Zahlensystem

Ein Zahlensystem (seltener auch: Zahlsystem) dient der schriftlichen Darstellung von Zahlen. Eine Zahl wird dabei nach festgelegten Regeln als eine Folge von Zahlzeichen (Ziffern) festgehalten. Im Zuge der Menschheitsgeschichte wurden verschiedene Zahlensysteme entwickelt, wobei man grundsätzlich - und weitgehend in der zeitlichen Reihenfolge ihrer Entstehung - zwischen additiven, hybriden und positionellen Systemen (Stellenwertsysteme) unterscheiden kann.

Additive Zahlensysteme

In additiven Systemen errechnet sich die Zahl als Summe der Ziffern ohne Rücksicht auf ihre Position.

Strichliste

Strichliste

Das einfachste Beispiel ist die bekannte Strichliste, bei der jeder Strich den Wert Eins repräsentiert. In der Regel werden die Striche der Übersichtlichkeit halber zu 5er-Blöcken zusammengefasst, indem auf vier vertikale Striche ein horizontaler oder diagonaler Durchstrich folgt.

Ägyptische Hieroglyphenzahlen

Schon vor etwa 5000 Jahren gab es im Alten Ägypten ein entwickelt additives, nach Zehnerpotenzen geordnetes Zahlensystem, bei dem es für jede Zehnerpotenz zwischen 1 und 1.000.000 ein eigenes Zeichen gab:

1	10	100	1.000	10.000	100.000	1.000.000
Einfacher Strich	Rindsgespann	Seilschlinge	Wasserlilie	Finger	Kaulquappe oder Frosch	Heh (altägyptischer Gott der Unendlichkeit)

Die 36 hieratischen Zahlzeichen

Die Zahl 1913, die aus einem Tausender-Zeichen, neun Hunderter-Zeichen, einem Zehner-Zeichen und drei Einer-Zeichen besteht, würde z.B. so geschrieben:

Meist wurden die einzelnen Stellen der besseren Übersichtlichkeit wegen graphisch zu Blöcken geordnet:

Da die Hieroglyphen für den alltäglich Gebrauch viel zu umständlich waren, wurde schon ab Mitte des 3. Jahrtausends v. Chr. handschriftlich die hieratische Schrift benutzt und die Blöcke mit lauter gleichartigen Zeichen zu einem einzigen Zeichen zusammengefasst. Dabei wurden vier Zeichen für die Zehnerpotenzen 1, 10, 100 und 1.000 sowie 32 (4 mal 8) Zeichen für deren Vervielfachungen, also insgesamt 36 Zahlzeichen. für die Schreibung der Zahlen 1 bis 9.999 verwendet.

Römische Zahlen

Bei der Römischen Zahlschrift handelt es sich ebenfalls um ein additives System mit ergänzenden Regeln zur subtraktiven Schreibung bestimmter Zahlen. Die Zahlschrift umfasst sieben durch Buchstaben repräsentierte Ziffern:

Die römischen Ziffern

Zeichen	I	V	X	L	C	D	M
Wert	1	5	10	50	100	500	1000

Dabei gelten folgende Subtraktionsregeln:

• I vor V oder X: IV (4), IX (9)
• X vor L oder C: XL (40), XC (90)
• C vor D oder M: CD (400), CM (900)

Beispiel

MCMLXXXIV = 1000 + (1000 - 100) + 50 + 10 + 10 + 10 + (5 - 1) = 1984
              M         CM         L    X    X    X     IV

Hybride Zahlensysteme

Bei hybriden Zahlensystemen wird eine Grundziffer mit einem nachfolgenden Zeichen multipliziert, das eine Potenz der Basis darstellt. In Europa gab es solche Syteme kaum, wohl aber seit zweiten Jahrtausends v. Chr. in Mesopotamien und später auch im ganzen Nahen Osten, Äthiopien, Südindien, Sri Lanka, China und Japan und auch bei den Maya in Mittelamerika.

Hier ein Beispiel aus dem japanischen Zahlsystem:

    23:  二十三  (2 × 10 + 3)
30.000:  三万    (3 × 10.000)

Stellenwertsysteme

Bei einem Stellenwertsystem hängt der Wert einer Ziffer $a_{i}$ von ihrer Position (Stelle) $i$ innerhalb der Zahl ab, die eine entsprechende Potenz der gewählten Basis $b$ darstellt, die gleich der Anzahl der insgesamt in diesem System verwendeten Ziffern ist.

Der Wert $Z$ der Zahl ergibt sich dann durch Addition dieser Ziffern, die zuvor mit ihrem jeweiligen Stellenwert $b^{i}$ multipliziert werden, mit $i=\{0,1,2,3,...\}$.

$Z=\sum _{i=0}^{n}a_{i}\cdot b^{i}$

Dualsystem

Das Dualsystem, auch Binärsystem, ist das einfachste Stellenwertsystem und verwendet nur die Ziffern 0 und 1, hat also die Basis 2.

Beispiel:

1011 = 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20 = 1 × 8 + 0 × 4 + 1 × 2 + 1 × 1 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11

Das binäre Zahlensystem nach einem ersten Entwurf von Gottfried Wilhelm Leibniz (1697)

Gottfried Wilhelm Leibniz sah in dem Dualsystem, das er schon Ende des 17. Jahrhunderts entwickelte, ein Sinnbild des Christentums. In einem Brief an den französischen Jesuitenpater Joachim Bouvet, der in China als Missionar tätig war, schrieb er:

„Zu Beginn des ersten Tages war die 1, das heißt Gott. Zu Beginn des zweiten Tages die 2, denn Himmel und Erde wurden während des ersten geschaffen. Schließlich zu Beginn des siebenten Tages war schon alles da; deshalb ist der letzte Tag der vollkommenste und der Sabbat, denn an ihm ist alles geschaffen und erfüllt, und deshalb schreibt sich die 7 111, also ohne Null. Und nur wenn man die Zahlen bloß mit 0 und 1 schreibt, erkennt man die Vollkommenheit des siebenten Tages, der als heilig gilt, und von dem noch bemerkenswert ist, dass seine Charaktere einen Bezug zur Dreifaltigkeit haben.“

Siehe auch

• Zahlensystem - Artikel in der deutschen Wikipedia

Literatur

• Ernst Bindel: Die geistigen Grundlagen der Zahlen. Die Zahl im Spiegel der Kulturen. Elemente einer spirituellen Geometrie und Arithmetik. Freies Geistesleben, Stuttgart 1958
  • letzte veränderte Neuauflage: Freies Geistesleben (Praxis Anthroposophie 51), Stuttgart 2003, ISBN 3-7725-1251-8, Inhaltsverzeichnis
• Georges Ifrah: Universalgeschichte der Zahlen, Avus Buch & Medien 1998, ISBN 978-3880599567
• Wladimir Velminski: Form. Zahl. Symbol: Leonhard Eulers Strategien der Anschaulichkeit, De Gruyter 2009, ISBN 978-3050046044