Benutzer Diskussion:Joachim Stiller

Der Virialsatz (lat. vis ‚Kraft‘) ist eine Beziehung zwischen dem zeitlichen arithmetischen Mittelwert der kinetischen Energie ${\overline {T}}$ und dem zeitlichen Mittel der potentiellen Energie ${\overline {U}}$ eines abgeschlossenen physikalischen Systems.

Der Virialsatz wurde 1870 von Rudolf Clausius in dem Aufsatz Über einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz aufgestellt. Das Virial ist dabei nach Clausius der Ausdruck

$-{\frac {1}{2}}\,\sum _{i=1}^{N}{\overline {{\vec {F_{i}}}\cdot {\vec {r_{i}}}}}.$

Hierbei bezeichnet ${\vec {F_{i}}}$ die auf das $i$-te Teilchen wirkende Kraft, ${\vec {r}}_{i}$ dessen Ortsvektor und der Querstrich einen unten näher erläuterten Mittelwert, z. B. ein Zeit- oder Scharmittel. Der Virialsatz ist ursprünglich von Clausius als Satz der klassischen Mechanik formuliert (als Gleichheit von Virial und mittlerer kinetischer Energie) und ermöglicht allgemeine Abschätzungen der Anteile potentieller und kinetischer Energie auch in komplexen Systemen, zum Beispiel in Mehrkörperproblemen in der Astrophysik. Es gibt auch einen quantenmechanischen Virialsatz und einen Virialsatz der statistischen Mechanik, aus dem unter anderem das ideale Gasgesetz und Korrekturen für reale Gase abgeleitet wurden. Die Gültigkeit des Virialsatzes ist an gewisse Voraussetzungen gebunden, etwa dass im Fall des Virialsatzes der Mechanik mit zeitlicher Mittelwertbildung Orte und Geschwindigkeiten der Teilchen beschränkt sind, oder dass ein thermisches Gleichgewicht herrscht.

Virialsatz der Mechanik

Teilchen in einem konservativen Kraftfeld

Einen einfachen Fall stellen $N$ untereinander nicht wechselwirkende Teilchen in einem äußeren Kraftfeld dar, das konservativ, also von einem Potential $\Phi ({\vec {r}})$ abgeleitet ist (die dazugehörende Ladung sei mit $q$ bezeichnet, sie ist für den Fall der Gravitation gerade die Masse). Der Virialsatz gilt, wie unten dargelegt wird, falls die Bewegung im Endlichen bleibt, also Ort und Impuls für alle Zeiten beschränkt sind, und lautet

${\overline {T}}=-{\frac {1}{2}}\,\sum _{i=1}^{N}{\overline {{\vec {F_{i}}}\cdot {\vec {r_{i}}}}}={\frac {q}{2}}\,\sum _{i=1}^{N}{\overline {\nabla \Phi ({\vec {r_{i}}})\cdot {\vec {r_{i}}}}},$

wobei $T$ die kinetische Energie des Teilchens ist und der Querstrich den zeitlichen Mittelwert für Zeiten $\tau \to \infty$ bezeichnet. Nimmt man zusätzlich ein in der Ortsvariablen homogenes Potential vom Grad $k$ an, das heißt, es gilt $\Phi (\alpha \,{\vec {r}})=\alpha ^{k}\cdot \Phi ({\vec {r}})$ für $\alpha >0$, dann vereinfacht sich die obige Gleichung mit der Eulerschen Gleichung für homogene Funktionen $\nabla \Phi ({\vec {r}})\cdot {\vec {r}}=k\Phi ({\vec {r}})$ zu

${\overline {T}}={\frac {k}{2}}\,{\overline {U}},$

wobei $\textstyle U=\sum q_{i}\Phi ({\vec {r_{i}}})$ die gesamte potentielle Energie der Teilchen ist. Der Virialsatz ist daher eine Beziehung zwischen mittlerer kinetischer und mittlerer potentieller Energie.

Untereinander wechselwirkende Teilchen

Für die Ableitung der Gasgesetze und die Anwendung in der Astrophysik ist der Fall eines abgeschlossenen Systems von $N$ miteinander wechselwirkenden Teilchen von besonderem Interesse. Wie oben ergibt sich unter der Voraussetzung einer im Endlichen ablaufenden Bewegung der Virialsatz:

${\overline {T}}=-{\frac {1}{2}}\,\sum _{i=1}^{N}{\overline {{\vec {F_{i}}}\cdot {\vec {r_{i}}}}}$

Dabei ist ${\vec {F_{i}}}$ die Resultierende der auf das $i$-te Teilchen einwirkenden Kräfte, die von anderen Teilchen des Systems ausgeübt werden. Da ein abgeschlossenes System betrachtet wird, existieren diesmal keine äußeren Kräfte. Wegen $\textstyle \sum _{i}{\vec {F_{i}}}=0$ gilt, ist die Wahl des Ursprungs für die Ortsvektoren ${\vec {r}}_{i}$ im Virial beliebig. Auf den ersten Blick sieht der Ausdruck im Virial kompliziert aus, lässt sich aber unter der Annahme, dass die paarweise zwischen den Teilchen wirkenden Kräfte jeweils von homogenen Potentialen vom Grad $k$ abgeleitet werden können, wie oben auf die Form

${\overline {T}}={\frac {k}{2}}\,{\overline {U}}$

bringen.

Folgerungen und Beispiele

Mit der Gesamtenergie ${\overline {E}}={\overline {T}}+{\overline {U}}=E$ folgt aus dem Virialsatz:

${\overline {T}}={\frac {k}{2}}\,{\overline {U}}={\frac {k}{k+2}}\,E$

${\overline {U}}={\frac {2}{k+2}}\,E$

Für den bekannten Fall $k=-1$ (Gravitation, Coulombsche Kraft) ergibt sich z. B.:

${\overline {T}}=-{\frac {1}{2}}\,{\overline {U}}=-E$

Insbesondere ergibt sich, dass die Gesamtenergie für die Anwendung des Virialtheorems im Fall $k=-1$ negativ sein muss (da ${\overline {T}}$ positiv ist).

Für den Fall harmonischer Schwingungen ($k=2$) gilt:

${\overline {T}}={\overline {U}}={\frac {1}{2}}E$

Sonderfälle der Mittelwertbildung

Gewöhnlich bezeichnet der Querstrich wie schon bei Clausius den zeitlichen Mittelwert für Zeiten $\tau \to \infty$. In bestimmten Sonderfällen kann das aber auch vereinfacht werden.

Geschlossene Bahnen

Liegen geschlossene Bahnen vor, kann das Zeitmittel durch die Mittelung über eine Periode ersetzt werden. Der Virialsatz folgt hier unmittelbar aus der Periodizität der Bewegung. In zwei Sonderfällen homogener Potentiale, nämlich für das Potential des harmonischen Oszillators ($k=2$) und für das Coulombpotential ($k=-1$), erhält man für finite (d. h nicht ins Unendliche gehende) Bewegungen im Ein- oder Zweikörperproblem immer geschlossene Bahnen.

Vielteilchensystem

Befindet sich ein Vielteilchensystem im thermischen Gleichgewicht, kann das System als ergodisch betrachtet werden, d. h., das Zeitmittel ist gleich dem Scharmittel für alle Beobachtungsgrößen. Da dies insbesondere für die kinetische und die potentielle Energie gilt und das Scharmittel der Energien aus der Summe der Einzelenergien, geteilt durch die Anzahl $N$ der Objekte, gebildet wird, lässt sich das Scharmittel durch die Gesamtenergien ausdrücken. Wir erhalten daher für Gleichgewichtssysteme

$T={\frac {k}{2}}\,U$

ohne Mittelung über die Zeit, denn die Werte sind zeitlich konstant (siehe auch unten die Behandlung des Virialsatzes im Rahmen der statistischen Mechanik).

Für das gravitative $N$-Teilchensystem in der Astrophysik (zum Beispiel als Modell von Galaxien- und Sternhaufen) ist zu bemerken, dass die oben angegebene Grundvoraussetzung in der Ableitung des Virialsatzes, dass das System räumlich beschränkt bleibt, für große Zeiträume nicht gegeben ist. All diese Haufen lösen sich irgendwann auf, da immer wieder Teilchen durch die gegenseitige Wechselwirkung (Störung) mit den anderen genug Energie aufsammeln, um zu entkommen. Allerdings sind die Zeiträume, in denen das geschieht, sehr lang. In der Astrophysik definiert die Relaxationszeit $T_{\text{relax}}$ eines Sternhaufens oder einer Galaxie die Zeit, in der sich eine Gleichgewichtsverteilung einstellt. Sie beträgt bei der Milchstraße $T_{\text{relax}}\approx 7\cdot 10^{13}$ Jahre (bei einem Alter von $13{,}6\cdot 10^{9}$ Jahren) und für typische Kugelsternhaufen $10^{10}$ Jahre. Innerhalb des Zeitraums $T_{\text{relax}}$ erreichen 0,74 Prozent der Sterne nach der Maxwellschen Geschwindigkeitsverteilung die Fluchtgeschwindigkeit und entweichen. Numerische Rechnungen zeigten, dass der Anteil sogar noch etwas höher liegt, und dass der Virialsatz in den Haufen aufgrund des sich einstellenden Gleichgewichts (mit einer Anlaufzeit von zwei bis drei Relaxationszeiten) gut erfüllt ist. Nach dem Ablauf von $42\cdot T_{\text{relax}}$ sind 90 Prozent der Sterne abgewandert.

Siehe auch

• Virialsatz - Artikel in der deutschen Wikipedia

Literatur

• Lew Dawidowitsch Landau, Jewgeni Michailowitsch Lifschitz: Mechanik. Lehrbuch der theoretischen Physik, Bd. 1. Deutsch, Frankfurt/M. 2004, ISBN 3-8171-1326-9.

Gibt eine einfache Herleitung des skalaren Virialsatzes.

• James Binney, Scott Tremaine: Galactic Dynamics. Princeton Series in Astrophysics. Princeton University Press, Princeton, N.J. 1988, ISBN 0-691-08445-9.

Hier findet man die tensorielle Verallgemeinerung und Anwendungen.

• Wilhelm Brenig: Statistische Theorie der Wärme. 3. Auflage, Springer 1992, S. 144 f. (Virialsatz in statistischer Mechanik).
• George W. Collins: The Virial Theorem in Stellar Astrophysics. Pachart Press, 1978, Online.
• Richard Becker: Theorie der Wärme. 1961, S. 85 (zum äußeren Virial).
• Fritz Zwicky: Die Rotverschiebung von extragalaktischen Nebeln. Erste astrophysikalische Massenbestimmung mittels des Virialsatzes, 1933. bibcode:1933AcHPh...6..110Z (Mit „Nebel“ sind Galaxien bezeichnet.)
• Albrecht Unsöld: Der neue Kosmos. Springer, 2. Aufl., 1974, S. 283, Ableitung und Bedeutung für die Berechnung des Aufbaus von Sternen. (Nicht im 1966er B.I.-Taschenbuch.)

Weblinks

• John Baez: The Virial Theorem Made Easy.