Digital Natives und Virialsatz: Unterschied zwischen den Seiten

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Als '''Digital Natives''' (dt.: digitale Eingeborene) werden Personen bezeichnet, die mit digitalen Technologien wie [[Wikipedia:Computer|Computer]]n, dem [[Wikipedia:Internet|Internet]], [[Wikipedia:Mobiltelefon|Mobiltelefon]]en und MP3-Player aufgewachsen sind. Als Antonym existiert der Begriff des [[Wikipedia:Digital Immigrant|Digital Immigrant]] (dt.: digitaler "Einwanderer“ oder digitaler Immigrant) für jemanden, der diese Dinge erst im Erwachsenenalter kennengelernt hat.
Der '''Virialsatz''' ({{laS|''vis''}} ‚Kraft‘) ist eine Beziehung zwischen dem zeitlichen [[Arithmetischer Mittelwert|arithmetischen Mittelwert]] der [[Kinetische Energie|kinetischen Energie]]&nbsp;<math> \overline{T}</math> und dem zeitlichen Mittel der [[Potentielle Energie|potentiellen Energie]]&nbsp;<math>\overline{U}</math> eines [[abgeschlossenes System|abgeschlossenen]] physikalischen [[System]]s.


"Mittlerweile wächst eine Generation von '''Digital Natives''' heran, die das Leben ohne [[Wikipedia:Facebook|Facebook]] und Smartphones gar nicht mehr richtig kennt. Ihr Kulturkonsum ist digital, was nicht bei [[Wikipedia:Google|Google]] zu finden ist, gibt es nicht.
Der Virialsatz wurde 1870 von [[Rudolf Clausius]] in dem Aufsatz ''Über einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz'' aufgestellt. Das '''Virial''' ist dabei nach Clausius der Ausdruck<ref>[[Rudolf Clausius|R. Clausius]]: [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k152258/f138.image ''Über einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz.''] Annalen der Physik, Band&nbsp;217, 1870, S.&nbsp;124–130.</ref><ref name=Goldstein>[[Herbert Goldstein|H. Goldstein]]: ''Klassische Mechanik.'' Akademische Verlagsgesellschaft, 1978, S.&nbsp;76&nbsp;f.</ref><ref>Die Definitionen des Virials variieren etwas, z.&nbsp;B. lassen sowohl [[Wolfgang Pauli]] in seinen Vorlesungen über Thermodynamik (ETH Zürich 1958) als auch das unten zitierte Buch von Honerkamp den Vorfaktor&nbsp;−1/2 in der Definition des Virials weg und Pauli lässt auch die Mittelbildung weg.</ref>
Ebenso wenig eine Trennung zwischen virtueller und realer Welt." (Lit.: Adrian Rosenthal, S. 6).


"Rechtlich betrachtet kommen Kinder unter 13 Jahren als ([[Wikipedia:Facebook|Facebook]])-Nutzer nicht in Frage, und selbst dann noch finden es viele Erwachsene generell unnötig oder immerhin zu früh. Schadet die Nutzung von [[Wikipedia:Facebook|Facebook]] unseren Kindern?
:<math>-\frac{1}{2}\,\sum_{i=1}^N \overline{\vec{F_i} \cdot \vec{r_i}}.</math>
Physisch betrachtet schränkt Technik uns ein: Sie mag unseren Aktionsradius erweitern, von außen gesehen führt sie einen Menschen nicht selten in einen Zustand der Erstarrung - oder, technisch gesprochen, in einen Standby-Modus -, ob im Auto, vor dem Computer, dem I-Pod/-Pad oder am Telefon. Wer jemals vor dem Fernseher sitzende Kinder betrachtet (oder gar gezeichnet hat), wird bemerkt haben, dass die vertrauten Gesichtszüge eines uns nahestehenden Menschen dann zuweilen wesensfremd wirken. Die Technik, insbesondere die Massenmedien, haben Auswirkungen auf unsere Vitalität.
Hierbei bezeichnet <math>\vec{F_i}</math> die auf das <math>i</math>-te Teilchen wirkende Kraft, <math>\vec r_i</math> dessen Ortsvektor und der Querstrich einen unten näher erläuterten Mittelwert, z.&nbsp;B. ein [[Zeitmittelwert|Zeit]]- oder [[Ensemblemittelwert|Scharmittel]]. Der Virialsatz ist ursprünglich von Clausius als Satz der klassischen Mechanik formuliert (als Gleichheit von Virial und mittlerer kinetischer Energie) und ermöglicht allgemeine Abschätzungen der Anteile potentieller und kinetischer Energie auch in komplexen Systemen, zum Beispiel in Mehrkörperproblemen in der Astrophysik. Es gibt auch einen quantenmechanischen Virialsatz und einen Virialsatz der statistischen Mechanik, aus dem unter anderem das ideale Gasgesetz und Korrekturen für reale Gase abgeleitet wurden. Die Gültigkeit des Virialsatzes ist an gewisse Voraussetzungen gebunden, etwa dass im Fall des Virialsatzes der Mechanik mit zeitlicher Mittelwertbildung Orte und Geschwindigkeiten der Teilchen beschränkt sind, oder dass ein thermisches Gleichgewicht herrscht.
Dieses Phänomen existiert seit Langem, tritt heute aber vermehrt als kollektives Phänomen in Erscheinung. Der "gefrorene Blick" (so ein Buchtitel des Pädagogen und Medienforschers [[Rainer Patzlaff]]) hat das Wohnzimmer verlassen und findet sich gehäuft in der Öffentlichkeit - etwa in öffentlichen Verkehrsmitteln, wo Fahrgäste auf handtellergroße Bildschirmchen fixiert sind und damit in der Welt herumsegeln. Denn das, was sie innerlich erfahren, ist etwas anderes als das, was ihnen äußerlich entgegenkommt." (Lit.: Silke Kirch, S. 15).


Menschen die mit dem [[Wikipedia:Internet|Internet]] aufgewachsen sind haben eine andere Auffassung von [[Realität]]. Für sie sind menschliche Kultur und natürliche Umwelt häufig nur vermittels des "Lern"-Angebots im WorldWideWeb (www) relevant. Dies stellt die [[Erziehung]] vor völlig neuartige Herausforderungen. Ob diese Trends von der gegenwärtig praktizierten [[Pädagogik]] der [[Waldorfschule]] schon zur Genüge erkannt und problematisiert werden, das ist heute die Frage.
== Virialsatz der Mechanik ==
=== Teilchen in einem konservativen Kraftfeld ===
Einen einfachen Fall stellen <math>N</math> untereinander nicht wechselwirkende Teilchen in einem äußeren Kraftfeld dar, das [[Konservative Kraft|konservativ]], also von einem [[Potential (Physik)|Potential]]&nbsp;<math>\Phi(\vec r)</math> abgeleitet ist (die dazugehörende Ladung sei mit <math>q</math> bezeichnet, sie ist für den Fall der Gravitation gerade die Masse). Der Virialsatz gilt, wie unten dargelegt wird, falls die Bewegung im Endlichen bleibt, also Ort und Impuls für alle Zeiten beschränkt sind, und lautet


"Intelligenz war noch in der ägyptisch-chaldäischen Zeit etwas Gutes, diese Intelligenz ist dann dasjenige geworden, was seine Verwandtschaft eingegangen hat mit den Kräften des Todes. Diese Intelligenz wird eine Verwandtschaft eingehen mit den Kräften des Irrtums, der Täuschung und des Bösen.
:<math>\overline T = -\frac{1}{2}\,\sum_{i=1}^N \overline{\vec{F_i} \cdot \vec{r_i}}
Das ist etwas, worüber sich die Menschheit eigentlich keiner Illusion hingeben sollte. Die Menschheit sollte unbefangen damit rechnen, daß sie sich zu schützen hat gegen die einseitige Entwicklung der Intelligenz." (Rudolf Steiner, [[GA 296]], S. 90).
                  =  \frac{q}{2}\,\sum_{i=1}^N \overline{\nabla \Phi(\vec{r_i}) \cdot \vec{r_i}},</math>
 
wobei <math>T</math> die kinetische Energie des Teilchens ist und der Querstrich den zeitlichen Mittelwert für Zeiten <math>\tau \to \infty</math> bezeichnet. Nimmt man zusätzlich ein in der Ortsvariablen [[Homogene Funktion|homogenes]] Potential vom Grad&nbsp;<math>k</math> an, das heißt, es gilt <math>\Phi(\alpha\,\vec {r}) = \alpha^k \cdot \Phi(\vec {r})</math> für <math>\alpha > 0</math>, dann vereinfacht sich die obige Gleichung mit der [[Homogene Funktion#Positive Homogenität|Eulerschen Gleichung]] für homogene Funktionen <math>\nabla \Phi(\vec{r}) \cdot \vec{r} = k \Phi(\vec{r})</math><ref name=Honerkamp>{{Literatur |Autor=J. Honerkamp, [[Hartmann Römer|H. Römer]] |Titel=Klassische Theoretische Physik |Verlag=Springer |Datum=2012 |ISBN=9783642232626 |Online={{Google Buch |BuchID=AcMoBAAAQBAJ |Seite=43 |Linktext=Kapitel 2.12: ''Der Virialsatz.''}}}}</ref> zu
 
:<math>\overline{T} = \frac{k}{2}\,\overline U,</math>
 
wobei <math>\textstyle U = \sum q_i \Phi(\vec{r_i})</math> die gesamte potentielle Energie der Teilchen ist. Der Virialsatz ist daher eine Beziehung zwischen mittlerer kinetischer und mittlerer potentieller Energie.
 
=== Untereinander wechselwirkende Teilchen ===
Für die Ableitung der Gasgesetze und die Anwendung in der Astrophysik ist der Fall eines abgeschlossenen Systems von <math>N</math> miteinander wechselwirkenden Teilchen von besonderem Interesse. Wie oben ergibt sich unter der Voraussetzung einer im Endlichen ablaufenden Bewegung der Virialsatz:
 
:<math>\overline T = -\frac{1}{2}\,\sum_{i=1}^N \overline{\vec{F_i} \cdot \vec{r_i}}</math>
 
Dabei ist <math>\vec {F_i}</math> die [[Resultierende]] der auf das <math>i</math>-te&nbsp;Teilchen einwirkenden [[Kraft|Kräfte]], die von ''anderen'' Teilchen des Systems ausgeübt werden. Da ein abgeschlossenes System betrachtet wird, existieren diesmal keine äußeren Kräfte. Wegen <math>\textstyle \sum_i \vec {F_i}=0</math> gilt, ist die Wahl des Ursprungs für die Ortsvektoren <math>\vec r_i</math> im Virial beliebig. Auf den ersten Blick sieht der Ausdruck im Virial kompliziert aus, lässt sich aber unter der Annahme, dass die paarweise zwischen den Teilchen wirkenden Kräfte jeweils von homogenen Potentialen vom Grad <math>k</math> abgeleitet werden können, wie oben auf die Form
 
:<math>\overline{T} = \frac{k}{2}\,\overline{U}</math>
 
bringen.
 
=== Folgerungen und Beispiele ===
Mit der Gesamtenergie <math>\overline{E} = \overline{T} + \overline{U} = E</math> folgt aus dem Virialsatz:
 
:<math>\overline{T} = \frac{k}{2}\,\overline {U} = \frac{k}{k+2}\,E</math>
 
:<math>\overline{U} = \frac{2}{k+2}\,E</math>
 
Für den bekannten Fall <math>k = -1</math> ([[Gravitation]], [[Coulombsche Kraft]]) ergibt sich z.&nbsp;B.:
 
:<math>\overline{T} = -\frac{1}{2}\,\overline{U} = -E</math>
 
Insbesondere ergibt sich, dass die Gesamtenergie für die Anwendung des Virialtheorems im Fall <math>k = -1</math> negativ sein muss (da <math>\overline {T}</math> positiv ist).
 
Für den Fall harmonischer Schwingungen (<math>k = 2</math>) gilt:
 
:<math>\overline{T} = \overline{U} = \frac {1}{2} E</math>
 
== Sonderfälle der Mittelwertbildung ==
Gewöhnlich bezeichnet der Querstrich wie schon bei Clausius den zeitlichen Mittelwert für Zeiten <math>\tau \to \infty</math>. In bestimmten Sonderfällen kann das aber auch vereinfacht werden.
 
=== Geschlossene Bahnen ===
Liegen geschlossene Bahnen vor, kann das Zeitmittel durch die Mittelung über eine Periode ersetzt werden. Der Virialsatz folgt hier unmittelbar aus der Periodizität der Bewegung. In zwei Sonderfällen homogener Potentiale, nämlich für das Potential des [[Harmonischer Oszillator|harmonischen Oszillators]] (<math>k=2</math>) und für das [[Coulombpotential]] (<math>k=-1</math>), erhält man für finite (d.&nbsp;h nicht ins Unendliche gehende) Bewegungen im Ein- oder Zweikörperproblem immer geschlossene Bahnen.<ref>{{Literatur |Autor=[[Julius Wess|J. Wess]] |Titel=Theoretische Mechanik |Verlag=Springer-Verlag |Datum=2008 |ISBN=9783540748694 |Online={{Google Buch |BuchID=0bwfBAAAQBAJ |Seite=56 |Linktext=Kapitel 13: ''Homogene Potenziale.''}}}}</ref>
 
=== Vielteilchensystem ===
Befindet sich ein [[Vielteilchensystem]] im [[Thermisches Gleichgewicht|thermischen Gleichgewicht]], kann das System als [[Ergodenhypothese|ergodisch]] betrachtet werden, d.&nbsp;h., das [[Zeitmittel]] ist gleich dem [[Ensemblemittelwert|Scharmittel]] für alle [[Observable|Beobachtungsgrößen]]. Da dies insbesondere für die kinetische und die potentielle Energie gilt und das Scharmittel der Energien aus der Summe der Einzelenergien, geteilt durch die Anzahl&nbsp;<math>N</math> der Objekte, gebildet wird, lässt sich das Scharmittel durch die Gesamtenergien ausdrücken. Wir erhalten daher für Gleichgewichtssysteme
 
:<math>T = \frac k2\,U</math>
 
ohne Mittelung über die Zeit, denn die Werte sind zeitlich konstant (siehe auch unten die Behandlung des Virialsatzes im Rahmen der statistischen Mechanik).
 
Für das gravitative <math>N</math>-Teilchensystem in der Astrophysik (zum Beispiel als Modell von Galaxien- und Sternhaufen) ist zu bemerken, dass die oben angegebene Grundvoraussetzung in der Ableitung des Virialsatzes, dass das System räumlich beschränkt bleibt, für große Zeiträume nicht gegeben ist. All diese Haufen lösen sich irgendwann auf, da immer wieder Teilchen durch die gegenseitige Wechselwirkung (Störung) mit den anderen genug Energie aufsammeln, um zu entkommen. Allerdings sind die Zeiträume, in denen das geschieht, sehr lang. In der Astrophysik definiert die Relaxationszeit <math>T_\text{relax}</math> eines Sternhaufens oder einer Galaxie die Zeit, in der sich eine Gleichgewichtsverteilung einstellt.<ref name="Voigt">H. Voigt: ''Abriss der Astronomie.'' BI Verlag, 1980, S.&nbsp;367&nbsp;ff., S.&nbsp;487.</ref> Sie beträgt bei der Milchstraße <math>T_\text{relax} \approx 7 \cdot 10^{13}</math>&nbsp;Jahre (bei einem Alter von <math>13{,}6 \cdot 10^9</math>&nbsp;Jahren) und für typische Kugelsternhaufen <math>10^{10}</math>&nbsp;Jahre. Innerhalb des Zeitraums <math>T_\text{relax}</math> erreichen 0,74&nbsp;Prozent der Sterne nach der Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung die Fluchtgeschwindigkeit und entweichen. Numerische Rechnungen zeigten, dass der Anteil sogar noch etwas höher liegt,<ref>Sebastian von Hoerner: ''Zeitschrift für Astrophysik.'' Band&nbsp;50, 1960, 184. Danach etwa fünfmal höher.</ref> und dass der Virialsatz in den Haufen aufgrund des sich einstellenden Gleichgewichts (mit einer Anlaufzeit von zwei bis drei Relaxationszeiten) gut erfüllt ist. Nach dem Ablauf von <math>42 \cdot T_\text{relax}</math> sind 90&nbsp;Prozent der Sterne abgewandert.
 
== Siehe auch ==
* {{WikipediaDE|Virialsatz}}


== Literatur ==
== Literatur ==
* Lew Dawidowitsch Landau, Jewgeni Michailowitsch Lifschitz: ''Mechanik.'' Lehrbuch der theoretischen Physik, Bd.&nbsp;1. Deutsch, Frankfurt/M. 2004, ISBN 3-8171-1326-9.
:''Gibt eine einfache Herleitung des skalaren Virialsatzes.''
* James Binney, Scott Tremaine: ''Galactic Dynamics.'' Princeton Series in Astrophysics. Princeton University Press, Princeton, N.J. 1988, ISBN 0-691-08445-9.
:''Hier findet man die tensorielle Verallgemeinerung und Anwendungen.''
* Wilhelm Brenig: ''Statistische Theorie der Wärme.'' 3.&nbsp;Auflage, Springer 1992, S.&nbsp;144&nbsp;f. (Virialsatz in statistischer Mechanik).
* George W. Collins: ''The Virial Theorem in Stellar Astrophysics.'' Pachart Press, 1978, [http://bifrost.cwru.edu/personal/collins/virial/ Online.]
* Richard Becker: ''Theorie der Wärme.'' 1961, S.&nbsp;85 (zum äußeren Virial).
* Fritz Zwicky: ''Die Rotverschiebung von extragalaktischen Nebeln.'' Erste astrophysikalische Massenbestimmung mittels des Virialsatzes, 1933. {{bibcode|1933AcHPh...6..110Z}} (Mit „Nebel“ sind Galaxien bezeichnet.)
* Albrecht Unsöld: ''Der neue Kosmos.'' Springer, 2. Aufl., 1974, S. 283, Ableitung und Bedeutung für die Berechnung des Aufbaus von Sternen. (Nicht im 1966er B.I.-Taschenbuch.)
== Weblinks ==
* John Baez: [http://math.ucr.edu/home/baez/virial.html ''The Virial Theorem Made Easy.'']


* Rudolf Steiner: ''Die Erziehungsfrage als soziale Frage'', [[GA 296]], Dornach 1979
== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
* Adrian Rosenthal: ''Gekommen um zu bleiben''. In: SCHRAEGSTRICH. Mitgliederzeitschrift von Bündnis 90/DIE GRÜNEN, Ausgabe 02/12 (Juni 2012), S. 4 - 6
<references />
* Silke Kirch: ''Steno für die Blaue Stunde''. In: Zeitschrift INFO3, Oktober 2012, S. 14 - 18
* Ernst Schuberth: ''Erziehung in einer Computergesellschaft''. Datentechnik und die werdende Intelligenz des Menschen, Vlg. Freies Geistesleben, Stuttgart 1990
* [[Rainer Patzlaff]]: ''Medienmagie und die Herrschaft über die Sinne'', Vlg. Freies Geistesleben, Stuttgart 1988
* Heinz Buddemeier: ''Von der Keilschrift zum Cyberspace''. Der Mensch und seine Medien, Urachhaus Vlg., Stuttgart 2001
* Clifford Stoll: ''Die Wüste Internet''. Geisterfahrten auf der Datenautobahn, S. Fischer Vlg., Frankfurt a. M. 1996
* Clifford Stoll: ''LogOut''. Warum Computer nichts im Klassenzimmer zu suchen haben und andere High-Tech-Ketzereien, S. Fischer Vlg., Frankfurt a. M. 2001
* Christoph Möller (Hrsg.): ''Internet- und Computersucht''. Ein Praxishandbuch für Therapeuten, Pädagogen und Eltern, Kohlhammer Vlg., Stuttgart 2012
* Heinz Buddemeier: ''Zwischen Wirklichkeit und virtuellem Wunderland''. Über die problematischen Innenwirkungen von Computerspielen, Menon Vlg., Heidelberg 2011
* Manfred Spitzer: ''Digitale Demenz''. Wie wir uns und unsere Kinder um den Verstand bringen, Droemer Vlg., München 2012
* Andreas Neider: ''Aufmerksamkeitsdefizite. Wie das Internet unser Bewusstsein korrumpiert und was wir dagegen tun können'', Vlg. Freies Geistesleben, Stuttgart 2013
* Stefan Bonner / Anne Weiss: ''Generation Doof. Wie blöd sind wir eigentlich?'', Vlg. Bastei-Lübbe, Bergisch Gladbach 2008
* Edwin Hübner: ''Imaginationen im virtuellen Raum''. Technik und Spiritualität - Chancen eines neuen Jahrhunderts, Clavis Vlg., Frankfurt a. M. 2008
* Andreas Neider (Hg.): ''Flucht in virtuelle Welten?'' Reale Beziehungen mit Kindern gestalten, Vlg. Freies Geistesleben, Stuttgart 2010
* Andreas Neider: ''Der <<elektronische Doppelgänger>>''. In: Anthroposophie. Vierteljahresschrift zur anthroposophischen Arbeit in Deutschland, Michaeli III/2012, Nr. 261, S. 193 - 204
* Johannes Greiner: ''Den inneren Schatz befreien''. In: Wochenschrift "Das Goetheanum" Nr. 6-7 vom 9.2.2013, S. 4 - 5
* [[Georg Kühlewind]]: ''Sternenkinder: Kinder, die uns besondere Aufgaben stellen'', Vlg. Freies Geistesleben, Stuttgart 2009
* Flensburger Hefte Nr. 109: ''Leere Seelen''. Was treibt sie in den Amok?, Flensburger Hefte Vlg., Flensburg 2010
* Michael Heinen-Anders: ''Aus anthroposophischen Zusammenhängen'', BOD, Norderstedt 2010


== Weblinks ==
[[Kategorie:Statistische Physik]]
[[Kategorie:Himmelsmechanik]]


* [http://www2.mediamanual.at/themen/kompetenz/60_Horvath-Was_tun_mit.pdf Was tun mit den 'digital natives'?]
{{Wikipedia}}
* [http://www.marcprensky.com/writing/prensky%20-%20digital%20natives,%20digital%20immigrants%20-%20part1.pdf "Digital Natives, Digital Immigrants" von Marc Prensky]
* [http://www.taz.de/Onliner-und-Offliner/!99458/ "Wer sind diese Netzkinder?"]
* [http://www.spiegel.de/schulspiegel/leben/experiment-schuelerin-verzichtet-eine-woche-auf-smartphone-a-895810.html "Experiment": "Eine Woche ohne Handy"]
* [[Bild:Adobepdf_small.gif]] [http://www.anthrowiki.info/jump.php?url=http://www.anthrowiki.info/ftp/anthroposophie/Die_modernen_elektronischen_Medien.pdf Wolfgang Peter: ''Die modernen elektronischen Medien und ihre Wirkung auf die kindliche Seele'']
* [[Bild:Adobepdf_small.gif]] [http://www.anthrowiki.info/jump.php?url=http://www.anthrowiki.info/ftp/anthroposophie/ENetz.pdf Wolfgang Peter: ''Gefangen im weltweiten elektronischen Netz?]
* [[Bild:Adobepdf_small.gif]] [http://ftp.rudolf-steiner.org/ftp/anthroposophie/Michael_Heinen-Anders/Problem%20Internet%20-%20Einige%20kritische%20Literaturhinweise,%2006.12.09.pdf Michael Heinen-Anders: Problem Internet - Einige kritische Literaturhinweise]

Version vom 10. März 2020, 10:58 Uhr

Der Virialsatz (lat. vis ‚Kraft‘) ist eine Beziehung zwischen dem zeitlichen arithmetischen Mittelwert der kinetischen Energie  und dem zeitlichen Mittel der potentiellen Energie  eines abgeschlossenen physikalischen Systems.

Der Virialsatz wurde 1870 von Rudolf Clausius in dem Aufsatz Über einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz aufgestellt. Das Virial ist dabei nach Clausius der Ausdruck[1][2][3]

Hierbei bezeichnet die auf das -te Teilchen wirkende Kraft, dessen Ortsvektor und der Querstrich einen unten näher erläuterten Mittelwert, z. B. ein Zeit- oder Scharmittel. Der Virialsatz ist ursprünglich von Clausius als Satz der klassischen Mechanik formuliert (als Gleichheit von Virial und mittlerer kinetischer Energie) und ermöglicht allgemeine Abschätzungen der Anteile potentieller und kinetischer Energie auch in komplexen Systemen, zum Beispiel in Mehrkörperproblemen in der Astrophysik. Es gibt auch einen quantenmechanischen Virialsatz und einen Virialsatz der statistischen Mechanik, aus dem unter anderem das ideale Gasgesetz und Korrekturen für reale Gase abgeleitet wurden. Die Gültigkeit des Virialsatzes ist an gewisse Voraussetzungen gebunden, etwa dass im Fall des Virialsatzes der Mechanik mit zeitlicher Mittelwertbildung Orte und Geschwindigkeiten der Teilchen beschränkt sind, oder dass ein thermisches Gleichgewicht herrscht.

Virialsatz der Mechanik

Teilchen in einem konservativen Kraftfeld

Einen einfachen Fall stellen untereinander nicht wechselwirkende Teilchen in einem äußeren Kraftfeld dar, das konservativ, also von einem Potential  abgeleitet ist (die dazugehörende Ladung sei mit bezeichnet, sie ist für den Fall der Gravitation gerade die Masse). Der Virialsatz gilt, wie unten dargelegt wird, falls die Bewegung im Endlichen bleibt, also Ort und Impuls für alle Zeiten beschränkt sind, und lautet

wobei die kinetische Energie des Teilchens ist und der Querstrich den zeitlichen Mittelwert für Zeiten bezeichnet. Nimmt man zusätzlich ein in der Ortsvariablen homogenes Potential vom Grad  an, das heißt, es gilt für , dann vereinfacht sich die obige Gleichung mit der Eulerschen Gleichung für homogene Funktionen [4] zu

wobei die gesamte potentielle Energie der Teilchen ist. Der Virialsatz ist daher eine Beziehung zwischen mittlerer kinetischer und mittlerer potentieller Energie.

Untereinander wechselwirkende Teilchen

Für die Ableitung der Gasgesetze und die Anwendung in der Astrophysik ist der Fall eines abgeschlossenen Systems von miteinander wechselwirkenden Teilchen von besonderem Interesse. Wie oben ergibt sich unter der Voraussetzung einer im Endlichen ablaufenden Bewegung der Virialsatz:

Dabei ist die Resultierende der auf das -te Teilchen einwirkenden Kräfte, die von anderen Teilchen des Systems ausgeübt werden. Da ein abgeschlossenes System betrachtet wird, existieren diesmal keine äußeren Kräfte. Wegen gilt, ist die Wahl des Ursprungs für die Ortsvektoren im Virial beliebig. Auf den ersten Blick sieht der Ausdruck im Virial kompliziert aus, lässt sich aber unter der Annahme, dass die paarweise zwischen den Teilchen wirkenden Kräfte jeweils von homogenen Potentialen vom Grad abgeleitet werden können, wie oben auf die Form

bringen.

Folgerungen und Beispiele

Mit der Gesamtenergie folgt aus dem Virialsatz:

Für den bekannten Fall (Gravitation, Coulombsche Kraft) ergibt sich z. B.:

Insbesondere ergibt sich, dass die Gesamtenergie für die Anwendung des Virialtheorems im Fall negativ sein muss (da positiv ist).

Für den Fall harmonischer Schwingungen () gilt:

Sonderfälle der Mittelwertbildung

Gewöhnlich bezeichnet der Querstrich wie schon bei Clausius den zeitlichen Mittelwert für Zeiten . In bestimmten Sonderfällen kann das aber auch vereinfacht werden.

Geschlossene Bahnen

Liegen geschlossene Bahnen vor, kann das Zeitmittel durch die Mittelung über eine Periode ersetzt werden. Der Virialsatz folgt hier unmittelbar aus der Periodizität der Bewegung. In zwei Sonderfällen homogener Potentiale, nämlich für das Potential des harmonischen Oszillators () und für das Coulombpotential (), erhält man für finite (d. h nicht ins Unendliche gehende) Bewegungen im Ein- oder Zweikörperproblem immer geschlossene Bahnen.[5]

Vielteilchensystem

Befindet sich ein Vielteilchensystem im thermischen Gleichgewicht, kann das System als ergodisch betrachtet werden, d. h., das Zeitmittel ist gleich dem Scharmittel für alle Beobachtungsgrößen. Da dies insbesondere für die kinetische und die potentielle Energie gilt und das Scharmittel der Energien aus der Summe der Einzelenergien, geteilt durch die Anzahl  der Objekte, gebildet wird, lässt sich das Scharmittel durch die Gesamtenergien ausdrücken. Wir erhalten daher für Gleichgewichtssysteme

ohne Mittelung über die Zeit, denn die Werte sind zeitlich konstant (siehe auch unten die Behandlung des Virialsatzes im Rahmen der statistischen Mechanik).

Für das gravitative -Teilchensystem in der Astrophysik (zum Beispiel als Modell von Galaxien- und Sternhaufen) ist zu bemerken, dass die oben angegebene Grundvoraussetzung in der Ableitung des Virialsatzes, dass das System räumlich beschränkt bleibt, für große Zeiträume nicht gegeben ist. All diese Haufen lösen sich irgendwann auf, da immer wieder Teilchen durch die gegenseitige Wechselwirkung (Störung) mit den anderen genug Energie aufsammeln, um zu entkommen. Allerdings sind die Zeiträume, in denen das geschieht, sehr lang. In der Astrophysik definiert die Relaxationszeit eines Sternhaufens oder einer Galaxie die Zeit, in der sich eine Gleichgewichtsverteilung einstellt.[6] Sie beträgt bei der Milchstraße  Jahre (bei einem Alter von  Jahren) und für typische Kugelsternhaufen  Jahre. Innerhalb des Zeitraums erreichen 0,74 Prozent der Sterne nach der Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung die Fluchtgeschwindigkeit und entweichen. Numerische Rechnungen zeigten, dass der Anteil sogar noch etwas höher liegt,[7] und dass der Virialsatz in den Haufen aufgrund des sich einstellenden Gleichgewichts (mit einer Anlaufzeit von zwei bis drei Relaxationszeiten) gut erfüllt ist. Nach dem Ablauf von sind 90 Prozent der Sterne abgewandert.

Siehe auch

Literatur

  • Lew Dawidowitsch Landau, Jewgeni Michailowitsch Lifschitz: Mechanik. Lehrbuch der theoretischen Physik, Bd. 1. Deutsch, Frankfurt/M. 2004, ISBN 3-8171-1326-9.
Gibt eine einfache Herleitung des skalaren Virialsatzes.
  • James Binney, Scott Tremaine: Galactic Dynamics. Princeton Series in Astrophysics. Princeton University Press, Princeton, N.J. 1988, ISBN 0-691-08445-9.
Hier findet man die tensorielle Verallgemeinerung und Anwendungen.
  • Wilhelm Brenig: Statistische Theorie der Wärme. 3. Auflage, Springer 1992, S. 144 f. (Virialsatz in statistischer Mechanik).
  • George W. Collins: The Virial Theorem in Stellar Astrophysics. Pachart Press, 1978, Online.
  • Richard Becker: Theorie der Wärme. 1961, S. 85 (zum äußeren Virial).
  • Fritz Zwicky: Die Rotverschiebung von extragalaktischen Nebeln. Erste astrophysikalische Massenbestimmung mittels des Virialsatzes, 1933. bibcode:1933AcHPh...6..110Z (Mit „Nebel“ sind Galaxien bezeichnet.)
  • Albrecht Unsöld: Der neue Kosmos. Springer, 2. Aufl., 1974, S. 283, Ableitung und Bedeutung für die Berechnung des Aufbaus von Sternen. (Nicht im 1966er B.I.-Taschenbuch.)

Weblinks

Einzelnachweise und Anmerkungen

  1. R. Clausius: Über einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz. Annalen der Physik, Band 217, 1870, S. 124–130.
  2. H. Goldstein: Klassische Mechanik. Akademische Verlagsgesellschaft, 1978, S. 76 f.
  3. Die Definitionen des Virials variieren etwas, z. B. lassen sowohl Wolfgang Pauli in seinen Vorlesungen über Thermodynamik (ETH Zürich 1958) als auch das unten zitierte Buch von Honerkamp den Vorfaktor −1/2 in der Definition des Virials weg und Pauli lässt auch die Mittelbildung weg.
  4.  J. Honerkamp, H. Römer: Klassische Theoretische Physik. Springer, 2012, ISBN 9783642232626 (Kapitel 2.12: Der Virialsatz. in der Google Buchsuche).
  5.  J. Wess: Theoretische Mechanik. Springer-Verlag, 2008, ISBN 9783540748694 (Kapitel 13: Homogene Potenziale. in der Google Buchsuche).
  6. H. Voigt: Abriss der Astronomie. BI Verlag, 1980, S. 367 ff., S. 487.
  7. Sebastian von Hoerner: Zeitschrift für Astrophysik. Band 50, 1960, 184. Danach etwa fünfmal höher.


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