strecke dar.
 
== Zufallsfraktale ==
Daneben spielen in der Natur auch „Zufallsfraktale“ eine große Rolle. Diese werden nach [[Wahrscheinlichkeitstheorie|probabilistischen]] Regeln erzeugt. Dies kann etwa durch Wachstumsprozesse geschehen, wobei man beispielsweise [[diffusionsbegrenztes Wachstum]] (Witten und Sander) und „Tumorwachstum“ unterscheidet. Im ersten Fall entstehen baumartige Strukturen, im letzten Fall Strukturen mit runder Form, je nachdem, in welcher Weise man die neu hinzukommenden Teilchen an die schon vorhandenen Aggregate anlagert. Wenn die fraktalen Exponenten nicht konstant sind, sondern z.&nbsp;B. von der Entfernung von einem zentralen Punkt des Aggregats abhängen, spricht man von sog. ''Multifraktalen''.<ref>Siehe z.&nbsp;B. {{Cite journal | author = Z. Eisler, J. Kertész | title = Multifractal model of asset returns with leverage effect | journal = Physica A: Statistical Mechanics and its Applications | date = 2004-11 | pages = 603–622 | volume = 343 | doi = 10.1016/j.physa.2004.05.061 | arxiv = cond-mat/0403767}}</ref>
 
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Fraktal}}
 
== Literatur ==
[[Datei:Julia set (highres 01).jpg|mini|Julia-Menge]]
* Herbert Voß: ''Chaos und Fraktale selbst programmieren'', franzis 1994, ISBN 3-7723-7003-9
* Horst Halling, Rolf Möller: ''Mathematik fürs Auge – Eine Einführung in die Welt der Fraktale'', Spektrum 1995, ISBN 3-86025-427-8
* Benoît Mandelbrot: ''Les Objects Fractals: Forme, Hasard et Dimension'', 1975 (französisch). In Englisch: ''Fractals: Form, Chance and Dimension'', W.H. Freeman & Co, 1977, ISBN 0-7167-0473-0.
* Benoît Mandelbrot: ''Die fraktale Geometrie der Natur'', Birkhäuser 1987, ISBN 3-7643-2646-8 (engl. 1982 publiziert).
* Heinz-Otto Peitgen, Peter Richter: ''The Beauty of Fractals. Images of Complex Dynamical Systems'', Springer 1986, ISBN 0-387-15851-0 bzw. ISBN 3-540-15851-0
* Heinz-Otto Peitgen, Dietmar Saupe: ''The Science of Fractal Images'', Springer 1st ed. 1988, ISBN 0-387-96608-0
* Kenneth Falconer: ''FRACTAL GEOMETRY. Mathematical Foundations and Applications'', Wiley 1997
* Reinhart Behr: ''Fraktale, Formen aus Mathematik und Natur''. Stuttgart, Klett-Schulbuchverlag, 1. Auflage (1993), ISBN 3-12-722420-6.
* Reinhart Behr: ''Ein Weg zur fraktalen Geometrie''. Stuttgart, Klett-Schulbuchverlag, 1. Auflage (1989), ISBN 3-12-722410-9.
 
== Einzelnachweise ==
<references />
 
== Weblinks ==
{{Commons|Fractal|Fraktal}}
{{Wiktionary}}
* [http://fraktale.quadsoft.org/ Website über Fraktale für Einsteiger mit zahlreichen Illustrationen]
* [http://polymer.bu.edu/museum/ Natürliche Fraktale in Wissenschaft und Medizin] (englisch)
* [http://matek.hu/xaos/doku.php GNU Xaos, freier interaktiver Fraktal Explorer]
* [http://gis.ibbeck.de/apps/Mandelbrot/htdocs/wms_mandelbrot_frames.html Online CGI Mandelbrot Fractal Explorer] – Interaktive Erforschung der Mandelbrot-Menge mit MapClient (OpenLayers)
* [https://www.youtube.com/watch?v=7Pf6jZWguCc Video vergrößern Mandelbox] – Beispiel für 3D-Fraktal
* [https://www.youtube.com/watch?v=VB-XUoDqYfs Flug durch ein animiertes 3D Fraktal] (Video)
 
[[Kategorie:Fraktale Geometrie|!]]
[[Kategorie:Computerkunst]]
[[Kategorie:Mathematik]]
[[Kategorie:Ornamentik]]
 
{{Wikipedia}}

Version vom 24. April 2020, 05:46 Uhr