Mehrwertige Logik und Fuzzylogik: Unterschied zwischen den Seiten

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'''Mehrwertige Logik''' ist ein Oberbegriff für alle [[Logik|logischen Systeme]], die mehr als zwei [[Wahrheitswert]]e verwenden.
[[Datei:Fuzzy logic temperature de.svg|mini|Fuzzylogik einer Temperaturregelung]]


Ausgangspunkt für die Entwicklung mehrwertiger Logiken war die erkenntnistheoretische Frage, ob dem [[Prinzip der Zweiwertigkeit]] außerlogische Wahrheit zukommt. Für Aussagen über die Zukunft stellt bereits [[Aristoteles]] diese Frage, indem er argumentiert, dass die Wahrheit einer Aussage wie „Morgen wird eine Seeschlacht stattfinden“ erst am Abend des morgigen Tages feststehen wird und dass sie bis zu diesem Zeitpunkt noch als unbestimmt und damit als [[Kontingenz (Philosophie)|kontingent möglich]] betrachtet werden muss.<ref>Aristoteles, [[De interpretatione]] c. 9., zitiert nach [[Ewald Richter]]: ''Logik, mehrwertige''. In: ''[[Historisches Wörterbuch der Philosophie]]''. Band 5, S. 444</ref>
'''Fuzzylogik''' ({{enS|''fuzzy''}} ‚verwischt‘, ‚verschwommen‘, ‚unbestimmt‘; ''fuzzy logic'', ''fuzzy theory'' ‚unscharfe Logik‘ bzw. ‚unscharfe Theorie‘) oder '''Unschärfelogik'''<ref>{{Literatur
|Autor=Hartmut Heine
|Titel=Lehrbuch der biologischen Medizin. Grundregulation und Extrazelluläre Matrix
|Auflage=4.
|ISBN=978-3-8304-7544-6
|Seiten=106}}</ref><ref>{{Literatur
|Autor=Lutz J. Heinrich, Armin Heinzl, Friedrich Roithmayr
|Titel=Wirtschaftsinformatik-Lexikon
|Auflage=7.
|ISBN=3-486-27540-2
|Seiten=684
}}</ref> ist eine Theorie, welche in der [[Mustererkennung]] zur ''präzisen Erfassung des Unpräzisen'' ([[Lotfi Zadeh|Zadeh]]) entwickelt wurde, sodann der [[Modellierung]] von [[Unschärfe (Sprache)|Unschärfe]] von [[Natürliche Sprache|umgangssprachlichen]] Beschreibungen von [[Systemtheorie|Systemen]] diente, heute aber überwiegend in angewandten Bereichen wie etwa der [[Regelungstechnik]] eine Rolle spielt.  


Die erste im modernen Sinn formalisierte mehrwertige Logik ist die im Jahre 1920 von [[Jan Łukasiewicz]] vorgestellte [[dreiwertige Logik]] L<sub>3</sub>. Ihre drei Wahrheitswerte interpretiert Łukasiewicz unter Berufung auf das Seeschlacht-Beispiel des Aristoteles als „wahr“, „falsch“ und –&nbsp;für zukünftige Aussagen, deren Wahrheit noch nicht feststeht&nbsp;(kontingent) möglich“.
Als Verallgemeinerung der zweiwertigen [[Boolesche Algebra|Booleschen Logik]] erlaubt sie beispielsweise die Ausprägung einer Eigenschaft – wie sie die sogenannten [[Heckenausdruck|Heckenausdrücke]] „ein bisschen“, „ziemlich“, „stark“ oder „sehr“ der natürlichen Sprache zur Verstärkung oder Abschwächung eines Prädikats bereitstellen als Zugehörigkeitsgrad numerisch zu erfassen und damit die ''[[Unschärfe (Sprache)|Unschärfe (Fuzziness)]]'' eines sprachlichen Ausdrucks mathematisch präzise zu modellieren.


In neuerer Zeit haben mehrwertige Logiken im Bereich der [[Informatik]] hohe praktische Bedeutung gewonnen. Sie ermöglichen den Umgang mit der Tatsache, dass [[Datenbank]]en nicht nur eindeutig bestimmte, sondern auch unbestimmte, fehlende oder sogar widersprüchliche Informationen enthalten können.
Die Fuzzylogik basiert auf den ''unscharfen (fuzzy) Mengen'' (Fuzzy-Sets). Dabei wird die Menge nicht wie bisher durch die Objekte definiert, die Elemente dieser Menge sind (oder nicht sind), sondern über den Grad ihrer Zugehörigkeit zu dieser Menge. Das geschieht durch ''Zugehörigkeitsfunktionen'', die jedem Element einen numerischen Wert als Zugehörigkeitsgrad zuordnen. Die so eingeführten neuen Mengenoperationen definieren die Operationen eines zugehörigen Logikkalküls, das die Modellierung von [[Schlussfolgerung|Inferenzprozessen]] erlaubt.


== Grundlagen mehrwertiger Logik ==
== Historische Entwicklung ==
Die Überlegungen zu einer ''Logik der Unschärfe'' reichen zurück in die griechische Antike. Bereits der Philosoph [[Platon]] postulierte, dass zwischen den Begriffen ''wahr'' und ''falsch'' ein dritter Bereich liege. Dies stand ganz im Gegensatz zu seinem Zeitgenossen [[Aristoteles]], welcher die Präzision der Mathematik darin begründete, dass eine Aussage nur entweder ''wahr'' oder ''falsch'' sein kann.


Während mehrwertige Logik mit dem Prinzip der Zweiwertigkeit eines der beiden Grundprinzipien der [[Klassische Logik|klassischen Logik]] aufgibt, behält sie deren anderes Grundprinzip, das [[Extensionalitätsprinzip]], bei: Der Wahrheitswert jeder zusammengesetzten Aussage ist weiterhin eindeutig durch die Wahrheitswerte ihrer Teilaussagen bestimmt.<ref>Quelle für diesen und die folgenden Absätze ist Kreiser/Gottwald/Stelzner: ''Nichtklassische Logik'', Kapitel 2.1 „Grundprinzipien der mehrwertigen Logik“, S. 19 f. (siehe Literaturliste)</ref>
Bezüge zum modernen Begriff der Unschärfe hat auch der von [[Georg Wilhelm Friedrich Hegel]] geprägte Begriff der [[Gedoppelte Mitte|Gedoppelten Mitte]].


Im Gegensatz zur klassischen Logik ist die Deutung der Wahrheitswerte bei mehrwertigen Logiken weniger natürlich vorgegeben. Es sind zahlreiche unterschiedliche Interpretationen vorgeschlagen worden. Aus diesem Grund und weil viele Deutungen, die mehr als zwei Werte nicht als Abstufungen oder Arten von Wahrheit und Falschheit ansehen, sondern zum Beispiel [[Epistemische Logik|epistemisch]] als Abstufung von Erkenntnis oder Gewissheit (zum Beispiel mit den drei Werten „als wahr bekannt“, „unbekannt“ und „als falsch bekannt“), werden die Werte mehrwertiger Logik häufig nicht als Wahrheitswerte, sondern als ''Pseudowahrheitswerte'' oder als ''Quasiwahrheitswerte'' bezeichnet. Aus Gründen der Kompaktheit verwendet dieser Artikel dennoch durchgehend die Bezeichnung „Wahrheitswert“.
Die ''Fuzzy-Set-Theorie'', also die unscharfe [[Mengenlehre]], wurde 1965 von [[Lotfi Zadeh]] an der [[University of California, Berkeley]] entwickelt.<ref>[[Lotfi Zadeh|Zadeh, L. A.]]: ''Fuzzy sets.'' Information and Control, '''8''', 1965: 338–353</ref>
Die Fuzzy-Technologie nahm in den 1980er Jahren vor allem in Japan ihren Aufschwung mit der sogenannten japanischen ''Fuzzy-Welle''. Ein historisches Beispiel ist die Regelung der vollautomatischen [[U-Bahn Sendai]], die erste erfolgreiche Großanwendung mit Fuzzylogik in der Praxis. Später fand die Fuzzylogik auch in Geräten der Unterhaltungselektronik breite Anwendung. Die europäische Fuzzy-Welle kam erst Mitte der 1990er Jahre, als die Grundsatzdiskussionen über die Fuzzylogik verebbten.


Neben dem Problem der Deutung der Wahrheitswerte stellen sich beim Umgang mit mehrwertiger Logik zahlreiche Aufgaben technischer Natur und es ergeben sich weitere Deutungsprobleme: Grundlegende Begriffe wie jener der [[Tautologie (Logik)|Tautologie]], jener der [[Kontradiktion]] oder jener der [[Schlussfolgerung|Folgerung]]&nbsp;müssen neu definiert und gedeutet werden.
== Fuzzy-Set-Theorie ==
Die Fuzzy-Set-Theorie ist von der [[Mehrwertige Logik|mehrwertigen Logik]] zu unterscheiden, die in den 1920er Jahren der polnische Logiker [[Jan Łukasiewicz]] beschrieb. Im engeren Sinne kann die so genannte Fuzzylogik zwar als eine mehrwertige Logik gedeutet werden, und insofern gibt es eine gewisse Nähe zur mehrwertigen Logik, für deren Wahrheitswert einer logischen Aussage Zahlen aus dem reellen Einheitsintervall [0,&nbsp;1] (die [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] von 0 bis&nbsp;1) verwendet werden. Allerdings fasst Lotfi Zadeh die Fuzzy-Set-Theorie als Formalisierung von unbestimmten [[Extensionalitätsprinzip|Begriffsumfängen]] im Sinne einer [[Referenz (Linguistik)|referenziellen]] [[Semantik]] auf, was ihm erlaubt, die Unschärfe der Zugehörigkeit von Objekten als Elemente der zu definierenden Mengen graduell über numerische Werte zwischen 0 und 1 anzugeben. Damit eröffnete sich eine weitergehende, linguistische Interpretation der Fuzzy-Set-Theorie als Basis einer Logik der Unschärfe. Der Begriff der ''Fuzzy Logic'' wurde zunächst auch nicht von Zadeh, sondern erst später von dem ebenfalls in Berkeley lehrenden Linguisten [[George Lakoff]] benutzt, nachdem Joseph Goguen, ein Doktorand Zadehs, eine ''Logik unscharfer Begriffe''<ref>J. A. Goguen: ''The logic of inexact concepts''. Synthese '''19''' (3/4) 1969, S. 325–373.</ref> eingeführt hatte.


; Tautologien und designierte Wahrheitswerte
In der linguistischen [[Semantik]] wird heute die Fuzzylogik aber mehrheitlich als nicht geeignet angesehen, um ein Modell für [[Unschärfe (Sprache)|Vagheit]] und ähnliche Phänomene der natürlichen Sprache zu liefern.<ref>Ein klassischer Aufsatz zu diesem Thema ist: [[Hans Kamp]], [[Barbara H. Partee]]: ''Prototype theory and compositionality.'' Cognition, 57 (1995), S.&nbsp;129–191. Für eine Suche nach Kompromissmöglichkeiten: Uli Sauerland: ''Vagueness in Language: The Case Against Fuzzy Logic Revisited.'' In P.&nbsp;Cintula, C.&nbsp;Fermüller, L.&nbsp;Godo, P.&nbsp;Hájek (Hrsg.): ''Understanding Vagueness – Logical, Philosophical, and Linguistic Perspectives'' (Studies in Logic 36). College Publications, London 2011, S.&nbsp;185–198.</ref> Anstatt einer unbestimmten Aussage einen Wahrheitswert zuzuweisen, der eine Bruchzahl zwischen 0 (falsch) und 1 (wahr) ist, wird die Methode der [[Supervaluation]] bevorzugt, bei der die Zuweisung eines klassischen Wahrheitswertes (0;1) aufgeschoben ist, weil sie erst noch von einem Parameter abhängt, der durch Information aus dem Kontext belegt werden muss.<ref> Siehe Kamp & Partee (1995: 148ff.) (siehe vorhergehende Fußnote). Eine einführende Darstellung dieser Idee, allerdings ohne die Bezeichnung „Supervaluation“, findet sich in: S. Löbner: ''Semantik. Eine Einführung.'' 2. Auflage. de Gruyter, Berlin 2015, Kapitel 11.4</ref> Das zugrundeliegende Modell bezeichnet man als eine ''partielle Logik'' (die in einem klaren Gegensatz zu mehrwertigen Logiken steht).
: In der klassischen Logik sind Tautologien definiert als Aussagen, die immer (das heißt ungeachtet dessen, wie die in ihnen auftretenden atomaren Aussagen bewertet werden) wahr sind. Um den Begriff „Tautologie“ für die mehrwertige Logik nutzbar zu machen, muss man einen oder mehrere der Pseudowahrheitswerte auszeichnen. Der Begriff „Tautologie“ lässt sich dann an die mehrwertige Logik anpassen, indem man all jene Aussagen als Tautologien bezeichnet, die stets, das heißt unter jeder Bewertung, einen der ausgezeichneten Wahrheitswerte annehmen. Diese ausgezeichneten Wahrheitswerte nennt man auch ''designierte Wahrheitswerte''.<ref>Diese und die folgenden Definitionen folgen insbesondere Kreiser/Gottwald/Stelzner: ''Nichtklassische Logik'', Kapitel 2.3.3 „Ausgezeichnete Quasiwahrheitswerte, Tautologien und Folgerungen“, Seite 32ff. (siehe Literaturliste)</ref>
; Kontradiktion und negativ designierte Wahrheitswerte
: Will man den Begriff „Kontradiktion“ auf die mehrwertige Logik ausdehnen, so hat man dazu zwei Möglichkeiten: Man kann einerseits einen oder mehrere der Wahrheitswerte ''negativ'' hervorheben und dann all jene Aussagen als Kontradiktionen bezeichnen, die immer –&nbsp;das heißt unter jeder Bewertung&nbsp;– einen negativ designierten Wahrheitswert liefern. Andererseits kann man eine Aussage als Kontradiktion bezeichnen, deren Negation eine Tautologie ist. Vorausgesetzt wird dabei, dass eine geeignete Negation zur Verfügung steht und geklärt ist, ''welche'' der mehrwertigen Negationen für diesen Zweck geeignet ist.
; Folgerung
: Mit Hilfe des Konzepts der designierten Wahrheitswerte lässt sich der Folgerungsbegriff analog zu jenem der klassischen Logik leicht auf mehrwertige Logik ausdehnen: Ein Argument ist demnach genau dann gültig, wenn unter allen Bewertungen, unter denen alle Prämissen des Arguments designierte Wahrheitswerte annehmen, auch seine Konklusion einen designierten Wahrheitswert annimmt.


== Systeme mehrwertiger Aussagenlogik ==
== Unscharfe Mengen ==


=== Kleene-Logik ''K''<sub>3</sub> ===
[[Datei:Fuzzy-Operatoren.png|350px|mini|UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).]]


Die Kleene-Logik <math>K_3</math> enthält drei Wahrheitswerte, nämlich 1 für „wahr“, 0 für „falsch“ und <math>\tfrac 1 2</math>, das hier auch als i bezeichnet wird und für „weder wahr noch falsch“ steht. [[Stephen Cole Kleene|Kleene]] definiert die [[Negation]] <math>f\neg</math>, [[Konjunktion (Logik)|Konjunktion]] <math>f\wedge</math>, [[Disjunktion]] <math>f\vee</math> und [[Implikation]] <math>f\rightarrow</math> durch folgende Wahrheitswertfunktionen:
Grundlage der Fuzzylogik sind die sogenannten ''[[Fuzzymenge|unscharfen Mengen]]'' (engl.: ''fuzzy sets''). Im Gegensatz zu traditionellen [[Menge (Mathematik)|Mengen]] (im Kontext der Fuzzylogik auch ''scharfe'' Mengen genannt), in denen ein Element einer vorgegebenen Grundmenge entweder enthalten oder nicht enthalten ist, wird eine unscharfe (fuzzy) Menge nicht durch die Objekte definiert, die Elemente dieser Menge sind (oder nicht sind), sondern über den Grad ihrer Zugehörigkeit zu dieser Menge.


<math>
Das geschieht durch [[Zugehörigkeitsfunktion]]en ''μ<sub>A</sub>''':''' X →'' [0,1], die jedem Element der [[Definitionsmenge]] ''X'' eine Zahl aus dem reellwertigen [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] [0,1] der [[Zielmenge]] zuordnen, welche den [[Zugehörigkeitsgrad]] ''μ<sub>A</sub>(x)'' jeden Elements ''x'' zur so definierten [[#Unscharfe Mengen|unscharfen Menge]] ''A'' angibt. Damit wird jedes Element zum Element jeder unscharfen Menge, aber mit jeweils unterschiedlichen, eine bestimmte Teilmenge definierenden Zugehörigkeitsgraden.
\begin{array}{|c || c|}


f\neg & \\
Zadeh erklärte hierzu neue Mengenoperationen, die als Operationen eines neuen [[Kalkül|Logikkalküls]] die mehrwertige ''Fuzzylogik'' begründen und sie als eine Verallgemeinerung der zweiwertigen, [[Klassische Logik|klassischen Logik]] ausweisen, welche als Spezialfall in ihr enthalten ist. Diese [[Mengenoperationen|Operationen]] auf unscharfen Mengen sind wie auf scharfen Mengen definierbar, wie z.&nbsp;B. die Bildung von [[Schnittmenge]]n (UND), [[Vereinigungsmenge]]n (ODER) und [[Komplement (Mengenlehre)|Komplementmengen]] (NICHT). Zur Modellierung der logischen Operatoren der [[Konjunktion (Logik)|Konjunktion]] (UND), der [[Disjunktion]] (ODER) und der [[Negation]] (NICHT) bedient man sich der Funktionsklassen der [[T-Norm]] und [[T-Conorm]].
\hline
1 & 0 \\
i & i \\
0 & 1 \\


\end{array}
=== Negation ===
\quad
Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also
\begin{array}{|c || c|c|c|}
  ''' NOT(A)=1-A'''


f\wedge & 1 & i & 0\\
=== Nicht ausschließende-ODER-Schaltung ===
\hline
Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also
1 & 1 & i & 0\\
  ''' OR(A;B)=A wenn A>B'''
i & i & i & 0\\
  '''        B wenn A<=B'''
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{array}
\quad
\begin{array}{|c || c|c|c|}


f\vee & 1 & i & 0\\
=== UND-Schaltung ===
\hline
Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also
1 & 1 & 1 & 1\\
  ''' AND(A;B)=A wenn A&lt;B'''
i & 1 & i & i\\
  '''          B wenn A>=B'''
0 & 1 & i & 0\\
\end{array}
\quad
\begin{array}{|c || c|c|c|}


f\rightarrow & 1 & i & 0\\
=== Ausschließende-ODER-Schaltung ===
\hline
Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also
1 & 1 & i & 0\\
  ''' XOR(A;B)=A  wenn A>B und A<(1-B)'''
i & 1 & i & i\\
  '''          1-B wenn A>B und A>=(1-B)'''
0 & 1 & 1 & 1\\
  '''          B  wenn B>=A und B<(1-A)'''
\end{array}
  '''          1-A wenn B>=A und B>=(1-A)'''
</math>


Damit bildet – wie zum Beispiel auch bei Łukasiewiczs dreiwertiger Logik <math>L_3</math>, siehe dort – die Disjunktion das Maximum und die Konjunktion das Minimum der verknüpften Wahrheitswerte und errechnet sich die Negation einer Aussage mit Wahrheitswert ''v'' als 1-''v''.
== Fuzzyfunktionen ==
Zusammenfassungen einzelner Zugehörigkeitsfunktionen ergeben die ''Fuzzyfunktionen''. Ein Beispiel dafür ist eine Fuzzyfunktion für das Alter eines Menschen. Diese könnte aus mehreren dachförmigen Dreiecken bestehen, die ihrerseits für verschiedene Alterstypen stehen und Zugehörigkeitsfunktionen dieser einzelnen Alterstypen darstellen. Jedes Dreieck deckt einen Bereich von mehreren Jahren des Menschenalters ab. Ein Mensch mit 35 Jahren hätte so die Eigenschaften: ''jung'' mit der Wertung 0,75 (das ist noch relativ viel), ''mittleres Alter'' mit der Wertung 0,25 (das ist ein bisschen) und von den übrigen Funktionen nichts. Anders ausgedrückt: mit 35 ist man ziemlich viel ''jung'' und ein bisschen ''mittel''. Die Fuzzyfunktion ordnet jedem ''Alterswert'' eine ihn charakterisierende Zugehörigkeitsfunktion zu.


Betrachtet man 1 als einzigen designierten Wahrheitswert, dann gibt es in <math>K_3</math> keinerlei Tautologien; betrachtet man sowohl {{bruch|2}} als auch 1 als designiert, dann ist die Menge der Tautologien in <math>K_3</math> identisch mit der Menge der [[Klassische Logik|klassischen]], zweiwertigen Aussagenlogik.<ref>vgl. Kreiser/Gottwald/Stelzner: ''Nichtklassische Logik'', Seite 44 (siehe Literaturliste)</ref>
In vielen Fällen werden Fuzzyfunktionen über Tabellen aus statistischen Erhebungen erzeugt. Diese können auch von der Anwendung selbst erhoben werden soweit eine Rückkopplung gegeben ist, wie in der Fahrstuhlsteuerung. Praktisch bedeutsam ist auch, die Erfahrungen und Intuitionen eines Experten auf dem jeweiligen Gebiet in eine Fuzzyfunktion mit einfließen zu lassen, insbesondere dann, wenn überhaupt keine statistischen Aussagen vorhanden sind, beispielsweise dann, wenn es sich um ein komplett neu zu beschreibendes System handelt.


=== Gödel-Logiken ''G<sub>k</sub>'' und ''G''<sub>∞</sub> ===
Diese Dreiecksgestalt ist allerdings keineswegs zwingend, generell können die Werte von Fuzzy-Funktionen beliebige Gestalt haben, solange deren Funktionswerte im Intervall [0,1] bleiben. In der Praxis werden solche [[Dreieckfunktion]]en aufgrund ihrer einfachen Berechenbarkeit jedoch gerne verwendet. Relativ weit verbreitet sind noch Trapeze (nicht notwendigerweise spiegelsymmetrisch), aber auch Halbkreise finden sich in einigen Anwendungen. Auch können sich prinzipiell mehr als zwei Abschnitte einer Fuzzy-Funktion überlappen (beim hier betrachteten Beispiel scheint das aber nicht sinnvoll zu sein).


[[Kurt Gödel|Gödel]] definiert 1932<ref>Kurt Gödel: ''Zum intuitionistischen Aussagenkalkül''. In: ''Anzeiger Akademie der Wissenschaften Wien'', mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse, 69, S. 65 f.</ref> eine Familie mehrwertiger Logiken <math>G_k</math> mit endlich vielen Wahrheitswerten <math>0, \tfrac 1 {k-1}, \tfrac 2 {k-1}, \ldots \tfrac {k-2} {k-1}, 1</math>, sodass zum Beispiel <math>G_3</math> die Wahrheitswerte <math>0, \tfrac 1 2, 1</math> und <math>G_4</math> die Wahrheitswerte <math>0, \tfrac 1 3, \tfrac 2 3, 1</math> umfasst. Analog definiert er eine Logik mit unendlich vielen Wahrheitswerten, <math>G_\infty</math>, bei der als Wahrheitswerte die [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]]&nbsp;im Intervall von 0 bis 1 verwendet werden. Designierter Wahrheitswert ist bei jeder dieser Logiken 1.
=== Beispiel für eine nicht-lineare Fuzzy-Funktion ===
Ein Beispiel für eine nicht-lineare Zugehörigkeitsfunktion bildet die folgende [[Sigmoidfunktion]]:


Die Konjunktion <math>\wedge</math> und die Disjunktion <math>\vee</math> definiert er als die Maxima und Minima der Formelwahrheitswerte:
<math>
 
S(x,a,\delta)=\begin{cases} 0 & x\le a -\delta \\
* <math>u\wedge v:= min\{u,v\}</math>
                            2(\frac{x-a+\delta}{2\delta})^2 & a - \delta < x \le a \\
* <math>u\vee v:= max\{u,v\}</math>
                            1-2(\frac{a-x+\delta}{2\delta})^2 & a < x \le a + \delta \\
 
1 & x > a + \delta
Die Negation <math>\sim</math> und Implikation <math>\rightarrow _G</math> werden durch folgende Wahrheitswertfunktionen definiert:
  \end{cases}</math>
 
*<math> \sim u=\begin{cases} 1, & \text{wenn }u=0\\  0, & \text{wenn }u>0 \end{cases} </math>
 
*<math> u\rightarrow _G v=\begin{cases}  1, & \text{wenn }u\leq v\\  v, & \text{wenn }u>v \end{cases} </math>
 
Die Gödelschen Systeme sind vollständig axiomatisierbar, d.&nbsp;h. es lassen sich Kalküle aufstellen, in denen alle Tautologien des jeweiligen Systems herleitbar sind.
 
=== Łukasiewicz-Logiken ''L<sub>v</sub>'' ===
 
Die Implikation <math>\rightarrow _L</math> und die Negation <math>\neg</math> definiert [[Jan Łukasiewicz]] durch folgende Wahrheitswertfunktionen:
 
* <math>\neg u:=1-u</math>
* <math>u\rightarrow _L v:=min\{1,1-u+v\}</math>
 
Als erstes entwickelt Łukasiewicz nach diesem Schema 1920 seine dreiwertige Logik, das System <math>L_3</math>, mit den Wahrheitswerten <math>0, \tfrac 1 2, 1</math> und designiertem Wahrheitswert 1. 1922 folgt seine unendlichwertige Logik <math>L_\infty</math>, in der er die Menge der Wahrheitswerte auf das Intervall der reellen Zahlen von 0 bis 1 erweitert. Designierter Wahrheitswert ist in beiden Fällen 1.<ref>Quelle für diese und die folgenden Informationen zu den Łukasiewicz-Logiken ist Kreiser/Gottwald/Stelzner: ''Nichtklassische Logik'', Seite 41ff. und Seite 45ff (siehe Literaturliste)</ref>
 
Verallgemeinert zu <math>L_v</math> zerfallen die Łukasiewiczen Logiken in die endlichwertigen Systeme <math>L_n</math> (Wahrheitswertmenge wie bei Gödel <math>0, \tfrac 1 {n-1}, \tfrac 2 {n-1}, \ldots, \tfrac {n-2} {n-1}, 1</math>), in das bereits angesprochene <math>L_\infty</math> und in <math>L_{\aleph_0}</math>, bei der als Wahrheitswerte die [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] (d.&nbsp;h. Brüche) im Intervall von 0 bis 1 verwendet werden. Die Menge der Tautologien, das heißt der Aussagen mit designiertem Wahrheitswert, ist bei <math>L_\infty</math> und <math>L_{\aleph_0}</math> identisch.
 
=== Produktlogik ''Π'' ===
 
Die Produktlogik enthält eine Konjunktion <math>\odot</math> und eine Implikation <math>\rightarrow _{\Pi}</math>, die folgendermaßen definiert werden:<ref>Petr Hajek: ''Fuzzy Logic''. In: Edward N. Zalta: ''The Stanford Encyclopedia of Philosophy'', Spring 2009. ([http://plato.stanford.edu/archives/spr2009/entries/logic-fuzzy/ plato.stanford.edu])</ref>
 
* für <math>u,v\in [0,1]</math>: <math>u\odot v:=uv</math>
* <math>u\rightarrow _{\Pi}v:=\begin{cases}
 
1, & \text{wenn }u\leq v\\
\frac {v}{u}, & \text{wenn }u>v
\end{cases}
 
</math>
 
Zusätzlich enthält die Produktlogik eine Wahrheitswertkonstante <math>\overline{0}</math>, die den Wahrheitswert „falsch“ bezeichnet.
 
Mittels der zusätzlichen Konstanten können eine Negation <math>\sim</math> und eine weitere Konjunktion <math>\wedge</math> folgendermaßen definiert werden:
 
* <math>\sim\varphi:=\varphi\rightarrow _{\Pi}\overline{0}</math>
* <math>\varphi\wedge\psi:=\varphi\odot (\varphi\rightarrow _{\Pi}\psi)</math>
 
=== Post-Logiken ''P<sub>m</sub>'' ===
 
[[Emil Leon Post|Post]] definiert 1921 eine Familie von Logiken <math>P_m</math> mit (wie bei <math>L_n</math> und <math>G_k</math>) den Wahrheitswerten <math>0, \tfrac 1 {m-1}, \tfrac 2 {m-1}, \ldots, \tfrac {m-2} {m-1}, 1</math>. Negation <math>\sim</math> und Disjunktion <math>\vee</math> definiert Post folgendermaßen:
 
* <math>\sim u:=\begin{cases}
 
1, & \text{wenn }u=0\\
  u-\frac {1}{m-1}, & \text{wenn }u\not= 0
\end{cases}
 
</math>
 
* <math>u\vee v:=max\{u,v\}</math>
 
=== Vierwertige Logik von Belnap ===
 
: ''Hauptartikel:'' [[Belnaps vierwertige Logik]]
 
[[Nuel Belnap]] entwickelte 1977 seine vierwertige Logik mit den Wahrheitswerten '''t''' (true, wahr), '''f''' (falsch), '''u''' (unbekannt) und '''b''' (beides, also einer widersprüchlichen Information).
 
=== Bočvar-Logik ''B''<sub>3</sub> ===
 
{{Belege fehlen}}
Die Bočvar-Logik<ref>Дмитрий Анатольевич Бочвар: Об одном трехзначном исчислении и его применении к анализу парадоксов классического расширенного функционального исчисления. Математический сборник 46(1938)4, S. 287–308</ref><ref>Siegfried Gottwald: ''Mehrwertige Logik. Eine Einführung in Theorie und Anwendung''. Akademie-Verlag, Berlin 1989, S. 165 ff.</ref><ref>Georg Gottlob: ''Mehrwertige Logik und Informatik''. In: Franz Pichler (Hrsg.): ''Europolis 6. Informatik für Spiele und Verkehr. Extension der Mengenlehre''. Universitätsverlag Trauner, Linz 2006, S. 396–405.</ref> (von Dmitrij Anatoljewitsch Bočvar, geschrieben auch Bochvar oder Botschwar) <math>B_3</math> enthält zwei Klassen von Junktoren, nämlich die inneren Junktoren einerseits und die äußeren Junktoren andererseits. Die inneren Junktoren Negation <math>\neg</math>, Implikation <math>\rightarrow</math>, Disjunktion <math>\vee</math>, Konjunktion <math>\wedge</math> und Bisubjunktion <math>\leftrightarrow</math> entsprechen denen der klassischen Logik. Die äußeren Junktoren Negation <math>\neg *</math>, Implikation <math>\rightarrow *</math>, Disjunktion <math>\vee *</math>, Konjunktion <math>\wedge *</math> und Bisubjunktion <math>\leftrightarrow *</math> sind metasprachlicher Natur und sind die folgenden:
 
* <math>\neg *\varphi</math> (<math>\varphi</math> ist falsch)
* <math>\varphi\rightarrow *\psi</math> (ist <math>\varphi</math> wahr, so auch <math>\psi</math>)
* <math>\varphi\vee *\psi</math> (<math>\varphi</math> ist wahr oder <math>\psi</math> ist wahr)
* <math>\varphi\wedge *\psi</math> (<math>\varphi</math> ist wahr und <math>\psi</math> ist wahr)
* <math>\varphi\leftrightarrow *\psi</math> (<math>\varphi</math> ist wahr gdw <math>\psi</math> ist wahr)
 
Die Wahrheitswertfunktionen entsprechen denen der Kleene Logik <math>K_3</math>.


Für die Definition der äußeren Junktoren wird ein weiterer einstelliger Junktor hinzugenommen, nämlich die externe Bestätigung <math>A_*</math> mit der Wahrheitswertfunktion
Die Kurve drückt durch die Form des Buchstabens S eine ansteigende Zugehörigkeit zu der jeweils beschriebenen Menge durch einen Wert im Wertebereich [0,1] aus. Je nach Anwendungsfall lässt sich eine abnehmende Zugehörigkeit durch eine entsprechende Z-Kurve ausdrücken:


<math>
<math>
\begin{array}{|c || c|}
Z(x,a,\delta)= 1 - S(x,a,\delta)
 
A_* & \\
\hline
1 & 0 \\
i & 0 \\
0 & 1 \\
 
\end{array}
</math>
</math>


Damit lassen sich die äußeren Junktoren, wie folgt, definieren:
Der Parameter '''''α''''' gibt hierbei den [[Wendepunkt]] der S-Kurve an, der Wert '''''δ''''' bestimmt die Neigung der Kurve. Je größer '''''δ''''' gewählt wird, desto flacher wird der Verlauf der resultierenden Funktion.
 
* <math>\neg *\varphi:=\neg A_*\varphi</math>
* <math>\varphi\vee *\psi:= A_*\varphi\vee A_*\psi</math>
* <math>\rightarrow\vee *\psi:= A_*\varphi\rightarrow A_*\psi</math>
* <math>\varphi\wedge *\psi:= A_*\varphi\wedge A_*\psi</math>
* <math>\varphi\leftrightarrow *\psi:= A_*\varphi\leftrightarrow A_*\psi</math>
 
Die Logik der äußeren Junktoren, welche eine Unterscheidung zwischen 0 und i trifft, entspricht exakt der klassischen Logik.
 
== Bayeslogik ==
Die ''Bayeslogik'' (auch ''Bayes-Logik'' oder ''induktive Bayes-Logik'') ist eine induktive mehrwertige Logik aus dem Grenzfeld von [[Logik]], [[Erkenntnistheorie]] und [[Maschinenlernen]] mit Anwendungen auch in den Bereichen [[Psychologie]] und [[Mensch-Computer-Interaktion]].<ref>von Sydow, M. (2016). ''Towards a Pattern-Based Logic of Probability Judgements and Logical Inclusion “Fallacies”''. Thinking & Reasoning, 22(3), 297-335. [doi:10.1080/13546783.2016.1140678]</ref><ref>von Sydow, M. (2011). The Bayesian Logic of Frequency-Based Conjunction Fallacies. Journal of Mathematical Psychology, 55, 2, 119-139. [doi:10.1016/j.jmp.2010.12.001</ref>
 
Die Bayeslogik bestimmt die rationale subjektive Gültigkeit oder probabilistische Adäquatheit von logischen [[Prädikation|Prädikationen]] (etwa "Raben sind schwarz UND können fliegen") [[Induktion (Philosophie)|induktiv]] nach Regeln der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]]. Ihre Ergebnisse können sich bei weiteren Daten wieder verändern (sie ist "[[Logik#Nichtmonotone_Logiken|non-monoton]]"). Die Wahrscheinlichkeitstheorie wird auf der Ebene alternativer logischer Erklärungsmuster (die sich aber überlappen können) angewendet. Bei Gegebenheit bestimmter Annahmen kann die Bayeslogik dadurch den rationalen Grad der Adequatheit von logischen Erklärungsmustern (logischen [[Junktor|Junktoren]]) bestimmen und etwa die beste Erklärung aufgrund von Häufigkeitsdaten und Vorerwartungen bestimmt ([[Schluss auf die beste Erklärung]]). Nach dem [[Bayestheorem|Satz von Bayes]] gilt ''P''(Junktor ''i''|Daten) = ''P''(Daten|Junktor ''i'')*''P''(Junktor ''i'') / ''P''(Daten). Dabei wird hier von einer [[Likelihood-Funktion]] ausgegangen, die bei Ausnahmen einer Junktor-Hypothese nicht immer eine Wahrscheinlichkeit von Null zuordnet, falls ein Ausnahmeparameter ''r'' > 0. Bei Ausnahmeparameter ''r'' = 0 und Daten die einer Junktor-Hypothese widersprechenden folgt auch hier eine [[Falsifikationismus|falsifikationistische]] Ädequatheitsnorm des Hypothesentestens: Eine einzige gegenlaufende Evidenz widerlegt eine Hypothese. Bei fehlender Widerlegung wird wie im Falsifikationismus auch die spezifischere (logisch 'stärkere') Hypothese aufgrund einer Bayesschen Version von [[Ockhams Rasiermesser|Ockhams Rasiermessers]] bevorzugt. Bei r > 0 erlaubt die Bayeslogik auch die Bevorzugung von spezifischeren Hypothesen selbst wenn sie mehr Ausnahmen zulässt. Trotz der Datenbasierung (extensionaler Aspekte) handelt es sich insofern um eine auch [[Extension und Intension|intensionale]] Logik, die unter manchen Bedingungen auch psychologische deskriptiv gute Ergebnisse zeigt und eventuell eine rationale Erklärung etwa von [[Repräsentativitätsheuristik|Konjunktionsfehlern]] (Conjunction Fallacy) bieten kann, die scheinbar im Widerspruch zu einer unmittelbaren Anwendung der Wahrscheinlichkeitstheorie zu stehen scheinen.<ref>von Sydow, M., & [[Klaus_Fiedler_(Psychologe)|Fiedler, K.]] (2012). Bayesian Logic and Trial-by-trial Learning. Proceedings of the Thirty-Fourth Annual Conference of the Cognitive Science Society (pp. 1090 - 1095). Austin, TX: Cognitive Science Society.</ref><ref>von Sydow, M. (2017). Rational Explanations of the Conjunction Fallacies – A Polycausal Proposal. Proceedings of the Thirty-Ninth Annual Conference of the Cognitive Science Society (pp. 3472-3477). Austin, TX: Cognitive Science Society.</ref>
 
== Fuzzy-Logik ==
 
In der Fuzzy-Set-Theorie, oft auch als [[Fuzzy-Logik]] bezeichnet, werden ebenfalls nicht eindeutige Aussagen behandelt. Ein Beispiel ist die Aussage „das Wetter ist sehr warm“. Diese Aussage wird abhängig von der tatsächlichen Temperatur in unterschiedlichem Ausmaß zutreffen: bei 35 Grad mit Sicherheit, bei 25 Grad einigermaßen, bei 0 Grad auf keinen Fall. Die willkürlich festzulegenden Grade des Zutreffens werden durch eine [[reelle Zahl]] zwischen 0 und 1 repräsentiert.


Die vorstehenden mehrwertigen Logiken behandeln einzelne Aussagen als atomar, kennen deren innere Struktur also gar nicht. Im Unterschied dazu behandelt die Fuzzy-Set-Theorie nur Aussagen mit einer sehr speziellen inneren Struktur: Einer Grundmenge möglicher Beobachtungen (z.&nbsp;B. die auftretenden Temperaturen) werden Grade des Zutreffens einer Aussage („ist sehr warm“) zugeordnet. Der Begriff Menge in fuzzy set bezieht sich auf die Menge der Beobachtungen, bei denen der Grad des Zutreffens der Aussage > 0 ist; der Begriff fuzzy deutet auf den variablen Grad des Zutreffens.
Das Alter eines Menschen lässt sich mittels dieser Kurve wie folgt als Fuzzy-Funktion darstellen:


Die Fuzzy-Set-Theorie behandelt nicht die Frage, ob es unbekannt oder zweifelhaft ist, ob eine Aussage zutrifft. Einer Aussage als solcher wird überhaupt kein Wahrheitswert zugeordnet; die Grade des Zutreffens sind keine Wahrheitswerte, sondern eher Interpretationen eines originären gemessenen Werts.
{| class="wikitable toptextcells"
|+ Alter eines Menschen
|- class="hintergrundfarbe6"
! Bezeichnung
! Zugehörigkeitsfunktion
|-
| sehr jung
|  <math>s_0: \;(1-S(x,30,30))^2</math>
|-
| jung
|  <math>s_1: \;1-S(x,30,30)</math>
|-
| nicht sehr jung
|  <math>s_2: \;1-(1-S(x,30,30))^2</math>
|-
| mehr oder weniger alt
|  <math>s_3: \;\sqrt{S(x,60,30)}</math>
|-
|alt
|  <math>s_4: \;S(x,60,30)</math>
|-
| sehr alt
|  <math>s_5: \;S(x,60,30)^2</math>
|}


Die Fuzzy-Set-Theorie liefert auch Methoden, den Grad des Zutreffens von Aussagen, in denen mehrere elementare Aussagen verknüpft sind („das Wetter ist warm und trocken“), zu bestimmen. Die Verfahren zur Kombination von Zutreffensgraden können teilweise auch auf die Kombination von Wahrheitswerten der mehrwertigen Logiken angewandt werden.
Dabei können die umgangssprachliche Modifikatoren ''sehr'', ''mehr oder weniger'' sowie ''nicht sehr'' durch einfache Modifikation einer gegebenen Funktion dargestellt werden:


== Anwendung mehrwertiger Logiken ==
* Der umgangssprachlich verstärkende Modifikator ''sehr'' kann in Form eines erhöhten Exponenten dargestellt werden (im Beispiel <math>s_0 = s_1^2</math>). Das Ergebnis ist ein steilerer Kurvenverlauf im Vergleich zur Ausgangsfunktion.
* Der umgangssprachliche Modifikator ''mehr oder weniger'' kann durch Verwendung eines niedrigeren Exponenten bzw. der Quadratwurzel auf eine gegebene Funktion ausgedrückt werden(<math>s_3 = \sqrt{s_4}</math>). Das Ergebnis ist ein flacherer Kurvenverlauf im Vergleich zur Ausgangsfunktion.
* Die Negation eines umgangssprachlichen Ausdrucks lässt durch eine einfache Subtraktion darstellen (<math>s_2 = 1-s_0</math>).


In der [[Hardware]]entwicklung von Logikschaltungen werden mehrwertige Logiken zur Simulation eingesetzt, um verschiedene Zustände darzustellen sowie [[Tri-State]]-Gatter und [[Bus (Datenverarbeitung)|Busse]] zu modellieren. In der [[Hardwarebeschreibungssprache]] [[Very High Speed Integrated Circuit Hardware Description Language|VHDL]] wird zum Beispiel oft die im [[IEEE]]-Standard mit der Nummer 1164 definierte neunwertige Logik verwendet, die '''Standard Logic 1164'''. Sie hat die Werte
Den Anwendungsfällen entsprechend handelt es sich bei dieser Form der Repräsentation um ''linguistische Variablen''. Letztlich wird aus den einzelnen gewichteten Aussagen ein einziger Zahlenwert berechnet, der das Alter in mathematischer Form auszudrücken vermag. Mit diesem Wert lässt sich dann präzise weiterarbeiten. Auch bei dieser so genannten Defuzzyfikation sind viele Verfahren möglich, das bekannteste (aber bei weitem nicht immer beste) ist sicherlich die Methode Center-of-Gravity, bei der der Zahlenwert gewichtet nach der ''Masse'' der geometrischen Form der einzelnen Abschnitte der Zugehörigkeitsfunktion gebildet wird. Eine andere Möglichkeit ist, einfach einen gewichteten Mittelwert der Funktionswerte zu bilden.


# '''U''' undefiniert
== Anwendungsbeispiele ==
# '''X''' unbekannt (starker Treiber)
Fuzzylogik wird heute in unterschiedlichen Bereichen eingesetzt: Eine wesentliche Anwendung sind [[Fuzzy-Regler]], z.&nbsp;B. in der [[Automatisierungstechnik]], [[Medizintechnik]], [[Unterhaltungselektronik]], [[Fahrzeugtechnik]] und anderen Bereichen der [[Regelungstechnik]], in denen Fuzzy-Regler mit konventionellen [[Regler]]n konkurrieren. Anwendung findet sie auch in der [[Künstliche Intelligenz|künstlichen Intelligenz]], in [[Adaptives Neuro-Fuzzy-Inferenzsystem|Inferenzsystemen]], in der [[Spracherkennung]] und anderen Bereichen, wie zum Beispiel in der Elektrosicherheit (quantitative Bewertungen).<ref>[[Siegfried Altmann (Ingenieurwissenschaftler)|Siegfried Altmann]]: ''Elektrosicherheit – Quantitative Bewertungsverfahren.'' Selbstverlag 2013 und 2015, ISBN 978-3-00-035816-6, Abstracts (deutsch und englisch) mit 105 Seiten, Anlagenband mit 56 eigenen Publikationen, ''Vertiefungsband (Angewandte Qualimetrie und Fuzzylogik)'' mit 115 Seiten und 26 Anlagen </ref>
# '''0''' logische Null (starker Treiber)
# '''1''' logische Eins (starker Treiber)
# '''Z''' hochohmig (hohe Impedanz ''Z'')
# '''W''' unbekannt (schwacher Treiber)
# '''L''' logische Null ''low'' (schwacher Treiber)
# '''H''' logische Eins ''high'' (schwacher Treiber)
# '''–''' unwichtig ''don’t care''


'''Standard Logic 1164, eine neunwertige Logik zur Hardwaresimulation'''
Nützen kann die Verwendung von Fuzzylogik, wenn keine mathematische Beschreibung eines Sachverhaltes oder Problems vorliegt, sondern nur eine verbale Beschreibung. Auch wenn&nbsp;– wie fast immer&nbsp;– das vorhandene Wissen Lücken aufweist oder teilweise veraltet ist, bietet sich der Einsatz von Fuzzylogik an, um noch zu einer fundierten Aussage über einen aktuellen oder künftigen Systemzustand zu gelangen. Dann wird aus sprachlich formulierten Sätzen und Regeln mittels Fuzzylogik eine mathematische Beschreibung gewonnen, die in Rechnersystemen genutzt werden kann. Interessant ist dabei, dass mit der Fuzzylogik auch dann Systeme sinnvoll gesteuert (bzw. geregelt) werden können, wenn ein mathematischer Zusammenhang zwischen den Ein- und Ausgabegrößen eines Systems nicht darstellbar ist&nbsp;– oder nur mit großem Aufwand erfolgen könnte, so dass eine Automatisierung zu teuer oder nicht in Echtzeit realisierbar wäre.


In einer realen Schaltung treten nur '''1''', '''0''' und (bei Ein-/Ausgängen) '''Z''' auf. In der Simulation tritt der Zustand '''U''' bei Signalen auf, denen bisher noch kein anderer Wert zugewiesen wurde. Der Wert '''-''' ([[Don’t-Care]], wird außerhalb von VHDL oft mit '''X''' dargestellt) dient nur zur Synthese; er signalisiert dem Übersetzungsprogramm, dass ein bestimmter Zustand nicht vorgesehen ist und es daher egal ist, wie die synthetisierte Schaltung mit diesem Zustand umgeht.
Weitere Anwendungen sind die Regelung von [[U-Bahn]]en, die Prognose der zukünftigen [[Load|Last]] in [[Router]]n, [[Gateway (Informatik)|Gateways]] oder Mobilfunk-[[Basisstation]]en, die Steuerung automatischer Getriebe in Automobilen, Alarmsysteme für die [[Anästhesie]], Zwischenfrequenzfilter in Radios, [[Antiblockiersystem]]e für Automobile, Brandmeldetechnik, die Prognose des Energieverbrauchs bei Energieversorgern, AF-gekoppelte Mehrfeld-[[Belichtungsautomatik]]en und AF-Prädiktion in [[Spiegelreflexkamera]]s etc.


Die Unterscheidung zwischen starken und schwachen Treibern dient dazu, in einem Konfliktfall (wenn zwei Ausgänge auf eine einzige Leitung zusammengeschaltet sind und verschiedene Werte liefern) zu entscheiden, welches Signal der entsprechenden Leitung zugeschrieben wird. Dieser Konflikt tritt oft bei Bussystemen auf, wo mehrere Busteilnehmer gleichzeitig anfangen, Daten zu senden. Trifft nun eine '''1''' (stark) auf ein '''L''' (schwach), so setzt sich das starke Signal durch, und der Signalleitung wird der Wert '''1''' zugeschrieben. Treffen jedoch gleich starke Signale aufeinander, so geht die Signalleitung in einen undefinierten Zustand. Diese Zustände sind '''X''' (bei Konflikt zwischen '''1''' und '''0''') und '''W''' (bei Konflikt zwischen '''H''' und '''L''').
Auch in betriebswirtschaftlichen Anwendungen hat Fuzzylogik erfolgreich Einzug gehalten. Ein erfolgreiches Beispiel ist die ''Intelligente Schadenprüfung'' (ISP), mit der sich weltweit [[Versicherungsunternehmen]] vor [[Versicherungsbetrug]] schützen.


== Abgrenzung ==
== Begriffsabgrenzung ==
Mehrwertige Logiken werden oft unter [[Metaphysik|metaphysischen]] oder [[Erkenntnistheorie|erkenntnistheoretischen]] Fragestellungen diskutiert. Darunter fällt z.&nbsp;B. die häufig gestellte Frage, welches logische System „stimmt“, d.&nbsp;h. welches logische System die Wirklichkeit richtig (oder besser: am besten) beschreibt. Unterschiedliche philosophische Strömungen geben auf diese Frage unterschiedliche Antworten; einige Strömungen, z.&nbsp;B. der [[Positivismus]], lehnen gar die Fragestellung an sich als sinnlos ab.
Nicht zu verwechseln mit der Fuzzylogik ist die [[Fuzzy-Suche]], die eine ''unscharfe Suche'' in [[Datenbank]]en ermöglicht, zum Beispiel, wenn die genaue Schreibweise eines Namens oder Begriffes nicht bekannt ist. Auch wenn die Zugehörigkeits-Werte aus dem Intervall [0,1] formal wie [[Wahrscheinlichkeit]]swerte aussehen, so ist [[Unschärfe#Logik und Sprachtheorie|Unschärfe]] etwas grundsätzlich anderes als Wahrscheinlichkeit. Vor allem ist zu beachten, dass die Summe der Werte zweier Funktionen, die sich überschneiden, nicht 1 sein muss. Sie kann gleich 1 sein, aber auch darüber oder darunter liegen.


== Siehe auch ==
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Mehrwertige Logik}}
* {{WikipediaDE|Fuzzylogik}}
* {{WikipediaDE|Dreiwertige Logik}}


== Literatur ==
== Literatur ==
* Lothar Kreiser, Siegfried Gottwald, Werner Stelzner (Hrsg.): ''Nichtklassische Logik. Eine Einführung''. 2. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1990, ISBN 978-3-05-000274-3.
* Benno Biewer: ''Fuzzy-Methoden. Praxisrelevante Rechenmodelle und Fuzzy-Programmiersprachen''.  Springer, Berlin 1997, ISBN 3-540-61943-7.
* Alexander Alexandrowitsch Sinowjew: ''Über mehrwertige Logik. Ein Abriß''. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1968. (Auch Braunschweig: Vieweg und Basel: C.F. Winter. ISBN 978-3-528-08271-0)
* Christoph Drösser: ''Fuzzy logic. Methodische Einführung in krauses Denken''. Rowohlt, Reinbek bei Hamburg 1996, ISBN 3-499-19619-0.
* Siegfried Gottwald: ''Mehrwertige Logik. Eine Einführung in Theorie und Anwendung''. Akademie-Verlag, Berlin 1989, 1995, ISBN 978-3-05-000765-6.
* Siegfried Gottwald: ''Fuzzy Sets and Fuzzy Logic. Foundations of Application – from a Mathematical Point of View.'' Vieweg und Teknea, Braunschweig/Wiesbaden Toulouse 1993.
* Berthold Heinrich [Hrsg.:] ''Messen, Steuern, Regeln. Elemente der Automatisierungstechnik''. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0006-6.
* Ulrich Höhle, Stephen Ernest Rodabaugh: ''Mathematics of Fuzzy Sets: Logic, Topology, and Measure Theory.'' Springer, 1999, ISBN 0-7923-8388-5.
* Michels, Klawonn, Kruse, Nürnberger: ''Fuzzy-Regelung. Grundlagen, Entwurf, Analyse''. Springer-Verlag, ISBN 3-540-43548-4.
* George J. Klir, Bo Yuan: ''Fuzzy Sets and Fuzzy Logic: Theory and Applications.'' 1995, ISBN 0-13-101171-5.
* Thomas Kron: ''Fuzzy-Logik für die Soziologie''. In: Österreichische Zeitschrift für Soziologie, 2005, H. 3, S. 51–89.
* Thomas Kron, Lars Winter: ''Fuzzy Systems – Überlegungen zur Vagheit sozialer Systeme''. In: Soziale Systeme, 2005, H. 2, S.&nbsp;370–394.
* Andreas Mayer [u.&nbsp;a.]: ''Fuzzy Logic. Einführung und Leitfaden zur praktischen Anwendung''. Addison-Wesley, Bonn 1993, ISBN 3-89319-443-6.
* Daniel McNeill u. Paul Freiberger: ''Fuzzy Logic. Die unscharfe Logik erobert die Technik''. Droemer Knauer, München 1994, ISBN 3-426-26583-4.
* Rodabaugh, S.E.; Klement, E.P (Hrsg.): ''Topological and Algebraic Structures in Fuzzy Sets: A Handbook of Recent Developments in the Mathematics of Fuzzy Sets.'' Springer, 2003, ISBN 978-1-4020-1515-1.
* Carsten Q. Schneider, Claudius Wagemann: ''Qualitative Comparative Analysis (QCA) und Fuzzy Sets.'' Barbara Budrich, 2007, ISBN 978-3-86649-068-0.
* Rudolf Seising: ''Die Fuzzifizierung der Systeme. Die Entstehung der Fuzzy Set Theorie und ihrer ersten Anwendungen – Ihre Entwicklung bis in die 70er Jahre des 20. Jahrhunderts''. (Boethius: ''Texte und Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik und der Naturwissenschaften,'' Band 54). Franz Steiner Verlag, Stuttgart 2005, ISBN 3-515-08768-0.
* Hans-Jürgen Zimmermann: ''Fuzzy Set Theory and its Applications''. 2001, ISBN 0-7923-7435-5.
* Wolfgang Anthony Eiden: ''Präzise Unschärfe – Informationsmodellierung durch Fuzzy-Mengen.'' Ibidem, 2002, ISBN 3-89821-230-0.
* Magdalena Mißler-Behr: ''Fuzzybasierte Controllinginstrumente – Entwicklung von unscharfen Ansätzen.'' Wiesbaden 2001, ISBN 3-8244-9049-8.
* Jürgen Adamy: ''Fuzzy Logik, Neuronale Netze und Evolutionäre Algorithmen.'' Shaker Verlag, Aachen 2015, ISBN 978-3-8440-3792-0.


== Weblinks ==
== Weblinks ==
* {{SEP|http://plato.stanford.edu/archives/win2004/entries/logic-manyvalued/|Many-Valued Logic|[[Siegfried Gottwald]]}}
{{Commonscat|Fuzzy logic|Fuzzylogik}}
* [http://www.csi.uottawa.ca/~ivan/mvl.html Multiple-Valued Logic - An International Journal (MVL-IJ)]
* {{SEP|http://plato.stanford.edu/entries/logic-fuzzy/}}
* [http://www.oldcitypublishing.com/MVLSC/MVLSC.html Journal of Multiple-Valued Logic and Soft Computing]
* [http://fuzzy.cs.uni-magdeburg.de/studium/fuzzy/txt/fsbook.pdf Buch zum Thema] (PDF; 1,27 MB)
* Nuel Belnap: {{Webarchiv|url=http://www.pitt.edu/~belnap/papers.html | wayback=20090103235832 | text=(Some) papers and publications}}
* [http://tizhoosh.uwaterloo.ca/Fuzzy_Image_Processing/index.html Fuzzy Logik Image Processing] (engl.)
* [http://citeseer.ist.psu.edu/context/37813/0 Zitate zu Nuel Belnap: A Useful Four-valued Logic]
* [http://www.bytecraft.com/fuzzylogictruths.html 7 Wahrheiten über Fuzzy Logik] (engl.)
* [http://epsilon.nought.de/tutorials/fuzzy/fuzzy.pdf Englische Einführung in das Thema] (Fuzzy Logic Introduction, M. Hellmann, PDF; 260&nbsp;kB)
* Ein Anwendungsbeispiel – Herzog, Christof; Das Methodenpaket IeMAX mit dem Fuzzy-Simulationsmodell FLUCS – Entwicklung und Anwendung eines Entscheidungsunterstützungssystems für die integrative Raumplanung http://e-diss.uni-kiel.de/diss_622/
* [http://www.seattlerobotics.org/encoder/mar98/fuz/flindex.html Einführung in Fuzzy Logic] (engl.)
* [http://www.iicm.tugraz.at/greif/node9.html Einführung in Fuzzy Logic]
* [http://ideas.repec.org/p/pra/mprapa/4328.html Dissertation about fuzzy logic in profitability analysis] (engl.)
'''Software und Tools'''
* Kommerzielle [http://www.fuzzytech.de/ Software (engl.) für Windows]
* [http://jfuzzylogic.sourceforge.net/ JFuzzyLogic: Open Source Fuzzy Logic Package + FCL (sourceforge, java)]
* [http://mbfuzzit.sourceforge.net/ Open Source Software "mbFuzzIT" (Java)]


== Einzelnachweise ==
== Einzelnachweise ==
<references />
<references />


[[Kategorie:Mehrwertige Logik| ]]
[[Kategorie:Nichtklassische Logik]]
[[Kategorie:Mehrwertige Logik]]
[[Kategorie:Fuzzylogik|!]]
[[Kategorie:Logik nach Bereich]]
[[Kategorie:Logischer Bereich]]


{{Wikipedia}}
{{Wikipedia}}

Version vom 2. Januar 2019, 13:16 Uhr

Fuzzylogik einer Temperaturregelung

Fuzzylogik (eng. fuzzy ‚verwischt‘, ‚verschwommen‘, ‚unbestimmt‘; fuzzy logic, fuzzy theory ‚unscharfe Logik‘ bzw. ‚unscharfe Theorie‘) oder Unschärfelogik[1][2] ist eine Theorie, welche in der Mustererkennung zur präzisen Erfassung des Unpräzisen (Zadeh) entwickelt wurde, sodann der Modellierung von Unschärfe von umgangssprachlichen Beschreibungen von Systemen diente, heute aber überwiegend in angewandten Bereichen wie etwa der Regelungstechnik eine Rolle spielt.

Als Verallgemeinerung der zweiwertigen Booleschen Logik erlaubt sie beispielsweise die Ausprägung einer Eigenschaft – wie sie die sogenannten Heckenausdrücke „ein bisschen“, „ziemlich“, „stark“ oder „sehr“ der natürlichen Sprache zur Verstärkung oder Abschwächung eines Prädikats bereitstellen – als Zugehörigkeitsgrad numerisch zu erfassen und damit die Unschärfe (Fuzziness) eines sprachlichen Ausdrucks mathematisch präzise zu modellieren.

Die Fuzzylogik basiert auf den unscharfen (fuzzy) Mengen (Fuzzy-Sets). Dabei wird die Menge nicht wie bisher durch die Objekte definiert, die Elemente dieser Menge sind (oder nicht sind), sondern über den Grad ihrer Zugehörigkeit zu dieser Menge. Das geschieht durch Zugehörigkeitsfunktionen, die jedem Element einen numerischen Wert als Zugehörigkeitsgrad zuordnen. Die so eingeführten neuen Mengenoperationen definieren die Operationen eines zugehörigen Logikkalküls, das die Modellierung von Inferenzprozessen erlaubt.

Historische Entwicklung

Die Überlegungen zu einer Logik der Unschärfe reichen zurück in die griechische Antike. Bereits der Philosoph Platon postulierte, dass zwischen den Begriffen wahr und falsch ein dritter Bereich liege. Dies stand ganz im Gegensatz zu seinem Zeitgenossen Aristoteles, welcher die Präzision der Mathematik darin begründete, dass eine Aussage nur entweder wahr oder falsch sein kann.

Bezüge zum modernen Begriff der Unschärfe hat auch der von Georg Wilhelm Friedrich Hegel geprägte Begriff der Gedoppelten Mitte.

Die Fuzzy-Set-Theorie, also die unscharfe Mengenlehre, wurde 1965 von Lotfi Zadeh an der University of California, Berkeley entwickelt.[3] Die Fuzzy-Technologie nahm in den 1980er Jahren vor allem in Japan ihren Aufschwung mit der sogenannten japanischen Fuzzy-Welle. Ein historisches Beispiel ist die Regelung der vollautomatischen U-Bahn Sendai, die erste erfolgreiche Großanwendung mit Fuzzylogik in der Praxis. Später fand die Fuzzylogik auch in Geräten der Unterhaltungselektronik breite Anwendung. Die europäische Fuzzy-Welle kam erst Mitte der 1990er Jahre, als die Grundsatzdiskussionen über die Fuzzylogik verebbten.

Fuzzy-Set-Theorie

Die Fuzzy-Set-Theorie ist von der mehrwertigen Logik zu unterscheiden, die in den 1920er Jahren der polnische Logiker Jan Łukasiewicz beschrieb. Im engeren Sinne kann die so genannte Fuzzylogik zwar als eine mehrwertige Logik gedeutet werden, und insofern gibt es eine gewisse Nähe zur mehrwertigen Logik, für deren Wahrheitswert einer logischen Aussage Zahlen aus dem reellen Einheitsintervall [0, 1] (die reellen Zahlen von 0 bis 1) verwendet werden. Allerdings fasst Lotfi Zadeh die Fuzzy-Set-Theorie als Formalisierung von unbestimmten Begriffsumfängen im Sinne einer referenziellen Semantik auf, was ihm erlaubt, die Unschärfe der Zugehörigkeit von Objekten als Elemente der zu definierenden Mengen graduell über numerische Werte zwischen 0 und 1 anzugeben. Damit eröffnete sich eine weitergehende, linguistische Interpretation der Fuzzy-Set-Theorie als Basis einer Logik der Unschärfe. Der Begriff der Fuzzy Logic wurde zunächst auch nicht von Zadeh, sondern erst später von dem ebenfalls in Berkeley lehrenden Linguisten George Lakoff benutzt, nachdem Joseph Goguen, ein Doktorand Zadehs, eine Logik unscharfer Begriffe[4] eingeführt hatte.

In der linguistischen Semantik wird heute die Fuzzylogik aber mehrheitlich als nicht geeignet angesehen, um ein Modell für Vagheit und ähnliche Phänomene der natürlichen Sprache zu liefern.[5] Anstatt einer unbestimmten Aussage einen Wahrheitswert zuzuweisen, der eine Bruchzahl zwischen 0 (falsch) und 1 (wahr) ist, wird die Methode der Supervaluation bevorzugt, bei der die Zuweisung eines klassischen Wahrheitswertes (0;1) aufgeschoben ist, weil sie erst noch von einem Parameter abhängt, der durch Information aus dem Kontext belegt werden muss.[6] Das zugrundeliegende Modell bezeichnet man als eine partielle Logik (die in einem klaren Gegensatz zu mehrwertigen Logiken steht).

Unscharfe Mengen

UND-ODER-NICHT-Operatoren zur Verknüpfung von Zugehörigkeitsfunktionen (Teilmengen).

Grundlage der Fuzzylogik sind die sogenannten unscharfen Mengen (engl.: fuzzy sets). Im Gegensatz zu traditionellen Mengen (im Kontext der Fuzzylogik auch scharfe Mengen genannt), in denen ein Element einer vorgegebenen Grundmenge entweder enthalten oder nicht enthalten ist, wird eine unscharfe (fuzzy) Menge nicht durch die Objekte definiert, die Elemente dieser Menge sind (oder nicht sind), sondern über den Grad ihrer Zugehörigkeit zu dieser Menge.

Das geschieht durch Zugehörigkeitsfunktionen μA: X → [0,1], die jedem Element der Definitionsmenge X eine Zahl aus dem reellwertigen Intervall [0,1] der Zielmenge zuordnen, welche den Zugehörigkeitsgrad μA(x) jeden Elements x zur so definierten unscharfen Menge A angibt. Damit wird jedes Element zum Element jeder unscharfen Menge, aber mit jeweils unterschiedlichen, eine bestimmte Teilmenge definierenden Zugehörigkeitsgraden.

Zadeh erklärte hierzu neue Mengenoperationen, die als Operationen eines neuen Logikkalküls die mehrwertige Fuzzylogik begründen und sie als eine Verallgemeinerung der zweiwertigen, klassischen Logik ausweisen, welche als Spezialfall in ihr enthalten ist. Diese Operationen auf unscharfen Mengen sind wie auf scharfen Mengen definierbar, wie z. B. die Bildung von Schnittmengen (UND), Vereinigungsmengen (ODER) und Komplementmengen (NICHT). Zur Modellierung der logischen Operatoren der Konjunktion (UND), der Disjunktion (ODER) und der Negation (NICHT) bedient man sich der Funktionsklassen der T-Norm und T-Conorm.

Negation

Die Negation in der Fuzzylogik erfolgt durch Subtraktion der Eingabewerte von 1. Also

  NOT(A)=1-A

Nicht ausschließende-ODER-Schaltung

Die Adjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils höheren Wertes der Eingabewerte. Also

  OR(A;B)=A wenn A>B
          B wenn A<=B

UND-Schaltung

Die Konjunktion erfolgt durch Wahl des jeweils niedrigeren Wertes der Eingabewerte. Also

  AND(A;B)=A wenn A<B
           B wenn A>=B

Ausschließende-ODER-Schaltung

Für die Disjunktion komplementiert man den kleineren zweier Werte und wählt den kleineren der beiden. Für mehr als zwei Eingabewerte setzt man das Ergebnis der letzten Operation rekursiv mit dem jeweils nächsten Eingabewert ein. Einfacher: man nimmt die Differenz des weniger Extremen von dem ihm gegenüberliegenden Extremwert. Also

  XOR(A;B)=A   wenn A>B und A<(1-B)
           1-B wenn A>B und A>=(1-B)
           B   wenn B>=A und B<(1-A)
           1-A wenn B>=A und B>=(1-A)

Fuzzyfunktionen

Zusammenfassungen einzelner Zugehörigkeitsfunktionen ergeben die Fuzzyfunktionen. Ein Beispiel dafür ist eine Fuzzyfunktion für das Alter eines Menschen. Diese könnte aus mehreren dachförmigen Dreiecken bestehen, die ihrerseits für verschiedene Alterstypen stehen und Zugehörigkeitsfunktionen dieser einzelnen Alterstypen darstellen. Jedes Dreieck deckt einen Bereich von mehreren Jahren des Menschenalters ab. Ein Mensch mit 35 Jahren hätte so die Eigenschaften: jung mit der Wertung 0,75 (das ist noch relativ viel), mittleres Alter mit der Wertung 0,25 (das ist ein bisschen) und von den übrigen Funktionen nichts. Anders ausgedrückt: mit 35 ist man ziemlich viel jung und ein bisschen mittel. Die Fuzzyfunktion ordnet jedem Alterswert eine ihn charakterisierende Zugehörigkeitsfunktion zu.

In vielen Fällen werden Fuzzyfunktionen über Tabellen aus statistischen Erhebungen erzeugt. Diese können auch von der Anwendung selbst erhoben werden soweit eine Rückkopplung gegeben ist, wie in der Fahrstuhlsteuerung. Praktisch bedeutsam ist auch, die Erfahrungen und Intuitionen eines Experten auf dem jeweiligen Gebiet in eine Fuzzyfunktion mit einfließen zu lassen, insbesondere dann, wenn überhaupt keine statistischen Aussagen vorhanden sind, beispielsweise dann, wenn es sich um ein komplett neu zu beschreibendes System handelt.

Diese Dreiecksgestalt ist allerdings keineswegs zwingend, generell können die Werte von Fuzzy-Funktionen beliebige Gestalt haben, solange deren Funktionswerte im Intervall [0,1] bleiben. In der Praxis werden solche Dreieckfunktionen aufgrund ihrer einfachen Berechenbarkeit jedoch gerne verwendet. Relativ weit verbreitet sind noch Trapeze (nicht notwendigerweise spiegelsymmetrisch), aber auch Halbkreise finden sich in einigen Anwendungen. Auch können sich prinzipiell mehr als zwei Abschnitte einer Fuzzy-Funktion überlappen (beim hier betrachteten Beispiel scheint das aber nicht sinnvoll zu sein).

Beispiel für eine nicht-lineare Fuzzy-Funktion

Ein Beispiel für eine nicht-lineare Zugehörigkeitsfunktion bildet die folgende Sigmoidfunktion:

Die Kurve drückt durch die Form des Buchstabens S eine ansteigende Zugehörigkeit zu der jeweils beschriebenen Menge durch einen Wert im Wertebereich [0,1] aus. Je nach Anwendungsfall lässt sich eine abnehmende Zugehörigkeit durch eine entsprechende Z-Kurve ausdrücken:

Der Parameter α gibt hierbei den Wendepunkt der S-Kurve an, der Wert δ bestimmt die Neigung der Kurve. Je größer δ gewählt wird, desto flacher wird der Verlauf der resultierenden Funktion.

Das Alter eines Menschen lässt sich mittels dieser Kurve wie folgt als Fuzzy-Funktion darstellen:

Alter eines Menschen
Bezeichnung Zugehörigkeitsfunktion
sehr jung
jung
nicht sehr jung
mehr oder weniger alt
alt
sehr alt

Dabei können die umgangssprachliche Modifikatoren sehr, mehr oder weniger sowie nicht sehr durch einfache Modifikation einer gegebenen Funktion dargestellt werden:

  • Der umgangssprachlich verstärkende Modifikator sehr kann in Form eines erhöhten Exponenten dargestellt werden (im Beispiel ). Das Ergebnis ist ein steilerer Kurvenverlauf im Vergleich zur Ausgangsfunktion.
  • Der umgangssprachliche Modifikator mehr oder weniger kann durch Verwendung eines niedrigeren Exponenten bzw. der Quadratwurzel auf eine gegebene Funktion ausgedrückt werden(). Das Ergebnis ist ein flacherer Kurvenverlauf im Vergleich zur Ausgangsfunktion.
  • Die Negation eines umgangssprachlichen Ausdrucks lässt durch eine einfache Subtraktion darstellen ().

Den Anwendungsfällen entsprechend handelt es sich bei dieser Form der Repräsentation um linguistische Variablen. Letztlich wird aus den einzelnen gewichteten Aussagen ein einziger Zahlenwert berechnet, der das Alter in mathematischer Form auszudrücken vermag. Mit diesem Wert lässt sich dann präzise weiterarbeiten. Auch bei dieser so genannten Defuzzyfikation sind viele Verfahren möglich, das bekannteste (aber bei weitem nicht immer beste) ist sicherlich die Methode Center-of-Gravity, bei der der Zahlenwert gewichtet nach der Masse der geometrischen Form der einzelnen Abschnitte der Zugehörigkeitsfunktion gebildet wird. Eine andere Möglichkeit ist, einfach einen gewichteten Mittelwert der Funktionswerte zu bilden.

Anwendungsbeispiele

Fuzzylogik wird heute in unterschiedlichen Bereichen eingesetzt: Eine wesentliche Anwendung sind Fuzzy-Regler, z. B. in der Automatisierungstechnik, Medizintechnik, Unterhaltungselektronik, Fahrzeugtechnik und anderen Bereichen der Regelungstechnik, in denen Fuzzy-Regler mit konventionellen Reglern konkurrieren. Anwendung findet sie auch in der künstlichen Intelligenz, in Inferenzsystemen, in der Spracherkennung und anderen Bereichen, wie zum Beispiel in der Elektrosicherheit (quantitative Bewertungen).[7]

Nützen kann die Verwendung von Fuzzylogik, wenn keine mathematische Beschreibung eines Sachverhaltes oder Problems vorliegt, sondern nur eine verbale Beschreibung. Auch wenn – wie fast immer – das vorhandene Wissen Lücken aufweist oder teilweise veraltet ist, bietet sich der Einsatz von Fuzzylogik an, um noch zu einer fundierten Aussage über einen aktuellen oder künftigen Systemzustand zu gelangen. Dann wird aus sprachlich formulierten Sätzen und Regeln mittels Fuzzylogik eine mathematische Beschreibung gewonnen, die in Rechnersystemen genutzt werden kann. Interessant ist dabei, dass mit der Fuzzylogik auch dann Systeme sinnvoll gesteuert (bzw. geregelt) werden können, wenn ein mathematischer Zusammenhang zwischen den Ein- und Ausgabegrößen eines Systems nicht darstellbar ist – oder nur mit großem Aufwand erfolgen könnte, so dass eine Automatisierung zu teuer oder nicht in Echtzeit realisierbar wäre.

Weitere Anwendungen sind die Regelung von U-Bahnen, die Prognose der zukünftigen Last in Routern, Gateways oder Mobilfunk-Basisstationen, die Steuerung automatischer Getriebe in Automobilen, Alarmsysteme für die Anästhesie, Zwischenfrequenzfilter in Radios, Antiblockiersysteme für Automobile, Brandmeldetechnik, die Prognose des Energieverbrauchs bei Energieversorgern, AF-gekoppelte Mehrfeld-Belichtungsautomatiken und AF-Prädiktion in Spiegelreflexkameras etc.

Auch in betriebswirtschaftlichen Anwendungen hat Fuzzylogik erfolgreich Einzug gehalten. Ein erfolgreiches Beispiel ist die Intelligente Schadenprüfung (ISP), mit der sich weltweit Versicherungsunternehmen vor Versicherungsbetrug schützen.

Begriffsabgrenzung

Nicht zu verwechseln mit der Fuzzylogik ist die Fuzzy-Suche, die eine unscharfe Suche in Datenbanken ermöglicht, zum Beispiel, wenn die genaue Schreibweise eines Namens oder Begriffes nicht bekannt ist. Auch wenn die Zugehörigkeits-Werte aus dem Intervall [0,1] formal wie Wahrscheinlichkeitswerte aussehen, so ist Unschärfe etwas grundsätzlich anderes als Wahrscheinlichkeit. Vor allem ist zu beachten, dass die Summe der Werte zweier Funktionen, die sich überschneiden, nicht 1 sein muss. Sie kann gleich 1 sein, aber auch darüber oder darunter liegen.

Siehe auch

Literatur

  • Benno Biewer: Fuzzy-Methoden. Praxisrelevante Rechenmodelle und Fuzzy-Programmiersprachen. Springer, Berlin 1997, ISBN 3-540-61943-7.
  • Christoph Drösser: Fuzzy logic. Methodische Einführung in krauses Denken. Rowohlt, Reinbek bei Hamburg 1996, ISBN 3-499-19619-0.
  • Siegfried Gottwald: Fuzzy Sets and Fuzzy Logic. Foundations of Application – from a Mathematical Point of View. Vieweg und Teknea, Braunschweig/Wiesbaden Toulouse 1993.
  • Berthold Heinrich [Hrsg.:] Messen, Steuern, Regeln. Elemente der Automatisierungstechnik. 8. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0006-6.
  • Ulrich Höhle, Stephen Ernest Rodabaugh: Mathematics of Fuzzy Sets: Logic, Topology, and Measure Theory. Springer, 1999, ISBN 0-7923-8388-5.
  • Michels, Klawonn, Kruse, Nürnberger: Fuzzy-Regelung. Grundlagen, Entwurf, Analyse. Springer-Verlag, ISBN 3-540-43548-4.
  • George J. Klir, Bo Yuan: Fuzzy Sets and Fuzzy Logic: Theory and Applications. 1995, ISBN 0-13-101171-5.
  • Thomas Kron: Fuzzy-Logik für die Soziologie. In: Österreichische Zeitschrift für Soziologie, 2005, H. 3, S. 51–89.
  • Thomas Kron, Lars Winter: Fuzzy Systems – Überlegungen zur Vagheit sozialer Systeme. In: Soziale Systeme, 2005, H. 2, S. 370–394.
  • Andreas Mayer [u. a.]: Fuzzy Logic. Einführung und Leitfaden zur praktischen Anwendung. Addison-Wesley, Bonn 1993, ISBN 3-89319-443-6.
  • Daniel McNeill u. Paul Freiberger: Fuzzy Logic. Die unscharfe Logik erobert die Technik. Droemer Knauer, München 1994, ISBN 3-426-26583-4.
  • Rodabaugh, S.E.; Klement, E.P (Hrsg.): Topological and Algebraic Structures in Fuzzy Sets: A Handbook of Recent Developments in the Mathematics of Fuzzy Sets. Springer, 2003, ISBN 978-1-4020-1515-1.
  • Carsten Q. Schneider, Claudius Wagemann: Qualitative Comparative Analysis (QCA) und Fuzzy Sets. Barbara Budrich, 2007, ISBN 978-3-86649-068-0.
  • Rudolf Seising: Die Fuzzifizierung der Systeme. Die Entstehung der Fuzzy Set Theorie und ihrer ersten Anwendungen – Ihre Entwicklung bis in die 70er Jahre des 20. Jahrhunderts. (Boethius: Texte und Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik und der Naturwissenschaften, Band 54). Franz Steiner Verlag, Stuttgart 2005, ISBN 3-515-08768-0.
  • Hans-Jürgen Zimmermann: Fuzzy Set Theory and its Applications. 2001, ISBN 0-7923-7435-5.
  • Wolfgang Anthony Eiden: Präzise Unschärfe – Informationsmodellierung durch Fuzzy-Mengen. Ibidem, 2002, ISBN 3-89821-230-0.
  • Magdalena Mißler-Behr: Fuzzybasierte Controllinginstrumente – Entwicklung von unscharfen Ansätzen. Wiesbaden 2001, ISBN 3-8244-9049-8.
  • Jürgen Adamy: Fuzzy Logik, Neuronale Netze und Evolutionäre Algorithmen. Shaker Verlag, Aachen 2015, ISBN 978-3-8440-3792-0.

Weblinks

Commons: Fuzzylogik - Weitere Bilder oder Audiodateien zum Thema

Software und Tools

Einzelnachweise

  1.  Hartmut Heine: Lehrbuch der biologischen Medizin. Grundregulation und Extrazelluläre Matrix. 4. Auflage. ISBN 978-3-8304-7544-6, S. 106.
  2.  Lutz J. Heinrich, Armin Heinzl, Friedrich Roithmayr: Wirtschaftsinformatik-Lexikon. 7. Auflage. ISBN 3-486-27540-2, S. 684.
  3. Zadeh, L. A.: Fuzzy sets. Information and Control, 8, 1965: 338–353
  4. J. A. Goguen: The logic of inexact concepts. Synthese 19 (3/4) 1969, S. 325–373.
  5. Ein klassischer Aufsatz zu diesem Thema ist: Hans Kamp, Barbara H. Partee: Prototype theory and compositionality. Cognition, 57 (1995), S. 129–191. Für eine Suche nach Kompromissmöglichkeiten: Uli Sauerland: Vagueness in Language: The Case Against Fuzzy Logic Revisited. In P. Cintula, C. Fermüller, L. Godo, P. Hájek (Hrsg.): Understanding Vagueness – Logical, Philosophical, and Linguistic Perspectives (Studies in Logic 36). College Publications, London 2011, S. 185–198.
  6. Siehe Kamp & Partee (1995: 148ff.) (siehe vorhergehende Fußnote). Eine einführende Darstellung dieser Idee, allerdings ohne die Bezeichnung „Supervaluation“, findet sich in: S. Löbner: Semantik. Eine Einführung. 2. Auflage. de Gruyter, Berlin 2015, Kapitel 11.4
  7. Siegfried Altmann: Elektrosicherheit – Quantitative Bewertungsverfahren. Selbstverlag 2013 und 2015, ISBN 978-3-00-035816-6, Abstracts (deutsch und englisch) mit 105 Seiten, Anlagenband mit 56 eigenen Publikationen, Vertiefungsband (Angewandte Qualimetrie und Fuzzylogik) mit 115 Seiten und 26 Anlagen


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