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Orientierung (Mathematik): Unterschied zwischen den Versionen
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Gegeben sei ein <math>n</math>-dimensionaler [[Vektorraum]] mit zwei geordneten [[Basis (Vektorraum)|Basen]] <math>A</math> und <math>B</math> und eine [[Transformationsmatrix]] <math>T^A_B</math>, die die beiden Basen ineinander überführt. Dann haben die Beiden Basen ''dieselbe Orientierung'', wenn die [[Determinante]] der Transformationsmatrix ''positiv'' ist, also <math>\det(T^A_B)>0</math>. Die Transformation ist dann ''orientierungserhaltend'', was etwa bei einer [[Zentrische Streckung|zentrischen Streckung]] oder bei einer Drehung | Gegeben sei ein <math>n</math>-dimensionaler [[Vektorraum]] mit zwei geordneten [[Basis (Vektorraum)|Basen]] <math>A</math> und <math>B</math> und eine [[Transformationsmatrix]] <math>T^A_B</math>, die die beiden Basen ineinander überführt. Dann haben die Beiden Basen ''dieselbe Orientierung'', wenn die [[Determinante]] der Transformationsmatrix ''positiv'' ist, also <math>\det(T^A_B)>0</math>. Die Transformation ist dann ''orientierungserhaltend'', was etwa bei einer [[Zentrische Streckung|zentrischen Streckung]] oder bei einer Drehung vorliegt. Ist die Determinante hingegen ''negativ'', also <math>\det(T^A_B)<0</math>, so ist die Transformation ''orientierungsumkehrend'', was es bei der [[Spiegelung (Geometrie)#Achsenspiegelung|Spiegelung]] der Fall ist. | ||
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Version vom 25. August 2019, 13:16 Uhr
Die Orientierung ist ein mathematisch definierter Begriff, der auf beliebige -dimensionale mathematische Räume angewendet werden kann. Es gibt zwei mögliche Orientierungen, die nicht durch eine Drehung, sondern nur durch eine Spiegelung ineinander übergeführt werden können. Anschaulich gesprochen verhalten sich die beiden Orientierungen zueinander wie Bild und Spiegelbild bzw. wie linke und rechte Hand.
Definition
Gegeben sei ein -dimensionaler Vektorraum mit zwei geordneten Basen und und eine Transformationsmatrix , die die beiden Basen ineinander überführt. Dann haben die Beiden Basen dieselbe Orientierung, wenn die Determinante der Transformationsmatrix positiv ist, also . Die Transformation ist dann orientierungserhaltend, was etwa bei einer zentrischen Streckung oder bei einer Drehung vorliegt. Ist die Determinante hingegen negativ, also , so ist die Transformation orientierungsumkehrend, was es bei der Spiegelung der Fall ist.
Siehe auch
- Orientierung (Mathematik) - Artikel in der deutschen Wikipedia
Literatur
- Klaus Jänich: Vektoranalysis. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1993, ISBN 3-540-57142-6, S. 70ff.
- Gerd Fischer: Lineare Algebra. 14. durchgesehene Auflage. Vieweg-Verlag, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0