Welle und 1786: Unterschied zwischen den Seiten

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{{Doppeltes Bild|rechts|EM-Wave_noGIF.svg|200|EM-Wave.gif|200|Linear polarisierte elektromagnetische Welle im Vakuum. Die monochromatische Welle mit der [[Wikipedia:Wellenlänge|Wellenlänge]] <math>\lambda</math> breitet sich in ''x''-Richtung aus, die [[Wikipedia:elektrische Feldstärke|elektrische Feldstärke]] <math>\vec E</math> (in blau) und die [[Wikipedia:magnetische Flussdichte|magnetische Flussdichte]] <math>\vec B</math> (in rot) stehen zueinander und zur Ausbreitungsrichtung im rechten Winkel.}}
'''1786'''
 
Eine '''Welle''' ist aus [[Physik|physikalischer Sicht]] eine sich räumlich mit einer bestimmten [[Geschwindigkeit]] ausbreitende Veränderung (Störung) bzw. [[Schwingung]] einer [[ort]]s- und [[zeit]]abhängigen [[Physikalische Größe|physikalischen Größe]]. Dabei wird keine [[Materie]], wohl aber [[Energie]] transportiert. [[Mechanik|Mechanische]] Wellen - wie beispielsweise Schallwellen - bedürfen für ihre Ausbreitung eines [[Materie|materiellen]] Trägers (bei Schallwellen z.B. [[Luft]], [[Wasser]] oder auch [[Festkörper]]), während sich etwa [[elektromagnetische Welle]]n auch im [[Vakuum]] ausbreiten können.
 
{{Doppeltes Bild|rechts|Pricna vlna.gif|200px|Podelna vlna.gif|200px|Transversalwelle|Longitudinalwelle}}
 
== Grundlagen ==
 
Fällt die [[Schwingung]]srichtung mit der Ausbreitungsrichtung zusammen, spricht man von '''Logitudinalwellen''', während bei '''Transversalwellen''' die Schwingung quer zur Ausbreitungsrichtung erfolgt. Dreht sich dabei die Schwingungsebene um die Ausbreitungsachse, spricht man von '''Torsionswellen'''. ''Schallwellen'' breiten sich in [[Flüssigkeit]]en und [[Gas]]en als Longitudinalwellen aus, in Festkörpern hingegen ähnlich den ''elektromagnetischen Wellen'' auch als Transversalwellen.
 
Die '''Wellenlänge''' ''<math>\lambda</math>'' ist der kleinste Abstand zweier Punkte in gleicher [[Phasenwinkel|Phase]] und umgekehrt proportional zur [[Frequenz]] <math>\nu</math>, mit der '''Phasengeschwindigkeit''' <math>c</math> als Proportionalitätsfaktor. Ihr Kehrwert ist die '''Wellenzahl''' <math>\tilde \nu</math>, die die Anzahl der Wellenlängen pro Längeneinheit angibt. Für ''monochromatische Wellen'' ist die '''Ausbreitungsgeschwindigkeit''' der Welle mit der ''Phasengeschwindigkeit'' identisch.
 
:<math>\lambda=\frac c\nu\</math> bzw. <math>\tilde \nu = \frac{1}{\lambda} =  \frac{\nu}{c}</math>
 
Für ''elektromagnetische Wellen'' ist <math>c</math> gleich der [[Lichtgeschwindigkeit]], d.h. der endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit des [[Licht]]s im Vakuum. Nach den [[Maxwell-Gleichungen|Maxwellschen Gleichungen]] der [[Elektrodynamik]] ist sie unabhängig von der Frequenz und der Bewegung der [[Lichtquelle]] stets konstant. Ihr Wert beträgt <math>c=299\,792\,458\;\mathrm{m/s}</math>. Aus der Konstanz der Vakuumlichtgeschwindigkeit folgen die 1905 von [[Albert Einstein]] veröffentlichten Gesetzmäßigkeiten der [[Spezielle Relativitätstheorie|speziellen Relativitätstheorie]].
 
Eine '''monochromatische Welle''', d.h. eine Welle mit nur einer einzigen Frequenz, kann als '''harmonische Welle''' durch die [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>A \cdot \cos(\omega t - \phi)</math> beschrieben werden. <math>A</math> ist dabei die [[Amplitude]], <math>\omega = 2\pi\nu</math> die [[Kreisfrequenz]], <math>t</math> die Zeit und <math>\phi</math> die [[Schwingung|Anfangsphase]] der Welle.
 
== Stehende Welle und Wanderwelle ==
[[Datei:Wanderwelle-Animation.gif|miniatur|hochkant=2|Eine fortschreitende Wanderwelle mit der Wellenlänge <math>\lambda</math>]]
[[Datei:Standing wave 2.gif|mini|Eine stehende Welle (schwarz) als Überlagerung zweier gegenläufiger Wanderwellen (rot und blau). Die Knoten der stehenden Welle befinden sich an den roten Punkten.]]
[[Datei:Wave packet (no dispersion).gif|miniatur|Ausbreitung eines eindimensionalen Wellenpakets ohne Dispersion.]]
[[Datei:Plane wave wavefronts 3D.svg|mini|Die Ebenen gleicher Phase einer ebenen Welle im dreidimensionalen Raum.]]
 
Eine '''stehende Welle''' ist dadurch gekennzeichnet, dass ihre Auslenkung - im Gegensatz zu einer fortschreitenden '''Wanderwelle''' - an bestimmten Stellen, den '''Wellenknoten''', stets Null bleibt, während sie an anderen, den '''Wellenbäuchen''', weit ausschwingt.
 
== Wellenpaket ==
 
Ein '''Wellenpaket''' ist eine [[Raum|räumlich]] oder [[zeit]]lich begrenzte Welle. [[Mathematik|Mathematisch]] kann sie durch Überlagerung (''Superposition'') mehrerer '''harmonischer Wellen''' ('''Sinuswellen''') erzeugt werden (→ [[Fourier-Synthese]]) bzw. durch [[Fourier-Analyse]] bzw. experimentell durch [[Spektralanalyse]] wieder in ihre Bestandteile zerlegt werden.
 
Ist die ''Phasengeschwindigkeit'' der Welle von der [[Frequenz]] abhängig, kommt es zur [[Dispersion|Dispersion]] durch die das Wellenpaket mit fortschreitender Zeit zerfließt.
 
== Ebene Welle ==
 
Eine '''ebene Welle''' breitet sich so im [[dreidimensional]]en [[Raum]] aus, dass ihre '''Wellenfronten''', d.h. die [[Fläche (Mathematik)|Flächen]] mit gleichen Phasenwinkel, senkrecht zur Ausbreitungsrichtung stehen.
 
== Wellengleichung ==
 
Mathematisch betrachtet ist eine Welle <math>u(x_1, ..., x_i, t)</math> im <math>n</math>-dimensionalen [[Raum]] eine Lösung der allgemeinen '''Wellengleichung'''.
 
Für die ''homogene Wellengleichung'' gilt:
 
:<math> \frac 1 {c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^{\prime 2}}-\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} = 0</math> bzw. <math>\frac 1 {c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^{\prime 2}}-\Delta u = 0</math> mit dem [[Wikipedia:Laplace-Operator|Laplace-Operator]] <math>\Delta= \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2}{\partial x_i^2} </math> bzw. kurz <math> \Box u = 0</math>
mit dem [[Wikipedia:d’Alembert-Operator|d’Alembert-Operator]] (Box) <math>\Box = \frac{\partial ^2}{\partial t^2} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2}{\partial x_i^2}</math>
 
Mit der Inhomogenität oder Quelle <math>v(x_1, ..., x_i, t)</math> von <math>u</math> ergibt sich entsprechend für die ''inhomogene Wellengleichung'': <math>\Box u = v</math>
 
Für eine eindimensionalen homogene Welle folgt daraus die vereinfachte Form:
 
:<math>\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = 0</math>
 
Mittels [[Fourier-Transformation]] lässt sich die allgemeine Lösung der Wellengleichung mit der Kreisfrequenz <math>\omega = 2\pi\nu = kc</math> als [[Wikipedia:Linearkombination|Linearkombination]] komplexer [[Exponentialfunktion]]en bzw. [[Sinusfunktion]]en folgender Form darstellen:
 
:<math>A\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf k \mathbf x -\omega t)}</math> bzw. <math>A\sin(\mathbf k \mathbf x -\omega t + \varphi)</math>


== Siehe auch ==
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|1786}}


* {{WikipediaDE|Welle}}
[[Kategorie:Jahreszahlen]]
 
== Weblinks ==
{{Commonscat|Waves|Wellen}}
* [http://www.chemie.de/lexikon/Wellengleichung.html Wellengleichung] auf [http://www.chemie.de chemie.de]
 
[[Kategorie:Physik]]

Aktuelle Version vom 16. Oktober 2018, 21:13 Uhr

1786

Siehe auch

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