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Knoten und Hopf-Verschlingung: Unterschied zwischen den Seiten
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In der [[Knotentheorie]], einem Teilgebiet der [[Mathematik]], ist die '''Hopf-Verschlingung''' (auch '''Hopf-Link''') das einfachste Beispiel einer Verschlingung zweier Kreise. | |||
== Hopf-Verschlingung == | |||
Die Hopf-Verschlingung ist eine [[Verschlingung]] bestehend aus zwei [[Unknoten]] (d. h. unverknoteten Kreisen), deren [[Verschlingungszahl]] (je nach [[Orientierung (Mathematik)|Orientierung]]) plus oder minus 1 beträgt. | |||
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und stellte fest, dass je zwei Fasern eine Hopf-Verschlingung bilden. | |||
Allgemein definierte er für Abbildungen <math>f\colon S^3\to S^2</math> die heute als [[Hopf-Invariante]] bezeichnete Invariante <math>H(f)\in\Z</math> als Verschlingungszahl der Urbilder zweier [[regulärer Wert]]e von <math>f</math> und er bewies, dass die Zuordnung | |||
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== Vorkommen in Kunst, Wissenschaft und Philosophie == | |||
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* Die Hopf-Verschlingung wird von der dem [[Shingon-shū]] zuzuordnenden [[Buddhismus|buddhistischen]] Sekte ''Buzan-ha'' als Symbol verwendet. | |||
* | * [[Catenane]] stellen eine Hopf-Verschlingung dar. | ||
* Die Hopf-Verschlingung kommt in zahlreichen Skulpturen des japanischen Künstlers [[Keizo Ushio]] vor. | |||
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== Siehe auch == | |||
* | * {{WikipediaDE|Hopf-Verschlingung}} | ||
== | == Literatur == | ||
* | * Heinz Hopf: ''Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche.'' ''Math. Ann.'' 104 (1931), 637–665 ([http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN235181684_0104&DMDID=dmdlog46 PDF]) | ||
* Colin Adams: ''Das Knotenbuch''. Spektrum Akademischer Verlag (1995). ISBN 978-3860253380 | |||
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== Weblinks == | == Weblinks == | ||
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* [http://mathworld.wolfram.com/HopfLink.html Hopf Link] auf MathWorld | |||
* [https://www.youtube.com/watch?v=3_VydFQmtZ8 Topology of a Twisted Torus] Numberphile (Video) | |||
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{{Wikipedia}} | {{Wikipedia}} |
Version vom 27. Februar 2019, 07:14 Uhr
In der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Hopf-Verschlingung (auch Hopf-Link) das einfachste Beispiel einer Verschlingung zweier Kreise.
Hopf-Verschlingung
Die Hopf-Verschlingung ist eine Verschlingung bestehend aus zwei Unknoten (d. h. unverknoteten Kreisen), deren Verschlingungszahl (je nach Orientierung) plus oder minus 1 beträgt.
Ein konkretes Modell sind zum Beispiel die im durch und parametrisierten Kreise.
Topologie des Komplements
Das Komplement der Hopf-Verschlingung in der 3-Sphäre ist homöomorph zu . Die Linkgruppe, also die Fundamentalgruppe des Komplements, ist isomorph zu , der freien abelschen Gruppe mit zwei Erzeugern.
Invarianten
Das Jones-Polynom ist
- ,
das HOMFLY-Polynom ist
- ,
die Hopf-Verschlingung ist der -Torus-Link und sie ist der Abschluss des Zopfes .
Hopf-Faserung und Homotopiegruppen
Heinz Hopf untersuchte 1931 die Hopf-Faserung
und stellte fest, dass je zwei Fasern eine Hopf-Verschlingung bilden.
Allgemein definierte er für Abbildungen die heute als Hopf-Invariante bezeichnete Invariante als Verschlingungszahl der Urbilder zweier regulärer Werte von und er bewies, dass die Zuordnung
einen Isomorphismus
ergibt.
Vorkommen in Kunst, Wissenschaft und Philosophie
- Die Hopf-Verschlingung wird von der dem Shingon-shū zuzuordnenden buddhistischen Sekte Buzan-ha als Symbol verwendet.
- Catenane stellen eine Hopf-Verschlingung dar.
- Die Hopf-Verschlingung kommt in zahlreichen Skulpturen des japanischen Künstlers Keizo Ushio vor.
Siehe auch
- Hopf-Verschlingung - Artikel in der deutschen Wikipedia
Literatur
- Heinz Hopf: Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche. Math. Ann. 104 (1931), 637–665 (PDF)
- Colin Adams: Das Knotenbuch. Spektrum Akademischer Verlag (1995). ISBN 978-3860253380
Weblinks
- Hopf Link auf MathWorld
- Topology of a Twisted Torus Numberphile (Video)
Dieser Artikel basiert (teilweise) auf dem Artikel Hopf-Verschlingung aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der Lizenz Creative Commons Attribution/Share Alike. In Wikipedia ist eine Liste der Autoren verfügbar. |